III. rt

1 + Ax

V. Outre ces fonctions anorLhoïdes et ortboïdcs parLicuîièpes, je citerai encore le groupe de fonctions

qui, suivant l'acrcoissement relatif de p, ntf , \ip , représente louto une éclielîe d'orthoïdies et d'anorthoîdies (Art. 63).

Les fonctions I sont des exemples de fonctions non complètement données. Il va de soi que nous pouvons compléter ces fonctions, suivant nos besoins, en pourvoyant aux valeurs d'argument auxquelles ne répondait rien.

59. — Valeurs de fonctions directes et indirectes. — Etudions maintenant ce qu'il faut entendre au sens le plus général par valeur de fonction.

On dira que ffai) est simplement la valeur de fonction que k formule de ta fonction fait correspondre à œ. Cela est rigoureux; seulement à ces valeurs de fonction directes peuvent e'en a^jouter d'autres qu'on est fondé à considérer comme valeurs de ffxj non pas seulement par ce que les applications y conduisent, mais parce qu'on les juge telles d'un point de vue purement abstrait. Elles apparaissent quand on forme la valeur directe f(xj pour un point œi ^ x, qu'ensuite on intercale une suite de valeurs œ^ xs .... entre Xi et x, qui s'approchent indéfiniment de x, et qu'on cherche la limite de la série

/"C'^'iA A'^'s)' f^i^') On arrive ainsi par une vois indirecte à

des valeurs fix), qui peuvent différer de celles qu'on obtient directement. Nousles nommerons valeurs de fonction indirectes.

Une fonction rationnelle et entière de x ne possède pas de ces valeurs distinctes des direclaa. Sin a;, e'j et les fonctions de ce genre n'en ont pas davantage. Considérons au contraire

la première fonciion I de l'article précédent. Pour a: =; -g-

6 AO.S), /(0,33), etc.,

yGoosle

On désignera une valeur de l'oiiolion indirecte correspondant ho) par Hm ^/'f a; + i).Otidevra, bien entendu, ajouter

par quelle série de valeurs positives ou nâgalivea on fait variera. Complétons, par exocuple, la fonction I en faisant correspondre zéro à toutes les valeurs d'argument qui sont libres. 1 reste la limite de la suite f{0,^. f{0,S3),. . . ; pourtant, quoique les valenrsd'argumenLg-g, 3-5,^,.... tendent verset géro est

la limite de /"(g^^jj /(o)'"'"

Dirichlet (1) a recours pour Hm /(ic-fs)àune notation

abrégée dont nous ferons souvent usage. Il écrit

f(x + o]Btf{x-o).

/■(j; -f 0) désigne les valeurs indirectes pour une suite de valeurs positives de e. I! doit être indiqué en outre, si c'est nécessaire, quelle est cette série de valeurs que prend t. Si on ne le fait pas, /"(«-!- ") P<'i"'i''' '''^^'S"^'^ ^^"■^^n^^l^ de toutes les valeurs positives indirectes. — De même pour /"(» — 0).

Dans toutes les fonctions IT, 111, IV, se présentent des valeurs indirectes distinctes des directes.

Dans la Jonction 1I„ , qui est 1 ùu zéro selon que l'argument est rationnel ou irrationnel, à toute valeur de l'argument répondent à la fois les valeurs indirectes zéro ou 1.

Pour la fonction ITj , les valeurs directes sont «éro ou

suivant que l'argument est rationnel ou irralionncl

Ih Pi . . -Pr

et de dénominateur pi^ipiCi- • ' p^^,' Aux yeux de l'Idéaliste, soit dit en passant, cette derniôrc détermination peut comprendre les valeurs irrationnelles ; il suffit de concevoir les irrationnelles comme des fractions dont le dénominateur coniient des facteurs premiers en nombre infini ou infiniment -grands. Une irrationnelle peut encore naître, p restant fini, de l'accroissement des p. Les valeurs indirectes existent pour toute valeur de l'argumenL en nombre illimité. Pour toute valeur de l'argument on a les suivantes :

parce que dans un petit intervalle renfermant une valeur d'argument il se présente des nombres delà forme

(1} Repertorimu der Phjaîk Vuu Dovo ùiitl Moaei', tome 1, \>. 170.

Quant à la lonclîon II c, ses valeurs iiidirocles sont toutes zéro, parce qu'on peut limiter autour deehaque valeur d'argument un intervalle où n'apparaisse aucun nombre rationnel de dénominateur w, pa " ' j)/'' inrérieur à un nombre choisi aussi grand qu on a voulu.

Absence des valeurs de fonc}ion pnur certaines valeurs d'argument. — H n'est pas rare de voir les valeurs de fonction directes faire défaut pour des valeurs d'argument particulières. Les fonctions IIJ en fournissent des exemples. Car, puisque

pouric = o, — esf dépourvu de sens, toutes les fonctions III pour iK zz: cessent d'être données. Il en va de même de X sin — Tcar sin j^ ne représentant aucune quanliLé,onnepeut

dire que sin-rr-soit égal à zéro.

/Ca;;= — aies valeurs indirectes /■(O + 0) — -\~-x, ;/'{0-0)

— — co; c'est-à dire que a> tendant vers zéro cette fonction croît ou décroît indéfiniment.

/(ic)zisin — a comme valeurs indirectes les valeurs indéierminées entre — 1 et + 1-

/ïic) — ê^ a les valeurs indirectes AO + 0) zz + oo , /lO — 0) = 0. En généralpla non existence des valeurs de fonction se présente toutes les fois que pour une valeur d'argument la fonction est infinie, comme on dit souvent; car nos opérations analytiques sur les quantités pouvant fournir un accroissement indéiini, mais non point î'inflni de l'Idéaliste, il faut, quand une fonction semble devenir infinie en un point, que l'illusion se traduise

dans quelque symbole dépourvu de sens comme — pour x :=0.

Lorsque les valeurs directes, comme dans les exemples précédents, n'exislentpas, rien ne nous empêche de les rélablir

conformément à notre but. Ainsi la fonction su sin— devient une

fonclion complÈtement donnée, dès que j'ajoute la condition que pour x ^=0 elle soit nulle.

ValearsUmiles indirectes. — Une troisième espèce de valeurs de fonction joue encore un rôle en analyse et doit tout au moins èlre mentionnée ici. Elles se présentent dans les fonctions définies comme résultats d'un passage à la limite. Les i'onctions IV en sont des exemples.

