CHAPITRE V

marche linaledes foDctions

65. — Principe général de convergence et de divergence et marcte finale des fonctions dont l'argument croît indéfiniinent. — Nous avons essayé dans le chapilre précédent de développer le concept de la correspondance de la fonction à l'argument au sens le plus large et avec une rigueur complète. Il nous a sorti de supposer fini l'intervalle dos valeurs d'argument. Si cet intervalle s'étend h l'infini et que des valeurs de fonction conLînuent toujours h y correspondre, les suites sans loi de l'Idéaliste reviennent tout de suite en question. Cependant i'examen de tout ce qu'il est possible d'imaginer dans la marche finale des fonctions, c'est-à-dire pour l'accroissement indéfini de l'argument nous enseigne que, indépendamment des , intuitions IbndamenUles de l'Idéaliste et de l'Empiriste, cette marche finale possède certaines propriétés générales et qu'on y trouve sans exception certaines quantités et formes de variation dont la détermination exacte, indispensable pour les considérations de limite et de convergence de toute nature forme l'objet de ce chapitre.

Je place en tête le principe général de convergence,\<Toçv\éié de la marche finale des fonctions qui a pour conséquence l'existence d'une limite finie, déterminée, Uni f{œ).

Nous étudierons à ce sujet les fonctions n ayant pas de limite finie déterminée, oii il intervient deux quantités fixes qui correspondent h la limite de la marche finale convergente, et dans cette marche deviennent égales entre elles et h cette limite. Ce sont les limites d'indétermination permettant de conclure par intuition au principe général de divergence, suivant lequel la marche finale des fonctions, où manque la propriété supposée dans le principe général de convergence, n'a pas non plus pour terme une limite finie et délerminée.

Cette étude delà marche finale des fonctions, quia lourni les limites d'indétermination, poussée plus avant pour satisfaire à de nouveaux besoins, nous apprend que la marche finale de toute fonction oscillant d'une manière quelconque, se trouve

renfermée entre deux foncLions variant chacune dans un sens unique. Je les nomme enveloppes d'indétermination.

Enfin nous aurons à considérer la vitesse avec laquelle les fonctions qui ne varient que dans un sens croissent ou décroisaent. Là intervient le concept de sixltes de quantités Infinitaires.

A part ce dernier point qui nous ramènera de nouveau aux intuitions fondamentales, les objets d'étude ci-dessus mentionnés ne se prêtent h la discussion de l'Idéaliste et de l'Empiriste que pour le concept de limite de constructions numériques ou de suites générales de valeurs discontinues ne variant que dans un sens, — et cela seulement en tant qu'une valeur exacte ou exacte à volonté est considérée comme limite. 11 en estainsi en particulierdes raisonnements par lesquels nous établissons le principe général de convergence et de divergence. Nous pouvons ne pas distinguer à chaque pas les deux formes d'intuition, et parler des valeurs limites commele ferait l'Idéaliste. Je reviens là-dessus maintenant parce que nous mettons la dernière main au concept de limite. Son élément essentiel, quoique le plus simple, la 'imite de suites de valeurs discontinues ne variant que dans un sens, nous l'avons assigné au domaine du concept de grandeur, qu'on ne pouvait compléter que do la sorte d'une façon satisfaisante. Le concept de limite appartient donc en partie au concept de grandeur, seulement il a un contour plus vaste : il pose les conditions générales sous lesquelles des phénomènes quelconques, dont on peut ramener la mesure à celle des quantités linéaires, ont ou non une limite. Ce sont ces conditions que contient le principe général do convergence et de divergence.

