Application. — Soit Téquation

0,00018.0?' -h 4j3974.'îp — 3,5662 = o, « = 0,00018, ^=:4>3974> = 3,5662.

On vient de trouver pour valeur approchée de la plus petite racine

c ac^ na^c^

DES APPROXIMATIONS lïUMÉRTQUES. 1^3

Sî Ton a recours aux logarithmes , on trouvera

d'où

La première valeur approchée par excès est donc

jc, = 0,8109790.

Puis

uc^ — iog-^== 5,4300959,

d'où

Nous ne conservons que trois chiffres significatifs (ou sept décimales) pour -j- , bien que les Tables de logarithmes en donnent encore deux autres^ parce que ce terme doit être retranché de t dont la septième décimale o est déjà

douteuse. Il vient ainsi, pour seconde valeur approchée

par défaut ,

Les Tables ordinaires ne permettent pas de pousser l'approximation plus loin 5 car le terme suivant, --77-? aurait

pour caractéristique de son logarithme 9, et, par suite, il n'influerait pas «ur les sept premières décimales. Toutefois, comme ce terme est une limite supérieure de l'erreur qui peut affecter x^ , il «n résulte que cette valeur €st approchée à moins d'une unité de son dernier ordre décimal.

2^. On sait que la profondeur d'un puits peut être déter minée en y laissant tomber une pierre et observant le temps qui s'écoule depuis le moment où on lâche la pierre jusqu'à celui où le bruit qu'elle fait en frappant l'eau parv. r3

194 THÉORIE GÉlfÉRALE

vient à l'oreille. Soit t ce temps exprimé en secondes. On emprunte à l'expérience deux autres données : la vitesse t' du son, ou le nombre de mètres que le son parcourt par seconde (v'riz 340™) 5 et l'espace ~ parcouru par un corps pesant dans la première seconde de chute (g' = 9°^,8o88). En désignant par x la profondeur du puits, on aura- pour l'expression du temps que met le son à monter uniformement jusqu'à l'oreille, et i/ — pour le temps que met la

pierre à descendre d'un mouvement uniformément accéléré jusqu'à l'eau du puits. La somme de ces deux temps doit être égale à t : l'équation du problème est donc

En isolant le radical, puis élevant au carré, il vient

Cette équation a ses deux racines réelles et positives 5 mais il faut remarquer qu'une seule de ces racines satisfera à la question, c'est-à-dire à l'équation (3o) dans laquelle le radical est pris avec le signe -f-. Si l'on trouve deux racines, c'est que l'équation (3i) comprend en outre les solutions de l'équation

qui ne diffère de (3o) que par le signe du radical. Pour distinguer laquelle des racines de l'équation (3i) convient au problème , il suffit d'observer que le produit des

deux valeurs de -étant égal à «*, l'une d'elles est plus petite que t et l'autre plus grande. Or, d'après l'équa-

DES APFB.0XIMAT10»S NUMÉRIQUES. IQ^

tion (3o) , - est évidemment plus petit que t. Donc c'est la plus petite racine de réquation (3i) qui doit être adoptée. Le coefl&cient -- de x* est moindre que > tandis

tf^ ^ lOOOOO

que le coefficient de x et le terme tout connu sont des nombres bien supérieurs. Nous pouvons donc appliquer au calcul de la plus petite racine la formule d'approximation du second cas :

Nous avons ici

Supposons, par exemple, t = 4*'*^935. On trouvera

log ~ = 1 ,9162209, d'où ^ = 82,455....

Une première valeur approchée par défaut est donc

Puis on a

log -TJ = ï ,4087263, d'où -T^ = 0,2502....

Ajoutant ce nombre à t» on obtient

a:, = 82", 71, valeur également par défaut , et d'une approximation bien suffisante.

107. Remarque. — Si l'on supposait c très-petit, au lieu de a , dans l'équation

ax^ ± 6a: zfc: c = o, il ne serait pas nécessaire de recommencer une discussion nouvelle; car, en posant j:= -> Féquation devient

et rentre , par conséquent, dans les deux cas déjà traités.

jgG THÉORIE GÉNÉRALE

L'une des valeurs de y différera peu de j (abstractioir

faîte du signe), et Tautre aura une valeur numérique trèsgrande. On pourra calculer la première par les formules d'approxînwttion qui viennent d'être établies -, puis prendre le logaritbme de cette valeur, changer son signe, et l'on aura le logarithme de la valeur correspondante de x. Cette

racine sera voisine de — Quant à l'autre, elle sera Irès-

petite et se conclura de la précédente, puisque la somme

est égale à dz —