PRÉFACE

Le besoin de voii- clair dans la nalure intime des intôgrales des équations aux diffôi-entl elles partielles du second ordre me conduisit à l'élude des formules gi5néraies qui, comme celle de Fourier, servent Et exprimer les fonctions arbitraires. Ces recherches m'obligèrent ensuite Et considérer l'essence des fonctions indépendantes de toute hypothèse et celles de leurs intégrales. Sur ce point, je ne parvins e( jo ne pouvais parvenirà une inlelJigence' parlai le, qu'en soumeitani h l'éprouve de !a critique de la connaissance les concepts analytiques fondamentaux do grandeur et de limite. Je veux mainLenant, dans le travail dont ce livre contient îa première partie, parcourir en sens inverse, mais en moins do lempa, je l'espère, le chemin que j'ai suivi moi-même

11 s'agit, en effet, d'un ensemble de théories qui mérilent d'êlre bien solidement établies dans un exposé spécial et dont l'idée îondamentale devient évidente, dès qu'on porte sa pensée sur la répartition des sciences médicales. Dos ihéories générales s'opposent ici h des théories spéciales, comme à l'anatomio spéciale, Ei la paLhologio spéciale, etc., s'opposent les sciences générales de même nom. De même il paraîtrait à propos de distinguer dans l'analyse une théorie spéciale des (onctions et une théorie générale.

La première, en étudiant d'une manière très générale le.s fonctions de variables complesca, a pour but de représenter des fonctions de propriétés déterminées et d'étudier la nature de grandes classes de transcendantes, en particulier de celles qui ont des relations avec les fonctions algébriques.

La théorie générale des fonctions embrasse, à mon avis, lout ce qui se rattache a l'idée la plus générale de fonction : En tête je place la métaphysique des coucepts de grandeur et de \imite, comme servant de base à la théorie de l'argument, de la fonction, et de la condition commune de convergence et

de divergonco des différentes opérations infinies. Ce sont là, soil dit en piissanl, les questions traitées dans la première partie de mon travail. Puis, on trouvera la théorie çénérale des séries, l'étude de l'intégrabilité et de la différentiabdité des fonctions et les propositions générales relatives h l'intégrale définie ; ensuite la ttiéorie de l'expression de fonctions dites arbitraires h l'aide d'intégrales et de séries, mais en particulier les expressions de Fourier qui précisent davantage le concept de fonction, enfin difîérentes parties qui s'y rapportent dans la théorie des équations aux différentielles partielles du second ordre.

Ainsi, en peu de mois, ce que contient la théorie générale des fondions, c'est la théorie dès rapports de grandeurs et des opérations en général, c'est-à-dire sans qu'on ait essentiellem'ent en vue la représentation de dépendances particulières.

Depuis que, pour la première fois en 1872, j'ai publié, sous un autre titre, il est vrai, une étude sur ce sujet, il a paru des ouvrages qui poursuivent lo mémo but. Il pourra m'arriver de leur emprunter maintes choses de valsur, comme je fais pour Monsieur U. Dini, à qui j'emprunte des proposilions importantes sur la non differentiabilité de certaines fonctions. On verra cependant que mon travail pour le plan comme pour le fond mËme du sujet est absolument original. Cela est vrai assurément en ce qui concerne cette i'^ partie, mais aussi en ce qui concerne la suite, par exemple, le prochain fascicule dont le sujet est la théorie générale des séries, et oti, en dehors de ce qu'on trouve déjà dans les traités, j'apporte plus d'un aperçu nouveau.

Comme je l'ai dit, celte première partie contient l'examen, au point de vue de la théorie de la connaissance, des concepts de grandeur et de limite et l'application des résultats de cette étude auxlhéories de l'argument et delafoneiion. Le innblème qui touche fi la théorie de la connaissance, je cro'., l'avoir résolu ad-assem, et ce qui garantit entre autres choses la rigueur de la solution c'est qu elle explique, de la façon la plus naturelle les paradoxes qui se sont montrés tout récemment dans l'analyse.

