IMPRIMERIE NIÇOISE, DESCENTE CROTTI

Qunnd MM. Milbaud et Girot m'ont fdit part de leur intention de traduire ma Théorie Générale des Fonctions qui, publiée en 1882, avait même été rédigée environ cinq ans auparavant, j'ai voulu profiter d'une aussi belle occasion pour remanier quelques passages, pour insister sur plusieurs points qui ont acquis aujourd'liui plus d'actualité, enfin, pour faire quelques additions. Ces changements ne touchent d'ailleurs nullement au fond des matières exposées dans mon livre. Au contraire, les critiques assez nombreuses qui en ont paru, plus souvent encore contradictoires entre elles qu'en opposition avec mes vues, m'ont convaincu plus que jamais que j'ai réussi à mettre au jour la vraie nature de la connaissance exacte et dos concepts métaphysiques sur lesquels elle se fonde.

Paul du Bois-Reymond.

Berlin, 15 Mai iSS7.

Le souci trop exclusif de la rigueur donne à l'enseignement des malhémaliques une Forme souvent dogmatique. Ceux qui ont reçu cet enseignement dans les lyc.éeg ou les facultés sont longtemps sans comprendre qu'il puisse y avoir, à propos de ces sciences, des questions capables de diviser les penseurs, et toute discussion pliilosophique sur les notions essentielles des mathématiques est souvent mal accueillie par la simple raison qu'on en sent difficilement la nécessité.

Or, voici précisément un livre, écrit par un émioent géomètre do Berlin, rempli de discussions savantes sur les concepts fondamentaux do grandeur, limite, fonction. Que la manière de voir de l'auteur soit juste ou inexacte, peu importe : il met en question des problèmes philosophiques du plus haut intérêt touchant ainsi à ce que les mathématiciens considèrent trop d'ordinaire comme une arche sainte ; Voilà pourquoi, il nous a paru utile d'en publier une traduction.

Nous n'entrerons pas dans les débats (|ue soulève ce livre. Nous voulons seulement, pour préparer h sa lecture ceux qui ont puisé leur instruction mathématique dans des traités pu cours spéciaux, faire comprendre à grands traits comment les mathématiques peuvent donner lieu h des discussions intéressantes sur l'origine et la formation de leurs concepts. Nous ferons voir pour cela que l'enchaînement rigoureux des déductions auquel tend l'enseignement est, en réalité, postérieur au développement normal de ces sciences et qu'il n'atteint cet idéal de rigueur que pour devenir de plus en plus formel et, par cela même, de plus en plus subjectif.

Quand on ouvre un traité de mathématiques, on est frappé de l'importance du rôle que jouent les déflnitions. Chacune d'elles sert de base à un développemenl plus ou moins long formant tout un chapitre nouveau. Ce sont, pour ainsi dire, les éléments vitaux des malhémaliques : la puissance de déduction de l'esprit semblait épuisée sur les premiers objets de ses études ; une définition survient et apporte un nouval aliment à son activité. C'est ainsi que les définitions semblent

chaque fois assurer une prolongaLioii de vie aux mathématiques de manière à on reculer les bornes h l'infini. — Or que renferme une définiLion ? — A quelle condition est-elle acceptable î

Une définition a pour objet de construire une chose ou un fait à l'aide de certaines propriétés reliant l'élément nouveau à ceux déjà connus ; et lit seule condition imposée à ces propriétés paraît être qu'elles ne présentent eatre elles aucune contradiction logique. C'est le seul point sur lequel on juge utile d'insister, quand, en mathématiques, on sent le besoin de Justifier une définition. Mais alors la première impression que donne la lecture d'un traité spécial est des plus étranges. Il semble que l'esprit puisse se donner libre carrière : n'a-l-il pas, pour créer ses définitions, un champ sans limites ? — et non seulement on sent bien que la science mathématique ne saurait avoir de bornes, mais encore on se demande s'il ne pourrait exister une infinité de mathématiques distinctes de celles qui sont enseignées, si enfin celles-ci ne sont pas dues à un caprice de l'intelhgence humaine qui se serait plu à suivre une voie parmi tant d'autres également accessibles? — Bn géométrie, passe encore I On se sent vaguement guidé par des corps, par des formes, semblables à. ce que nous montre le monde extérieur, mais que dire de l'analyse, maintenant surtout que, grâce aux travaux de reconstruction desLagrange, Gauchy, Abel, etc.... il est facile de parvenir aux notions les plus élevées sans faire intervenir d'autre donnée expérimentale que le nombre. (')

Pour se rassurer et voir disparaître le caractère capricieux et arbitraire des mathématiques il faut remonter à la genèse d e3 notions qu'elles étudient et regarder un peu par-dessous cet arrangement parfait qu'on nous présente aujourd'liui.

