CHAPITRE m

L'argument

47.— Reiuarc[ues préliminaires et vue générale.— Pour l'Empirisle eL l'Idéaliste, une valeur particulière fie l'argument eat une longueur qui va d'un point initial fixe à un point Qnal arbitraire, longueur qui peut toujours s'exprimer en tonciion de l'unité de longueur, h l'aide d'un nombre au sens général, c'est- îi- dire à l'aide d'un nombre rationnel ou delà limite d'un pareil nombre. C'est pourquoi, au seuil de la théorie des fonctions, nous nous réservons la liberté d'imaginer l'argument suivant ie besoio du moment, bu à volonté, soit comme extrémité de longueur, c'est-à-dire comme un point définissant une distance, soit comme un nombre, c'est-à-dire comme un rapport numérique à une unité de longueur.

Bien que la représentation géométrique forme le sens primitif da l'argument, les opérations de l'analyse ont essentiellement affaire à sa détermination numérique, et on n'a pas besoin d'avoir toujours présente sa représentation première, La repréaenlalion de nombre se substitue à celle de lougueur, comme son signe, de même que dans la pensée le mot nous épargne de faire renaître des représentations réelles, processus que j'ai décrit en détail dans l'article 18. Si nous pouvons suivant notre naturel nous passer plus ou moins de la représentation de quantité, et entendru par argument une succession de déterminations numériques, il n'en eat pas moins vrai que la représentation géométrique fondamentale ne saurait être complètement mise do coté. Elle domine même le langage. Nous parlons d'une certaine étendue, sur laquelle sont distribuées les valeur^ d'argument caram^ points; Nous partageons les étendues en étendues partielles; nous construisons sur les points de ces étendues des valeurs de fonction, etc.

Voilà pour la valeur d'argument isolée.

De môme là où il s'agit de la représentation simultanée d'une multitude de valeurs d'argucient isolées, les conceptions de l'Idéaliste et de l'Empiriste ne diffôrent pas essentiellement. Tous les deux se la représentent géométriquement comme une série dépeints isolés, aussi dense qu'on voudra, voire mémo indéfiniment dense; car la limite imposée par l'Empiriste h ce resserrement peut être reculée à volonté par raffinement de la représentation. Une diiïéreuco profonde au contraire règne entre leurs manières d'entendre l'ensemble de toutes les valeurs d'argument, qui sont possibles entre deux points, \s.panlachie complète, comme nous le nommerons tout-à-l'heure.

L'étude des groupements possibles des valeurs d'argument sur l'étendue d'argument, de leur resserrement croissant, enfin do l'ensemble de suites de valeurs et de ses rapports h des ensembles de points plus pauvres : voila les éléments essentiels de la théorie de l'argument ^laquelle M. Cantor a incontestablement rendu de très grands services.

Mes travaux sur la théorie générale des fonctions, c'est-àdire sur des problèmes concernant l'intégralité et le domaine de validité des formules de représentation, m'ont fait, découvrir depuis longtemps des voies absolument analogues aux siennes. Pourtant je ne me suis occupé que de la distribution des points sur l'étendue d'argument et des méthodes d'exposition des nombres irralionaels , tandis que le concept de dénombrement joint h. la théorie de la puissance relative des divers ensembles de points appartient en propre ô M. Gantor. (*)

Je compte dans la suite de cet ouvrage revenir sur la théorie de l'argument et sur de nouvelles méthodes d'engendrer les irrationnelles dont il se compose, sans plus m'occuper de l'opposition des systèmes idéaliste et empiriste. Ici, après avoir développé le concept exact du partage de l'étendue d'argument, j'exposerai d abord la théorie de la répartition des poinis telle qu'elle s'est présentée à moi et avei, mes propres expressions (art. 19, Sqq ) (' ) et i ajouterai Ir pa t e

(') Sur une propriété de l'enspn I le de t ta, les Vdie rs algél r que réelles — Voir Boni, Journ. to 77 — Coutr but oi à la theor e de ensembles Borch, Journ. tom 84, — Acta Mafh t 2

(") Je m'estime d'autant plus f n )é présente cette tkeor e telle qu'elle s'est offerte à moi d'elle n eme ueo pai les besuini le U théorie des fonctions, que j'm déjà publ é ça et la ^uel | les fragments isolés et que Vbî communiqué par lettre à M Cantor la nécessite de la disposition générale de l'article 49 plus d un an a ant sa p ibl cat on (Leipz. Ann, X¥) je considère comme ma propriété, avec la triple division

3ui en résulte, le concept général de pantachie des points et des éteniies, qui n'est pas né de la spéculation, mais au contraire, s'adapte spécialement à la théorie des (onctions, et en résulte avec nécessité,

yGoosle

qui s'y rapporte — de la théorie du dénombrement et de la puissance relative dos ensembles. Tout cela encore, sans me placer au point de vue essentiel de l'opposition des deux intuitions fondamentales. La dernière parlie du chapitre a ensuite pour objet la séparation de la théorie en ses parties essentielles d'orig'ine idéaliste ei d'origine empiriste.

48. — Partage de l'éteadue d'argument. — Qu'une valeur d'argument particulière signifie donc une longueur avec le point pour signe, ou bien un nombre, l'argument, considéré comme l'ensemble de toutes les valeurs qu'il représente, ne doit pas être identifié sans restriction à Une longueur arbitraire. Entre étendue d'argument et longueur il y a une différence qui lorme une partie essentielle du concept d'argument. Cette différence apparaît lors du partage de l'étendue d'argumenl.

Une valeur particulière Xi peut partager les valeurs d'argument de l'intervalle (0,1) des trois manières suivaules :

0^ ^ ^ ^, et, a>, <,x <i

0<x < X, et i», < a; < 1

0< œ < ic, et iC, < 3: <i

Ainsi donc, étant données deux formules dont l'une soit variable dans la première partie de l'intervalle (0,1), l'autre dans la deuxième, elles ne sont complètes que si Von indique en outre auquel des [rois cas elles s'appliquent et, dans le troisième cas, ce qui arrive pour le point isolé (d.

Bien que ces trois cas du partage de l'argument s'accordent avec la conception habituelle d'un terme d'une limitation en tant qu'elles reviennent h l'inclusif et à l'exclusif ordinaire, ils cachent cependant une diiflculté spéciale, qui se réduit bien finalement à une question de définition, mais qu'il esl très utile d'avoir expressément aplanie. Cette difficulté prend naissance quand on considère ces trois modes de partage comme un procédé pour décomposer en parties l'étendue unité. Voici simplement ce qu'ils signifient : Des deux parties de l'étendue unJlé ou bien l'une ne possède pas de terme, du moins pas de ferme représentable, palpable, ou bien, il en est de même de la deuxième partie, ou bien enfin aucune des deux n'a de terme, en ce sens que le point qui devait le former est retranché des deux parties. Gela ne répond pas à notre représentation habibiluelîe de parties dans laquelle les parties nous apparaissent de même nature que le tout, et n'en différent qu'en grandeur. Nous devons donc nous demander : Gomment n'imagine- t-on pas plutôt l'étendue unité partagée en étendues ?