Le concept de la limite analytique, ou {car en définitive il ne s'agit que de cela) celui de la limite de la fraction décimale, naît de certaines successions de représentations, qui ont, comme je le montrerai dans une autre occasion, une signification bien plus large encore. Selon qu'on coupe, d'après certaias principes, ces suites de représentations ou que l'on fait atteindre à la pensée leur terme idéal, il naît une double forme d'intuition dont on peut suivre la ligne de démarcation à travers toutes les spéculalions de la théorie de la connaissance.

Les représenlations, éléments simples delà pensée, eL dont la succession accompagne et régit tout acte mental, étant les matériaux primitifs de toute étude qui porte sur la théorie de la connaissance, doivent être précédées, comme notre étude sur les concepts analytiques fondamentaux, d'une définition suffisante du mot « représentation » (Vorslellung).

En effet le sens de ce mol, quoiqu'il soit d'un fréquent usage, ne parait pas Être établi avec la rigueur que demandent son importance fondamentale ainsi que la multitude et la variété immense des individus qu'il embrasse. Car il ne s'agit pas seulement des représentations visuelles, de celles de l'ouïe et des autres sens, mais aussi, par exemple, des représentations de douleur, de gaité, de colère, de volonté, etc.. Bref, on peut dire que tout phénomène psychique, qu'on l'appelle perception, sensation, volition, est également une représentation, ou, pour parler plus exactement, fournit à l'esprit une représentation de lai-même. Or, comment préciser et délimiter ces concepts 7 — Voici mon opinion :

Est une représentation toute aperception q^ui peut devenir un objet du souvenir, et sous (a forme même quelle affecte, à l'instant oh la mémoire la. reçoit. El je comprends naturellement aussi, dam la totalité des représentations, tout souvenir qui, par le travail de la pensée, s'offre à la conscience.

Ainsi se réunissent sous un môme principe simple et bien défini les représentations qu'on peut nommer directes cl qui sont les impres.-iions immédiates de nos sens, devenues conscientes, et les représentions indirectes Urées du souvenir.

Tûbingen, Février 188S.

Des conce|>ls de grandeur et de limite

Remarques préliminaires et énonciatioii la plus simple du problème principal

P-dC concept do limite , on eiiLend un certain mode de raisonnement en vertu dacjue], de la nature d'une suite de vîileups susceptibles d'être mesurées ou observées on conclut h l'existence da valeurs qui échappent à toute perception et dont l'esisleoce ne peut jamais se démontrer au sens ordinaire du mot. Malgré toul, d'ailleurs, nous sommes habitués h nous contenter sans sourciller de cette conclusion que nous appliquons constamment.

Cette façon de conclure h. l'esialenco cITective d'objets que ne peut atteindre aucune perception immédiate ou médiate, osl, comme on sait, familière à certaines sciences, ou l'on fait appel h une manière commune h tous les hommes de concevoir par intuition et de sentir. Mais ne faut-il pas s'étonner qu'une forme de pensée, qui est à peine plus rigoureuse, doive servir h consolider les notions fondamentales ies plus indispensables et les plu^ fécondes des mathématiques, c'est-à-dire, précisément d'une science qui plus que loutes les autres, se faU gloire de la rigueur la plus mélicu'euse et la plus nette, et qui chaque jour se montre incontestablement plus digne de sa réputation?

Quel mathémalicien pourrait nier que (surtout dnns l'idée qu'on s'en fait ordinairemenl) le concept de limîle et ses proches parents, ceux de l'illimité, de l'infinimont grand, de i'infiniment petit, des irrationnelles, elc... manquent encore de solidité ! Le professeur, qu'il écrive ou qu'il parle, a coutume de parcourir à pas rapides celle périlleuse introduction h l'analyse, pour se promener d'autant plus aisément sur les chemins si commodes du calcul.

, qua

les choses lea plus curieuses en dehors des chemins que suil la foule: Eh bien, nous nous proposons de parcourîp précisément ce terrain qu'évitent les autres.

Comme c'était h. présumer, nous reconnaîtrons bientôt que les difficultés inhérentes aux concepts que .j'ai mentionnés plus haut ne sont pas de nature mathématique : elles seraient sans cela aplanies depuis longtemps ! Elles ont bien plutôt leur origine dans les éléments simples de notre entendement, dans les représentations.