Qu'on démontre ce principe à la manière do l'Idéaliste ou de l'Empiriste, les fondements derniers de l'analyse, les deux concepts de grandeur et de limite, sont complètement établis, et le professeur, qu'il écrive ou qu'il parle, n'a plus sujet de « parcourir à pas rapides l'introduction ù, l'analyse. »

66. — Principe général de convergence et de divergence — RemaPïae préliminaire. — Nous avons déjii donné au principe général de convergence el de divergence la forme suivante :

Si ta différence i (a:,) — f (ic) , a:, > ic, d partir d'une valeur suffisamment grande de x et pour des valeurs arbitraires de la différence x, — œ, reste au-dessous d'un nombre e/toisi aussi petit qu'on a voulu, la fonction f (ic) a alors une valeur limite délerm'née. Mais si, pour n'importe quelle valeur de œ, si grande qu'elle soit, on Irouhc pour f [x,) — f {x) {toujours x, > x) des va'eurs siipérieures à un petit nombre quelconque mais indépendant de la t>ariâtioh de te, f (œ) n'a pas de limite. '

La fonction f (a;} n'est supposée soumise à aucune restriction. Je remarque expressément quo,pour plus de commodité, on peut supposer/ (37) donné pour toutes les valeurs particulièrea de l'argument, et par conséquent complètement déterminé {art. 57) — mais que nos raisonnements n'imposent jamais h. la fonction une telle restriction, Lors donc qu'il est question d'une fonction f [x) de (fl;),il ne s'agit que de valeurs de x pour lesquelles elle est donnée. J'ai en vue, entre autres, la fonction f{n) = W, + Mj + ... + M„

qui représente la somme de n premiers termes d'une série, et n'existe que pour des valeurs eulières de n.

On peut donner du principe général une démonstration préparatoire, pour ne pas dire superficielle, faisant ressortir les points qu'il s'agit d'élucider.

Soit donc /(ic) un processus ordonné suivant la variable j;, et supposé susceptible de prendre des valeurs supérieures à une quantité choisie à volonté, qu'elle admette ces valeurs d'une manière continue, ou bien par sauts, ou bien par valeurs isolées. Soient a;, et Xî deux valeurs de x. Si pour une quantité », aussi petite qu'on veut, il n'existe pas une valeur X de as suffisamment grand pour que la différence ((osi^ — /T'"') (^ S. Xi < iCj) ne puisse pas dépasser a, f{os) n'a pas une Umile finie et déterminée. Eh effet, s'il existait pour f^x) une pareille limite Y, il devrait exister, par définition de la limile une valeur Xde X suffisamment grande, pour que a; élaot supposé > JT, y — fl^x), et, par conséquent, y — {{ce,), y — /X^i), ne surpasse pas en vaieur absolue^- La différence de ces deux valeurs ne surpasserait donc pas t en valeur absolue.

Au contraire, s'il existe pour chaque quantité s, arbitrairement petite, une valeur Xde ce pour laquelle f{aii\ — fXjs^ [X <. Xi < Xi) ne surpasse pas s, le processus {fceja une limile finïëet déterminée. Car alors on aura

f[x,) ■-n^^-'<o^ rt^i) - A^o + ^

ou bien

CeU veut dire 1" que f\Xi) est enfermée entre des limites finies fixes, si grand que soitaja , de sorte que f^x) ne peut pas a; croissant indéfiniment, croître ou décroître efie-méme indéfiniment ; 2° que l'oscLIlation de f\x) ne peut jamais dépasser 2 *, quantité arbitrairement, petite, à partir de la valeur X, suffisamment grande. Et de ces deux faits on eonclul ii l'existence de la limite Y.

La démonstration du principe de divergence que nous venons de donner est parfaitement exacte et doit sufïire à toutes les exigences pratiques. Seulement elle laisse subsister un certain vide. La divergence d'un processus peut dériver de tant de causes que notre dé m oust ration embrasse dans un même raisonnement, qu'on en reste pourtant h se demander sur quoi sa fonde en réalilé cette divergence. Ceci nous engage de nouveau à examiner géoméiriquement la marche finale des fonctions, comme si cette démonstration n'existait pas.

La démonstration du principe de convergence au contraire n'est pas suffisante même pratiquenient. Car, nous fondant sur les deux faits que fXso) reste iinie et qu'à partir de valeurs suffisamment grandes de x, son oscillation devient arbitrairement petite, nous présumons avec la plus grande vraisemblance l'existence de la limite ; mais il faut montrer comment elle s'ensuit avec nécessité. La démonstration n'est donc pas complète.

Dans l'article suivant nous comblerons cette lacune qu'on ne saurait laisser subsister dans la démonstration d'un des tbéorômes les plus généraux et les plus imporlants de l'analyse.