Considérons lu fonction /■{«;):= /i>ft,__ "ï. h^i On oblient, la t'oncUon définie commo limite, ici et dans tous les cns analogues, où on n'a pris aucune disposition, en donnant d'oèorrf à œ une certaine valeur d'argument déterminée, et en IttisanteniMïd; A infini. On trouve ainsi les valeurs directes ,■/ V >■ 1 4- Ax "1, <: . ,

f[x) = hm, \ ' j ~ h^ ~-^ P°"'' ^ > 0. et 1 pour sc-::io. Les

valeurs indirectes pour a; r; o sont + oo et — te .

On obtiennes valeurs lirailes indirectes pour un argument X, en mettant à la place des ce dans l'expression qui suit le signe Uni une valeur d'argument différente de x, savoir x -\- s., et faisant ensuite en même temps h infini et s nul, ces doux variables devant être alors liées par une relation. De

1 + A (iC + e)^ ' ' ' 1 + Ae^

La relation entre e et A sera, par exemple, s.h^ y. L'expression précédente devient

1+ f h dont la limile pour A — co est 1 + ï> c'est-à-dire, puisque y est arbitraire, une valeur quelconque. Les valeurs limites indirectes remplissent ainsi la distance entre les deux valeurs de Conclions extrêmes i]ui ici sont indirectes. lien est de même des autres fondions IV. La fonction Itm arcig hx a, pour

iO = o, la valeur directe zéro et les valeurs indirectes + S- et

— ~. Ses Videurs limites indirectes remplissent, comme on le voit aisément, l'intervalle des valeurs de fontions indirectes ±; ^ ■ Seulement ii faut aussi bien remarquer que 'les valeurs

limites indirectes peuvent sortir de l'intervalle limité par les valeurs de fonction directes ou indirectes,

60. — Du saut des fonctions. — La plus grande différence entre les valeurs d^une fonlion directes ou indirectes, pour une valeur d'argument particulière, est d'un intérêt spécial. Nous nommons, *aMf celte plus grande différence. Par exemple, tt est le saut de îim' arcig hx pour x t= o.

. La fonction II. , qui est 1 pour les arguments rationnels et zéro pour les autres, a pour tout argument une valeur de saui égale ii 1.

Dans la fonction II;, , qui pouL- tout argLimont do la l'orme Z 1 p, oj a, prend la valeur — ■ , el pour louL aulre

est nulle, le saut esL -^ pour tout valeur cle l'argumeat.

Z Darislafonolion Ile, qui pour as — pi pj... p.- acquiert Pi V^ P' la valeur p, p^ p^. et est nulle dans les autres cas, le

aàul est pour ces valeurs de a; égîil &. pi a^ o, et, pourx

j'i p, . . .J*' irrationnelle, il est zéro.

Dans ces fonctions de construction extrêmement simple, le concept du saut n'offre aucune difflcuUé. Mais on peut dans des fonctions plus compliquées voir de moins près le sens précis de ce qu'il fautentendre par valeurs indirectes extrêmes. Dans la plupart des applications, il suffit d'une quantité lellê que le saut de la fonction peut en être considéré comme la limite, à savoir l'oscillation de la fonction, c'est-à-dire la plus grande difTérenco des valeurs de fonction dans un intervalle suffisamment peiil enlourant un point. Cette différence maximum est aussi en général une limite de différences de valeurs de fonction dont nous établirons plus loin l'existence. Elie est une limite, car Irs fonctions ne prennent pas ordinairement les plus petites valeurs qu'elles Be dépassent pas, ni les pîusgrandes auxquelles elles ne deviennent pasinférieures.Les fonctions de l'article 58 en sont des esemples.Ainsi ia fonction la ne prend jamais sa plus grande valeur 1.

C'est de cette limite des différences des valeurs de fonction que le saut est lui-mSme la limite, obtenue comme il suit. Considérons une valeur d'argument x et formons l'intervalle

Soit, dans cette intervalle', g„ la petite valeur que ia fonction ne dépasse pas, £»„ k plus grande nu-dessous de laquelle elle ne descende pas, et dont nous démontrerons plus lard l'existence. Quand 5 diminue, ff„ ne peut pas augmenter, ^u ne peut pas diminuer, el tous deux ont donc, en vertu de la proposition II du chapitre suivant, des limites déterminées Ga et Ga, — si, pour plus de simplicité, nous admettons que les valeurs de lonclion.qui interviennent dans le calcul sont comprises entre

cleslimites [inics. La c|uanl,iL(5 f?„ — f?„ est le saut de la fonction aa point ic. Il ne reste plus qu'à montrer que lorsqu'on prend pour base l'intervalle (a; — 8„ x -j-Sj), où Si et Si deviennent nulsen restiintrun àl'ég.ard de l'autre dans un rapport quelconque, on obtient la mCmo limite (?„— (?„. Supposons 5, >Si. et intivduisocis de nouvelles notations. Soient les intervalles

Je désignerai parles' les valeurs g de l'iotet'valle A„, . Aaa est conlenu dans 4i2, Au dans An '■ On a donc

La limite de Oq ne peut donc être autre que G„, celle de

(fi)

ffu que Oï. Il l'aut encore remarquer qu'on peut distinguer aussi des valeurs de saut unilatérales corres pondant à la limite de i)o et de ffu dans un intervalle (x — 5, x] ou {x. x + S). On désignera enfln à la manière de Dlrictilet ces valeurs de saut comme répondant à l'argument x — ou à l'orgument x -\- 0.

61. — Da la coatinaité des fonctions en un point particulier de l'argument. — Une fonction est dlla conlinm pour une valeur particulière d'argumentic, si pour celte valeur le saut est nul. Le point est alors un point ds continuité de la fonction. Elle est dite discontinue en un point, si en ce point le saut n'est pas nul. Quand la fonction croît au-d-elà de toutes limites dans le voisinage d'un point le, ou qu'elle devient infinie au sens idéaliste au point môme, elle est ('■gaiement diswnCmue ; en un pareil point en effet, il ne saurait exister de valeur do saut puisque ffo ni ffu Qû peuvent être déterminés. Le saul, ne pouvant être évalué, n'est pas nul.

Nous devrons ici encore distinguer une continuité unilatérale. La fonction /■(a;) sera, par exemple, continue pour un point X — 0, si la valeur de saut pour x — est nulle.

