IMPRIMERIE NIÇOISE, DESCENTE CROTTI

(JuaiKl MM. Milliaui.l vA (îiniL iiroiil l'iil [),irt de leur iiiloiitioii de liMiliiin^ mu l'héoric (réncralc des Foncfiiins (jui, puljii6(! cii 18S2, avait nirrao été rédigée environ einq ans auparavant, j'ai voulu profiter d'une aussi belle occasion [)oiir remanier (|n(îl(|nes passages, pour insister sur plusieurs [)oints qui ont acquis aujourd'hui plus d'aclualité, enfin, jjour fairt; (|uel(iues additions. Ces chang(!menls ne louchent d'ailleurs nullement an fond des matières exposées dans mon livre. Au contraire, les criti{|ues assez nombreuses qui en ont paru, plus souvent encore contradictoires entre elles qu'en opposition avec mes vues, m'ont convaincu plus que jamais que j'ai réussi à mettre au jour la vraie n;iture de la connaissance exacte et des concepts métaphysiques sur lesquels elle se l'onde.

Paul du Bois-Reymond.

Berliit, 15 Mai 1S87.

Le souci trop exclusif de la rigueur donne à renseignenaeni des mathématicjues une fbrnae souvent dogmatique. Ceux qui ont reçu cet enseignement dans les lycées ou les facultés sont longtemps sans comprendre qu'il puisse y avoir, à propos de ces sciences, des questions capables de diviser les penseurs, et toute discussion pliilosophique sur les notions essentielles des mathémati(iues est souvent mal accueillie par la simple raison qu'on en sent difficilement la nécessité.

Or, voici précisément un livre, écrit par un éminent géomètre de Berlin, rempli de discussions savantes sur les concepts fondamentaux de grandeur, limite, fonction. Que la manière de voir de l'auteur soit juste ou inexacte, peu importe : il met en question des problèmes philosophi(iues du plus haut int<';rêt touchant ainsi h ce (jue les mathématiciens considèrent trop d'ordinaire comme une arche sainte : Voilà po'jrquoi, il nous a paru utile d'en publier une traduction.

Nous n'entrerons pas dans les débats ([ue soulève ce livre. Nous voulons seulement, pour préparer h sa lecture ceux qui ont puisé leur instruction mathématique dans des traités ou cours spéciaux, faire comprendre h grands traits comment les mathématiques peuvent donner lieu à, des discussions intéressantes sur l'origine et la formation de leurs concepts. TJous ferons voir pour cela que l'enchaînement rigoureux des déductions auquel tend l'enseignement est, en réalité, postérieur au développement normal de ces sciences et qu'il n'atteint cet idéal de rigueur que pour devenir de plus en plus formel et, par cela même, de plus en plus subjectif.

Quand on ouvre un traité de mathématiques, on est frappé de l'importance du rôle que jouent les définitions. Chacune d'elles sert de base à un développement plus ou moins long formant tout un chapitre nouveau. Ce sont, pour ainsi dire, les éléments vitaux des maihématiques : la puissance de déduction de l'esprit semblait épuisée sur les premiers objets de ses études ; une défmition survient et apporte un nouvel aliment à son activité. C'est ainsi que les définitions semblent

chaffuo fois assurer une prolongalion de vie aux malhémali- (|ucs do manière h en reculer les bornes à rinfîni. — Or que renferme une définition ? — A quelle condition est-elle acceptable ?

Une définition a pour objet de construire une chose ou un lait à l'aide de certaines propriétés reliant l'élément nouveau à ceux déjà connus ; et la seule condition imposée h ces propriétés paraît être qu'elles ne présentent entre elles aucune contradiction logique. C'est le seul point sur lequel on Juge utile d'insister, quand, en mathémaliqucs, on sent le besoin de justifier une définition. Mais alors la première impression que donne la lecture d'un traité spécial est des plus étranges. Il semble que l'esprit puisse se donner libre carrière : n'a-t-il pas, pour créer ses définitions, un champ sans limites ? — et non seulement on sent bien ([ue la science mathématique ne saurait avoir de bornes, mais encore on se demande s'il ne pourrait exister une infinité de mathématiques distinctes de celles qui sont enseignées, si enfin celles-ci ne sont pas dues à un caprice de l'intelligence humaine qui se serait plu à suivre une voie parmi tant d'autres également accessibles? — En géométrie, passe encore ! On se sent vaguement guidé par des corps, par des formes, semblables à ce que nous montre le monde extérieur, mais que dire de l'analyse, maintenant surtout ([ue, grâce aux travaux de reconstruction des Lagrange, Cauchy, Abel, etc.... il est faciie de parvenir aux notions les plus élevées sans faire intervenir d'autre donnée expérimentale ({ue le nombre. (*) •