Pour développer ensuite tout le contenu du principe do divergence, nous renfermons dans ces limites fixes les diverses manières suivant lesquelles une fonction suit son argument jusqu'à l'infini : Nous reconnaissons ainsi d'un poinf de vue plus éievé dans quelle circonstance se présente la chose particulière qui se nomme limite, et parvenons alors à une réelle intelligence dn principe général.

67. —Principe géaéral de coiivergeHCe avec des propositions eomplé mental res. — C'est donc la variation de la difl'éronce /■/"ic,) — flx), Ti ^o!, X croissant indéfiniment, qui établit une première classification pour la marche finale des fondions.

La première proposition de convergence est la réciproque d'une conséquence iaimédiale de ta propriété essentielle de la limite. Si f (x) croissant indéfiniment, a une limite y, c'est-àdire si des différences de la forme y — f{x), y — f(a!,) ont

la limile zéro, quand x, x^, .... prennent une suite quelconque de valeurs croissant sans limite, — alors zéro est aussi la limite de la différence / {x.) — /' [x] de deux pareilles difîérencesy— Z'f'a;), y — /'(«'i ). La réciproque s'énoncera ainsi ;

I , Si la diffi-renee f (x,)— f [x), Xi> x,ie croîsnant indéfiniment, a pour limite zéro, il existe une quantité y telle que y — i{x) a aussi la limite zéro pour la même variation de x.

Démonstration. — Puisque fice^)— / (x) peut devenir aussi petit qu'on veut pour des valeurs de x sulfisammentgrandes, fixons une valeur a:' telle que pour ip' < a; <^a;i ,1a valeur absolue de f (x,) — f (x) no dépasse pasTne quantité s' choisie aussi petit qu'on aura voulu. Le valeur de f{co) tombera alors pour toute valeur x > x' daas l'intervalle ( fx] - 1\ f(œ') +t'). Posons /Xw') — e' = it, f {x') + e' — p". Fixons ensuite x" > x' telle que pour a:" <ic < x,, la valeur absolue /■ (ar,) ~ f (x) ne dépasse pas ë''~< t. La valeur /"(j;) tombera alors, pour X > x\ dans l'intervalle ( f(x'') — i", f(x") + e" ). Celui-ci peut ne pas appartenir tout entier à l'inlervalle (a', g'), mais une seule des valeurs f (a-'') — t" , f (3i") -\- s," peut tomber en dehors de (se', p'). Dâsignons par {«", p") la partie de l'inlervalle {f{3i")~t'\f{x')-{-t")qm appartient à ('i.' f) f [x) reste à partir de a; =: x", dans l'intervalle (a" pj, qui est <2i". De cette façon nous pouvons assigner à f (œ) des intervalles de plus en plus petit. Fixons a/" > ce" de telle façon que la valeur absolue de la différence /(a;') — /"(a;), pour (b"'<^ a; < oti ,ne dépassent pas e'" <; s", et désignons par ( œ™,p"'yTa portion de l'intervalle /"(œ'") — e™, / (a/") -j- «'") qui apparlieol h. ( a" p" ). Aparlirdea;—^",/ (a;.' variera dans l'intervalle (a" P"')< 3 s"', et ainsi de suite. Les suites de valeurs a', a", *'",... p', p', p'".,, qui ne varient qu{: dans un sens ont chacune une limile, et ces

limites sont égales si e', e", i'", ont pour limite zéro. Soit

y la limite commune a^ix a et aux |3. On pourra toujours indiquer une valeur a; de a; assez grande pour que, x éiant > x, la valeur absolue dey — /"Ca;) reste au-dessous d'une quantité petite fixée d'avance 2 1. On a s'' < s <eM-*», de mêmeœ — x^'K

Si la fonction f (x) n'est constante dans aucun intervalle de l'argument, cas qui n'est pas exclu de la démonsiralîon précédente, les valeurs x', x", a?'", . . . .croissent inflnimeni .C.Q.P.D,

On peut encore démontrer la proposition autrement, on construisant numériquement la limite T. Toutefois la démonstration précédente, qui n'est pas longue, satisfaita le lecteur.