0< a? ^ aj, ! jw, < a.' ^ 1 , au lieu de prendre dûs étendues avec une limite non représenlable ? Il faut répondre à cela que ce fait se produit dans un partage réel. Si on imagine les quantités linéaires réellement décomposées, ou donne naissance à des parties de m6me nature que le tout, comme c'est leur caractère, et ces parlies, au cas où l'étendue unité est l'objet partagé, seraient en effet délimitées d'après l'indicalion

Notre procédé de partage donné précédemment ne s'appliquait pas à la longueur en soi, mais &. la longueur en (ant qu'argument, à l'étendue d'argwment. Noos identifions bien une valeur d'argument isolée avec une longueur, mais une étendue d'argument désigne une suite de valeurs ordonnées tuivant leur grandeur, de telle façon qu'une quantité numériguement déterminée nepuisse se présenter qu'une fois, comme dans la série des nombres entiers chaque nombre ne se présente qu'une fois. C'est cet élément essentiel du concept d'argument qui fournit avec nécessité ces partages sans terme représentable. Le sens net Pt clair est donc le suivant ;

Le symbole

désigne h gauche toutes longueurs plus pctiLes que xi, portées sur l'étendue unité à partir de zéro, et, en outre, la longueur xi elle-mSmo ; à droite, toutes les étendues supérieures h ce,, portées à partir de zéro. Le symbole :

0<a!< an, ) X, <iK <1

désigne à gauche toutes les étendues plus petites que œ, ; h droite l'étendue x, et les étendues supérieures. Enfin

O^X < X,> iC, ! iB, <1B<1

désigne à gauche les étendues inlérieures à ic, ; au milieu, Xi ; et à droite, tes étendues supérieures à iCi ,

Le mode d'intuition erapiriste, suivant lequel les longueurs sont formées de points, fournit une imago claire de ces suries d'extrémités des suites de valeurs d'argument.

Si nous n'ajoutons aucune détermination pariiculière, on devra dans ce qui suit considérer une étendue ou un intervalle de l'argument comme impliquant les extrémités, et nous dési-gnerons en général par {a, h)

yGoosle

49. — La première et la pins générale distinctton entre les systèmes de points. — La répartition des points dans un intervalle — nous supposerons toujours l'intervalle (0,1) — peut avant tout être de deux sortes :

D'abord la détermination à laquelle est soumise une espèce de points peut être telle que toute portion de l'intervalle si petite qu'elle soit, contienne des points de cette espèce. Nous nommons une teile distribution de points pantaahique, de Travra/^, TcïvTtc^o^. Nous nommerons aussi pour abréger une distribution de points pantachiques — \m& pantachie .

D'autre part la répétition des points peut être de telle nature que dans aucune portion de l'intervalle, si petite qu'elle soit, elle ne so\\, ;pantachique . Cette distribution de points devra s'appeler a/)aniarf!gi*e ou une apantachie.

Ce sont là deux classes générales de distributions de points dont nous alîons nous occuper sur le champ. Observons pourtant tout de suite qu'elles n'épuisent pas toutes les distributions de points possibles ; des répartitions de points peuvent n'être ni pantachiques ni apan tactiques, et ne pas se laisser décomposer en un nombre fini d'étendues patanchiqucs et apantacbiques (voir plus loin la note, art. 51).

Un exemple simple et particulièrement instructif de systèmes de points pantachiques est donné par les déterminations de points dyadiques ou décadiques. Choisissons, pour que l'exemple soit plus intuitif, les points dyadiques, dont la définition est :

oii chacun des oi peut être zéro ou un, et oii n peut croître autant qu'on veut. Cette définition de Z est pantachique, parceque, étant donné un intervalle si petit qu'il soitn'importo oîi sur l'étendue unité, las a et les n peuvent toujours être déterminés de manière qu'un points? tombe dans cet iîiliirvalle. Si on lire ensuite de la définition dyadique la suivante :

of] chacun des a peut-être zéro ou un, cette définition désigne alors l'ensemble de toutes les valeurs possibles entre zéro et un — puisque, (art. 46) — avec des suites de valeurs de la

forme -i- ,-J- -\-^ , , . . . on approche autant qu'on veut de toute valeur comprise entre zéro et un. Si on veut regarder cet ensemble de toutes les valeurs possibles comme un système de points sur l'étendue unité, il est alors naturellement pantachique x«t' î^û/;>iu.

Quant aux systèmes apanlachiques, on en trouvera plus loin de norabreux exemples. Nou;s allons dès maintenant discuter les deux espèces principales de systèmes, en commençant parles systèmes pantachiques.

50, — Répartition des systèmes de points pantachiques. — Les deux panlachies de l'article précédent qu'a Iburnies la définition dyadique établissent une disLinetionimportanle entre les systèmes de points pantachiques ou mieux entre les ensembles de valeurs pantachiques.

Soit donnée une définition^ qui fournisse un nombre fini aussi grand qu'on veut de points et suposons que ces points, quand on en augmente le nombre en disposant convenablement des quantités arbitraires de la définition, finissent par se présenter dans tout intervalle si petit qu'il soit. Je nommerai ce système de points une pantachie illimitée. L'ensembifi limite des pantachies illimitées — c'est-à-dire l'ensemble de tousles points possibles, je le nommerai pantachie complète.

Entre ces deux classes extrêmes de systèmes pantachiques, il y a des pantaohiea sans nombre formant les classes intermédiaires, et auxquelles nous -donnerons un nom, — parce qu'elles inlerviennenl dans la suite de ia théorie. Je désignerai d'un même nom toutes les pantachies qui ne sont pas illimitées, ce seront les pantachies infinies. La pantachie complète est également d'après cela une pantachie infinie. On en obtient encore, si on retranche de la pantachie complète les nombres rationnels, par exemple, ou le.? nombres dyadiques ou les nombres décadiques, ou n'importe quelles pantachies inimitées ou apantachîes en nombre aussi grand qu'on voudra. De cette façon on obtient des pantachies qui ne sont pas simplement illimitées, parce que, comme on le verra à propos du concept de dénombrement, une pareille soustraction d'un nombre quelconque d'apantachies ou de pantachies illimitées ne réduira jamais la pantachie complète à l'état de pantachie illimitée. Qu'il existe encore des pantachies infinies d'une autre provenance, nous n'en savons rien jusqu'ici. L'expression; « pantachie infinie » est empruntée h l'intuition idéaliste. L'Bmpiriste pourra la tolérer comme un simple mot.

51. — Les systèmes de points apantachiqaes. — Passant aux systèmes apantaohiques, puisons dans leur riche variétés les exemples les plus simples et les plus clairs.

Nous placerons en tête le système de points isolés, que nous nommerons aussi pour abréger systèmes tsoie'j', entendant par là un système de points en nombre fini aussi donse qu'on veut, mais déterminé, de sorte qu'on ne peut pas comme pour les

pantachies illimitées, resserrer les points autant qu'on veut un disposant de paramètres. Ainsi k la formule :

^ = 'i + |- +...+IS

coiTespond un système isolé, si on met à la place des a toutes les combinaisons de zéro et de un.

Le système plus complexe qui vient immédiatement après prend naissance quand nous imaginons un système de points isolés qui dans le voisinage d'un point déterminé finissent par se resserrer de plus en plus et indéBniment comme les

points -T- , -T- + -^- , -j + -5- +v^-,... se resserrent indéfiniment en approchant du point -s . Un exemple de pareils points de convergence, (*) & l'intérieur d'un système d'ailleurs isolé, est fourni par les racines desîw — := autour du pointa;^ 0. De

tels pomisrfe convergence du premier ordre peuvent se présenter dans un intervalle aussi souvent qu'on veut, comme

cela a lieu pour les racines de sin -v— — :=: 0, quand a est pris

suffisamment grand.

