IIP PARTIE. — CHAPITRE II. — § IL

pie xety; ce qui ne peut pas altérer le nombre ni la valeur des solutions communes, ni non plus, par conséquent, la condition de leur coexistence. La même chose aura lieu si Ton échange entre eux les coefficients de deux équations quelconques. Par conséquent, on pourra

déduire d'un terme donné de la résultante |l+ I" )' — 1 autres

termes, qui auront, au signe près, le même coefficient. On peut vérifier cela sur la résultante que nous avons donnée p. 139.

Formation de la réraltante au moyen des fonotîons symétriques.

Comme nous avons fait observer dans le paragraphe précédent, en décomposant la résultante en une somme de facteurs symétriques de la forme w/, on pourra en calculer l'expression au moyen des coefficients des équations proposées. Mais ce calcul sera encore bien pénible, et l'on ne pourra gagner quelque chose en suivant cette voie qu'en ayant recours à la méthode logarithmique de Lagrange, que nous rappellerons ici bas. Cependant, avant de l'exposer, il sera bon de faire voir comment on peut obtenir facilement quelques termes.

D'abord, un des termes de R sera évidemment

Mais le numérateur de XiXi...x^ est ce que devient la résultante des X — 1 premières équations, après y avoir fait a;=0. Soit A^ cette résultante, on aura

X*XfJu^ • «.al/p— — —r— , Al

et, par conséquent, ce terme deviendra

En appelant de la même manière A^, A;,, etc., les résultantes des équations susdites pour î/==0, 2=0, etc., et en observant que le terme constant de y/ fournit le terme A//P00...0/' qu'on peut écrire par

symétrie A',;IPoo...o/» lorsqu'on suppose Tes équations homogènes, on aura

L'échange ensuite des lettres et des indices fera connaître une quantité d'autres termes.

Les termes, maintenant, qui dépendent des fonctions Sa?, St/, ... Du seront aussi faciles à trouver ; car il ?uf6ra d'opérer sur A^ avec les symboles

en convenant de remplacer sous le signe S la lettre a par les X — 1 premières lettres a, 6, c, ... k. Pour comprendre cela, il faut observer que l'équation 'finale en x des 1 — 1 premières équations peut être considérée comme la résultante de ces 1 — 1 équations. En supposant pour un moment que la variable x se réduise à une constante, et que Jes coefficients des arguments formés avec les A — 1 variables restantes, lesquels seront des fonctions de Xj aient été désignés par de simples lettres, il suffira, pour développer et ordonner la résultante par rapport à x, de remplacer ces lettres par les fonctions qu'elles représentent, en tenant compte successivement des termes, à mesure qu'ils peuvent servir à former le même argument en x dans la résultante. Or, pour obtenir la puissance aj^«>c...fc-i^ jj gufgra de conserver, dans chaque lettre qui entre dans un terme de la résultante, la puissance la plus haute de x, excepté dans une, oà l'on prendra la puissance immédiatement inférieure ; ce qm «iLig^ra simplement de remplacer le coefficjjBnt ap,q,r... par ap^i,^,r...» dont €st affecté^ uqe p^iisaaoce 4^ » mférmre d'mw wité,

Par conséquent, en appelant {Xi)^xy (A/)-^, ... (A/)^ 1^ r^W^Unt* respectifs de ces opérations, on aura les valeurs suivantes des termes en question :

(2) } liio...o,lkio...o.l^i^l (A^-y»

^o,o...o./^o,o...!,î— 1 A/ (AJ y.

ni» PARTIE. ^CHAPfTIlE fl.-rÇ II. t89

Il sera eacore «isé de voir que les termes dépeadant des («mtiam

^œjc^ VML^Vt, etc., fourniront dans la résultante les termes

en appelant

les résultats des opérations faites avee les symb^es

sur les fonctions A^^, Ay, ... A,^.