Si nous parlons non pas de lu valeur de saut de la fonction, mais de sa différence maximum de valeur."» dans une étendue, différence dont le saut est la limite, nous énoncerons ainsi la condition de conlinuité :

La fonction /"(x) est continue au point x, s'il est toujours possible de limiter autour de ce point un intervalle a-sez petit pour qu'il ne s'y trouve aucune différence des valeurs de fonc-

tion/(ic} supérieure il une quaiiLîLé prise aussi petiLe qu'on aura voulu. Ge qui veul dire, en langage analytique : Soient Ë et El deux quantités de signes quelconques. I^a conlinuilé de f{x) au poinc x fait qu'il y a toujours aux valeurs absolues de e et Ea une limite supérieure assez pel.îte pour que la valeur absolue de la différence

r(a; + =)-/(« + .,) reste au-dessous d'une quantité prise aussi pelitc qu'on aura voulu.

La condition habituelle, qui sert pratiquement à établir la conlinuilé, s'énonce un peu autrement. Il n'y est question que d'une quantité e, et elle exige qu'on puisse donner à la valeur absolue de e une limite supérieure assez petite pour que, abstraction faite du signe, f[x) -~ f(x -f- s) reste au-dessous d'une quantité choisie aussi petite qu'on aura voulu. Les deux énoncés reviennent évidemment au même, car dans la première expression qu'on peut mettre sous la Jorme

[Aa> + .)-/■(<«) ]-[/!■» + ■.)-/(«)] chacune des deux parties doit tomber au-dessous de toute limite, et, la deuxième expression résulte de la première quand on fait ï ou 6| nul.

Si on prend pour la condition de continuité l'expression

on voit immédiatement que si la Viileur f(x) n existe pas, le point iC n'est pas un point de continuité. It ne pourra le devenir que si, pour la valeur de fonction qui manque, un fixe à volonté une valeur propre. Ainsi la fonction x sin - au point a" n: o ne

peut être regardée comme continue que lorsqu'il e.st posé qu'elle est nulle pour x ::= o.

Pour ce qui est des fonctions de l'art 5S, il no saurait être question do continuité à propos des ('onctions I non complètement données.

Des fonctions II, II a ni II h ne sont continues pour aucun point. La l'onolion le est continue pour tous les points irrationnels, discontinue pour les points rationnels.

Les fondions Itl et IV sont toutes — et celles du groupe V sont en partie — discontinues au point at =:= o.

62. — De la continuité des fonctions dans un intervajle. — Si une fonction est continue sur une étendue, non seulement la valeur du saut est nulle en chacun des points, mais encore cette fonction se fait remarquer à propos des plus grandes différences de fonction qu'elle présente dans un intervalle de cette étendue de continuité.

Nous avons vu plus haut qu'une fonction peut ne pas prendre réeHemcnl. la limife supérieure de ses valeurs dans un inlervalle (Fond. 1 a de l'art. 58). Encore nous faudra-l-il démontrer l'esislence d'une pareille limite supérieure. Je vais m'appuyer ici sur une proposition qui sera démontrée plus loin (Art. 64, III), k savoir que une fonction continue dans un intervalle y possède réellement des vaîeurs maxima et minima, et non pas seulement des limites supérieure et inférieure. D'après cela, l'oscillation ou lu plus grande différence de valeurs dans an intervalle de la fonction continue est la différence de deux valeurs que prend réellement la fonction dans cet intervalle. Soit (a!i, aïs) l'intervalle, f(x) la fonrtion. Son oscillation dans l'intervalle (,^i, xa) a donc la forme f(x") — flço'), abstraction faite du signe,

Si une fonction est continue en chaque point d'un inlervalle, ses rapports aux valeurs voisines sont par là établis en chaque point et, par conséquent, de point en point, pûur tout l'intervalle. Pour exprimer de pareils rapports, bornons la fonction continue à l'intervaîle {0, 1 ); mais imaginons que !a fonction se prolonge dans la direction œ > 1, poor la voleur /( 1 ), et dans la direction ce <. o, pour la valeur f[o), afin de pouvoir traiter aussi les extréniilâs de l'intervalle (0, 1) comme des points intérieurs. Puis introduisons certains intervalles ^.

Les inti rvalles &. — Soit M la plus grande différence de valeurs de fUa) dans l'intervalle (0, 1) et (». une quantité < jtf. En outre, soit i l'intervalle maximum qu'un point iic partage en deux parties égales, — ( et que nous regarderons comme correspondant h ce point) — où l'oscillation atteigne la valeur [>.. Je remarque expressément que les intervalles d> ne sont pas liés à l'intervalle (0, 1). Au contraire, i cause de la précaution prise au sujet de la continuation de ffxj, ils peuvent dépasser les limites et 1 ; et, pour les points voisins de ces limites, cela aura toujours lieu, x el^ déterminent évidemment A, et voici ce que l'on peut dire de ces quantités.

— SuppO.sons d'abord x fixe.

i diminue et augmente en môme lemps que |j.. Si |i augmente. A peut ne pas croître d'une manière continue comme le montrent des figures faciles h construire ; mais il doit croître sansinterruplion. Car si on supposaitqueiA variant de |j^i &m , A restât constant, mais qu'd possédât pourri <[)ii uqe plus petite valeur A', qui pour [J- = [»., deviendrait égale à A une diflérencc cïe valeurs \^i — ]ii de la l'onction /(œ) devrait nécessairement tomber dans la différence dosintervaîlesAelA'. Celle-ci se compose de deux intervalles qui ont zéro pour limite quand

A' tend vers A- Peu importe comment la différence [a^ — |j.| se disLrihuera dans ces intervalles, elle s'y conserve, ot, si on rend les intervalles de plus en plus petits, il y correspond au moins une discontinuité de f{x). Ainsi donc :

Si on imagine que [i. a-oisse ou décroisse d'une manière continue, 4 augmente ou, diminue en même Umps, sans prendre la même valeur pour deux valeurs de ij.. Mais i peut varier par sauls brusques.

En outre : Lorsque f{x] n'est pas constante autour de la valeur considérée de ce, ^et [j- tombent en même temps a't-dessous de toute limite.

En effet, si i reste supérieur h une limite ^j, pendant que il devient aussi petit qu'on veut, il ne peuty avoir h l'intérieur de Al aucune difîérence fonctionnelle. Mais si !a valeur de x considérée est située dans un intervalle ofi la fonction soit constante, A ne peut tomber au- dessous du double ne la dislance qui sépare x de l'extrémité la plus voisine de l'intervalle constant.

Nous avons considéré d comme ibnclion do \i. et nous posons A=î (^, 1*) puisque. A dépend aussi évidemment de a-. De ce que nous savons sur lii relation qui lie A ^ l* nous pouvons déduire ce qui suit pour la foncUon inverse j*— p(a?,4). Faisons décroître 1 d'une manière continue, là où 4, fonction de [j., passe brusquement d'une valeur 4, à une valeur différente Sii, — Il restera simplement constant, A variant d'une manière continue de Û| à i a .