La solution de i'enigme, si je ne me suis pas trompé, est, que c'est et ce sera toujours une énigme ; seulement, cette énigme est, me semble-t-il, ramenée à son expression psychologique la plus simple. L'observation la plus tenace de notre pensée et de ses rapports avec la perception ne nous conduit pas au-delà de la constatation que voici : Il y a, pour l'esprit, deux manières tout-à-fait distinctes de saisir les choses, qui ont un droit égal à être prises pour l'intuition fondamentale de la science exacte, parce que aucune des deux n'apporte de résultats absurdes, du moms tant qu'il s'agit des mathématiques pures. El lorsque, da\is d'autres sciences, l'une de ces deux formes de pensée semble aboutir !i des contradictions, la majorité des penseurs a préféré jusqu'à nos jours supporter cet iaconvénieni, plutôt que de renoncer à l'intuition correspondante du monde.

Toujours est-il fort surprenant, qu'alors que tout ce qui pouvait cacher la vérité a été éliminé et qu'on peut s'attendre a on contempler enfin l'image claire et nette, elle nous apparaît sous une double forme. Celui qui le premier a vu à travers un cristal transparent la double image de l'objet simple, n'a pu en faite témoins ses amis avoc plus d'émotion que j'en ai moimême îl cet instant, oii, arrivé au terme de l'examen le plus scrupuleux et le plus infatigable, je dois me résoudre à exposer au lecteur le double mode d'intuition des principes fondamentaux de notre science.

Ces deuJi modes de représentations, je les nomme, me rattachant en cela à des concepts familiers, Idéalisme et Empirisme. Pour les caractériser tous deux en peu de roots, l'Idéalisme croit h la vérité de certaines formes limites de nos idées exigées par noire entendement, mais qui sont en dehors de toute perception et de toute représentation sensible ; l'Empirisme est le système de complète abnégation, il n'admet comme existant ou comme correspondant à l'existence, que ce qui peut-être perçu ; il ne se confond ainsi en aucune façon avec lo pyrrhonisme classique.

Nous avons indiqué dans ie concept de limile le problème auquel reviennent nos recherches acLuellea, il noua faut maiatonant en montrci- plus neUemenl l'objet.

En oherciiaiit à, donner h la question la forme la pins générale et la pins abstraite, au sens d'une règle de calcul qui se continue indéfiniment ou d'une opération dite inlînie, nous apercevrons tout de suite aussi la lorme la plus simple du raisonnement dont les formes variées qu'il afTocte dans l'analyse n'ont pas toujours été .jusqu'ici à l'abri du reprocbe du manque de rigueur. Et, dans cette forme simple, il fiiudra ensuite analyser cette conclusion jusqu'à complète satisfaction de notre soif de connaître, qui, de son côté, doit se calmer en présence d'une limite effective de notre pouvoir de connaître.

Des principes et méthodes de l'analyse oii le concept de limite forme l'hypothèse essentielle

Nous désignerons par f (x) une suite de représcnLations liées à une nuire suite de représentations x de telle manière que, à chaque représentation particulière, x, corresponde une représentation particulière f (x). A cette forme la plus générale du concept de fonction ou dépendance uniforme répond aussi la manière la plus générale d'arriver au concept mathématique de la limite : Il sumt d'imaginer, sous les représcnlafions, des états comparables numériquement à d'aulres de même espèce, de telle façon qu'on puisse substituer h ces représentations ou à ces états leurs mesures numériques, ce qu'on appelle leurs va'eurs. s désigne alors une suite de grandeurs qu'on peut exprimer en nombres. Nous imaginons ensuite, pour expliquer le concept de limite, qu'elles augmentent jusqu'à dépasser finalement toute borne, à peu près comme le temps qui s'écoule depuis un instant déterminé jusqu'au présent qui recule indéfiniment. Il y a cependant une difl'érence, c'est que l'accroissement de nos grandeurs n'a pas besoin de passer par tous les degrés, elles peuvent procéder par bonds, comme font les aiguilles sautantes de certaines iLorioges, ou passer par des suites de valeurs se succédant sans règle et' d'une manière absolument quelconque. Si maintenant il existe une grandeur déterminée Y, dont, x croissant, f {k) s'approche indéfiniment, de telle façon qu'il existe toujours des valeurs suffisamment grandes de s, pour que à partir de ces valeurs la différenceY — f(x} devienne, et reste ensuite plus petite que

n'importe quelle grandeur si petite qu'on l'imagine, Ys'appelie la limile de f (x) et on écrit :

Y — limi{x).