En joignant les termes {2) et (3) à ceux du second membre de 1'^ quation (1), on aura déjà formé une partie de la résultante. Si epsuita on échange dans les termes deux k deui^ soit les indices, «oit les let^ très, on connaîtra i^ne plus grande quantité de termes. Mais %k l'on continuait à suivre ce procédé, on s'apercevrait bient(^t, par les calculs rebutants qu'entrainent les fonctions symétriques multiples, qu'il est presque impossible en pratique. Il sera donc préférable d'employer la méthode logarithmique que Lagrange avait déjà donnée pour le cas d'une variable, et qui réduit Jes calculs à ceux d^s foipctions symé*tri^ues simples. Observons, à cet effet, quç de Técjuatiop (4) du paragraphe précédent on tire

IogR==nogA/+log9/(a;it/i...Mi)+logy^(ir89,...Mj^4r...

Développant chaque logarithme, on obtiendra

logR=nogA/+SCp^,...,[SrcPJ/^2^..tt*] ,

où Cp^..., désigne une, certaine fonction des coefficients de ç/, et la quantité spiif pdreptM)fi^ ^m f<>9<cUon #y^rique simple des solatians

communes, qu'on pourra plus aisément calculer. Alors, en posant

r=SCp,,...,[Sa:Py92'...a*], on aura la valeur de R par la série

pourvu que Ton néglige, dans le développement des fonctions r, les termes dont le degré dépassera celui que doit avoir la résultante.

8 ni.

Méthode de Besottt.

Quoique cette méthode ait le défaut d'introduire des facteurs étrangers dans la résultante , le principe sur lequel elle repose mérite de ne pas être oublié. Peut-être pourra-t-il un jour conduire à de meilleurs résultats, comme Ta déjà fait M, Silvester pour le cas de trois équations. Dans cette méthode, on se propose d'obtenir, au moyen des équations données, un système d'équations tel, que leur nombre soit précisément égal au nombre des coefBcients arbitraires qu'elles sont amenées à contenir. Alors on comprend qu'en éliminant ces GoefBcients arbitraires, on obtiendra la résultante que l'on cherchait.

A cet effet, on multiplie chaque équation (fa par un polynôme ^a ^ coefficients arbitraires tellement choisis que la somme des produits ainsi obtenus soit égale à zéro. Soit F cette somme, on aura (1) F= <ï),(p^+$^çj+ $^(p^+... + <p^^^— 0.

Égalons à zéro les coefficients de tous les arguments de F, dont nous appellerons S le degré ; on obtiendra entre les coefficients arbitraires un nombre

d'équations linéaires. Lorsque l'élimination des coefficients arbitraires compris dans ces N équations sera possible, les équations proposées (f admettront évidemment une solution commune ; car alors une équa-

IIP PARTIE. — CHAPITRE H. — § Hï. 185

tion quelconque (fa sera la conséquence des autres. Ainsi la résultante, ou la condition de la coexistence des équations proposées, dépendra de la condition de la coexistence des équations N, c'est-à-dire de leur résultante. Tout se réduit donc à éliminer les variables d'un système d'équations linéaires données. Si le nombre des coefficients arbitraires qui figurent dans les N équations linéaires était égal au nombre de ces mêmes équations , la résultante en serait bientôt connue. Mais il est généralement impossible d'égaliser ces deux nombres; ainsi, on ne peut se proposer que d'assigner la valeur la plus convenable au degré d de F, pour que la différence entre ces deux nombres soit la moindre possible.

On peut poser, d'après Bezout,

en appelant, comme avant, a, 6, c, ... les degrés des équations ^^9 96» ?ei ...^ et A leur nombre. Il est d'ailleurs assez naturel de prendre les degrés des fonctions ^a, *^, %, ... égaux respectivement à d — a, $ — 6, $ — c, ..., afin de donner aux produits ^9 le même degré. On s'assurera facilement que par cette valeur de d le nombre des coeffificients arbitraires sera bien plus grand que celui des équations de condition, mais non inférieur; autrement, l'élimination seraft impossible. Supposons, par exemple, X=4. Le raisonnement que nous faisons dans ce cas s'appliquera aisément à un cas quelconque. Le nombre des coefficients arbitraires est, d'une part, la somme des arguments des fonctions 4», à savoir :

î:lr32(»-«'-2)(»-a-l)(-.a),

en posant, pour abréger, $^=a+b+c+d, et en faisant successivement a=af ^^by =c, =d; d'autre part, le nombre des équations de condition est égal au nombre des arguments de la fonction F, c'est-à-dire à

ris (»-2) («-!).«;

il s'agira de prouver que le premier nombre est plus grand que le second , ou que

186 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ÉlItmrATiON.