Ainsi donc : Pour tout valeur de a; autour de laquelle i {x) n'est pm constante, la fonction y ::z ^ {x, A )Jom(>e avec A "î*dessous de toute limite sans jamais croître. Elle peut toutefois rester invariable pour des étendues de l'argument. Pour des points X autour desquels ï{x) est constante^ if.' fonction de£^, atteint le zéro plus vite que A ei reste alors nulle, pendant que A diminue encore.

Je remarque endn que pour les considérations qui suivent on pourrait aussi utiliser l intervalle miniOTMnt oii l'osciUaLion de la fonction atteint la valeur (j-, tout comme aussi dans les deux cas, les demi-iQterval!es(a> — A,^},(a;,fC -f i). Bornonsnous cependant pour le moment h nos déterminations de tout à l'heure.

Etude de la fonction ^^. i^( x, )>■ ), x étant !a variable. -^ Supposons maintenant !>. constant et étudions 4 comme Tonction de X. Ici se place tout d'abord une proposition que nous devons il M. Liiroth (•) :

(•) Math. Ann. VI. 319. —

^ est coniinupar rapport âx\ il a donc une valeur minima A^ et pren'l cette valeur pour aie aertame valeur de x, «?„,

l'reno'isdans l'intervalle (o;— ,5— , a; + i^J ou A

lin poinl Xi donl la disLance à x soîl S. On a itlors :

car jusqu'il (sf(iK, v) — 5 on pourra toujoui'sagrariclir-^ !p(a;i|i) sans que la différence masimiim de valeurs de f {ai) dépasse ^. Ed outre -n-ç {su, \f-) tie pourra être supérieur à ■g-(p (aï, [ji) -f S, sans quoi on pourrail élargir l'ioLervalle A- Mais de

{ T [«--^ - t^) ^ U (^. t^) + S |(p(a;. ,|^)>^(f (a?, |x}— S résulle

Oi' 5 élaof. la valeur absolue de Xi — :v., f {x, , [*.) — m (a;, u.) tomba axec Xi — a; au dessous de toute limite.

H est h remarquer que l'inégalité précédente, quand on récrit

— 2<îj£LJiLi:L£iîiJi)< 2

fixe des limites au quotient différentiel de ^ par rapport fi x qu0 ce quotient soit ou non déterminé. Ainsi donc f (x, |J.) es continu ; il existe une valeur minima /\^ de /\, et dans tous les cas au moins un pointée, OK.'^K. 1, auquel elle correspond,

Le minimum. ;\„ de \ z^ '^{v^). — La relation entre |j et 4o a beaucoup d'analogie avec celle qui existe entre [i. el A r^ tp (œ, \i.), quand x est flxe.

ûo tombe au desxous de toute limite. A une valeur. particulière ^ corresp'tnd une va'eur \^ déterminée, et si f»., varie. A varie aussi, diminuant ou augmentant en même temps ; mai Hkf peut n'être pas fonction continue de tf.. /\t doit tomber avec ^ au-dessous de toute limite, car, pour une valeur particulière

à&w, autour de laciLielk f(x) n'est pas constante, A^= f ("'i I*) tombe au dessous de toute limîLe. Ainsi pour !a valeur particulière iC| ,A„ comme minimum est toujours ^? (iCi . n).

En outre il résulte do la définition de /\o lu'à chaque \i. correspond un seul Ao- H faut encoro montrer qu'à deux \i. différents cotres pondent deux A» différents. Admettons que |j. ait diminué jusqu'à (i,, et qu'à ces deux valeurs de i* correspondent des miniraa Ào égaux. SoitiCole milieu de Aopourfj., Xj, pour fAi tSa ne peut tout d'abord ôtre égal h xi , parce que f [x, \!-), œ étant fiKe, varie avec \^. Mais, pour la môme raison Xi ne peut pas être ^ x„ parce que ç (iC„, |i, ) <Ai -^odoit donc

varier quand |i varie, et il doit pour la môme raisoii et à fortiori diminuer, .,

^0 peut n'être pas fonction conLinue de y; oommele montre la figure suivante sur laquelle on peut éludier la varialion de

Le trait accentué figure/)|ic),et nous supposons |i, <|-i. <H£ +\>-s. Alors le minimum Au sera > a jusqu'à ce que ;a s'abaisse îi n,. Dès que [«. ^- jj.,, A o devient b. —

Si au contraire A „ est l'argument, et jt. la foncdon, la relation [1 = P (ûo) est tout-à-fait analogue à la relation [j, = p (œ, A), pour un x détermin'^, autour duquel /\aj) n'est pas constante.

(i^z:Pfio) décroît quand ^i, décroît Sans jamais croîlre \ celle fonction peut, pendant que, ho diminue d'une manière continue, demeurer constante sur certaines étendues, mais elletombe avec Ao au-dessous de toute limile.

De ces simples considérations nous tirons aisément des propositions utiles sur la continuité des fonctions.

Do !J. = p (.c. A) résulte

r{cn)-f{x + ^) = f{a^,^). K,

yGoosle

où K < 2, et où p {x, /^) représente une fonction tombant en même lemps q.ie û, sans.ja,mais uroître, au-dessous de toute limite. En posant 2p (j;,^ ), zr r {ce, £i.), nous obtenons

comme Formule de di^linifion du la continuité. Elle est encore valable, comme on s'en rend compte aisément, si f{a}] n'est continue iju'au point x. Pour la nature de la continuité, !a fonction r(ic. A) est caractéristique. C'est la quantité que, j'ai nommée degré de coniinuité au point, x. {") J'y reviendrai plus loin.

Enfin, il résulte de jj- = P ( A o) que

pour tout point x de l'intervalle (0 1), — où P ( A} désigne une quantité décroissante avec£i sans jamais croître, et finissant par tomber du-dessous de toute limite.