Puis les points de convergence peuvent converger euxmêmes vers un certain point, comme la séparation des racines

de sin ~: — r :zz autour de x^= en donne un exemple. De

tels points de convergence de deuxième ordre se présenicnt à leur tour innombrables dans un intervalle, comme le montrent

les zéros de sin -i- 1

sin a m' De colle façon on arrive d'une manière générale aux points 111e le point ic — pour les

oîi le signe sin revient n i'ois.

[') Vi!nlichUiiipK|nMic.tc

De la formation synthétique qui précôdo des points de convergence du n"= d'ordre résulte que, si on exclut tous les points de convergence d'ordre n par des étendues aussi petites qu'on voudra qui les contiennent, il ne reste plua que des points de convergence d'ordre n— I, et si on continue h. exclure ainsi les points de convergence en passant toujours d'un ordre h un ordre moins élevé d'une unité, il ne restera plus qu'un système isolé. — Cette exclusion des points de convergence à l'aide d'étendues suFEtsamment petites, peut, comme on le voit aisi^.ment avoir toujours lieu de telle manière que la somme de toutes les étendues destinées à cette suppression se trouve moindre qu'une étendue donnée si petite qu'elle soit. Nous pouvons nommer de pareils systèmes o systèmes isolés après suppression des points de convergence jusqu'à l'ordre n="^».

11 est important de remarquer que de ces points de convergence de points on tire également des points de convergence d'étendues. Entre un premier point quelconque et un voisin à droite, par exemple, une étendue est marquée; entre le troisième et le quatrième à droite, et entre le deuxième et !e troisième à gauche deux étendues sont marquées, etc , . . Il se forme ainsi un système de convergence d'étendues d'ordre arbitraire, (') quon peut couvrir d ailleurs de systèmes de points quelconques. Imaginons, par exemple, le système des étendues convergeant autour du point de convergence des

zéros de sin - , et sur une première étendue quelconque mi

système de points avec un point de convergence du 1" ordre. Sur l'étendue voisine, dans la direction du point a;^o, imagi ■ nons un système de points avec un point de convergence du 2"° ordre, etc. . , ; l'ordre des points de convergence croit aude-là de toute limite quaûd on s'approche du point x^o. Le point X zn o est, d'après cela, point de convergence d'ordre indéfiniment élevé. Comparé au précédent, ce système de points se comporte ainsi : Nous pouvons également en excluant des points par des étendues, dont la somme resie inférieure à une limite si petite qu'elle soit, le réduire à un système isolé. Car, dès que par une étendue aussi petite qu'on veut nous avons e!.olu le point zéro, le système de points qui reste des deux côtiîs ne contient que des points de convergence d'ordre fini. La différence entre co système et ceux qui ont des points de convergence d'ordre n est que si nous avons exclu le point zéro, l'ordre le plus élevé des systèmes de points

(') VcrJichtungssvstem Ijeliebigfic Ordniiny Von. Strecker

restants dépend de la longueur de l'étendue qui exclul le point zéro. (■)

11 est clair qu'avec quelque imagination on peut trouver des combinaisons de ce genre en quantité. Jevais encore m'arrêter à l'une d'elles, parceque son principe de formation s'écarte du précédent et donne naissance à un système ne se laissant pas réduire à un système isolé par exclusion de points de convergence et possédant une propriété importante, qui m'a conduit à le construire,

Dans l'étendue (0, 1) je barre une étendue quelconque (a, p) qui ne contient aucun des deux points 0, 1. De l'étendue originaire (0, 1) deux parties restent libres : (0, «) et (p, 1). Je procède avec celles-ci comme avec (0, 1) Je barre dans (0, «) une étendue (f. S) plus petite que (0, a) et qui laisse libre les extrémités 0, et a et, sous les mêmes conditions, je barre dans (P, 1) î'étendue (e, K)- De l'étendue primitive il reste alors de libres les étendues : (0, y), (8, a), (p, s), (Ç, 1). Dans ces 4 étendues j'en barre 4 plus petites, et ainsi de suite indéfiniment. Les extrémités des étendues successivement barrées forment le système de points que j'ai en vue, et les étendues lorment un système d'étendues différent de celui qui a été décrit plus haut.

Ce système a une propriété importante ; Les étendues libres de points peuvent donner une ^omoie^égale è l'unité ou moindre que l'unité. En effet, «p + (yS -|- e^) + .... peuvent avoir la limite 1, si, par exemple, ap n^ ^, yS :r; aÇ :^ g, etc. Dans d'autres cas, la limite est < 1. Il en résulte que, si on décrit de petites élendues autour des extrémités des étendues successives œp, fS et eC, etc., qui contiennent l'ensemble des points du système et forment une somme aussi petite qu'en veut, quand celte somme diminue la différence entre elle et l'étendue unité n'a pas nécessairement 1 pour limite, mais au contraire peut avoir pour limite une valeur quelconque < 1. Et celte circonstance est intéressante dans la théorie de l'intégrale,

En effet, en dehors des apantachies mentionnées, qui sont toutes des constructions servant à l'examen ou ti la généralisation de théorèmes, ou bien construites pour elles-mêmes, l'analyse fournit directement des systèmes de points, qui

(") Par la répartition (tes étendues nous pouvons mêler les systèmes de points de la manière la plus VEifiée ; par exemple, pontachics avec apantachies en tant quo les premières sont portées sur dos étendues à des points de convei^ence.

conduisent à de certains résultats ; tel est particulièrement, celui que je nomme système de points iotégrable. Ce système prend naissance, comme on va le voir, dans le concept dé l'intégrale. Si une fonction subit dos variations bi-usques qui tombent suf des pantachies de son argument, elle a une intégrale ' déterminée lorsque tous les sauts de ce genre, qui dépassent une quantité supposée aussi petite qu'on veut, forment un système intégrable. J'entrerai plus avant dans ces questions à propos de ma théorie de l'intégrabilité. La condition d'intégrabilité d'un système JVs'énonce ainsi : Partageons l'intervalle (0,i)en les étendues Ai-|-ii-|-.,.-i- i„. A chaque étendue i sauf une n'appartient qu'une de ses extrémités, une seule renferme deux extrémités. Désignons par i'i, d'j. . . . A'^ celles des étendues A qui contiennent les points de N et posons

A'i -i- A% -|- 4- A'„, — D. Diminuons les étendues A de

telle manière que la plus grande d'entre elles n'ait pas de limite inférieure. Si alors une limite supérieure peut être assignée à celle étendue maximum, assez petite pour que D gartte une limite supérieure fixée d'avance aussi petite qu'on veut, le système est intégrable. De cette déÛoition résulte sans démonstration une proposition qui la complète, à savoir : Si le système Nesl intégrable pour une hypothèse particulière quelconque, compatible avec nos conditions, faite sur les 4, il l'est pour toute autre hypothèse sur les 4 également compatible avec nos conditions.

Des indications que j'ai, données dans mes descriptions précédentes de systèmes apantachiques relativement à ]a somme des étendues qui éliminent certains de leurs points, résulte que ce sont ordinairement des systèmes intégratles. Quand on étudie les systèmes à points de convergence d'ordre tint ou indéfiniment élevé, et qu'on les reconnaît tous intégrables, on peut soupçonner l'équivalence des deux concepts de système apantachique et de système intégrable, car les systèmes panlachiques sont toujours non intégrables. Le dernier système apantachique que j'ai décrit nous apprend maintenant que l'apantachie est le concept le plus vaste, car le système n'est intégrable que si « p -|- {y 8 + s ï) + ... ^ 1, et il n'est pantachique dans aucun intervalle si petit qu'il soit. Il est encore h remarquer que le système ne possède pas de points isolés.