H-iô+^^f-d— 2)(6+fi+d— l)(6+c+d) )

Or, quefs que soient les termes littéraux qu'on choisisse dans les trois facteurs du second membre, par exemple, abd, b^d, ..., pour les multiplier ensemble, il est évident qu'ils se trouveront reproduits au moins une fois dans un des quatre produits formés par les combinaisons trois ft trois des degrés a, 6, c, d. Car, en formant un terme du second membre, on ne fait que former une des combinaisons avec ou sans répétition des quatre quantités a, 6, c, d prises trois à trois, lesquelles se trouvent déjà toutes faites dans le premier membre. Mais il est évident que les eombiDaisons avec répétition se trouveront un pim grgfid nomhr» i^ foi« iéiï% le premier membre que 4lans le cieeoiid ; diimi l'inégalilé sa«diie tara bien c^rtainemMt Itea.

Les transformations suivantes conftrn^êront davantage ce qua nom V9IIOJ90 i^ dm. On Q poni- Asii :

. S(s--a— 2)(s— a— l)(s— a) =(,— 2)(«--l)5+(5— 2)Sa(a— l)+(s— l)Sa(a— 2)+Sa*(s— a), ^

et pour X= 5,

+(s— 2) (5— l)Sa (a— 3)+Sa*(«— a){ 3(«— 2)~a} ;

d'où l'on voit qu'au delà de a,€ie,ps2, ou 9^3, Ie9 premiers membres seront toujours plus grands que les premiers termes des seconds {*).

{*) M. Cayley a généralisé cette propriété, et il a trouvé qu^en posant, pour abréger,

A=[s]^-i, B=2[5-û,]^i, C=22[«— ai-aj]>-i,etc., on a

A— B4- C— D-f-E-etceaO, B— C+D— EH-etc.>0, C— D-f-E— etc. . .>0, D— E-j-etc. . . . >0.

III* PARTIE, —CBAPÏTBBir.^Sflï. 187

Oj) aura ainsi généralement

Wî5xÎFî)S('-°->+^X'-»->+8).-.(.-.> ^^g:.7^?;---' .

£d supposant maioteoaot que la résultante des éqyiatjoixs linéaires ait été obtenue, il nous -reste encore à vérifier si le degré de cette fonction sera au moins non inférieur au degré que doit avoir h résultante des équations proposées, à savoir :

et à vérifier, par conséquent, si la valeur de cî a été convenablement choisie. Or, le degré de la résultante des équations linéaires étant égal à leur nombre, l'inégalité qu'il s'agit de prouver se réduit à celle-ci :

(^) 1.2.3...(X-t)" '■' >"U"+^Î+-+TJ-

C'est ce qui se rendra très-évident en mettant cette inégalité sous la forme suivante :

[hJ^-{(l+xy—(i+ax)(l-\-bx){l+cx)...(i+lx)]]>0,

et en observant qu^ a toujours

(l+ic)*===(l+aa;+...)(l4-6a?+...)..\(l+/^+...)>(l+a«)...(l+îir).

