IST

encore fait naître la limite des phéQomèiies continns de point de repos discontinus de la pensée atleriLive. Gela est incontestablement en laveur d'une véritable uniformiiédes représentations sans fin. Car la limite, comme longueur diiterminée, ne peut être que la représentation finale, de même nature que les précédentes, d'une suite de longueurs également déLerminées. J'ai dit(Introduction)que, une fois disparue toute obscurité sur la limite de la fractioo décimale, la voie serait ouverte et l'analyse serait maltresse chez elle. Cela signifie maintenant : le théorème sur l'existence d'une suite particulière discontinue, la fraction décimale, par exemple, doit suffire pour cju'on en déduise à l'aide de la mathématique ordinaire les principaux théorèmes, sur la fonction en général et le principe général de convergence et de divergence. D'après la remarque précédente cela ne peut pas nous étonner, elles chapitres suivants en donnent la preuve. Mais, comme ainsi la limite des suites discontinues demeurait seule indémontrable, je me trouvai placé directement en présence du troisième degré du concept de limite, celui qui appartient à la théorie de la connaissance. Le problème réduit il la limite de la i'raction décimale devait donc faire naître cette question : Si les quantités discontinues qui doivent avoir une limite en restent éternellement distinctes, comment peuvent-elles déterminer cette limite ? Quel rapport doit-on se représenter entre leurs valeurs isolées et leur limite. On ne peut s'en représenter aucun, et on tombe ainsi sur cette solution que, ou bien elles finissent par se mêler avec la limite en une représentation uniquOj (intuition empirisle); ou bien leur différence cesse d'appartenir au domaine de représentations de l'homme (intuition idéaliste), ce qui résout le problème définitivement.

La suite des idées que.j'ai tracée convient aux applications, parcequ'elle a pourrésuttat un mode de démonstration uniforme pour les limites, qu'il s'agisse de variation continue ou de suite de valeurs discontinues. Les démonstrations se ramèneront dans tous les cas h la formation de la limite de valeurs

autres seEs uous effrent quelque cliose Je semblabte. Dans io sou variable de la sirèueje distingue toujoui's des sons qui restent les mâmes un certain temps et qui, selon toute vraisemblance, se fixent dans notre cerveau pendant quelques instants, nous empêchant alors de saisir ta variation de son. Notre attention qui se réveille subitement et là faljg:ue At notre attention qui se reproduit périodique raout font dominer pendant un certain temps les impressions reçues et donnent ainsi naissance à la discontinuité de la perception. Cette discontinuité est peuf^tro la cause physiologique de notre penchant à résoudre le continu en variations brusques.

discontinues, et de suites aussi simples que possible, comme le sont les fractions décimales. Ainsi prend naissanoc; une méthode de démonstralion permettant de fréquentes applications que je nomme constructions numériques. Nous allons, dans laHicle suivant, appuyer ce qui précède par des exempîse, après avoir résumé les résultats numériques de notre étude antérieure.

46, — Compapaison des limites des suites de valeurs dlscontiuues. — I. A l'égard de la limite de la fraclion décimale, le résultat de l'étude précédente est le suivant :

Si on pose

a;„ — 0, «1 «2 . , . a,, , «j, =: 0,1, 2....0 il existe toujours une quantité ic de telle nature que x — x„- , pour des valeurs suffisamment grandes de n, reste au-dessous d'une valeur choisie aussi petite qu'on veut.

Nous écrivons :

tx— Um„,^{n, %, a.^ .. .K„ ) — 0, Hj Ka ...

et l'on a

a^-a-,, — 0,0.. .a,,^,«j,4.î...< 10-'' si tous les (X, à partir de «„ 4. 1, ne sont pas des 9 ; — on aurait :

ce-w„ =ziO-".

si tous les chiffres étaient des 9.