On distingue ordinairement les mathématiques pures et les mathématiques appliquées, les premières étant la géométrie et l'analyse, les autres étant des applications de celles-là. C'est mal indiquer qu'une seule question de degré justifie celle distinction. La géométrie et l'analyse sont les premières et les plus simples applications de la mathématique, c'est-à-dire de ces suites spéciales de déductions, de ces méthodes logiquea particulières qui appartiennent à toutes les sciences mathématiques, abstralion faite de leurs objets. On sait d'abord que les données premières de la géométrie et de l'analyse sont puisées dans le monde extérienr. La géométrie lui emprunte l'étendue,

[') Voir l'Introduction à l'étude des foiiïtloiis (i'u M. J. Tannery.

le point, la ligne droite, avec loules leufs ppopriélés intuilÎTes. L'analyse est fondée sur lo nombre, donl-l'idée nous est fournie par l'expérience, et sur ses propriétés. Ce sont là des vérités ■ naïves sur lesquelles il est inutile d'insister. Mais les points de départ ainsi fixés, l'iadéterminalion du chemin à suivre n'en subsisterait pas moins, si la géométrie ou l'analyse no se laissaient guider par des données extérieures, et c'est précisément, en dépit des apparences, ca qu'e!!les font sans cesse. Nons ne voulons pas parlerici seulementdu postulai d'Euclide qui, loin d'être un axiome logique, est nettement déjà l'atfirmalion d'un t'ait expérimental. On peut le Joindre aux données initiales. Gelles-ci sont si complexes qu'il importe peu de penser ou non que ce fait nouveau est impliqué dans les notions intuilivessur lesquelles est fondée la géométrie. D'ailleurs, il n'y a eu d'arrangement d'aucune espèce dissimulant le fuit tout nu, et il y aurait peu d'intérêt à dénoncer ret emprunt à l'expérience.

Mais il y a plus : tous les éléments nouveaux qu'étudie la étrîe, angle, angle droit, cercle, longueur de circon- ;e, etc., ne sont suggérés que par le monde extérieur. Il e en analyse du nombre fractionnaire, du nombre ,ble, de la limite, etc. Les nombres imaginaires eux-mêmes sont apportés par l'expérience, quoique cela paraisse paradoxal. C'est qu'ici cette expérience s'est affinée, pour ainsi dire, et est devenue la constatation du résultat d'un calcul OU d'une transformation algébrique. Mais lont cela est loin d'être évident. Chaque fois qu'un nouvel objet d'étude est suggéré, les mathématiques se l'assimilent au point d'en dissimuler l'origine, on plutôt, à l'occasion de cet élément, elles construisent logiquement un être nouveau, elles le créent de toutes pièces, et ai l'unique souci qui les guide paratt-être la non contradiction des propriétés dont elles l'affublent, et la possibilité de les exprimer à l'aide dos éléments anciens, en réalité la pFéocoupation première a été que cette création logique cor r es pondît ex acte m eut h l'objet concret. Cette préoccupation est peu visible, parce qu'elle importe peu à la rigueur des raisonnements ; mais, si on ne veut pas laisser auxmafbématiques une beauté parement platonique, s'il faut qu'elles méritent leur titre de science, tous ces développements logiques sont destinés à être utilisés dans la connaissance générale du monde physique, et alors, pour la solution du problème le plus simple, on sera bien obligé d'admettre l'identité de l'objet extérieur et du concept purement logique ; A cet instant précis se trouve dénoncée l'origine expérimentale de toute définition : Si on a pu la dissimuler, c'est à la seule condition d'y substituer, pour l'instant de l'application, une proposition indémontrable,