52. — Des propriétés générales des ensembles illimités. Le concept de dénombrement. - La théorie de l'argument a surtout pouc objet des ensembles illimités de valeurs d'argument particulières, comme les nombres rationnels. Il paraît donc utile d'introduire dans celte mulliplicilé avec M. Cantor quelques concepts ordonnateurs, et permettant de mesurer

pour ainsi dire, des ensembles illimités, en les comparant à un ensemble particulier. J'ai en vue le oonoopt du dénombrement d'un ensemble et celui de la puissance relative de deux ensembles.

Le concept de dénombrement d'une quantité illimitée d'objels est une extension de la méthode de numération. Le dénombrement d'une quantité fmie d'objets consiste dans ce principe qu'on les range en une série en les faisant correspondre respectivement aux nombres I, 2,3, ... de la suite illimitée des nombres. Le nombre qui correspond au dernier objet de la suite est le nombre des objets. Etant donné une quantité illimitée d'objets ou d'éléments, si on les fait correspondre aux nombres 1, 2, 3,.. de telle façon qu'on ne puisse assigner parmi eux aucun élément qui ne corresponde à un nombre de la suite 1, 2, 3..., cette quantité d'éléments est dite dénombrable bien qu'elle soit illimitée et ne soit représentée par aucun nombre.

Naturellement toute série simplement illimitée de quantités a, , ch , «3 ,.-■ est dans ce sens dénombrable. Mais encore une suite double :

l'est également. On prend tout d'abord les éléments dans lesquels m < 10, n < 10, et on les fait correspondre à la suite des nombres entiers de 1 à 100. Puis on prend les éléments oii wi <. iOO, n < 100, on laisse de côté ceux qui ont déjà été pris, et on fait correspondre les autres à la suite dos nombres de loi h 10,000 etc. De même en général toute suite complexe : a m. — i, 2, 3,...

Mi m; ... m„ , est dénombrable. On commence par ordonner les lO"" éléments où les m,, < 10, puis les lOC — lO"" éléments où les m,, ne dépassent pas 100, sans répéter les premiers, etc.

Ces exemples expliquent le concept de dénombrement dans le sens général — Il ne s'agit ici que de coordination, car les éléments de l'ensemble peuvent avoir une signification arbitraire. Nous appliquerons encore le concept à une forme très générale de détermination d'analyse arithmétique, puis aux apantachies de l'article 51.

Qu'on imagine la détermination de nombres que voici :

Z = ç (m„. Mil, . . . m,„ n)

ou chacun des mp de même que « peuvent être pris arbitrai -

rement dans une suite limitée ou iUiraitée de nombres entiers,

et où ç, pour des valeurs doanées aux m et aux n peut repré-

senter non seulement un nombre, mais, par exemple, une quanlilé de nombres dépendant de n. Ce symbole dûsigne bien des espèces de nombres. Il implique la suite de quantités complexes déjà considérée :

mi iTii m,.

Puis il comprend les pîtut;ichies de tous les nombres rationnels :

oîi les nombres arabiques :

Iloomprend en outre principalement, la pantauhie de tous les (jnmbres algébriques, quand Z représente les racines réelles de l'équation.

— m„ + nK.i3 + m„.2Z-' +...+ m, z" et d'innombrables autres espèces de nombres.

Toutes ces espèces de nombres sont dénombrabli3S. Qu'on range d'abord en one série tous les nombres 2 ~f (m„, Wîi, rrtî. m„, n) dans lesquels la valeur positive d'aucun des nombres m^. nij, . . . m„/n, ne dépasse pas 10, puis, en exceptant ceux-ci, tous les nombres pour lesquels las modules de ïk„. wii, m„, n, ne sont pas plus grands que 100, etc. On obtient ainsi une suite dans laquelle chaque nombre particulier de la forme Z n'intervient qu'une fois.

Evidemment tout ensemble illimité de points est déoombrable, si dans son accroissement il reste toujours fini. Nous avons deux images soos les yeux : la formule qui permet d'augmenter indéfiniment le nombre des points et l'ensemble des points lui-môme parvenu à un étal quelconque , mais toujours déterminé, A cet état , nous rangeons les points isolés en une suite quelconque elles faisons correspondre à la série 1, 2, 3... N. Maintenant, imaginons l'ensemble de points augmenté autant qu'on veut d'après sa formule. Faisons correspondre les. nouveaux points àla suite iV-|- 1,... /V,, etc.

Un ensemble de points croissant de cette façon est donc sans doute dénombrable. Envisageons 6 cet égard les apantacbies de l'article bl. Elles peuvent n'être dénombrables que

silftur accroissemenl fliii n'est pas interrompu par la formation de limites de suites de points. Qu'il s'agisse, par exemple, ti'Mn point de converyence de deuxième ordre, c'est-à-dire d'un point p, dont s'approchent indéfiniment des points p' , lesquels euxmêmes sont des points de convergence — mais de points isolés p". On pourrait au peint de vue idéalist'j concevoir ainsi ces ensembles: On commencerait par faire entrer la suite complète des p", qui converge vers un point p' — et on la répéterait successivement dans la suite complète des p"; des suites infinies seraient ajoutées les unes aux autres, et l'ensemble ainsi formé ne pourrait évidemment pas être disposé en série.

Toutefois cette conception d'ensemble de points n'est admissible que pour l'Idéaliste. Veut-on laisser de côté leslimiles de l'Idéaliste, la suite de points illimitée qui entoure le point de oonvf.rgence de deuxième ordre peut-être définie de difîérentes manières. L'ensemble p" qui est entre deux points p' a une grandeur illimitée, et de même l'ensemble p' qui converge vers;». On a ainsi dans les intervalles des points ji' un nombre Qni m de points p' et m nombres finis n de points p", et on fait croître m et n indéfiniment. Ceci peut naturellement se produire de plusieurs manières. Les nombres m et « peuvent croître, par exemple, alternativement ou simultanément. Mais toujours cet accroissement pourra être dirigé de telle manière que de l'ensemble de points, considéré géométriquement, aucun ne soit oublié, mais qu'au contraire la suite de points croissant avec m et w finisse par contenir chacun des points du système de points de convergence du deuxième ordre, et ce système devient alors dénombrable.

C'est ainsi que sont construits tous les ensembles à définition géométrique de l'article précédent. Il est inutile de le montrer ici ; bien plus la possibilité pour eux d'être dénombrés est évidemment liée à leur origine géométrique, puisque la suite croissante n'est jamais interrompue par un passage à îa limite. Si on se demande quelle est, pour l'Idéaliste, la limite de ces apantaohies, on trouve une analogie remarquable avec le « eontmuunt des nombres « expression de M. Gantor) ou lapantachie complète considérée comme limite des pantachies illimitées. Car de même que le continuum des nombres renferme toujours des valeurs panlachiques qui ne se trouvent pas (voir l'article suivant) dans les pantacbies illimitées, dont il est conçu comme îa limite dans un cas donné — et cela parceque les pantachies illimitées sont dénombrables — de même les limites idéalistes de quelques apantachies géométriques de l'article précédent renferment des points qui n'appartiennent pas à l'apantacbie illimitée. Par exemple, l'ensemble de points qui se resserre près d'un point de convergence de premier

ordre lie fenfernie pas ce poini. L'ensemble caractérisé par un point de convergence de deuxième ordre no contient ni les points p' ni le point p.