11 y a une proposition assez générale, sans l'êlre autant que I, qui est souvent utile; c'est la proposition III derarticle 46, étendue des valeurs discontiouos aux fonctions,

II . Une fonction f (x), ne variant que dans i*n sens ei gui reste comprise entre des limites finies, possède toujours une limite déterminée quand l'argument croît indéfiniment.

A une époque, où je considérais celte proposition comme un axiome devant former le concept propre de limite, je me

donnai beaucoup de mal pour en déduire la proposition I. Je voulus me persuader que la proposition II est le premier principe. Toutefois entre ces deux -là et celle qui est relative à la limite de suites de valeurs discontinues variant dans un sens unique, il existerait plutôt le rapport que voici : La dernière est en réalité le premier principe, en tant qu'elle permet de passer des limites les plus élémentaires qu'on peut imaginer, comme les limites de fractions décimales posées par nous comme fondement, aux propositions générales I et II. Mais l'expression la plus générale comprenant tous les cas particuliers est certainement la proposition I.

La limite dont II affirme l'existence dans les conditions énoncées peut sans difficulté se représenter numériquement, comme nous allons le montrer. Mais les hypothèses qu'énonce celte proposition peuvent se ramener aussi facilement à celles de la proposition I. Voici une démonstration concluante de la proposition II.

Supposons que f{x) augmente sans cesse pendant que a; croit indéfiniment, qu'elle ne dépasse pas une quantité fixe, et

?u'elle ne reste jamais invariable à partir d'une valeur de x. I y a a4ors dans tous les cas un plus grand multiple a, de l'unité de longueur que /■(»:) dépasse en croissant, sans quoi cette fonction croîtrait au-delà de toute limite. La fonction f{x) ne peut pas atteindre le multiple suivant, car elle devrait alors le dépasser en vertu de l'hypothèse qu'elle ne reste jamais constante. Partageons maintenant l'étendue qui s'étend de a^ à «a 4- i en dixièmes de la longueur unité. Il y a alors un

plus grand multiple «i de -rj: f«, < 10) qui sera dépassé par f{x) — «a , tandis que a, -|- 1 dixièmes ne seront pas atteints, f{ce} varie ainsi, à partir d'une valeur suffisamment grande de ce, entre œ, a, , et a.„ ai -j- 1. Puis elle varie, à partir d'une valeur plus grande de co, entre «„ «i «a et k„ «i «2 -|- 1, etc. Soit

Quand /'(a:), poura' — a!p adépassé la quantité a„, « on a. pour x >■ a.y

v.a. «I «3 . . . "p <: f(x) < «f, a, 0.2 . . . (Cp + 1

ou f{x] — %o, =^i «2 ■ . . . «p < JQ^

On a aussi

Si donc on retranche celle deuxième différence de la précédente, on a i forliori

et on peut rendre celle différence aussi petite qu'on veut, en prenanl p assez grand , el, par conséquent, en choisissant assez grande la limite inTérieure des valeurs de x. Y est dont la limile de f(x), C. Q. F. D.

De ce que f (ic) croissant constamment ne dépasse pas une limite finie on àeduira la condition de la proposition I, à savoir quef[xi) — \\x),CBi £f X, quand x croît indéfiniment a ptur limite zéro. Si, en effet, il n'existait pas de valeur ;<;' telle que pour »'<»«' xi, la différence f{x,) — ï{œ) ne dépasssât plus une quantité «, prise aussi petite qu'on aurait voulu, il y aurait nécessairement pour toute valeur de x, une valeur plus grande aîi, pour laquelle /i;a!i} — /(a) <> e. Et si on forme une suite

illimitée de pareilles valeurs x, a-i, Xi, de f(x,) — /l^x) > e,

résulte f(xi) — f[T,) > e, etc. de sorte que f(x) croîtrait indéfiniment, ce qui est contre l'hypothèse.

J'ajoule h celle élude du principe de convergence des propositions oomplépenlaires, La condition de la première proposition, que f{s:i) — t'(x) doive tomber au-dessous de toute limile, peut-être parfois, surtout dans lo cas de variables imaginaires , avantageusement remplacée par une autre , comme on va le voir.