Celte égalité sigoifif en somme que le degré de continuité (le la fonction i un minimum ce qui n'était pas plus nécessaire que le fait qu une fonction oit dinu un intervalle une valeur minimum puisqu elle peut tombai au-dessous de toute limite. Mali entaisint abstraotmn du degré de continuité que nous m \oulon5 pis encore débnu ici ivec une complète précision, \ iiLi I L qu jn déduit de 1 égaillé précédente : ■

P^ui irtue qi^antili £^ on peut déterminer une çuanU'ld [i d/ff lente de ^> j iellp que n supposant 5<^,e(0<if<l,

La différence f{xj — A" + ") tombe donc en même lemps dans IinteiVdlle entier au-dessous de toute limite, non pas à coup sut avec la même rapidité aux divers points. Mais on peut déterminer des quantités ^, , \t.a, ... se succédant aussi rapidement qu'on veut et y faire correspondre des intervalles Al. ^i' ■■ de telle sorte que pour S <ûi, < A a ,■■- A^^) —

(■)Ziu' Ciesctichto dor trigonomctriscîien Reihen, TubinpenH. Laupp, (page 41). Comptes rendus, 18 avril 1881. J'ai depuis amplement discuté cette matière dans un mémoire qui vient de pai'aitre dans le centième volume du Journal de MaUiématiques pures et appliquées (Ancien Journal de Creile), sous le titre « Ueber clen convergengraU der variahein Reihen und der stetigkeitsgrad der Funclionen zweier argumente. »

{loi -\- 5) soiL dans tout l'intervalle < [i, , |aj , ... Cette remarque importante a été faite pat' M. Heine (') qui a nommii cet état de clioses coHfmwii^ Mnt/br'»iÊ. Je n'aime pas celte dénominalion. Eilo éveille de fausses représentations, quand on est armé du concept du degré de continuité. On nommerait alors uniformément continue dans im intervalle une fonction qui y possùde tout le temps le même degré de continuité, comme pour toute valeur de a; les fonctions e', siw a;. El. c'est alors un théorème dû à Ampère que des fonctions ne peuvent être uniformément continues que si ^ eslje degré de continuité de f{x) — f{x -\-[^- Une fonction /ic ne serait pas unîforméuient continue dans l'intervalle o <(c < 1, car pour X ^z: o, \/^ est son degré de continuité. A mon avis, on se conlormo mieux aux faits, en nommant l'égalité

le pi nic/pf de hmitatmn du deg)é de continu t

63 — De la continuité anorthoide —la indili nd conti nuité &l!ntériei.r d unmtcniille Lnlipr inipli 1 1 n lii iioi) notable du concnpt g^neiil de fonclion iir i i i Lanj

5 ittacher trop d importance C Cit que r m Je

pouvoir noub (oi m i uop image conven ilil i i I unû.

ionclion soumise fi celte spuIp condili n i i l i hi,u poui les fonctions élément mes de 1 anal, SI Tioniln'! I Émpf iisLp(art 37 8) adô]^dil que lihgnp de dématcilion ou plutôt la zone de séparation des dipendinces orthoidn et morlliéld^ Icaveise le dûmamo dis funuUons continues de boiIo qu li t a une continuité anorthoide qui fait encore 1 objf t d un chapitr*intéressantdeîaltiéoriegénéialpde fonctions Ilyaplus Si on approfondit ces considbi al ons, on voit bientôt qup la contmuilé prttioîde a précisément le Ciiractère de l'e-foeption, de la parlicularité, vis-à-vis de la continuité anorthoïde qui e>t à priori beaucoup plus vraisemblable. Il faudra pourtant étudier cela avec plus d'exactitude dans la Ihéono du quotient différentiel. Je voudrais ici insister encore un peu sur notre impuissance, signalée par l'Idéaliste (arl. 39), à nous former une représentation do la continuiié anortboïde.

Je considère le groupe de l'ooctions V de l'arl. 5>i S \ ski, cùs {nipCCi {")

n Boicli. Journ. vol. î-l, p. 188.

(") Dans l'ai-liclc 58 il y a [i^ au lieu de sans préciser sin ou cos, parce que dans '•■ plus comcaocle.

Celle forme fiTialyliquo peut fournir à une bonne partie de la Ihéorie générale des fonctions des exemples instruclifs. Aussi y consacrerai-je un chapilre spécial. Suivanl l'accpoissemeol relalif do p. wij, , X ^' elle lournit une suite graduée de fonctions qui conduit des fonctions les plus générales aux fondions continues de variables complexes.

En supposant que X ^ croisse en môme temps quep, d'a.bord assez IcntemenI, nous rencontrons premièrement des fonctions partout discontinues non inlégrables, puis des lonctions partout discontinuas inlégrabtes. Ensuite commence et se continue, pour une détermination convenable des m. , la classe des fonctions conlinues sauf fin des points isoles ou sans exception, oondifférentiables — eldesfonclions différentiables. Vient ensuite, A' '■ croissant ds plus en plus rapidement, et mp croissant convenablement, la foule des tondions continues avec tous leurs quotients différentiels, mais non re présentables par l.T séné de Tayloi, et enfin on parvient au domaine des fonctions, eîipDmables en séiies entières, de la théorie des fonctions complexes

)tù iginons maintenant une fonction f(j.)z:z lim f (ci

:= hm i A; fo? i7i, 3-, qui représente une fonction anoi-

mme ednlinup non difîi lentiable On peut =ana doute se reM^^yriter la marcbe d une seule fonction îj, sm m, a On peut' 'ài^?i, SI grand que soil n, imaginer tracée une flguie ne™ ae \i fonction fnC) ft on reconnaitri claiiement que la tan^eiite iV possède pas de position limite dotermipée, et la fonction fnW restera toujours h. nos jeu-ï, quelque grand que so]t«, une limitation daire plane, Voild évidemment tout ce que nous sommes en étal de nous représenter. Dès qu'on passe de !a fonction /„ [x) h la fonction f\a:) ::= lin fn {w) , toute

représentation cesse. Je remarque expressément que cela ne lient pas h une trop grande complexité ; la fonction cesse d'être représeotable en principe, comme l'inflni, l'inllnimenl petit, l'action à distance, comme la véritable essence des choses, comme tout ce qui exigerait, pour être perçu, des sens que nous n'avons pas.

Les fonctions anortJtoides ne peuvent correspondre d aucune image, et nulle image de fonction ne peut être envisagée comme approximation d'une pareille fonction.

Si on fait croître assez vite le nombre n dans fn {ai), tout intervalle entre nombres dyadiques,à numérateurs ditTérent de

1 el îi dônoniinaLours croissant indéfînimeiil, conliendra des maxima de !a fonction oacilianle fn (ic). Passe-t-on à la limite à la manière de l'Idéaliste, des nombres dyadiques naît la pantachie complète, et dans les intervtilles enlre les nombres subsistent les maxima. Pour so l'ormer une représonlation réelle de la ionction /"(a?), la première condition serait donc qu'on pût se représenter ia pantachie complète de l'Idéalislc, ou, au mo'ns quelque chose d'approchant. Nous avons vu que celii est impossible ; mais il s'y ajoute cette condition essentielio de se faire une image de l'inAniraent petit dam son rapport avec le fini, ce qui est également impossible.