un véritable posLulaf, par lequel nous affifmons que nos théories logiques peuvent donner l'explication d'un fait objelif. Quelques exemples simples aideront h. éclaircir ces idées. Après l'étudo de quelques propriétés des lignes droites considérées ensemble, la géométrie utilise ces propriétés h l'occasion d'un éiément nouveau: le cercle. La définition qui lui sert, pour ainsi dire, de passe-port est la suivante : La circonférence de cercle est le lien géométrique d'un point situé à une distance donnée d'un point délerminé. Traduisez : Que parle point déterminé on mène une droite quelconque, qu'on prenne sur celte droite, h partir du point, une longueur égale à la distance donnée ; l'extrémité de cette longueur est ce qu'on appeiie un point de cercle, La possibilité de consiruire ainsi autant de points de cercle qu on voudra, voilà tout ce que contient la notion de lieu géométrique qui entre dans cette définition. On déduit de celle-ci toutes sortes de propriétés ; par exemple, une droite qui a un point commun avec un cercle en a un second; un diamètre partage le cercle en deux parties symétriques, en d'autres termes, h tout point de cercle on peut en faire correspondre un second symétrique par rapport à un diamètre quelconque , etc. — La considération des polygones inscrits, c'est-à-dire dont les sorameLs sont points de cercle, permet de définir la longueur de la circonférence, ce sera la limite des périmètres des polygones inscrits dont le nombre des côtés augmente indéliniment.

Dans tout ce développement il n'entre en aucune façon l'idée de la forme du cercle, de ce rond parfait que nous lirons par abstration de ceux que fournit l'expérience. Ce rond est formé par un contour continu ; il divise le plan en deux parties, l'une qu'il limite et que nous disons intérieure et une autre extérieure; toutes notions absolument distinctes de ladéfinilion et des déductions géométriques. De même le concept purement logique de la longueur de la circonférence est essentiellement distinct de ce que par intuition nous entendons par la longueur d'un rond, le tour d'une roue, par exemple, ou la longueur d'un fil d'abord exactement appliqué sur la conférence de la roue, puis déroulé. C'est ainsi que là même où les mathématiques semblent être le plus voisines des objets concrets de l'intuition expériraentaîe, elles se développent parallèlement à ces objets, et sans jamais l'aire disparaître la dualité qu'offrent la donnée des sens, affinée même par l'abstraction, et la construction logique de l'esprit. Mais ici du moins ce parallélisme est assez parfaitpour que nous sentions fort bien comment a procédé la géométrie. L'expérience a d'abord fourni non seulement la notion du cercle, mais une foule de ses propriétés; parmi celles-ci à une époque de beaucoup postérieure, le

jhoist celles qui, tout eu ne s'exprimant qu'à l'aide de droites, de points, et de longueurs, lui paraissaient le mieux caractériser le cercle concret et il a construit avec elle la théorie du cercle. Mais qu'on demande seulement, par exemple, quel est le tour d'une roue dont on doune le ra^on, commfint résoudre le problème k l'aide do la géométrie, si on n'admet l'identité entre lalimite des périmètres des polygones inscrits et le tour même de la roue ? L'arrangement par lequel 00 a chassé l'expérience est trahi à cet instant par un postulat, celui précisément qui, en réalité, avait conduit à la définition logique.

L'exemple précédent nous reportait à une époque reculée de l'histoire des mathématiques ; en voici un au contraire qui, bien qu'emprunté à l'arithmétique élémentaire, répond à des tendances actuelles. Au commencement du chapitre des fractions, en arithmétique, on accepte ordinairement un fait d'expérience : lu partage de l'unilé en parties égales. L'égalité de deux fractions ou la supériorité d'une traction sur une autre s'expliquent par la considération de deux longueurs, par exemple, mesurées par les fractions, La donnée expérimentale qui rompt en arithmétique la chaîne des déductions n'a donc pas disparu. Mais cependant rien n'est plus aisé que de dissimuler ici l'origine du développement nouveau. Appelons fraction le symbole formel composé de deux nombres entiers

écrits l'un au-dessus de l'autre /-r-J. Convenons de dire que

deux fractions sont égales quand les termes de l'une sont des équimultiples de ceux de l'autre, définissons somme, différence, produit, quotiant des fractions les résultats aaqueîs conduisait la considération des quantités concrètes, etc. Les définitions étant toujours conformes h ce qui résultait pour nous de la donnée expérimentale, rien ne sera changé à la suite du chapitre sur les fractions. ïl est probable que tôt on tard on exposera ainsi couramment ce chapitre, Mais qu'on trouve alors

la solution s ^ -q- au problème le plus simple, où l'inconnue est une longueur, il faudra bien admettre, pour l'interpréter, que 5 représente deux fois le tiers do l'unité et, en somme, on rétablira ainsi tout ce qu'on aura paru supprimer.