III. — Si le quotient ft-y a pour lim I grand x et Xi croissent indéfiniment, f[x) passade toujours une limile. Seulement f{x) peut aussi, sans que cette r.ondilion soif remplie, avoir une limite, si zéro ett cette limite. Alors, au lieu du quotient simple c'est "if 'i 'V "^ ' °" "^ '^ ""^ valeur arbitraire, qui apour lim 1.

Si (^Û a pour limite 1, f{n) m peut croître au-delà de toute

limite, car pour x, > x, ce quotient pourrait prendre une suite da valeurs aussi grandes qu'on voudrait. Mais si f(xj ne peut crotlre au-delà de toute limile, d résulte de l'égalité

fX^>) ^ „ n^ù - {f«) ■

que f{xi) — /■(?) il pour lin zéro en même temps que '-^ — 1. Puis de

rM - f{x) = i\«) + . Cfefe - 1 )

il Tésulte/que le second facLeur s'évanouit en mBme temps que A^O — /(^)i ^^ réciproquement.

IV. — Si la différence de dem? fonctions f{ie,) — f {x) tombe au-dessous de toute limite quand x et Xi croissent indéfiniment, f{ai) et <f (a;) onl chacune wne limite, et ces limites sont égales,

Onae suppose auouoe relation entre x&iasi. Qu'elles soient égales ou inégales, /j^a:,) — f{a-) doit avoir pour limite zéro. Ecrivons

f{cc,) - ç (iC) ^ /ïx.) - f{x) + [1{x) - f (X)] f{x,) ~<f{x]=^ lx>) ~<i(ço) + [/(a;,) - f (x,)]

li s'ensuit que /(ce) et <fi (ai) ont chacun une limite, et de lim (/{ai) ~~ (f {x) ^ résulte que ces limites sont égales.

Nous en avons fini avec le principe général de convergence. La discussion du principe de divergence exige maintenant que nous considérions la marche finale des fonctions qui n'ont pas de limite. Il intervient là, au lieu d'une limite, deux valeurs limites que j'ai appelées limites d'indétermination, et dont il est question dans 1 article suivant.

68. —Limites d'indétermination. — La fonction /(j::) ne peut évidemment, quand œ croit indéfiniment/ que posséder une limite ou n'en point posséder.

Dans le second cas, /\x) peut ou bien prendre des valeurs qui, en grandeur, soif dans le sens > o, soit dans le sens <^ o, soit dans les deux, laissent en arrière toutes limites, ou bien /\x) devra nécessairement rester comprise entre des limites déterminées, et puisqu'elle ne doit pas avoir de limite, oscillera indéfiniment.

Examinons de plus près le dernier cas. On sent que, de quelque manière que se fasse cette oscillation, elle doit, suivant les vues de l'Idéaliste, finir par se produire entre des limites déterminées Des éclaircissements précis sur une pareille marche finale de fonction sont fournis par la proposition suivante relative aux limites d'indétermination, par sa démonstration et les considérations qui s'y rattachent.

V. — Si une fonction f[ic), a; croissant indéfiniment, reste comprise entre des bornes âmes, il existe deux quantités fixea U et 0, entre lesquelles îi^x) oscille à partir de valeurs suffisamment grandes de œ; ou bien elle en approche autant qu'on veut, ou bien- elle finit par les dépasser d'aussi peu qu'on veut; ou bien enfn, sans les dépasser, elle leur est égale un nombre indéfini de fois.

Ces quantités r/ et 0, nous les nommerons limites d'indétermination de la fonction f{x}.

Tout d'abord il doit y avoir pour chaque valeur de x une plus petilo quaiiLité o (x), que ne dépasse plus f{x + ?), ai grand qu'on imagine l, puisqu'on suppose que /'(x) ne peut pas croître indélinimenf. (Art. 64, I et complémenls). La quantité o{x), quand w augmente, ne croit pas, parce que c'est la plus peiite que fUc) ne dépasse pas. Mais alors comme elle ne peut tomber au-dessous de toute limite, il existe nécessairement (art. 67) une quanlilé déterminée 0, telle que — o{x-i-l) puisse tomber au-dessous de toute limite pour a: suffisamment grand. Nous nommerons la limite supérieure d'indélerminalion. — On arrivera de même à l'existence de la limité inférieure f d'indétermination. — C. Q. F. D.