Supposons donc que l'on ait adopté la valeur (3) de S. Il y aura dans les

1,2.3.. .(X—1) équations un nombre de coefficients inutiles indiqué par Texcès du premier membre de l'inégalité (5) sur le second. Soit E cet excès. Ces coefficients étant tout à feit arbitraires, on pourra s'en servir pour rendre le nombre des équations égal à celui des coefficients à éliminer, soit en les annulant, soit en les assujettissant à E équations de condition nouirelles et entièrement arbitraires, A Vaida d& ices nouvdies équations, qn'oo établira en plu? des première^ N équal^ons de condition, on pourra le plus souvent abréger les calculs, k cause ée la symétrie des calculs, leM^nels feront ressortir îoap^diatement

Gooçle

les facteurs étrangers au résultat final de l'élimination. C'est dans la recherche de ce facteur étranger, d'autant plus pénible que son degré sera plus grand, que consistent la difficulté et le défaut de la méthode. Afin de diminuer ce degré ou cet excès, il conviendra donc de prendre pour d le nombre le plus petit possible propre à satisfaire aux deux inégalités

en se rappelant que, d*après ce qui précède, la limite supérieure de ce nombre sera $ — X 4- 1 •

Ainsi, pour a=6=c=:d=3, X=4, cette limite serait 9; cependant, en prenant (î=7, on trouve encore

si l'on prenait, au contraire, (î=6, on aurait

ïi34.5.6<^^<4.27.

et, par conséquent, on ne pourrait rien obtenir. Dans le premier cas, -le facteur étranger sera de degré 120 — 108=12.

Supposons encore a=6==c==d=2. On prendra (î=:4 au lieu de ^z=5, que donnerait la formule (3), et le facteur étranger se réduira à n'être que du troisième degré.

s IV.

Méthode de Sylveiter.

Les quelques mots que nous allons donner sur cette méthode seront assez compris, si l'on se rappelle ce que nous avons déjà écrit, au § IV, chap. II, deuxième partie, sur ce sujet.

Cette méthode; comme on aura remarqué, a pour but de déduire

m- PARTIE. -- CHAPITRE II. — § IV. 189

des équations proposées des équations telles, que le nombre des arguments qui y figurent soit égal au nombre des équations et au degré de la résultante. Alors, en traitant les arguments comme des variables d'un système linéaire d'équations, on aura par leur élimination l'expression de la résultante sous forme de déterminant.

A cet effet, on multiplie chaque équation (fa par un augmentatif

et Ton forme autant de ces produits qu'il est nécessaire pour que le nombre des augmentatifs

qui sera le nombre même des équations, devienne égal au nombre des arguments contenus dans une équation de degré ^, ou

On voit immédiatement que cette méthode, sauf à remplacer les augmentatifs par des coefBciehts arbitraires, ressemble beaucoup à celle de Bezout. Mais elle a sur celle-ci l'avantage de pouvoir être appliquée plus aisément à la recherche de la résultante, en tirant parti ' des propriétés de la résultante elle-même^ dont nous parlerons ensuite, ou de nouvelles équations que l'on peut déduire en combinant convenablement les équations proposées.

Soient, par exemple,, les équations

(f^=ax^ + by^ + cz^ + du^ + ^exy -h'2fxz + ^gxu + 2hyz + 2ftyu + 2kti=0, (f,=a'x^+bY+c'z^+d'u^+2e'xy4'2rxz+^g'xu+^h'yz+2k'yu+2VzU^ l^^:=a"x^ + bY+ C'z^-f- d'u^+ ^e'^xy + 2^0?^+ 2/a?M+ 2ftf yz+ 2k'^yu+%"zu, (p3=aV+6V+cV+d'V-^2eaî''^y+2ra;z+23fa:w+2r^

de second degré à quatre variables.

D'après le théorème de Hess, qu'on trouvera démontré au chapitre III, les dérivées partielles

dx'

d/a dy^

' du

UÈU

mm

du déterminant

à<io

df„

dfo

dx '

dy'

dz'

du

df,

df.

df.

df.

dx'

dy'

dz'

du

df.

Aft

df.

dx'

dy'

dz'

du

df.

df.

df.

df.

dx'

dy'

dz'

du

s'annulent en même temps que les équations proposées. Or, ces dérivées sont de troisième degré par rapport aux variables, et de quatrième par rapport aux coefGcients. En multipliant donc les proposées par les augmentatifs x, y, z, m, on fornaera avec leg dérivées un système de 16+4=20 équations de troisième degré, qui comprendront précisémentY^=20 arguments. D'ailleurs, la résultante qu'on obtiendra en éliminant les arguments sera de degré 16+4.4= 32=4.2^ qui est celui de la résultante des équations proposées.