Ainsi, X croissant par des valeurs quelconques, 1 est la limite de . ^~ , et X prenant toutes les valeurs entières, 2 est la limite

de 1 +-—+ 4-+--"-§r- Enfin, zéro est la limite de^^. Au contraire il n'y a pas do. limite, par exemple, à la série des nombres entiers 1,2,3, ... pas de limite non plus, par -conséquent, h la suiie de tous les nombres x, quand ce symbole représente tout nombre entier ou fractionnaire. Les phénomènes périodiques, comme les révolutions sidérales, n'ont pas de limile, supposé que le mouvement des planètes reste dans l'avenir ce qu'il a été dans le passé, Le concept général de fonction comprend aussi: les opérations dites infinies ; par exemple , les séries et les produits infinis , les fractions

continues, les intégrales, etc Dans les séries elles produits

infinis, x désigne, comme dans l'exemple cité plus haut, le rang du dernier élément auquel on limite provisoirement l'opération.

Presque h chaque pas dans l'analyse on se trouve en face de cette question : Telle ou telle fonction f (k) a-t-elle ou non une limite, lorsque x ou bien tend vers une valeur déterminée ou bien croît indéRniment? L'analyse nous pose si souvent celle question que, pour la résoudre, il s'est amassé dans le cours des années un trésor extrêmement abondant de propositions, de règles et de théories, dont quelques unes nous sont si familières que nous les appliquons inconsciemment comme les règles du calcul élémentaire. Dans les opérations iafloies, dont je viens de parier, on oommH critérium de con\ergenoe ou de divergence les règles qui décident de l'existence ou de la non existence d'une limite.

Manlenant, foutes les propositions, règles ou théories, semblent pouvoir être considérées comme transformations et raisonnements purement mathématiques, grâce auxquels dans le cas même le plus compliqué, apparaît toujours cerlain critérium extrêmement simple qui résoud immédiatement la question de l'exislence d'une limite. Ce critérium est fourni par la proposition suivante qui certain emont est très acceptable quand même on la laisserait sans démonstration :

Si la différence f(xi) — (fx) (xj > x), à partir d'une valeur suffisamment grande de Xi et pour des valeurs arbitraires de la diff'érence Xi — x, reste au-dessous d'un nombre choisi avsti petit qu'on a voulu, la fonction f (x) a une valeur limite déler-

minée. Mais si, pmr n'importe quelle valeur de x, si grande qu'elle soit, on trouve pour f(xi) — f{x) (toujours x, > xj ries valeurs supérieures à un petit nombre quelconque mais indépendant de la variation de x, i^x) n'a pas de limite.

Celle proposition n'est d'aiîleurs qu'une extension de la règle générale pour la convergence des séries donnée par

Gauchy : Pour que la série w, + Wj -j- aoit convergente,

il faut et il suffit que m,„ + Wm-i-i +. . . . u„ ait la limîto zéro, quand m et « croissent indéfiniment.

Je nomme la proposition concernant f(x) le principe général de convergence et de divergence, parce qu'en elTct je trouve que dans tous les raisonnements concluants, de moi connus, touchant la limite, on finit toujours par reconnaître que dans cette règle réside la force de la démonsiration.

On peut affirmer que ce principe, de concert avec la définition de la limite d'après laquelle il faut concevoir une grandeur Y dont la différence avec f[x) tombe au-dessous de toute quantité quand on Fait croître x, teprésenle phychologiquement une grande partie du domaine mathématique, tout au moins la partie de ce domaine qui traile des difficultés inhérentes aux concepts. Dans ce sens, nous pouvons dire que notre recherche sur les concepts fondamentaux des malfiématiques revient à la complète intelligence de ce principe.