A cette démonstration de l'existence des limites d'indétermination et f/je joins quelques éclaircissements et quelques exemples.

1. — Gomme nous le monlrera un examen plus approfondi h. propos des enveloppes d'indétermination, il y a tout d'abord au point de vue de la fonction (-{a;} deux cas à remarquer. Ou bien f[x), pour,c suffisamment grand, admet dans rintervallo [x, 00 J une limite supérieure, qui lorsque x croU indéfiniment reste invariable dans ce cas o(i) est constnnle et égale ù, 0,

gui est alors la limite supérieure d'indétermination de f{x). u bien la limite supérieure de f(os) dans l'intervalle (*, oo) diminue quand x augmente : C'est le cas où o{x) est variable et ne l'ait que diminuer jusqu'à 0.

Pour parler comme l'Idéaliste, la fonction f(x) oscille fi l'infini entre les valeurs et U, auxquelles elle redevienL sans cessé égale.

2. — On a coutume de dire d'une fonction dont les limites d'indélerminalion et 6''difl6renl (car elles peuvent aussi être égales) qu'elle est indéterminée pour œ ~ oo , Lorsqu'elle est continue, cela signifie qu'elle prend un nombre illimité de fois toute valeur derintervalle (i7+ e, + si), où e et si , qui peuvent s'annuler, sont d'autant plus petits que les arguments sont pris plus grands. On peut exprimer cela analyLiquement :

km (\œ) — -^ h J —2 —

oÙlJ représenle toute valeur de l'intervalle (— 1, -\- 1). C'est dans le signe qu'est renfermée l'indétermination de la limite.

Si au contraire f{x) n'est pas continue, elle peut ne pas prendre toute valeur comprise entre et U, et alors j ne désignera que + 1 et — 1, ou bien ces deux valeurs ainsi qu'un nombre convenable de valeurs intermédiaires.

Il n'est peut-être pas superflu de faire remarquer la difîéreoce qu'il y a entre le signe ^ et le signe ordinaire 0, qui,

chez Gauchy, désigne d'habitude une valeur mconnue entre zéro et 1, pa-r exemple, dans les considérations sur le reste, où une valoui" comprise entre œ et a? -|- A est désigné para; 4- ©A, < < 1. Cette ignorance subjective marquée par 0, d'une valeur déterminée appartenant à un inlervalle connu, est naturellement tout-à fa^t distincte de l'indétermination objective représentée parj.

3° Poui' donner quelques exemples de limites d'indétermination, soit d'abord f{x) := ces i. x. f{iii) oscillera entre — 1 et -f 1, prendra ces valeurs un nombre illimité de fois, mais n'ira

pas au-delà. Si on pose ensuite /(a;) — e ^ cos f.:«. et f(x)-=

e*cos a a;, les limites d'indétermination de ces fonctions seront les mômes, seulementla première n'aiteindrajamais les valeurs — 1, + 1, la deuxième les dépassera toujours. Dans les fonctions qui ont — 1 et + 1 pour limite d'indétermination, la limite est^'. Ainsi

Je citerai ensuite des fonctions qui ne varient que par sauls brusques. Nous pouvons en définir de telles que f{x) pour fK^x <i, n -\- i [n étant un nombre entier) ait une valeur" constante ç(n), où f est une fonction donnée. Posons, par exemple, ç (n) = sln n —, f{x) aura encore ies limites d'indétermination -(-1, — 1, si wi est pair. Au contraire, si m est impair, les limites d'indétermination sont + (l — S'^^ij— ). —

Lorsque on posetf [n] = w, -|- Ma + + M„,c'est-ii-dire

f (n) =: la somme des « premiers termes d'une série, les limites d'indétermination s'introduisent dans la théorie des séries, oîi elles rendent des services tout particuliers.