Nous pouvons imaginer la Um. a; à la manière de l'Idéaliste ou de l'Bmpiriste, sans que cela ait aucune influence sur la marche et les résultats de nos recherches analytiques. Aussi lEtissei'ons-nous de cOté cette différence, excepté là ou il est précisément question d'elle.Il faut ensuite remarquer que si dans les applications dp ce théorèraeonlïiit intervenir tôt ou tard une loi déterminant la suite des «, cette hypothèse n'est nullement nécessaire pour la validité générale des preuves fondées sur l'existence de la limite de la fraction décimale. Pour l'Empiriste cela tient à ce qu'il suffit que les œ puissent être donnés indéfiniment, pour que la détermination de la limite soit aussi exacte que l'on veut. Pour l'Idéaliste, cela tient à ce que si réellement la suite des « était sans loi jusqu'à l'infini.'sa limite existerait tout de même au sens idéaliste.

La question relative à l'essence du nombre irrationnel et h son rapport au nomhre rationnel pourrait être également résolue par ce théorème. Pour résumer la marche de nos idées; autant qu'elle a trait à la représentation dos quantités irrationnelles, rappelons que le nombre, c'est-à-dire le nombre rationnel, est aux parties correspondante.=î de l'étendue unité (prise pour type des quantités linéaires} ce que le mot est h un

coQcept ou à une représentation. Mais ii en est aussi de même des irrationnelles qu'on doit tenir pour équivalentes à la formule d'après laquelle se fait, leur développement. Or donc, h cette formule aussi correspond une longueur limite, comme au nombre une fraction rationnelle de l'unité.

L'irrationnelle est ainsi comme le nombre rationnel une quantité mathématique linéaire, et la différence entre les deux consiste en ce que le nombre irrationnel est une longueur limite de nombres rationnels, de sorte qu'il y a entre eux un passage à la limite. Seulement cela, n'entraîne pas une différence essentielle, Car notre représentation de longueurs rationnelles et irrationnelles est de môme nature, — aussi bien pour l'Idéaliste que pour l'Empiriste. Ce sont des morceaux quelconques d'une quantité mathématique linéaire. Rien ne les distingue donc, que leur détermination numérique, c'est-à-dire leur origine acoidentelle . Je dis accidentelle, parceque des détermin.itions de ce genre devraient faire paraître des espèces innombrables de longueurs irrationnelles comme différant de nature autant que diffèrent les longueurs rationnelles des irrationnelles. Ainsi des longueurs peuvent être rationnelles ou irrationnelles par rapport à des longueurs données comme irrationnelles, elles peuvent être, par exemple, des longueurs limites d'une suite de longueurs irrationnelles, et ainsi de suite. L'unique différence réellement essejifte^fe, qu'on puisse imaginer dans la détermination numérique d'une grandeur, concerne l'absence de loi ou la conformité à une loi pour les suites des nombres. Les suites sans loi, quand on les accepte comme possibles avec l'Idéaliste, sont en vérilé franchement irrationnelles, seulement elles ne constituent qu'un cas limite du concept de l'irrationnalité. Nous aurons souvent affaire dans cet ouvrage aux différents modes de détermination numérique des irrationnelles mais le concept de nombre me semble complètement mis au net par ce qui précède, et nous ne nous en occuperons plus.

IL — J'ai montre dans l'article précédent que le concept de limite se rattache par sa nature aux suites de nombres, c'està-dire aux suites de quantités discontinues, c'est pourquoi non-seulement toute limite, comme c'est facile à montrer, peut s'exprimer comme limite do suites de nombres, mais encore la démonstration des limites hypothétiques de phénomènes continus dans les théorèmes élémentaires de la théorie des fonctions, se fait toujours vraisemblablement par la coîisirMction numérique, comraa \' Kl nommé cette méthode. Si nous possédons une espèce de suites de nombres, dont on puisse prouver qu'elle s'approche de toute limite possible, la démons-

traiion spéciale de l'existence des limites devra pouvoir se faire en ramenaol les suites de valeurs qui doivent posséder une limite aux suites de nombres de l'espèce considérée. Notre lâche sera donc lout d'abord de rechercher, parmi toutes les espèces de suites de ce genre, celle qui est aussi intuitive, aussi familière que possible. Par rétablissement d'une pareille espèce de suites fournissant toute limite, nous serons rameués en réalité à la forme la plus simple et présentant le plus petit nombre de cas particuliers, à laquelle l'axiome idéaliste sur l'existence des limites puisse se rattacher,