Il comprend deux parties, l'une affirme l'existence d'une limite et l'autre l'exclut sous une condition déterminée. Le concept de limite est ainsi chaque fois supposé. En réaliié, il s'agit avant tout de la première partie parce que des voies purement mathématiques conduisent de la première îi la seconde. Maintenant, on peut démontrer la proposition, de même que la règle fondamentale de Cauchy, très facilement de plusieurs manières et cerlainementiivco ce degré de rigueur dont peuvent se flatter les démonstrations d'autres principes connu". Mais si, dans de pareilles démonstrations on revient de plus en plus aux idées élémentaires dont elles sont formées, et qu'îi chaque conclusion on se pemande à nouveau si elle est bien satisfaisante, on découvre alors dans chacune d elles au moins un point qui correspond à une lacune dans la suite de nos représentations, où sans transition quelque chose survient dont on ne cherche même Jamais à démontrer l'existence. Ce quelque chose est la limite môme. Si près fie nous qu'elle soit placée, un abîme insondable nous en sépare toujours ; la continuité des représentations est interrompue quelque part. On atténue ce fait en disant : passer à la limite, pour exprimer le saut que l'on fait par dessus cet abîme, mais ce mot indique bien à quel point on a conscience d'une lacune. En eiïet, si on ne connaît pas déjà la limite d'une fraction,

comme dans no3 exemples simples donnés plus hdut, mais que, la condition posée parle principe généfal étant remplie, on arficme que la fonction doit avoir une limite, voici alors exactement le sens de ce qu'on affirme : Le symbole i{x) crée ou engendre une grandeur dont on ne savait rien jusqu'ici et qui, sans l'opération lïx), n'avait pas besoin non plus d exister. Mais en quoi consiste une grandeur limite ainsi engendrée ? Comment doit-on la concevoir ?...

Bi, par exemple la série, 1 + "o" + 2~2 "^ g g '^ + . . . a

pour limite 2, c'est-à-dire un nombre, comme on peut l'établir facilemunt en faisant voir que ce nombre salisFait h la condition

delalimitef c'est-à-dire que la difTérenceâ — ( 1 +"ô-+''"2nl

quand n croît indéfiniment, devient aussi petit qu'on veut, aucun homme n'a encore vu le nombre ou la fraction décimale ou une autre chose quelconque qui représente la limite delà

suite i + -^ + ô— û+ p q "7 + - ■ ■ Personne n'a vu le résultat numérique de l'extraction de la racine carrée de 2, supposée prolongée indéfiniment, résultat que nous désignons par |/^ pour effectuer sur ce symbole fautes les opérations aussi naturellement, par exemple, que sur le nombre 3 lui-même. Si cependant on affirme que ces limites existent, ou bien cette affirmation est fausse, ou bien elle a besoin d'une expliuation qu'on cherche vainement dans les ouvrages de mathématiques spéciaux et à plus forte raison dans les écrits philosophiques qui s'y rapportent.

Toutefois, la formation de la limite par la variation absolument indéterminée d'une fonction !)[x) (c'est ainsi que nous la supposons jusqu'ici) est évidemment comme f(x) elle-même un ensemble très vaste de représentations oîi nous nous efibrcerons plus lard d'apporter de l'ordre dans le chapitre qui a trait au principe général de convergence et de divergence. I! y a un cas particulier du principe général, suivant lequel une fonction qui varie toujours dans le même sens (*) et qui n'aug-

(") Expression abrégée pour déaignei" une fonction qui ne fait qu'augmenter ou que diminuer chaque fois qu'elle varie. Cela n'exclut pas qu'elle soit constante dans des intervalles entiers ou partout. C'est ce que I^jaune-Dirichlet voiilait désigner en disant : la fonction ne diminue jamais ou n'augmente jam^s. (Dove's Repert, Bd I, Darsfallling WillkuhplÎBher Functionen durch. Reiiien). M. Neumann a proposé naguère d'appeler monotones, des fonctions soumises aux restrictioiis en question, et nous ferons aussi usage de ce terme, où cela paraîtra convenable.