Ces exemples suffiraient peut-être à montrer la marche des sciences mathématiques : elles se développent naturellement sous l'impulsion de l'expérience, mais cachent tôt ou tard sous des constructions logiques l'origine de leurs concepts. En voici

une dei'nière uL in li5 fessante confirmation Urée de l'analyse supérieure.

Supposons qu'à un instant quelconque de l'histoire des mathématiques, on sente le besoin d'utiliser une propriété nouvelle des quantités concrètes : il ne sera pas toujours facile de l'énoncer simplement, de l'expliquer, de la ramener h d'autres connues, de débrouiller les éléments complexes qu'elle implique. Il se peut cependant que des esprits élevés devinent comme par instinct qu'il s'agit là d'une notion féconde, et qu'un développement fondé sur elle réalisera un grand progrès dans la connaissance générale des choses. A priori, nous n'avons pas de peine à admettre l'existence de tout un long chapitre mathématique construit sur des notions qu'on n'explique pas : la géométrie et l'arithmétique n'ont-elles pas pour données initiales des concepts impossibles à définir? Si nous supposons enfin que les chercheurs appliqués aux idées nouvelles, frappés de l'intérêt des résullals, se soient avant tout préoccupés d'en enrichir la liste, la reconstruction logique des données expérimentales risquera fort de rester longtemps inachevée; longtemps^ la branche analytique qui aura ainsi poussé brusquement semblera ne point se rattacher au tronc primitif. C'est précisémenllà ce qui s'est passé pour l'analyse supérieure, pour cette partie de l'analyse qui traite des incommensurables, des limites, des séries et produils infinis, des infiniments petits, des différentielles, etc. Le fait, expérimental qui en est le point de départ, et dont l'introduction dans l'analyse remonte fi une époque impossible à. fixer est la notion du devenir de la quantité concrète, du passage continu d'un état à un autre. Après avoir suggéré bien des travaux, cette notion parvintàsadernière et complète consécration dans les méthodes qu'inaugurèrent Newton et Leibnitz. Mais l'exposé de ces méthodes est loin d'avoir toujours présenté l'enchaînement dont les traités nous donnent aujourd bui le tranquille spectacle. Ce n'est que difficilement, et au prix de longs efforts qu'a été définitivement arrêté chez nous, depuis Gauchy et Duhamel, l'exposé di; l'analyse iiiflnitésimale. Le problème de reconstruction logique qui devait en l'aire une suite rigoureuse des chapitres antérieurs est-il complètement résolu ? Nous allons faire voir qu'il ne l'est pas d'une façon absolue dans l'enseignement actuel, sauf à montrer ensuite comment un pur formalisme peut fournir cette solution.

L'exposé que présentent au^jourd'hui les cours d'analyse et qui a pour point de départ la définition mathématique de la limite, réduit le fait expérimental que nous avons signalé à un simple postulat indémontrable, le principe des limites, qui

s'énonce ainsi : Si une quantité variable croit sans cesse, tout en restant inférieure à une quantité déterminée, elle a une limite.

Duhamel en donne la démonstration suivante : (')

« Soit A la valeur au-dessous de laquelle est toujours la M variable, et B uue de celles qu'elle prendra ; qu'on parlfige « l'intervalle de B à A en parties égales aussi petites que l'on M voudra : ia variable pourra bien dépasser tous les points de « division, mais ne peut aller jusqu'à l'extrémité; il pourra u aussi se faire qu'elle ne les dépasse pas tous, et alors il y en « aura un qui sera le dernier qu'elle dépasse ; elle restera donc toujours comprise entre celui-ci et le suivant, c'est-à- « dire dans un intervalle aussi resserré que l'on aura voulu et « dans lequel elle ira toujours en croissant. En subdivisant « cet intervalle en un nombre aussi grand qn'on voudra de « parties égales, on reconnaîtra de même que ia grandeur ne « peutse Irouverque dans un nouvelintervalle fixe entre Bel « A, et d'une étendue aussi voisine de zéro qu'on le voudra. " Il existe donc une certaine valeur fixe entre B et A, dont la « variable s'approche indéfiniment; elle a donc une limite. »