D'ailleurs, cette circonstance n'a pas d'influence sur la possibilité du dénombrement. Car on n'a pas besoin d'ajouter ces points limites à l'apantachie ilUmiiée. Si pourtant on le fait, eommeilssonteuK-mêmes dénombrables, il est facile de les faire entrer dans l'apantachie de telle manière qu'elle reste dénom-

53. — De ia puissance relative des ensembles. — Le concept de puissance relative des ensembles est étroitement lié h celui du dénombrement.

Définition. — Si deux ensembles finis ou non finis JWet N peuvent sans ambiguïté et complètement se correspondre l'un ^ l'autre, élément à élément, ils ont une puissance égale.

Par portion d'un ensemble M, on devra comprendre tout autre ensemble M" dont les éléments sont aussi des éléments de M. Si deux ensembles .1/ et iV ne sont pas d'égale puissance, ou bien M et une portion de N, ou bien jV et une portion de M auront même puissance. Dans le premier cas, nous dirons que la puissance de M est plus petite, dans le second cas, plus grande que celle de JV('').

La puissance plus grande ou plus petite peut encore se définir ainsi : La correspondance de M à JV élément à élément est-elle impossible, et quand on fait correspondre n'importe comment les éléments de Mh ceux de 2V"reste-t-il, par e;;emple, dans l'ensemble N, des éléments tels qu'il n'y correspond aucun élément de M, la puissance de Af est alors dite plus petite que celle de N. D'après cela deux ensembles finis ne sont d'égale puissance que si le nombre des points est le même. Des ensembles finis sont de puissance moindre que des ensembles dénombrables infinis. Des ensembles dénombrables infinis sont entre eux d'égale puissance.

La plus importante proposition sur ce su,iet s'énonce ainsi : Des ensembles dénombrables sont toujours de puissance moin~ dre que le Continuum des nombres ou la panlachie complète. (") Je veux donner à cette proposition, en vue de questions à étudier plus tard, le sens suivant :

(■) Borcli-Journ, tome 84, p. 342 G, Cantor, et Acta Mathematita 6ome 2, Une conttibutioa à la théorie des ensembles.

(") G. Cantor sur uae propriété (le l'enserable de toutes les valeurs algébriques réelles — Borch. Journ. tome 77, page 260 — et sur les enaembfea infinis linéaires — Leipï. Ann, 15, p. & — Voir également Acta Mathématiea, tom. 2.

L'ensemble de ioutes les valeurs possibles ne peut se mettre sous la forme d'une série simple ; mais toute série de valeurs détermine elle-même dans tout intervalle, quel qu'il soit (a, b ) des valeurs q'ti ne M appartiennent pas. M. Càntor montre cela de la manière suivanLe : Supposons la =uile de quanlîLés diÏQombrables ordonnée en une série W| ,<à^ ... el considérons une élendue d'argument (a,b). Soient maintenant ai et 5i , où a\ <^ b\ , les oi-emières quantités de la suite des u qui tombent à l'mtérteur de l'intervalle (a, b). Envisageons à présent l'intervalle (a, ôi ), et désignons par (aij ,is ),aï <h^ bi , les deux premiers nombres de la suite des m, qui tombent dans l'intervalle {ai Si ) etc. On donne ainsi naissance h deux séries fournies par la suite des w : ai a^ , ... .et 61 bi ... On a ûi < fli < ... et ôi > 6j > . . .

Des intervalles {a, b), [a, b, ) ..., chacun renferme tous ceux qui suivent,

La série des intervalles (a, b), ( a, ,bi )... ou bien finit par s'arrêter, ou bien estillimitée. Dans le premier cas qui se présente en général dans le,^ systèmes de points apantacbiques une seule valeur u peut encore tomber dans le dernier inlervalle.et toutes les autres valeurs de ce dernier intervalle sont étrangères à la série w, d'après le choix qui a été prescrit des groupes de valeurs successives a^ , i,,. Si la série des intervalles n'est pas limités, les séries «i, Hs, ... et ô|, 5a, ... sont illimitées, et les a^, aussi bien que les b,, possèdent des valeurs limites oos etôca,... puisque ce sont des séries de quantités seulement croissantes ou seulement décroissantes et ne dépassant pas des limites déterminées, puisque les a restent inférieurs aux b, et les bj, supérieurs aux a. Il peut maintenant arriver d'abord que floo < ban, alors aucune valeur de l'intervalle {oa^, 5co) n'appartient à la série des <». On peut en second lieu avoir a<xi ^= bai, comme cela a lieu dans toutes les pantachies. Alors cette limite commune a co =bx,, qui n'esljamais atteinte, n'appartient également pas à la série des (0.

Après avoir étudié la puissance des ensembles dénombrables par rapport à la pantachio complète et avoir établi que la première est plus petite, il nous reste parmi les ensembles mentionnés à considérer les pantachies infinies.

J'ai déjà remarqué que jusqu'ici les pantachies i aÛnies que nous connaissons, — à l'exception de la pantaohie complète, tirent leur origine de celle-ci par élimination de pantachies illimitées ou d apantachies, dans tous les cas d'ensembles dénombrables. Des ensembles dénombrables en aussi grand nombre qu'on voudra forment par leur réunion un ensemble

également dénambrable ; si donc, on supprime de la panLachie complète des ensembles dénombrables le reste ne peut être dénombrable, sans quoi la pantachie complète devait être tont d'abord dénombrable. Les pantachies mlinies formées par une semblable élimination ne sont donc pas dénombrables,

Maia il y a plus encore : M. Cantor démontre qu'elles ont la même puissance que le continuum des nombres ('). Nous avons donc en réalité jusqu'ici deux ensembles à l'un desquels tout ensemble de nous connu est égal en puissance : la série des nombres entiers positifs et le o conlmum des nombres. » M. Cantor estime comme très vraisemblable qu'il n'y a en général que deux puissances. Les considérations des articles suivants contiennent maints indices, difficiles à expliquer avec rigueur, de ce fait que dans les ensembles de quantités bnéaires, mais seulement dans celles-là, les choses se passent ainsi. La conclusion suivant laquelle la puissance de la pantachie complète n'est pas diminuée par la suppression d'une suite dénombrable est applicable h toute pantacnie supérieure à la suite dénombrable. Il faudrait donc encore montrer que si une pantachie n'est pas amoindrie par la suppression en question, elle a môme puissance quô la pantachie complète.

Nous avons exposé celte théorie suivant le mode de raisonnement, babituel aux mathématiques, sans la critique des intuitions fondamentales ; cependant, il intervient souvent dans ces notions des limites nouvelles de nature spéciale ; par exemple, les limites de suites de points qui se resserrent non seulement comme auparavant près d'un seul point, mais encore dans toutes leurs étendues, de sorte qu'il importe de nouveau d'envisager séparément l'intuition idéaliste et l'intuition empiriste.

'54. — Critigue de la Théorie de rArgnment par l'Ii l'Empirlate. — Le concept empiriste des ensembles ou suites de points de grandeur illimitée et le concept d'ensembles dénombrables sont évidemment absolument identiques.