meute ni ne dimminue au-delà de toute limite, doit nécessairement avoir une limite déterminée. Il conviendrait déjà bien mieux, comme représentation plus simple, à la recherclio de l'origine da concept de limite, et enfin il présente lui-même dans un cas tout spécial un mode de construction de la limite bien plus simple encore grâce auquel, comme je le montrai aussi dans le chapiire cité, la lacune que j'ai relevée dans la déduction des propositions générales se trouve diminuée. J'ai en vue l'expression habituelle de ce qu'on nomme les irrationnelles h l'aide de fractions décimales illimitées. Elle équivaut ainsi, pour nous, à l'expression la plus simple de tout ce qui dans l'analyse des opérations infinies apparaît encore en définitive comme non démoniré.

Dès que l'origine de la limite de la fraction décimale n'aura plus d'obscurité pour nous, le charme sera rompu et l'analyse sera maîtresse chez efie. Elle gouvernera alors aussi aisément et sûrement dans l'immense variété des rapports de grandeurs, que l'a fait de tout temps la théorie dos nombres entiers, dans son domaine plus étroit.

On le voit, les réflexions que suscite le mode de raisonnement fondé sur lo concept de limite pourraient déjà être soulevées par les opérations arithmétiques les plus usuelles, comme le développement d'une fraction décimale illimitée. Seuloment.danslesmathématiques élémentaires où les fractions décimales illimitéee ne servent tout au plus qu'au calcul , qu'est ce qui aurait pu éveiller le soupçon que tout n'y est pas absolument net? L examen du problème de la limite qui va suivre a été bien plutôt amené par certaines combinaisons HOuvelles et hardies qui prennent naissance quand on transporte aux variations des fonctions les différences infiniment petites du « cunlinuum > des nombres, et c'est précisément dans ces combinaisons qu'ont paru surgir des difficultés de conception insurmontables.

En effet, Fourier qui, en donnant aux géomètres des exemples nombreux de discontinuité des fonctions, nous a mis sur la voie de la notion moderne de la fonction analytique, ne connaissait pourtant que des fonctions continues, comme celles que l'on avait étudiées jusqu'à lui , et ne présentant que dans des points isolés des interruptions de continuité, h savoir des changements brusques de valeur. Cette représentation trop restreinte des fonctions, comme devant, à l'exception de quelques points isolés, varier d'une manifre continue à l'instar des fonctions algébriques et des transcen-rdantes les plus simples, c'est Lejeune Dirichlel, que je sache, qui le premier en a fait sentir l'insuffisiince. Mais ces idées préconçues sur la marche des fonctions n'ont disparu pour tout

de. bon que devant les fonctions continues qui n'admettent' pas de dérivées, et les fonctions toujours discontinues et pourtant inlâgrables fonctions qui ont été sauvées pour la science, du trésor d'idées qu'un des plus profonds et malheureusement des plus laconiques cherclieurs do ce siècle a emporté dans son tombeau prématuré les unes, par des élèves dignes de son enseignement, les autres, par une circonstance heureuse,

Vne rapide sur la recherclie qui va suivre

U[ie recherche aussi sérieuse que celle que nous allons faire sur la démonsltation du concept delà limite, devrait raisonnablement se demander avant tout : En quoi consiste une démonstration mathématique ? Quel critérium la (era déclarer satisfaisante ou défectueuse? Laissons pourtant de côté ces questions embrouillées. Je crois que pour juger la valeur d'une démonstration, on peut aujourd'hui s'en fler au sens logique, devenu depuis quelque temps beaucoup plus délicat, d'un, mathématicien de profession. La définition scientiflque de la démonstration mathématique, réussira peut-êlre lin jour par une voie analogue h celle qu'a ouverte la logique du calcul de Boole, que M, Scbroeder, en la remaniant, nous a rendue plus accessible.