11 s'offre h. nous tout d'abord la suite la plus générale de fractions rationnelles non décroissantes, h dénominateurs croissants.

où 3, <n,, Sa <»2 , etc. . «. < «^ < ■ • ■ . ;p 4; ;ï; Â • ■ • C'est une suite d'étendues ne variant que pour croître et toujours intérieures à l'unilé, qui, d'après leur mode de formation, à parlip d'une valeur suffisamment grande n^,, ne peuvent augmenter que de quantités dont la petitesse est choisie à notre gr6. Cette sorte d'accroissement est, eu vérité, assez aisée à montrer, mais elle ne saute pourfant pas aux yeux sans explication, de sorte que la suite susdite doit céder le piis à d'autres plus simples encore.

Si les dénominateurs wi , «^ , forment une série géométrique telle que l'unité soit divisée en n, parties, chacune de ces parties le soit ensuite en ni parties et ainsi de suite, il existe une série très nette de nombres, dans laquelle la venue do la limite atteint le plus haut degré d'évidence intuitive.

D'abord toute longueur (ou limite) peut être regardée comme limite d'une pareille suite. Posons «i =: a et supposons donnée la longueur i < 1 ; il existe alors un nombre

entier «, < a tel qu'on ait— ^ L < ^ i- X — . n y a ensuite un nombre entier kj < a, lel que ^- < L ~ — < ^ "]" eto , ,

rence L — /i--}--|--l-...j.-ïï l a donc la limite ;féro. Gela \a. ' tx.' ' ' a'' /

gaule surtout au yeux si on suit ce raisonnement sur une Itgure. Ain.si donc si une opération i^x) a une limite y <i, celle-ci

doHauasi pouvoir être regardt5e comme /im( — -| — 5-4-..,^ — ^ V

Il s'agit eiicora de aavoii quel est le choix le plus convenable qu'il faut faire d'is a. Supposons a =r2; nous obtenons alors la suite de nombres la plus sommaire, A l'égard de son image géométrique, que peut-il y avoir de plus simple que de diviser sans cesse par 2? Les quantités «1 , aa ,.,. ne pouvant ôtre que Ou 1 sont les plus petites possible, de sorte quo l'axiome appliqué à la forme

se rapportera aussi au plus petit nombre possible de séries. Ce sont là incontestablement de grands avantages du système de numération dyadique — qui tenait tant i cœur à Leibniz, et on s'en servira toujours volontiers dans les leçons au tableau à cause de sa simplicité intuitive. Mais, dans une exposition écrite, il pourrait être plus convenable de prendre arz 10, c'estft.-dire d appliquer, comme nous l'avons fait jusqu'ici, le système décimal, qui éveille en nous des représentations arithmétiques bien plus familières que le système dyadique.

111. - Pour terminer, donnons comme exemple de construction numérique la preuve de la limite d'une suite discontinue de quantités no variant que dans le sens de l'accroissement, mais n'augmentant pas indéfiniment ; c'est un des cas les plus importants et le plus souvent utiiisés dans les démonstrations de la ttiéorie des fonctions. SoiL donc :

ces quantités x devant rester inférieures h une valeur déterminée, sans ètra jamais toutes égafes — h partir de quelque rang que ce soit.

Soit d'abord a„ -|- 1 le plus petit nombre entier que ne dépassent pas les quantités x, , œj ;,... Elles doivent alors finir par dépasser «0 ; désignons par ^0 le premier des œ^ qui remplit la condition

Ko < 5, < ^„ < 1 tous les aîp > So satisfont de même h cette inégalité.