Géométriquement on représentera les limites d'indétermination par deux parallèles à o œ, d'ordonnées C'etO. La fonction /(œ) qui, si elle est représentable, est une ligne s'étendant à l'oo dans le sens de a; ^ o, peut d'abord avoir une variation quelconque; elle finit par se renfermer de plus en plus dans la bande comprise entre U et 0, si elle ne s'y trouve pas tout d'abord,

69. — Principe général de divergence. — Nous pouvons maintenant démontrer géométriquement le principe général de divergence qui s'énonce ainsi :

VI. — Si la différence f(a!i) — i{x) ne reste pas au-dessous d'une quantité aussi petite qu'on veut pour toutes les valeurs X et X, supérieures à une valeur de grandeur suffisante, {{!.•] n'a pas de limite déterminée.

Pour le démontrer, examinons [ous les cas possibles dans la marche finale des fonctions. Quand f{x) croît ou décroît audelà de toute limite, /(a^i) — f{œ) peuE toujours 61 re aussi grand Su'on veut. — Si en second lieu /(ic) varie entre des bornes nies, et que les limites d'indéterminations et Cqui alors existent toujours soient différentes, /(ic) (înissanl parêlre aussi voisines qu on veut de et f, la différence /{a:,) — /(y), i»i >a;, peut devenir d'autant plus voisine de la différence — U que œ est plus grand.

Enfin supposons et f7 égales entre elles. Si o {x) et u {^) désignent les limites supérieure et inférieure de /(ic) dans l'intervalîe (cç, q^), on a dans ce cas.

Km = o{ce) — Um u (,v) — ~z U

Mais puisqu'on a toujours o{x)>f(x) > u (a], quand 0= U,\b. différence f(œi)~f [x) doit avoir la limite zéro, pour X et Xi infinis.

Il y a ainsi 3 cas possibles :

l°La fonclion /" (;») ne varie pas entre des bornes finies déterminées.

2" Elle virie entre des bornes finies déterminées, mais ses limites d'indétermination sont différenles.

3° Elles sont égales entre elles.

Dans le 3™ cas seulement, d'après ce qui précède, la limite de f (a), ) — f{x) est nulle, de quelque façon que x et Xi croissent indéfiniment. Si f(xi ) - f{x) se comporte autremeni, on ne sera pas dans le 3"' cas f{ii:) aura alors des limites d'indétermination différentes y et Î7, ou bien, en général, elle ne variera pas entre des bornes finies ; et dans ces deux cas, te processus infini représenté par f{x) (>st appelé divergent.

Par là le principe général de divergence est mis en évidence et la connexion entre la marche finale des fonctions et celle de la différence / (xi) — f(x) se trouve établie en toute généralité.

Nous avons été conduit par cette démonstration à des considérations générales sur la marche des fonctions à l'infini, que nous ne pouvons pas encore arrêter là. Les limites d'indéterminalion sont déjà des points fixes parmi la multiplicité que présente la marche de la fonction. Mais il surfit de pénétrer un peu plus avant dans les possibilités qu'embrasse cette multiplicité pour découvrir encore des lignes fixes qui accompagnent à l'infini toute variation, ai osoillanle et si accidentelle

qu'elle soit ; cela pormeL h maintes éludes analytiques sur la convergence de faire abslraclion des oscillaLions et leur conserve l'avantage de n'avoir affaire qu'à des tondions variant dans un sens unique. Les lignes lixes qui sont propres à toute variation illimitée, je les nomme enveloppes d'indétermination. En voici la description et la théorie.

70. — Théorie des enveloppes d'iadétermination. — Nous ne soumettons actuellement la marche des fonctions à aucune restriction : / {x) peut rester flnie ou dépasser toute borne. Tous les cas possibles que peut présenter sa marche sont de trois sortes :

i° Ou bien f {x) atteint, si x croit à partir d'une valeur suf-. lisamment grande»;, des valeurs revenant constamment qui sont supérieures à toutes les précédentes depuis ic. L'Idéaliste dirait que, <» étant supposé > X, f (a;) ne prend que pour 01 :^ 00 sa valeur (inie la plus grande possible ou sa valeur infinie. C'est là la première espèce de variation des fonctions. Où bien /'(*). quand x croît, prendsans cesse des valeurs qui ne sont dépassées par aucune valeur suivante. — Gela fournit les deux autres espèces de variations de fonctions :

2° /"i^) prend sans cesse, a; croissant, des valeurs qui ne serontjamais plus atteintes.