• Il est pourtant bien évident que, pour démontrer ou concevoir, ii faut relier à une représenlalion initiale déjà c-iistantc ou h un concept (c'est-à-dire h l'ensemble de qualités communes à une classe de représenîations) une représentai ion finale, qui est précisément l'objet nouveau à démontrer ou h concevoir, etcelaà l'aide d'une chuîoe de représentations don tl a génération successive et continue ne surprend jamais, jamais ne trouble la quiétude de noire conscience allenlive, Pour concevoir, l'esprit remontera de la représentation nouvelle à la représentation initiale ; pour démontrer, il suivrais chemin inverse. En tout cas, notre étude qui porte sur les valeurs numêriqu.'-s, exige que nous mettions tout d'abord en pleine lumière la représentation première ou le concept initial, qui ne peut être que le concept de la grandeur d'une façon générale et tout particulièrement, pour parler avec plus de précision, de la grandeur mathématique considérée surtout dans son rapport avec le nombre.

Après avoir solidement établi le concept de grandeur mathématique ncus pourrons attaquer notre problème principal, le concept de limite, ou tout siraplomenL; la recherche de la limite d'une fraclion décimale. Là, notre pensée devra, comme nous l'avons dit, suivre deux voies différentes. Nous

tâcherons de déoripe deux modes d'inLuilion absolument opposés l'un à l'autre, dont aucun cependant ne saurait avoir notre prétérenoe. Pour les développer aux yeux du lecteur tout-à-fait indépendamment l'un de l'autre avec leura propositions inconciliables, j'ai adopté une l'orme particulière d'exposition.

Que le lecleui' veuille bien se supposer par la pensée dans le cas suivant. Après que je me serais par occasion, entretenu avec deux savants amis sur les intuitions fondamenldes de l'analyse, je les aurais priés de mo communiquer leurs idées par lettre avec plus de détails, ce qu'ils m'auraient promis de faire do bonne grâce. Ensuite j'aurais, avec leur permission, soumis à chacun des deux le.s communications de l'autre, et j'aurais ainsi provoqué cet échange écrit d'opinions que je me permettrai de soumettre au lecteur, après avoir analysé le concept de grandeur. Je me sois efforcé de faire raisonner mes deux interlocuteurs avec la même rigueur, et il ne dépend donc pas de ma bonne volonté que le lecteur réussisse à montrer une faute de logique dans les raisonnem'Uls de l'Idéaliste ou de l'Brapiriste.Tj'Idéalisle prendra le premier la parole.

L'idée, suivant laquelle deux modes d'intuition essentiellement distincts pour les concepts fondamentaux de l'analyse, sont non-seulemeot indiqués dans ce qui soit, mais réalisés méthodiquement, peut d'une manière générale s'entendre ainsi : à l'égard des limites, ou termes hypothétiques de nos suites de représentations qui ne sont graduées qu'en plu.s ou en moins, nous avons coutume de prendre posiiion de différente manière suivant nos dispositions naturelles ou notre éducation ; aucune raison logique n'entrave la liberté de notre choi::. Cette pensée semble d'ailleurs être aussi un excellent guide dans les principes fondamentaux d'autres domalui^s de la connaissance humaine, comme je me propose de le montrer sous peu dans un travail spécial.

, lien est de la limite du nombre décimal sur laquelle la foule ne voit ni ne veut accueillir l'ombre d'un doute, comme du fameux axiome d'Euclide.

A quels efforts ont dût. s'astreindre les esprits les plus distingués pour démontrer chacune des vérités dont l'évidence apparaît spontanément & un garçon charpentier ! Mais le but et le bénéfice de ces recherches ne furent pas seulement une pure certitude géométrique, mais une intelligence plus profonde du mécanisme de la pensée humaine. Car, pour trouver l'origine de ces intuitions géométriques naturelles, il fallait analyser la représentation d'espace qu'a l'esprit Immain et remonter jusqu'à la manière dont il l'a acquise.

La. conclusion des considéralions suivantes, qui doivent servie d'introduction à la tliéorie générale des fonctions, sera fouraie par la théorie malhémaliquc du concept de limite et du principe général de convergence. C'est seulement après une aussi longue traversée sur une mer philosophique, que nous foulerons pour la première fois avec celte question un terrain ■"""■'imalique, etil ne nous arrivera plus désormais, — i:e a résultat de noire étude sur les concepts — de sentir ce us manquer sous les pieds.