Pour se rassurer et voir disparaître le caractère capricieux et arbitraire des mathématiques il faut remonter à la genèse des notions qu'elles étudient et regarder un peu par-dessous cet arrangement parfait qu'on nous présente aujourd'hui.

On distingue ordinairement les mathématiques pures et les mathématiques appliquées, les premières étant la géométrie et l'analyse, les autres étant des applications de celles-là. C'est mal indiquer qu'une seule ([ucstion de degré Justifie celle distinction. La géoraélrie et l'analyse sont les premières et les plus simples applications de la mathématique, c'est-à-dire de ces suites spéciales de déductions, de ces méthodes logiques particulières qui appartiennent à toutes les sciences mathématiques, absiralion faite de leurs objets. On sait d'abord que les données premières de la géométrie et de l'analyse sont puisées dans le monde extérieur. La géom(''lrie lui emprunte l'étendue,

(*) Voir f Inti'odiiction à rêtiule des fonctions d'nno vnriaMo (K M. .1. Taiiuorv.

le point, l.i ligne droite, avoc loules leurs propriiHés intuitives. Liinalyso est l'ondée sur le nombre, donl l'idée nous est fournie par l'expérience, et sur ses propriétés. Ce sont lu des vtîrilés naïves sur les(|uolles il ost inutile d'insistfr. Mais les points de départ ainsi fixés, rindéterinination du chemin h suivre n'en subsisterait pas moins, si la géométrie ou l'analyse ne se laissaient guider piir des donn(''es extérieures, et c'est précisément, en d(''pit des apparences, ce t|u'e]les font sans cesse. Nous ne voulons pas parler ici seulenuînldu postidal d'Euclide qui, loin d'être un nxiomo logif[ue, est neitomcnt déjà l'affirmation d'un l'ait expérimental. On peut le joindre aux données initiales. Celles-ci sont si complexes ([u'il importe peu de penser ou non c[ue ce l'ait nouveau est impliqué dans les notions intuitives sur lesf(uelles est fondée la gijométrie. D'ailleurs, il n'y a eu d'arrangement d'aucune espèce dissimulant le fait tout nu, et il y aurait peu d'intérêt à dénoncer cet emprunt h l'expérience.

Mais il y a plus : tous les éléments nouveaux (|u'(''tudie la géométrie, angle, angle droit, cercle, longueur de circonférence, etc., ne sont suggérés que par le monde extérieur. 11 en est de môme en analyse du nombre fractionnaire, du nombre incommensurable, de la limite, etc. Les nombres imaginaires eu.v-mêmes sont apportés par l'expérieuce, quoi((ue cela paraisse paradoxal. C'est qu'ici cette expérience s'est affinée, pour ainsi dire, et est devenue la constatation du résultat d'an calcul ou d'une transformation algébrique. Mais tout cela est loin d'être évident. Chaque fois qu'un nouvel objet d'étude est suggéré, les mathémali(|ues se l'assimilent au point d'en dissimuler l'oi'igine, on plutôt, à l'occasion de cet élément, elles construisent logiquement un être nouveau, elles le créent de toutes pièces, et si l'unique souci (jui les guide paraît-être la non contradiction des propriétés dont elles l'affublent, et la possibilité de les exprimer h l'aide des éléments anciens, en réalité la préoccupation nremière a été c[ue cette création logique correspontlit exactement à l'objot concret. Celte préoccupation est peu visible, parce qu'elle importe peu à la rigueur des raisonnements ; mais, si on ne veut pas laisser aux mathématiques une beauté purement plaloniriue, s'il faut qu'elles méritent leur titre de science, tous ces développements logiques sont destinés à être utilisés dans la connaissance générale du monde physique, et alors, pour la solution du problème le plus simple, on sera bien obligé d'admettre l'identité de l'objet extérieur et du concept purement logique : A cet instant précis se trouve dénoncée l'origine expérimentale de toute définition : Si on a pu la dissimuler, c'est h la seule condition d'y substituer, pour l'instant de l'application, une proposition ind(''montrable,