3" f{J^) atteint sans cesse, à partir d'une valeur X de a; une certaine valeur qui, pour de plus grandes valeurs de l'argument, sera toujours atteinte mais non pas dépassée.

Ces distributions permettent de resserrer en général la variation illimitée des fonctions entre des fonctions ne présentant pas d'alternative de croissance ou de décroissance.

1. Dans le premier cas, faisons croître <e à partir d'une valeur X sufilsammenl grande et construisons une fonction toujours croissante 0(ic), comme il suit :

Soit d'abord X, la 1'^ valeur de i" < X, pour laquelle l{x) n'est pas moindre que pour une valeur précédente quelconque

de x(X<x < X,). Dans l'intervalle X X,, soit 0{x)— f[x)

Soit ensuite 0(33} HZ /(ic) pour toutes les valeurs ic (à partir de Xi) pour lesquelles t\x) est plus grande que pour toute valeur antérieure de ^. Pour les autres valeurs <e, 0(x) est toujours égal à la dernière valeur (*•) qui était égale à f(x].

2. Si /{x), X croissant, prend sans cesse des valeurs qui ne seront plus atteintes, soit X la 1" de ces valeurs. Dans ce cas, définissons une fonction 0(ic) n'augmentant jamais, telle que (ic) :z: /"(a;) pour toutes les valeurs qui rendent /(x) plus grand qu'il ne sera désormais. Pour les autres valeurs de

x> X, soil 0(.fi} égale à lai" valeur suivante de f{x), qui sera égale à 0{œ).

3. Si f{a;), à partir d'iino valeur X de œ, prend sans cesse une valeur qui sera do nouveau toujours atteintft, mais jamais dépassée, soit 0[ie} égale à cette valeur.

Dans la construction que je viens de décrire, j'ai en vue de mettre hors de doute do la manière la plus rapide et la plus générale l'existence dépareilles lignes renl'ormant à l'infini tout procossus illimité. Mais il existe évidemment des Fonctions en nombre infini variant dans un sens unique, qui se comportent exactement de la même manière à l'égard de la marche finale de /"(a;). Le point essentiel doit être maintenant placé dans cette manière de se comporter, et la nature des enveloppes d'indétermination importe peu pourvu qu'elles fournissent les mêmes r JsuUats que celles décrites plus haut. Déterminons donc le concept des enveloppes d'indétermination par îa proposition suivante :

VII. — Soit donné une fonction quelconque î(x) d'un argument X que nous faisons croître indéfiniment, il existe alors toujours deux fonctions (x) et U (^r) guipossèdenl les propriétés suivantes :

1. Chacune de ces fondions varie dans im sens unique mais peut aussi être constante.

2. X croissant sans limite, (œ) — f (ic) s'annule un nombre illimité de fois aussi bien que î{x) — U {x).

3. On a toujours {x) > ï[x) > U (ce), mais dans le seul cas oU {{x) elle-même varie dems un sens unique (a;):r:f (ic) =: \]{x).

4. Lorsque les fondions (x) et U(j;) ont des limites, ce sont les limites d'indétermination ei U rfe ï{x].

Toute fonction possédant les 4 propriétés précédentes doit s'appeler enveloppe d'indétermination. La fonction f(x) oscille entre elles. Par enveloppe on entend ordinairement, au sens de Monge, des figures imaginées autrement que nous venons d'indiquer. Toutefois on me passera cette dénomination à cause du caractère enveloppant dos fonctions 0{x) et U(x).

Mon concept des enveloppes d'indétermination va déjà nous servir pour décrire rapidement la marche des fonctions. En effet,

1. Les enveloppes peuvent, toutes deux dans lo sens > o ou toutes deux dans le sens < o, ou l'une dans le sens > o, l'autre dans le sens < o, dépasser toutes bornes.

2. L'une peut dépa&ser toute borne, > o ou < o, l'autre avoir une limite.