Que tout ensemble qui s'accroît suivant unis règle quelconque mais qui esl envisagé comme fini à tout instant de son développement est dénombrable, c'est ce que nous avons montré, plus haut. Mais en outre que toute suite dénombrable, si elle n'est pas une suite finie déterminée, forme un ensemble de

(■] Cela résulte directement de la démonstration 556. Bor Tome 84 p. 254.

grandeur illimitée, cela va de soi. Car,si on le fait correspondre h la série des nombres entiers, c'est, sous cette tonne, un ensemble illimité. Avec une autre disposition il peut n'ôtre considéré comme dénombrablc qu'en tant que cette disposition peut fournir, sans perte d'éléments, une série ordonnée suivant des indices entiers.

Les ensembles dénombrables et, en particulier, les pantachies Ulimitées sont au sens empiriste des représentations et appartiennent à bon droit à la mathématique empiriste. Il 3 agit de savoir jusqu'où nous parvenons ainsi avec l'Émpiriste, quand ne renonçant jamais à l'acte de la représention, nous cherchons h approcher le plus que nous pouvons de la limile de ces représentations.

Dans la voie tracée par cette question la pantachie complète, comme limite d'une pantachie illimitée, sera l'objet propre de notre étude. Considérons cependant tout d'abord un cas plus simple de formation de limite ; par exemple, une apantachie caractérisée par un point de convergence de premier ordre.

Qu'il s'agisse simplement de la suite de points

et supposons que le point -^ n'appartienne pas à cet ensemble.

On pourra concevoir cette détermination de points aussi bien à la manière idéaliste qu'empiriste. Pour l'Idéaliste elle comprend à la fois tous les points qu'elle définît ; les distances des points finissent par devenir infiniment petites. L'Empiriste s'imagine les points existant seulement jusqu'à un n'^"", et il prend le nombre n aussi grand qu'il veut suivant son besoin. Or il importe de rechercher si l'ensemble idéaliste est une limite réelle de l'ensemble empiriste, c'est-à-dire si l'ensemble empiriste tend vers l'idéaliste de façon à s'approprier finalement tout point qui lui appartient; c'est précisément ici le cas,

puisque nous avons exclu le point -^ de l'ensemble. Nous

pouvons appliquer les mêmes considérations à toutes les apantachies de l'art 51. Toutes, à l'exception du système de points ' isolés, apparaissent, quand on les examine de près, comme des ensembles illimités dans le sens empiriste, ayant une limite idéale réellement erustante lorsque d'ailleurs (art, 52.) les points de convergence eux-mêmes ou bien sont exclus de l'ensemble, ou bien sont comptés d'une manière spéciale.

Ces suites de points permettent ainsi une exposition neutre; on n'a pas besoin de prendre parti pour la conception idéaliste

ou empirisLe. Les raisonnements que l'on applique à de pareils ensembles restent indépendants de l'opposition des deux modes d'intuition. Les choses se paasentici comme en géométrie où il importe peu aux résultats des recherches que l'on prenne pour fondement l'exact idéal ou l'exact illimité, qu'on régarde la ligne droite comme infiniment mince ou comme engendrée de la façon déjà décrite (arl, 34). Du moins jusqu'fi maintenant il ne s'est pas présenlé une obscurité ou un paradoxe qui pflt se ramecer à l'opposition des deux modes d'intuition.

Après avoir éiabH que les apantachies illimitées ont des limites idéalistes, nous allons soumettre à nn examen .semblable la limite des jJdnfacAîiîs illimitées, c'est-à-dire voir comment l'Idéaliste et l'Empiriste doivent saisir la pantachie complète.

Nous pouvons de nouveau donner pour fondement à la pantachie complète le symbole analytique

z~ lim i^+^ + ■■■ ^-S:^V «„ — o ou i

Il désigne l'ensemble de toutes les quantités correspondant à des valeurs ou 1 données aux a d'uae manière quelconque, qui sont définies par la série finie ousans fin.

Laissons de côté les suites éternellement sans loi comme une fiction de l'Idéaliste déjà .sulfisammont considérée. Alors au point de vue analytique la pantachie complète doit Ctre envisagée comme l'ensemhle de toutes les lois de succession possible dos symboles 0, 1, mis ii la pince des a dans la suite t, , «2 , «3 ,.,.. L'Idéaliste aJmeltra cet ensemble comme existant réellement, toute loi encore imaginable existant de toute éternité, indépendante d'êtres pensants. L'Empiriste y voit des lois déjà connues, et un cadre pour toutes celles qui .sont encore h. trouver. Cependant, reportons-nous h l'image géométrique de la pantachie, où h chacune des suites particulières des aj , «3 .... correspond un point parliculier.

L'Idéaliste arrive aiiiai au but tout naturellement. Il range toutes les valeurs 2 comme points idéaux sur la ligne droite idéale, et entre les poiriis" isolés se trouve les étendues infiniment petites de tons ordres.

Il renonce h se faire une image de cette suite de points ; il ne cherchera donc pas à s'en représenter le mode de formation. La pantachie complète est pour lui la limite réellement exis-

tante de la panlachio illimitée, dans ce sens que les valeurs particulifireg en nombre infini de cette limite existent en môme temps, absolument comme un nombre fini de quantités.

I] attribue donc au concept « lim l-s-' + -r ~\~ + ^)

pour toutes les combinaisons des « », la même raison d'êlre'qu'à la limite de la fraction décimale sans fin. Il le range parmi les êtres existants auxquels la logique lui ordonne de croire.

La pensée ne suit pas ici un processus logique nouveau. S'étànt posé (art. 22) cette question fondamentale «combien existe-t-il d'étendues moindres qu'une étendue donnée, et combien y en at-il de possibles, c'est-à-dire ne devant qu'au hasard de ne pas exister ?» — il a répondu que le nombre eu est infini ; eh bien il a ainsi saisi et exprimé exactement le sens iadiqué ci-dessus de la panlachie complète. Les étendues pariielles plus petites sont équivalentes h toutes les valeurs d'argument possibles, et, par conséquent, l'image que l'Idéaliste se fait ici de l'argument ne s'éloigoeen aucun trait de la première, née d'une autre suite d'idées.

Voyons maintenant comment l'Bmpiriste doit se représenter les choses. Avant tout, il doit rejeter la pantachie complète comme l'ensemble de toutes les quantités possibles existant à la fois. Car cet ensemble ne peut être fini, et U ne peut être non plus seulement d'une grandeur illimitée, puisqu'd contient déjà toutes les valeurs particulières possibles ; il est donc infini, et; par suite, non représentable, sans existence pour l'Empiriste. Il pourrait donc n'être qu'une limite non représentabte, mais de quoi ?

L'Empiriste se représente sur l'étendue unité des points sans nomore, il les multiplie par la pensée autant qu'il veut et en resserre l'ensemble de plus en plus. Il peut s'arrêter quelque temps à cette représentation, ou se composer tout de suite son étendue d'argument eouimo suite de points qu'd imagine ici plus fins, là plus grossiers. — U ne pourra jamais, en affinant sa représentation, changer l'essence de cette image. L'ensemble de points quoique aussi dense qu'on voudra reste un ensemble fini. L'Empiriste ne peut se représenter autre chose. Or, jusque là, il n'y a rien de surprenant dans l'apparition des deux modes d'intuition.

Il semble plutôt que nous ne fassions que répéter la distinction première entre la limite et le premier degré vers la limite, entre l'exact à volonlé et l'exact idéal, distinctions que nous venons d'établir plushautdans les apantachies il limitées. Mais, si on y regarde de plus près, on voit qu'il y a du nouveau.