Pour ridéalisle, la correspondance géométrique des valeurs de fonction k la pantachie complète de; valeurs, d'argu- . ment ne cesse donc pas, mais sans répondre môme d'une façon approchée à une image Aussi il n'est pas impossible que des considérations ou conclusions auxquelles l'on'^cmLdp des valeurs de /■„ [x) sert de fondement quand on les t^lend à 1 équivalent géométrique de la ionrtion /■ (a) comme dit ! Idi, ilisie donnent lieu à des paradoxes

L'Empiriste peut-il se fane une image approchée di ia dépendance anorlhoïde? Natuiellement non car elle existe pour lui aussi peu que la pantachie romplète comme 'système de points. Pour l'Empirisle, la fonction de tout-à-l heure f{x) no désigne qu'une formule, qui permet de calculei pout lojilo valeur d'argument une valeur de tonclion avec une appcovimation arbitraire. Elle dctnimine donL poui lout argumonl rationnel ou irrationnel, ou pour tojle loi qui i^pand y. une valeur d'argument irrationnelle une loi coLii>,{iondmli n m plaçant, pour ainsi dire, la v deur de fonchon

64. — Construction numérique des valeurs de fonction hypotJiétiques- — L'image géométrique des l'onctions qui en possèdent une nous dispense de maintes démonslralions pour l'e-xistence de certaines valeurs particulières de ia fonction, qu'il arrivera de supposer, comme, par exemple, s'il s'agit de la plus grande et de la plus petite dans un intervalle.

Si une démonstration aussi bien qu'une explication consisle au lond dans un enchaînement satisfaisant de représentations, liant une représentation Iroublante à une représentation finale bien familière, l'image curviligne des Ibnctionspeulpleinement nous suffire comme représentation finale. On la reslrcindra selon les rigueurs de la précision mathématique, et on e.\igera peut être de telles courbes que leur marche possède les propriétés essentielles des courbes algébriques.

Or, les considÈralions de l'arliole précédent monlrenl que toujours dans les iouclions ancrlhoïdes une représentation finale familière de ce genre fait absolument défaut. Il ne s'y trouve pas d'intuition déterminée et nette à laquelle nous puissions nous référer. L'analogie des courbes rcprésenlables peut iournir quelque chose de juste, seulement nous n'en avons aucune garantie. Personne, par exemple, ne sentira la nécessité d'une démonstration pour ce fait qu'une fonction comme a?°, sinœ, etc, entre deux points qu'elle lie d'une manière continue, prend toute valeur intermédiaire. Mais dans les fonctions anorthoïdes, cette proposition n'est nullement évidente. Leur image pour l'Empirisle n'est jamais qu'une masse aussi compacte que l'on veut de points séparés, et la proposition ne prmrra donc résulter que de la condition analytique de la continuité.

Dés que nous accordons à l'image curviligne une plus grande multiplicité que ne présente, par exemple, le concepl des uïoufbeâ^algébriquesvnous voyonsjjuerinluilion, quand ilpeut eiiiêtre question n'est sûre que si elie se fonde sup une expé- ■m^ncé'.'SHiEfisanteiUu exemple très înslructi! est offert paneette ■^ogoBitîoii^i'Un.elonction toujours fluiedansune intervalle y Tônietei^ uiie 'Valeur iiiasima et une valeur minima. — iUrL^ptofitueçidansle domaine expérimental de la théorie, .des iï)iJéJil*î»}0 est prêta l'accorder tout de suile : et pourtant elle ^stt^riîBBidé^è-JKWr.des fonctions qui sont orthoïdes à l'cscep- -tieiîideaéeiJtiiinâ^oiails particuliers. En vérité nous ne le savons :qiïfe''pai'CB!qUff3eJ'jdiscontinuités des formules de Fourier, et -d'Épiriey^àiïli'fes exemples snns nombre, comme les fonctions la ^ H'aiiticle^ëS/ntràs^I'ont. appris. .'

■'" D'fiî11éut's'-paï''iri'liiitioti on conclut souvent h îles' dépen- 'd'ances limites, dont l'existence ne doit pas à la vérité être mise en question, mais qui, à cause de leur mode de formalion également compliqué pour l'Idéaliste el pour l'Empiriste, ne peuvent nullement être considérées comme établies avec la rigueur mathématique. J'ai en vue entre autres les courbes enveloppes qui peuvent prendre naissance de deux manières. ■ Une enveloppe est ou bien (pour Tldéahste) le lieu des points d'intersection successifs des individus en nombre infini d'une suite infiniment dense do courbes; — ou bien la limite du contour du domaine total que couvrent les segments d'aire plane limités par les courbes individuelles.

Qu'il s'agisse, par exemple, d'enveloppe de cercles. Dans le cas le plus simple où les centres d'une. série de cercles égaux décrivent une ligne droite.l'enveloppe se compose évidemrnont de droites parallèles à celle-là. Seulement si les cercles ne sont

pas égaux, ou si le lieu de leurs centres n'est pas une droiie, ou enfin que ni l'uQ ni l'autre n'ait lieu. Sa formalion delà courbe enveloppe ou de ses points isolés n'est pas, niême avec les foDCtions les plus familièfes, d'une nécessité tellement évidente qu'on ne sente vivement le besoin, pour l'établir de procéder avec plus de rigueur qu'on n'a l'habitude de le faire. A plus forte raison ce sera le cas, si ies centres ou les rayons des cercles sont soumis à une variation anirthoïiiiquc. Qu'on tire l'enveloppe, par exemple, de cette représentation que les cercles couvrent un domaine dont le contour u pour limite, quand leur nombre augmente, l'enveloppe des cercles, — celleci sera également anorthoïJique, Mais nous avons vu qu'une dépendance anorthoïdique qui n'est pour i'Empiriste qu'un système de points aussi resserré qu'il voul, ne peut être considérée comme limitation d'un domaine; l'existence de la fonction qui correspond à la courbe enveloppa ne peut donc pas être démontrée de cette façon.

