Troisième degré : ax^ zb ftx ± c = o
On suppose a très-petit et positif. La condition de réalité des racines
sera toujours satisfaite , si b est précédé du signe — . Dan» ce cas, si l'on ïnet les signes de c en évidence, on aura les deux équations
ax^ — ôx -f- c =r o , ax^ — bx — c = o , dont la seconde se déduit de la première en changeant x en — x.W suffit donc de traiter la première. On en tire
Négligeant dans une première approximation t ^*> il
vient
valeur approchée par défaut. Puis on aura successivement^ comme on l'a vu pour le second degré ,
DES ÀPPROXIMATIOJVS lïtJMÉRIQXJES. 1 97
valeurs toutes par défaut , et de plus en plus approchées de l'une des racines de Téqualion proposée.
Quant aux deux autres, il est aisé de voir qu'elles ont des valeurs, numériques très-grandes et de signes contraires. En effet, si Ton pose a: = -5 il vient
cy^ — hy"^ '\' a •=. o ^ ou
y''{h — cy)z=.a.
Or, pour rendre le produit j^*(i — cy) très-petit, on peut s'y prendre de trois manières : soit en faisant y très-peu
inférieur à - ( et , par suite , x peu supérieur à ^ > c'est la
l^acine déjà calculée ) \ soit en donnant à y une valeur trèspetite, positive ou négative , auquel cas l'autre facteur différera peu de i. A ces deux dernières valeurs de y^ correspondront pour X deux valeurs très-grandes et de signes contraires.
On calcule aisément y par approximations successives. Ainsi d'abord, négligeant j^' dans l'équation
cj3 — hy'*^ -f-a = o, il vient
rx
Prenons le signe -f- , et pour approcher davantage de y^ posons
En désignant le premier membre de l'équation pary*(y) , la substitution de /i + « donne
(32) /(^.)+/'(;r.)aH--^^a»4-ca3=o.
Comme a est petit, on néglige ses puissances supérieures à la première , et l'on a , approximativement ,
ipS THÉORIE GÉNÉRALE
D'ailleurs
vu que ( — by] -h a) est nul d'après la valeur de /t ? et
On a donc , pour déterminer <ar, l'équation
(33) crî -h(3r^i--2^) a = o;
maïs elle doit encore être simplifiée. En effet, il est évident
que la valeur de a qu'on en tirera sera du même ordre de
grandeur que y\, ou de l'ordre de a, puisque ;^i est de
l'ordre de a' ; par suite , le terme 3 cyi a est de l'ordre de a ' . Or, en omettant , comme on l'a fait ci-dessus , les termes en a' de l'équation (Sa), on a déjà implicitement négligé
une quantité de l'ordre de — ou de a'.Il serait donc illusoire de conserver dans l'équation (33) le terme Sc^'ia. En conséquence , on tirera simplement
de là, une seconde valeur approchée,
/a ac
Nota. — D n'a pas échappé au lecteur que la valeur de a qu'on tire de l'équation/ (y t) -+-/' ( Ji) a = o, est précisément lé terme de correction de la méthode de Nevrton ,
— f.f\ * Mais nous avons dû réduire ce terme à la partie
qui est de l'ordre de a.
Maintenant, pour pousser l'approximation jusqu'aux
termes de l'ordre de a' , on posera dans l'équation primitive
et l'on aura, en changeant j'i enj, et « en j3, Téquation approchée
OU
Comme /3 sera de l'ordre de y\, on négligera dans f\yi-+- -^-j- ) les termes d'ordre supérieur à y\^ et dans
f (y, -J- -^) les termes d'ordre supérieur à j'i. Il vient ainsi
--TÏ-'
d'où
On a donc pour troisième approximation àey^
ac Sa\[ac^
"=\Ji
Ëns'arrêtant là , calculant le logarithme de cette valeur, puis changeant son signe, on aura le logarithme approché de la valeur correspondante de x.
Si Ton opère de même pour la seconde racine, on a d'abord
Puis , eu posant y = j^i H- « , on voit que la valeur approchée de a, oviji n'entre qu'au carré, ne différera pas de la précédente
ac
Au contraire, |3 changera de signe, et deviendra 5 a ^ac-
La seconde racine de l'équation en y sera donc , approximativement,
5fl v^c*
la ac
on en conclura, comme ci-dessus, la valeur correspondante de jr.
Il reste à traiter le cas où h est précédé du signe -\- dans Féquation du troisième degré. En ayant égard au signe de c, on a les deux équations
ajc^ -i- bx — c =1 o , ax^ -i- bx -{- c = o,
La seconde se déduit de la première en changeant x en — a:. Il suflSt donc de considérer celle-ci. On la met sous la forme
Or cette équation ne diflfère de celle que nous avons traitée dans le premier cas , qu'en ce que a est changé en — a. On aura donc
Xi =
c ac^
C a& Za} &
"b'~lF'^~b^^
valeurs alternativement par excès et par défaut*, l'erreur que comporte chacune d'elles est moindre que le terme de correction qui s'ajoute 6u se retranche de cette valeur pour former la suivante.
Quant aux deux autres racines , il n'y a pas lieu de les calculer approximativement, puisqu'elles sont imaginaires.