Le raisonnement est rigoureux jusqu'à la conclusion exclusivement : Quant à passer de ce que l'intervaHe qui comprend la grandeur peut devenir aussi petite qu'on veut à l'existence de la limile, ce n'est pas moins difficile que d'admettre d'emblé" la conclusion, sans démonstration aucune. Ainsi que le montre nettement M. Paul du Bois Reymond, la diminution de l'intervalle qui comprend la grandeur n'atténue pas la difficulté qu'il y a à concevoir la limite. Le raisonnement de Duhamel cache une illusion ; et cela est si vrai que souvent, au contraire, pour expliquer qu'une grandeur resserrée dans un intervalle de plus en plus petit a une limite, on se fonde sur ce que les valeurs qui la comprennent forment deux séries l'une croissante, l'autre décroissante, admettant chacune une limile d'après le principe en question, et il sutût ensuite de remarquer que les limites sont les mêmes.

M. Bertrand, à propos des séries à termes positifs, dit simplement : « Il est clair que si dans la somme u» -\- Ut -{-,.. « -j- Ma on prend un nombre de termes toujours croissant, i< les résultats obtenus iront en augmentant et s'ils ne peuvent « pas dépasser toute limite, ils approchent nécessairement

[■) Duhamel, — Des mêlhodes dans les sciences dw yaisonnement. 2"'° partie; page ild-

i( aulaiiL qu'on veut du plus pelU des nombres qu'il ne peuvent « pas dépasser, » C'est de la mCme manière que raisonne M. Briot. Mais qui ne sent que l'existence de ce minimum parmi les valeurs que ne peut dépasser la variable n'est rien moins que démontrée, et qu'en somme ce raisonnement se réduit h changer, sans l'expliquer, renonciation du fait intuitif. Ces démonstrations et toutes celles qu'on peut rencontrer reviennent au fond aux deux que développe l'auteur de ce livre, montrant chaque fois l'illusion qu'elles dissimulent. D'autre part, si on rejette toute démonstration, acceptera-t-on le principe des limites au même titre qu'une proposition de ce genre : « La même chose ne peut pas être et ne pas être en même temps? » Il est très clair, au contraire, que le principe des limites énonce un fait nouveau, une propriété particulière de la quantité concrète et continue. Le caractère d'évidence qu'il nous présente est dû h l'expérience seule. C'est bien un postulat que renseignement pose au début cîe l'analyse supérieure, réduisant ainsi h la vérité qu'il énonce comme à un minimum nécessaire la donnée qui lui sert de base. Est-il possible de dissimuler enfin ce postulat ? Il suffit, pour s'en convaincre, de lire 1' « Introduction à l'étude des fonctions d'une variable d, de M. J, Tannery. L'enchaînement rigoureux de définitions et déductions par lesquelles l'auteur nous conduit insensiblement du nombre entier ù. toutes les notions les plus élevées de l'analyse résout bien décidément le problème de reconstruction logique qui devait faire disparaître dans l'exposé formel des mathématiques toute lacune entre les chapitres anciens et les nouveaux. Pour comprendre par quel mécanisme simple il est possible d'atteindre ce résultat, qu'on se rappelle l'exemple des fractions déjà mentionné. A la condition de se résoudre à un pur formalisme, rien n'est plus aisé que d'appliquer ici une méthode identique. Nous sommes convaincus qu'une suite de valeurs croissantes mais ne croissant pas indéfiniment a une limite, quand sous ces valeurs nous avons en vue des étals successifs d'une quantité concrète : laissons de côté cette dernière considération et créons, en vertu d'une définition, la limite de la suite des vateur.g. Ce ne sera plus uns chose concrète, vue par intuition sensible, ce sera un pur symbole. Nous conviendrons de dire qu'il est supérieur à toute valeur atteinte ou dépassée par la suite qui sert à le définir, — inférieur h toute valeur qu'elle n'attemt jamais; — nous conviendrons des circonstances oîi deux symboles répondant à la définition nouvelle sont égaux, ainsi que des résultats d'opérations efTectuées sur eux, et, grdce au souci constant de faire correspondre ces définitions ou conventions aux vérités qui résultent pour nous