La. méthode de démonstration de l'existence de3.valeur,s:de fonction hypothétiques consiste en ceci ; .que; l'on montre comment elles peuvenl être exprimées numériquement, psr exemple, par une fraction décimale dont on pourrait calQulef chaque chiffre, si les quantités indéterminées du problème étaient données numériquement, J'ai déjà donné (arl. 46),ieti formant l'expression de la limite d'une suite de rfu&nlîtés croissantes, un exemple de "p-drQiUesConsti-îictioiis.numén'ques, comme je les ai nommées; je vais dans cet article ^canS^ truire numériquement quelques autres valeurs de l'oociion hypotiiétiques, et mon choix est tombé f-nr des. théorèmes tout particulièrement connus et auxquels beaucoup :d'iiulr4is analogues, peuvent se ramener. J'observe pourtant, .q.u'jîi ne faut pas songer ici h épuiser l'objet ou seulement à donner une vue générale des espèces possibles de valeurs de fonction hypothétiques numériquement représentables, que les recherches peuvent mettre au jour dans la théorie générale, des fonctions.

1. — Pour toute fonction î (rc) et dans tout intervalle {a, li) . de son argument, oit elle reste comprise entre des limites finies, — il 1/ a une valeur minima qu'elle ne dépasse fias dans cet ialervalle, et une valeur maxima à laquelle elle n'est pas in^é- . rieure. Nous nommons de préférence. ces valeurs « limites supérieure et inférieure des valeurs de fonction. »

Démonstration de l'existence de la limite supérieure. — Supposons, ce qui n'est pas une reslriction, la fonction f(œ)

> dans l'iiiLervalle (a, b), cL considérons les mlervalles de l'onction :

Si nous considérons main(en-inb Fensemble des valeurs de fonction /"(a;) dans l'intervalle {i, Ij), il y aura un dernier intervalle Ko < y ^ *( + 1, où tomberont encore dos valeurs de foncLion app£fr[ën"ant à l'iolervalle (a, h).

C'est d'une affirmation semblable que découlentla plupart des démonstrations de ce genre. Or, puisqu'il intervient un ensemble de valeurs de fonction, il nous faut l'examiner de pius près. Pour l'Idéaliste il n'y a là rien qui ne scit irréprochable. Il a en vue son équivalent de fonction géométrique consistant en toutes 'ses valeurs de fonction construites sur toutes les valeurs d'argument d'une étendue {a,b); et quand il s'agit de savoir si des valeurs de fonction appartenant à cet ensemble tomberont ou non dans un intervalle de valeurs, il lui importe peu que le nombre des valeurs de fonction soit fini ou infini ; ou bien il tombe des valeurs de fonction dans l'inlervaîie, ou bien il n'y correspond aucune de ces valeurs : tertium non datur. — L'Empiriste se heurte au contraire àdes difficultés qui naissent de son concept de l'argument, puisque la panla- , chie complète des valeurs d'argument considérées, simultanément, ou des valeurs de foncfion correspondantes n'existe pas pour lui. Toutefois, à l'égard ce ces difficultés, la limitilion du concept général de fonction établie au commencement de ce chapitre, lui vient en aide. Si on s'en lient au concept de fonction de l'Empirisie, noire proposition est également irréprochable,car la fonciion consiste, k ses yeux, en formules valables pour des ensembles dénombrables de points particuliers de l'argument, et en une formule générale pour ]o reste do la paniitchie complète de l'argument. Considérons d'abord cette dernière formule générale, sans tenir compte des points exceptés. De quelque manière que l'on s'imagine cette formule, analytiquement ou d'après la ttn^orie des nombres, il faut que sa signifîcaLion soit telle que nous puissions décider si les relations

sont ou non possibles en même lemps. C'est là le résidu logique de la question, l'hypolbèse nécessaire de l'Empirisie, Quant aux ensembles dénombrables des valeurs de fonction exceptées, les limites supérieure et inférieure onl toujours, pour elles un sens très clair, comme cela résulte dé la théorie exposée au chapitre suivant, des limites d'indélerminalion.

Pouc ladémonslration qui nous occupe, il nous suffit de nous en rapporter îi cette proposition évidente que les valeurs individuelles d'une suite quelconque de quantités toujours finies, finiront ou non par dépasser une quantité donnée d'avance.

Après ces réflexions, la suite de la démonstration est très simple tcp < y < «0 + 1 était le dernier intervalle de la suite.

o <!/ <^i, 1 < y £2,2 < 3/ 1^3, etc.

où tombaient des valeurs de fonction correspondant à l'intervalle d'argument [a, b). Partageons l'intervalle Kj < y < «„ -j- 1 en dixièmes

Parmi ces intervalles il y en aura encore un dernier contenant des valeurs de fonction f{x), (^ ^ a; ^ *• Pour ce dernier, soit m= a,. Continuons de même. Comme terme de ce processus, nous obtenons une valeur

qui est la limite supérieure en question des valeurs de f{x) dans l'intervalle (a, b). D'après son mode de formation, aucune autre valeur particulière de la fonction ne peut la dépasser, car les valeurs de fonction ne dépassent pour aucune valeur de p la quantité «o, «i "a... («^ + !)■ ^^ !"■ différence entre celte quantité et la fraction décimale sans Qn k„, a, a^ . . a^ , lorsque p croît, tombe au-dessous de toute limite. Il n'y a pas de valeur plus petite jouissant de cette propriété, car toute valeur plus petite est dépassée par une valeur Ko, a, a^ ... a,, , et toute valeur de cette forme est dépassée par les valeurs de la lonction.

Remarque complémentaire. — Il est à peine nécessaire d'ajouter que le théorème est encore vrai dans le cas d'un intervalle indéfini, si, par exemple, cet intervalle comprend toutes les valeurs d'argument a; > a, intervalle que nous

désignerons ainsi (a, oo). Car p.ir la substilulion x z^- à tout argument de l'inlcrvalle {a, co) correspond un et un seul argument de l'inlervalle (- ,o\.

A cette proposition qui s'applique aux fondions en général s'en rattachent d'autres ayant trait à des fonctions soumises à certaines reslrictions, comme l'inlégriibilité d'abord, puis la continuité. Il sera question plus tard de l'anorthoïdie intégrais

yGoosle

ble. Pour le moment, nous devons démontrer quelques propositions particulièrement utiles, concernant les fonctions soumises à la condition de continuité ; (il eu est une d'ailleurs sur laquelle nous nous sommes déjà plusieurs fois appuyé). Ge sont des conséquences directes de la, proposilion suivante réduiteà sa plus simple expression.

II. Soit une fonction f{x) continue dans l'intervalle (0, I), supposons r(o) > 1(1) ; enfin soit y' une valeur quelconque satisfaisant à l'inégalité ï(o) ^ y' > Hl) l '^ y " toujours ime valeur minima x' {o <. x' < i), pour laquelle on a f{aj') =z y'.

