RECHERCHE ET FORMATION DE LA RÉSULTANTE

Soient

SI

BxptMiion «t degré ée U rèMlllalite.

> équations homogènes entre 1 — 1 variables x,y, z, ... u.

Il est évident que le nombre de ces équations étant supérieur d'une unité à celui des variables^ il ne pourra pas exister une solution commune à ces équations, à moins que leurs coefBcients ne remplissent une certaine condition, sans quoi la solution commune pourrait toujours être rendue impossible. La fonction qui exprimera la condition nécessaire et sufGsante pour que les proposées admettent une solution comniune sera appelée la résultante. Voici la manière de la trouver.

Soient

(2) x^y^z^...u^, ^îyî^s-.Wi,, ... a?pyp2p...wp

les p solutions communes aux A — 1 premières équations. Substituons chacune d'elles dans la dernière, et formons le produit de toutes les fonctions qui en résulteront. En appelant R la résultante, on aura

(3) R=C9^(a:iyi...Mi)(p/(a;jy,.,.Ma)...(p/(a?pt/p...Wp),

m« PARTIE. — CHAPITRE II. -* § I. 179

C désignant une constdote propre à rendre entière la fonction représentée par le second membre.

Ce produit , étant une fonction symétrique de toutes les solutions communes, pourra se décomposer en une somme de fonctions seniiblables à la w/, p. 147, et sera par conséquent une fonction des coefficients des équations proposées. On aura obtenu de la sorte la résuitante; car on voit que ce prodoit s'annulera toutes les fois qti'il y aura une solution commune; et que, réciproqaement, il ne s'annulera pas si cette solution n'existe pas.

Cette fonction, contenant autant de facteurs &>. qu'il y a de systèmes de solutions communes aut X— 1 premières équations, sera, par rapport aux coefficients de la dernière, de degré égal au nombre de ces solutions. Or, d'après ce que nous avons vu au § ni, chapitre I, en appelant p ce nombre, et a,b,c,...k,l les degrés respectifs des équations (1), on a

TT désignant, pour abréger, le produit des degrés. Donc y sera le degré

de la résultante par rapport aux coefficients de l'équation cfi. Mais les mêmes raisonnements auraient pu être appliqués sur une autre quelconque des équations (1); et l'on se convaincra ainsi que la résultante sera de degré

TC W 1t TC

â' 6» c' ••• I par rapport aux coefficients des équations Ça, ç^, (fci ••• ?/ respectivement. Par conséquent, comme la résultante les contient tous^ le degré total de la résultante sera

On aura ensuite le facteur C, en prenant le plus grand dénominateur dont peuvent être affectées les fonctions &>/. Le dénominateur est toujours une puissance de la résultante des X — 1 premières équations réduites à leurs plus hauts termes homogènes, que nous appellerons

A/. Or, comme la plus grande des sommes des exposants de &>/ sera l, il s'ensuit qu on aura, d'après le tbéorème de SchIaefiQi,

C = A/, et, par conséquent , (4) R=A/(p/(aj|î/i...Mi)9/(aj2Î/2...Wâ)...ç/(^PÎ/p...Mp).

D'ailleurs, en raisonnant comme au § i, chap. II, deuxième partie, on prouvera que la résultante est isobarique et de poids ir par rapport à chaque indice des coefficients (a, b, c, ... k, l). Ainsi, de ce qui précède on déduira aisément le théorème qui suit :

Étant données X éqiiations homogènes entre X variables, x, y, ... v, telles que

de degré respectivement a, b, c, ... I, dont nous désignerons le produit par TT, et dans lesquelles les indices des coefficients suivent la grandeur et tordre des exposants, leur résultante sera : V une fonction homogène et de degré respectivement -, r-, -, ... y, par rapport aux coeffi"

par rapport à leur ensemble; 2*^ isobarique et de poids tt par rap-^ port aux indices correspondants à une même variable, qui servent avec les autres à caractériser les coe^cients dans les diverses équations; 3** isobarique et de poids tt par rapport à C ensemble des indices.

Il est bon encore de remarquer .que la valeur numérique de la ré-suUante ne change pas si Von y change entre eux deux des indices des coefficients relatifs à deux dfes variables; c'est-à-dire si l'on change, par exemple, tous les indices p en q, et tous les indices q en p. En effet, cet échange revient à échanger entre elles deux des variables, par exem-