rie l'existence rie la limite, rien no sera changé dans la suite des déductions. Le principe des limites aura disparu de l'analyse en tant que proposition à établir — et, avec lui, la dernière [race de tout donnée expérimentale autre que la donnée initiale de l'arithmétique, le nombre. Mais, pour appliquer à ce dernier exemple les idées indiquées à grandes lignes dans celte préface, il est bien entendu que dès qu'on touchera à l'outil amsi affiné pour résoudre leplus enfantin desproblèmas, ayant Irait h dps longueurs, par exemple, la solution ne sera juslifiée et interprêtée que grâce à l'opinion que les symboles correspondent à des réalités,

La tendance à éliminer louLe donnée expérimentale autre que les données initiales est-elle une simple manie ries mathématiciens? — Manie dangereuse en ce cas, puisqu'elle a pour conséquence de donner à leur science une allure capricieuse e tl'ap pare nce d'un simple jeu d'esprit? — Cette tendance répond au contraire à une haute nécessité philosophique. Les éléments de notre connaissance, qu'elle qu'en soit l'origine, expérimentale ou rationnelle, se combinent dans noire esprit de telle sorte que le degré et la nature de la certitude qu'ils comportent sont souvent fort dilBciles à préciser. Or, la reconstruction logique des faits mathématiques a pour résultat de séparer nettement d'une part ce qui, en eux, pré-senle le caractère de la certitude, sinon absolue, du moins la plus haute à laquelle nous puissions atteindre, et d'autre part ce qui n'est qu'une vérité d'induction. En d'autres termes, elle a pour effet de créer une mathématique idéale planant au-dessus de toute expérience : c'est celle que connaissent surtout les mathématiciens. Derrière leurs échafaudages logiques, ils sont bien réellement à l'abri de toute objection ; et c'est avec raison que l'évidence de leurs conclusions est prise pour le type de la plus complète qu'il y ait à nos yeux. Sluart Mill prétend que !a certitude des vérités maUiématiques est inductive. Cette thèse n'atteint que les vérités mathématiques objectivés, pour ainsi dire, énoncées à l'occasion des êtres concrets que suggère l'expérience. Elle nous paraît en ce cas absolument juste, car elle revient à dénoncer l'éternel postulat qui se cache, pour reparaître au moment de l'application, derrière toute création du géomètre ou de l'analyste. Mais elle ne saurait porter sur les vérités logiques de cette mathématique idéale que nous venons de délinir. Celle-ci semble, il est vrai, n'être point débarrassée des données initiales : si on y regarde de près, on voit cependant qu'elle n'affirme rien sur ces données ellesmêmes, et montre seulement quelles en sont les conséquences si on les accepte comme hypothèses. Enfin la confection de celte mathématique toute formelle nous donne néanmoins sur

îes choses elles -mêmes une indication précieuse : elle nous apprend quel est le minimun rie propriétés qu'il suffit de supposer dans ces choses pourjustifler l'application des vérités logiques. Toutes les propriétés géométriques du cercle, par exemple, s'étendront aux ronds concreta, s'il en existe, dont tous les points sont' à la Kiême distance d'un centre. L'analyse supérieure s'appliquera aux quantités dont il existe des états correspondant & tous les symboles qu'elle a créés, etc. Et ainsi on apprend à connaître le minimum de propriétés caractéristiques par lesquelles un fait concret peut entrer dans l'engrenage des déductions de la mathématique pure.

Voilà d'où celle-ci tire sa r.iison d'être. Mais quel que soit l'intérêt qu'elle présente, nous croyons avoir suffisamment montré que, par son essence purement formelle, die ne saurait donner la solution d'aucun problème de connaissance concrète. C'est pourquoi les traités de mathématiques, si rigoureux qu'ils soient, et précisément d'ailleurs en raison de leur rigueur extrême, ne pourront jamais rendre superflue l'étude des problèmes de la connaissance tels que ceux que traite co livre.

Le Havre, ce 1^^ Avril 1887,

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