L'Empinste ne peut imaginer la panUehio complèto quodansle devenir, c'est-à-dire que comme ensemble de points qui augmente et s'approche iadéQniment de la pantacnie complète , et alors il ae demande si et comment on peut imaginer une suite de jioîMfs croissante, dont la limite est lapantachie complète, o'eat-h.-àire une paatachie qui en croissant /îmt par renfermer toute valeur. — Voici la réponse :

Il n'y apai d'ensemble da points croissant o» par exemple dans ime suite finie initiale viemient peu à peu s'introduire de nouveaux points en uerd* d'une régie quelle qu'elle soit, et qui s'approche de la pantachie complète de manière que toute valeur particulière finisse par s'y montrer.

La preuve en est déjà faite. L'ensemble toujours fini qui croît est dénombrahle ; mais il fournit donc dans tout intervalle, si petit qu'il soît, des valeurs qui ne lui|appnrlienneut pas. (Art. 53). Ces valeurs formant une pantacMe sont donc étrangères àl'image empiriste d'un ensemble quelconque de points recouvrant l'argument.

Aussi ces nouvelles valeurs ne sont pas non plus de même nature que les points de convergence de certaines apanLaohies dont il a été question plus haut, qui n'appartenaient pas non plus d'eux-mêmes h l'image empiriste, mais qui pouvaient y être introduits. Elles forment bien plutôt la grande ma,]orilé, puisque, comme on l'a vu, la pantachie complète par l'exclusion d'ensembles dénombrables n'esl pas plus pauvre en valeurs isolées.

II résulte de là que :

Lapantachie complète de l'Idéaliste ou le continmim des nombres n'est une limite réelle d'aucune suite empiriste do représentations.

Pour i'Empiiiste le continuum des nombres n'existe donc pas, ni comme limite, ni comme terme final d'une approximation; il n'existe absolument pas pour lui. Ceci est vrai non seulement pour l'état actuel de la science, mais pour toujours.

Al'arguraentl'Ecnpiriste joint donc la représentation suivante:

l. — Sur l'étendue unité, h chaque valeur particulière

Correspond un point qu'on imaginera avec une exactitude aus^î grande qu'on voudra.

n. — Il n'existe pas de suite de points variable qui, en s'augmentant, s'approcherait indéfiniment de la suite de tous les points possibles. A la panlachie complète l'Empiriste joint

seulement, la représentation que sa fantaisie, quand elle veut imaginer l'étendue d'argument couverte de points formant une suite de plus en plus dense, ne rencontre pas de limite,

55. — Remarçues deraières sur l'argument de l'Idéaliste et de l'Empiriste. et sur la détermination du mode d'espositioa neutre- — Si l'opposition établie dans l'article précédent entre les conceptions idéaliste et empiriste de l'argument exerçait une influence sur lea méthodes et sur les résultats de ['anslyde, il ne resterait plus alors qu'A opter pour l'une des deux et qu'ii établir suivant ce choix les iondements de son analyse. Mais, par bonheur,il n'en est pas ainsi. Nulle part, excepté naturellement dans la théorie des pantnchies idéalistes elles-mêmes, l'analyse ne suppose plus que l'Empiriste ne donne comme représentable. Les systèmes do points qui sont utilisés sont des apanlachies ou des pantacbies illimilées. Si, pnr exemple, il s'agit d'une fonction, qui est un pourles valeurs rai ionnelles, zéro pour les valeur» irrationnelles de rargoment, les valeurs raiionnelles iormont alors une pajilachie illimitée et parmi les irratiorniellea on peut également imaginer des muîlitudes innombrables de pantachies illimitées. Car personne ne peut attacher à une telle fonclioa aucune autre représentation. Quand on dit ensuite; un point supposé mobile parcoqrt loutes les valeurs entre les points a et ô, cette façon de parler est encore admissible au sens empiriste, si elle ne dit pns aulro chose que ceci : sur l'étendue [a, b) on ne peut imaginer aucun point aveclequel le point mobile, c'est-à-dire le point laissé indéterminé, no puisse coïncider, et, en analyse, cela suffit dans tous les cas. A ces deux représcntalions peuvent se ramener toujours les phénomènes analytiques.

Ici, l'Idéaliste pourrait d'ailleurs avoir envie de recommencer la lutte avec l'Empiriste. Il pourrait lui objecter que par son renoncement à ce qui n'est pas représentable i! ne laisse aux combinaisons de la pensée qu'un domaine mesquin et même insuffisant. Gomment voudrait-il suffire à la mécanique, par exemple, la trajectoire fixe devant contenir à la fois tous les points que parcourt le mobile, le concept de trajecloire devant donc contenir le continuum des nombres de l'Idéalisle ? — A quoi l'Empirisfe pourrait répliquer ainsi : 11 no contesie pas que sa critique des premières hypothèses n'ait pour conséquence une limitation très marquée du domaine de la pensée, il ne nie nulle part l'existence du non représentablo; Mais tout simplement ce n'est pas pour lui un objet de spécululion mathématique. Il est certain que la continuité est quelque choso existant quelque part' et plein de mystère. Un point mobile sur une trajectoire déterminée se trouve h. chaque instant à

un endroit de la trajectoire ; il désigne duos chacune de ses positions une valeur d'argument déterminée, et il passe au moins une fois par toute valeur d'afgument comprise entre les extrémités du chemin qu'il parcourt. C'est tout ce qu'on peut dire, et cela suffît en mécanique.' La continuité n'étant pas compréhensible, la mécanique analytique décompose en réaiiLi5 la trajectoire en éléments, c'est-à-dire qu'en vue du calcul elle la recouvre d'une pantachie illimitée de points. Qu'on imagine ensuite le point mobile parcourant successivement les étendues qui séparent deux points consécutifs de la pantachie, et qu'on multiplie celJes-ciindéflniment.jamais il n'en sortira une pantachie complète. Qu'on passe enfin aux limites, ce qui fait apparaître les quotLentsdifférent!el3,daiis l'intégration qui .suivra, s'il s'agit réellement d'une intégration, et non pas de l'établissement d'une fonction primitive, une pantachie illimitée de valeurs d'argument sera de nouveau prise pourfondement.et la valeur limite de la somme, que nous nommons intégrale, n'aura absolument rien afTaire avec la panlachio complète ; elle est, elle, une limite réelle. La pantachie complète ne joue de rôle que dans sa propre théorie, . . . Voilà ce que dirait l'Empirisle.

Comment du point de vue neutre envisagerons-nous la pantachie complète, l'ensemble des quantités mathématiques linéaires ?

Elte est certainement, de quetquemanièrequ'onla considère, quelque chose d'essentiellement distinct d'un ensemble de points illimilé, c'est-à-dire d'un ensemble de valeurs isolées se resserrant aussi rapidement qu'on veut.

L'expression : 2" — ^ + -^ -\- . . . a-, z:z o, au i,

contient, si les « ne sont pas tous nuls h partir d'un certain rang, l'ensemble des lois, suivant lesquelles une suite illimitée des a peut èlre déterminée. Mais l'ensemble de pareilles lois et celui des fonctions d'une variable apparaissent, quand on approfondit ces questions abstraites, comme des conccpls d'égal contour. Et on ne peut se faire absolument aucune repiésentaiion de l'ensemble de toutes les fonctions possibles.