En désignant ainsi, en général, par le symbole (abcd) le déterminant

et en posant

aiz={aefg) aj= — (bekk)

a^ = [aefk)— {aegh)-\-{abfg)

o, = {adef)—{aegl) +{afgk)

a, ={bcek) — {behl)-{-{cehk)

a^={achl}—{cefl)-h(cfhg)

a,,=i{cdfh)+{efkl)+{cghl)

a,s= — {bdgl) + {dghk)— [dekl)

a„= (aehk) + {abfk)^ (abgh)a„=— {aecl)^ {afht)-^ [eefg)

a,={cfhî) a,=—{dgkl) «« ~{«efl)—iaceg)+{afgh) a, = {begh)~ {befk)+ [abhk) a„== [hdeK)—{bghk)+{bekri o„=: {bcfl)+{cehî)+{c(hk) a„= {adkt)— {dfgk) + {degt) a,,=—{dfkl) +{cdgk)—{dghl)

■{ahcg)

a„= {adel)+{agkl) + {defg) — [adfk) a„— {bcek)+{cehk)+{bcfk)— {bfhl) a„= {deUi) +{bgkl)+{bdgh)— {bdkl)

I«« PARtlE. — CHAPmiË IL— ,§ IV. 191

a„:=-'{edfk) -{cdgKj-^idfhl^+icgkl) au:s:{abeg)'h{aéhl]-^{abfl)—{acek)—'{apik)-^2{éfgh,) aa={adeh)+{aghk)~aekl'{-{abdf)'^{abgl) +{fegk) a^:^{aedé)-\-{aghl)-^{aegk)-- (ad/"ft)— (afkl)-^2(efgl) a„z='{befï)+{bceg)+{abhl)+{bfgh)+{abck)—2efhk a„={begl)+{bfgk)— [bdef)— (aMA)— {^àbkî)— 2{eghk) a„={bcgk)— (bcdey- {bdfh)— {bffhl) +bfkl^ 2{ehkl) a^={abcl)+{bcfg)-^{cefk)-^{achk)—{o«kg)-^'2ef1il a^= — {acdh)— {akcl)— {edef)-~ {eegl) — {cfgk)+ 2(fghl) a,i=:{cghk)+{bcgl) + {cekl— {bcdf)— {cdeh)— 2(fhkl) a„={defk)+ {degh)+{bdfg)—adhk— abdl+2{egkl) a^={acdk)+{adhk)-\-{deft)— [dceg)—{dghï)+ 2{fgkt] a^z^{dfkk)^{bdfl)'-^{b<^)-^{odek)^{d<él)^2{gkkl^ a^={abcd)—2{ahkt)^2{efkl)+2{defh)-^'2{egkl}'^2{eegk)+2{bfgr)

la résaltaate sera le déterminant qui suit, en «apposant qae te» places vides soient remplies par des zéros :

2M 2fc 22

<ie'

2/i' 2fc' 2r

2flr'

2ft." 2r 2r

2Sr 22

2fc'

2e 29 2fe

2e' 2^ 2fe'

2e" 29" 2fc"

tf"

2jf"

n 2; 2fe' 2r

2e'" 29'" 2ft'" 2e 2/" 2/^ 2e' 2r 2V 2e'' 2^/ 2/^'/

Aa,

2ai,

Sa»

3«io

Stf*. «,*

3aii

ôa^.

3ai»

2ai.

De là il est aisé de voir que la résaltante sera ane fonction linéaire de produits de huit déterminants formés par quatre colonnes quelconques des coef6cients des équations proposéea, soumis pourtant à la loi de Téquipollence. Un, par exemple^ de ces produits sera un quelconque du prodfiit

[dbcdy

Soient encore, comme exemple, les équations

On trouvera que leur résultante peut se mettre sous la forme d'un déterminant, ainsi qu'il suit :

-* 3. -ii

en sous-en tendant que les places vides soient comblées par des zéros. Les produits marqués dessus servent à vérifier la provenance des éléments du déterminant.