Démonstration. — Partageons l'intervalle (0, 1) en dixièmes : < » <0, 1 ; 0, 1 < af <;0, 2, etc.

et soit o, «i<^^^o, a, + 1 l6 premier dixième où les valeurs de fonction ne soïït pas foutes ^p'. Partageons de nouveau en dixièmes l'intervalle o, a, < œ ^ o, k, + 1, et soit o, a, a^ <■ flî < o, ai aj ■< 1 le premier centième d'iûLervalIe (0, I) où les viïîëurs de fonction ne sont pas toutes > p', etc. Soit alors

œ' = 0, a, tti . . .

Il faut démontrer l'égalité f\a:') zn y'.

Dans l'iotorvallo o, «i cc^ . . . «j, < a;< o, k, a^ - . . ap + 1,

soient y^ - Vk les limites supérieure et inférieure des valeurs de fonction f{x). Nous avons simultanément

y, =y ^ Vk yTkn-')^yT

Or la difTérence entre pg et yt lorsque p augmente , pont devenir aussi petit que l'on veut ; il ne saurait donc y avoir de différence entre j/' et f(x'), car cette différence devrait être indépendante de p.

Si c'est l'intervalle (a, 6) au lieu de {o, i), dans lequel la fonction est continue, que l'on prenne pour argument aia -[- 1 {à-a], et ( ira de o à i, pendant que œ variera de a à 6.

Dfi la proposition précédente résulte immédiatement :

XI. Quand une fonction ({x) est continue dans un intervalle {a,b), il y a pour toute valeur y' située entre ila)el î{b) une valeur œ' située entre a et b, telle que i\x') zr y'. S'il existe plusieurs valeurs intermédiaires a>' de ce genre, il s'en trouve parmi elles une qui est la plus petite x^< et mie qui est la plus

grande x ■ Pour c-es valeurs on a donc les relations :

m. Une fonction î(x) continue dans un intervalle {a,b)y devient égale àun certain instant à sa limite supérieure et à sa limite inférieure. {')

Démonstration. — H suffit de considérer, par exemple, la limite supérie!;re..Je suppose tout d'abord f{a) ^f{^}< ^t» pa'' exemple, /"(«) <^ /'[ô). Nous pouvons encore pour simpliQer poser f {a) ^ o, sauf à lever eosuite facilement cette restriction. Soit maintenant A 3: Bo, Pt pa. . - . la limite supérieure des valeurs de fonction f{a)) dans l'intervalle {a, h) ; la fonction, d'après la définition de cette limite, prend dans {a, b] des valeurs comprises dans l'intervalle (A— S, h) si petit que soit S. Supposons A ~S > p„ 8, p^ ...% eteoil/" une va-

A— S leur do fonction satisfaisant à la condition h — S < /" < ft. On

A — S peut alora concevoir, au sens de la proposition II, les quan-

. t-ités pc; po, Pu Po, p, p3, pD, Pi Pï Pï Comme

valeurs intermédiaires de f(x) entre /(«) et /' , auxquelles

appartiennent les plus petites valeurs intermédiaires de l'argument, iOo, Xi 0)2 .... Xp . En diminuant 5, nous pouvons faire croître p. De là résulte que à la suite illimitée Po; Po, pi; etc. correspond une suite iltimitée ^o, a^i, '"s, .-. de valeurs toujours croissantes, mais n'atteignant pas b, qui possède donc une limite : Appelons-la X H faut alors montrer que /"(-ï) =z h. Limitons autour de X un petit intervalle 4, Il renferme des valeurs de fonction po, Pi pj ... Pn , que je désigoerai par h — S^ , où par conséquent ^p, quand p croit où que A décroit, tomba au-dessous de toute limite. Soit t la plus grande différence des valeurs de fonctions f{x) dans l'intervalle A. Alors

{*) Cette proposition III est énoncée U'après M. Weierstrass qui la démontre et l'emploie dans ses cours. Elle est donnée sans démoiistration par M. Soliwai'z (Borch. Joniis. vol. 72, p, 141, sous la forme suivante : « Une fonction continue ç (ai) d'une variable réelle a; donnée dans un intervalle a. ..b, les limites incluses, atteint is ra.a3timum g des valeurs qu'elle prend, au moins pour une valeui- a;„ de la variable, telle que ^('"11)^^ ff- * En tous cas, M, Weierstrass parait avoir le premier attiré l'attention sur la nécessité d'énoncer et de démontrer de semblables propositions.

la différence enlre/'(^ et A — 5„ n'est pas plus grande que r, ou la différence entre f{A) et A nest pas plua grande que t + 5j,. . Une clifTérence entre f{xj et A est donc impossible, car en ressetrant l'intervalle i on rend la quantité t -|- S^, aussi petite qu'on veut ei f{X) et A sont absolument indépendants de l'intervalle A.

Quand on a f(a) =if{b), la construction numérique du point Xest tout-à-l'ait analogue. Si les deux valeurs extrêmes de l'intervalle ('1, i) sont elles-mêmes les limites supérieure et inférieure, le théorème devient une tautologie.

On obtient dans le premier cas la proposition que voici : III a. Si une fonction ( {x) est conlinue dans un intervalle {a. Il), et gue l'on aUf(a) ::= ({b), elle devient égale dans cet tnleroalU â ses limites supérieure et inférieure pour des valeurs intermédiaires a <| x <; b, lorsque les valeurs {(a)^= ^b)ne sont pas elles-mêmes limites supérieure ou inférieure. Si par exemple, \\i)^z r(6) est limite inférieure, ^x) peut ne prendre cette valeur pour auicune valeur intermédiaire de ai, mais elle devient égale à sa limif supérieure pow quelque valeur intermédiaire de X, si on n'a pas constamment f{a!) = {{a) ^z î(b).

La construction numérique des points des lignes enveloppes est analogue et ne présente aucun intérêt nouveau de nature, (ïénérale. C'est pourquoi je ne m'attarderai pas plus longtemps là-dessus. {*)

Dans le dernier chapitre de ces élémentsje considérerai une fonction non pas dans un intervalle déterniiné, mais pour un accroissement illimité de l'argument. Les propriétés générales de la marche de la fonction qu'on y trouvera concernent naturellement aussi la marche de la fonction dans le voisinage d'un point particulier de son argument.

{•) On en trouve une étude plus serrée. Leip, Math. Ann.-tome XVIII p. 597.

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