Nous n'apporterons pas de restriction à cette nature si vaste delà pantachie complète, etîa question sera de savoir comment nous devrons comprendre l'argument, pour ne tomber sous la critique ni de l'Idéaliste, ni de l'Empiriste.

Si le contiûuum des nombres était une Hmite de représentations réelles, comme un triangle idéal est la limite de représentations que l'Empirisle rend aussi exactes qu'il veut, ou pourrait laisser de côté ces différences dans l'exposé neutre de

l'analyse, sauf à s'en souvenir, comme on le fait à propos des expressions quantité, valeur, longueur, etc. (art, 41), quand on parlerait du conLinuum des nombres. L'un y verrait lalimile idéale, l'autre un degré vers la limite. Seulement le fait que le coniinuum des nombres n'est pas une limite réelle ne laisse à l'exposé neutre d'autre choix que d'y renoncer et de se rattacher h ]a. conception empiriste. L'IdéaHste ne peut alors nous adresser, comme il a déjà fait àl'Empiristo, que le reproche de limiter inutilement à ses yeux le champ de la science. Maintenant, quoique nous donnions à la suite de notre exposé la conception empiriste pour fondement, remarquons bien que nous n'avons pas choisi entre les deux modes de conception et que nous ne nous sommes décidément pas arrêté à la conception empiriste. Il s'agit ici seulement d'un mode d'exposition quinechoquelamanièrede voir ni de l'Idéaliste ni de l'Empiriste.

Comme la pantaehie complète, les' pantachies infinies sont aussi de nature idéaliste et le concept de la correspondance élément à élément ne l'est pas moins en tant qu'il se rapporte h do pareils ensembles. C'est un transfert idéal de la coordination, susceptible de dénombrement et de représentation, à l'ensemble de toutes les valeurs possibles. Sans doute, les fonctions d'une variable données pour chaque valeur de l'argument sont des correspondances de valeurs de fonction aux valeurs d'argument de la pantaehie complète.Mais ces formules sont toujours de telle nature qu'elles sont valables ou bien pour toutes valeurs d'argument, ou bien, comme on verra dans le chapitre suivant, pour l'ensemble de ces valeurs à l'exception tie pantachies dénombrables, auxquelles s'appliquent d'autres déterminations. Par là, les correspondances fonctionnelles tombent sous la conception empinsle. La correspondance abstraite de valeur & valeur dans des pantachies infinies est purement idéaliste.

Le l'ait qu'aucun ensemble de points supposé croissant n'approche du continuum des nombres de l'Idéaliste, que les deux ensembles sont de nature tout-à-fait hétérogène, puisque le premier est représentable tandis que le second est en dehors do toutes représentations, ason côté intéressant. En effet, quand, h propos de pantachies complètes ou infinies de l'Idéaliste, on fait des considérations quelconques, on en tire des conclusions empruntées à l'image d'une suite de points aussi resserrée qu'on veut, on court le risque de tomber dans des paradoxes. Car la pantaehie illimitée n'étant nullement une approximation de îa pantaehie complète, il n'est pas permis sans autre raison de conclura des propriétés de la première aux mêmes propriétés de la deuxième.

— ifi7 —

. Par exemple, M. Ganloi" est conduit par l'analogie avec les séries simples, doubles, elc. — qui sont également dénombrables à l'aide de la suite des nombres entiers — h certains Ibéorèines sur les ensembles continus des nombres, et il trouve entre autres que le oontinuum de points sur une ligne a une puissance égale au oontinuum de points sur un plan Cette conclusion un peu embarrassante a paru paradoxale ; elle a semblé répugner a. ce qu'on appelle le sens commun. Ijc fait est que c'est tout simplement la conclusion d'un raisonnement où interviennent des fictions idéalistes, auxquelles on l'ait jouer ]e rôiede véritables quantités, quoiqu'elles ne soient pas même des limites de représentations de quantités. Voilà oii réside le paradoxe. On a vu comment la conception idéaliste conduit avec nécessité au concept de l'inftniment petil, qui du moins était une véritable limite, — on ne peut donc pas s'étonner de ce que le raisonnement sur le oontinuum ne nombres, qui n'est pas une limite, conduise îi des résultats plus singuliers encore, qui d'ailleurs restent, ainsi que l'inflniment petit et ses propriétés, dans le domaine de la conception idéaliste. Les principes que nous avons exposés dans ce livre acquièrent donc une certaine utilité pratique en mettant à Jour la source de paradoxes qui se cache dans des concepts très répandus, — de même qu'ils servent, comme on le verra, à rendre plus clair et plus précis le concept de la fonction.

Des quantités ou nombres croissants, on peut dire ou bien qu'ils ont une limite ou bien, au sens idéaliste, qu'ils deviennent infinis. Une suite de points croissante n'a pas de limite, au sens ordinaire ; il faudrait donc faire correspondre le cootinuum des nombres à l'infini. Or, il a effectivement avec lui une propriété commune. De même que l'infini ne devient pas fini, si on en retranche le fini, deméme le oontinuum des nombres n'est pas plus pauvre en valeurs mdivîduelles, ne diminue pas en puissance, quand on en retire des pantachiesillimitees.il semble d'ailleurs que ce soitlà l'unique analogie que pcésenlent les deux limites de représentations de l'Idéaliste.

Un rôle est échu à la théorie des pantachies dans les sciences physiques.

Ce n'est pas dans le concept d'atome même qu'une différence essentielle se fait valoir entre les intuitions idéaliste et empiriste. C'est plutôt dans la manière dont, en mécanique, les éléments d'action, les molécules agissant à distance, sont supposés distribués dans l'espace. L'Empiriste qui ne peut prendre pour base qu'un nombre-fliii suffisamment grand n'ira pas loin avec ses théories corpusculaires. Il ne peut évidemment parvenir qu'à la synthèse de l'a classe de phénomènes d'où est abstraite l'idée de la molécule agiss&nt h distance,

c'esL-à-dire de phénomènes mécaniques. Poui' la synthcse d'autres classes de phénomènes, par exemple dans le domaine de la chimie, il aura peut-être besoin d'autre chose que de raclioa à distance. Et maintenant encore les phénomènes organiques ont sans doute leur abstraction dernière spéciale,

L'Empiriste ne prendra donc pour hypothèse l'abstration de la molécule agissant à distance comme utile à l'exposé des phénomènes que dans la mécanique ordinaire. L'Idéaliste au contraire, quand l'exige sa conception du monde, possède dans la panlachie complète un concept qui doit avoir à ses yeux un contenu infiniment plus riche que les panlachies illimitées de l'Empiriste.

Théoriquement, en Uant la représentation de molécules disséminées dans J'espace à la pantachie complète de l'Idéaliste, on pourrait réussir,par exemple, à déduire la pression — s'il élait possible de l'aire entrer dans le concept physique de la pantachie complète d'atomes un contenu répondant à notre besoin d'exactitude.

Le développement de ce chapitre et une partie du suivant montrent combien il est nécessaire dans maints domaines analytiques de voir nettement si pour l'exposé neutre on met au jour une mathématique acceptable ou purement idéaliste. Ce n'est qu'ainsi qu'il nous est possible de distinguer ce qui appartient au domaine réel de représentations de ce qui lui est emprunté sans l'image d'un mot et se trouve impliqué dans le processus logique se poursuivant au-delà du réel.

Je donne h la fin de ce chapitre une vue générale sur les ensembles do points dont il a été question.