Soit ensuite «1 + 1, où «, < «, le plus petit nombre de

fractions - de l'unité, qui n'est pas dépassé par les quantités

de !a suile iCi — «o , aii — «u ,,.. Ces différences, qui d'après la première hypothèse Unissent par êlre positives, devront finir

par dépasser — . Désignons par 5i — no la première de ces différences qui remplit la condition

nous écrivons, en nous conformant aux règles ordinaires de numération écrite,

Tous les x,, > Il satisferont de même à cette inégalité .

Soit en troisième lieu «j + 1, où tca < a, le plus petit nombre de fractions — de—' c'esi-à-dire de fractions -j- de

l'unité, qui n'est pas dépassé par les quantités Xi — a„, a, , Xi-ai„, lii. .. Ces quantités, qui d'après la deuxième hypothèse

finissent par Stre positives, finiront aussi par dépasser-§-.

Désignons par îa — a^, ai la première de ces différences qui remplit la condition :

ou «,, Hi «î, <U < a„, et( as -|- 1 Tous les 3;p > li satisferont de même à ces inégalités et ainsi de suite....

Je remarque que la preuve empiriste se trouve par îà

achevée. Car la suite des «o;»^. ai;a„^ «i <xi- ayant une

limite aussi exacte qu'on veul, (qu'on peut, pur exemple, supposer atteinte par«„, xi Kj ...«p) les ic ne djîpasseront pas

de— la limite de la fraction «o^ «,„. ".„, Mais -y^ quand p

augmente, peut-être rendu aussi petit qu'on veut ; donc les œ ont pour l'Empiriste une limite, qui ne peut dépasser d'une étendue donnée avec autant d'exactitude qu'on veut la limite

de la fraction a„ , a, kj ; les œ et les o^o; «»,«!,■ etc. ont

donc la même limite.

L'Idéaliste a besoin de formuler plus exactement l'égalité des limites, de manière h montrer leur différence comme infiniment petite.

La suite illimitée de quantités œ,, œj , , . . donne une détermination unique pour une suite de nombres également illimitée «„, «1, «2 ... .

soit X =: «„ , «i «î ... in inf.

Nous avons trouvé que pour toute valeur arbitraire de p il existe un nombre r minimum pour lequel on ait

ao , a, «î , . . «j < x^ < Mu , Kl «s . . a^ + 1, 5 — r, J- +1 , . , . ou bien en diminuant le côté gauche et augmentanl le droit, tel que X- ^<a:, < J: + ~

qu'on fasse croître p mdéfini,iient, r croit aussi et par suite 3, au delà do toute limite, et la différence X — x^, qui est

inférieure à — tombe au-dessous de toute borne, ou devient

pour l'Idéaliste infiniment petite.

Par suit*!,

lim a^p ^: a„, Œi cc^ .... 2=: X Dans toutes les constructions oLimériquesIa preuve empiriste peut de cette façon être considérée comme complète, plus tôt que la preuve idéaliste, et il sufiira de l'avoir montré une fois.

Le développement de la fraction décimale ao, a, a.^ ... est ce que nons entendons par construction numérique de lu limite lim a:^ = X. La propositioii établie ci-dessus est un cas particulier de la suivante, à laq'ielle elle sert de fondement. Si deux suites aii , i>h , ... et yi , i/î ■■■ sont de telle nature que leui'S différences a;,, — y^ restent au-dessous d'une petitesse arbitrairement choisie, quand p et q ont dépassé une valeur suffisamment grande, chacune des deux suites a udg limite, et les deux limites sont les mêmes. Cette proposition est de nouveau comprise dans la quatrième du 3"'^ article, chap. V ; inutile donc d'en donner une démonstration particulière.

Ainsi armés, entrons dans l'élude des concepts fondamentaux analytiques plus restreints, de l'argument et de la fonction.