un véritable postulat, par lequel nous affirmons que nos théories logiques peuvent donner l'explication d'un fait objetif. Quekiues exemples simples aideront à éclaircir ces idées. Apres l'étude de quelques propriétés des lignes droites considérées ensemble, la géométrie utilise ces propriétés à l'occasion d'un élément nouveau : le cercle. La définition qui lui sert, pour ainsi dire, de passe-port est la suivante : La circonférence de cercle est le lien géométrique d'un point situé à une distance donnée d'un point diMerminé. Traduisez : Que par le point déterminé on mène une droite quelconque, qu'on prenne sur cette droite, à partir du point, une longueur égale h la distance donnée : l'extrémité de cette longueur est ce qu'on appelle un point de cercle. La possibiliti'; de construire ainsi autant de points de cercle qu'on voudra, voilà tout ce que contient la notion de lieu géomélrique (jui entre dans cette définition. On déduit de celle-ci toutes sortes de propriétés ; par exemple, une droite quia un point commun avec un cercle en a un second ; un diamètre partage le cercle en deux parties symétriques, en d'autres termes, h tout point de cercle on peut en faire correspondre un second symétrique par rapport à un diamètre quelconque , etc. — La considération des polygones inscrits, c'est-à-dire dont les sommets sont points de cercle, permet de définir la longueur de la circonférence, ce sera la limite des périmètres des polygones inscrits dont le nombre des côtés augmente indéfiniment.

Dans tout ce développement il n'entre en aucune façon l'idée de la forme du cercle, de ce rond parfait ([uc nous lirons par abstralion de ceux que fournit l'expérience. Ce rond est formé par un contour continu ; il divise le plan en deux parties, l'une (ju'il limite et cjue nous disons intérieure et une autre extérieure: toutes n^^tions absolument distinclesde la définition et des déductions géométriques. De môme le concept purement logique do la longueur de la circonférence est essentiellement distinct de ce que par intuition nous entendons parla longueur d'un rond, le tour d'une roue, par exemple, ou la longueur d'un fil d'abord exactement appliqué sur la conférence de la roue, puis déroulé. C'est ainsi que là même où les mathématiques semblent être le plus voisines des objets concrets do l'intuition expérimentale, elles se développent parallèlement à ces objets, et sans jamais faire disparaître la dualité (ju'offrent la donnée des sens, affinée même par l'abstraction, et la construction logique de l'esprit. Mais ici du moins ce parallélisme estassez parfait i)our que nous sentions fort bien comment a procédé la géométrie. I/expérienoe a d'abord fourni non seulement la notion du cercle, mais une toute de ses propriétés; parmi celles-ci à une époque de beaucoup postérieure, le

géomètre u choisi celles qui, tout en ne s'exprimant qu'à l'aide de droites, de points, et de longueurs, lui paraissaient le mieux caractériser le cercle concret el il a construit avec elle la théorie du cercle. Mais qu'on demande seulement, par exemple, quel est le tour d'une roue dont on donne le rayon, comment résoudre le problt'me à l'aide de la géomélrif\ si on n'admet l'identité entre la limite des périmètres des polygones inscrits et le tour mrme de la roue? L'arrangement par leijuel on a chassé l'expérience e-;t trahi à cet instant par un postulat, celui précisément qui, r>n ré'alilé, avait conduit ;\ la définition logique.

L'exemple précédent nous reportait à une époque reculée de l'histoire des mathémali([uos ; en voici un au contraire qui, bien qu'emprunté f\ l'arithmétique (''lémentaire, répond à des tendances actuelles. Au commencement du chapitre des fractions, en arithmétique, on accepte ordinairement un fait d'expérience : le partage de l'unité en parties égales. L'égalité de deux fractions ou la supériorilé d'une fraction sur une autre s'expliquent par la considération de deux longueurs, par exemple, mesurées par les fractions. La donnée expérimentale qui rompt en arithmétique la chaîne des déductions n'a donc pas disparu. Mais cependant rien n'est plus aisé que de dissimuler ici l'origine du développement nouveau. Appelons fraction le symbole formel composé de deux nombres entiers

écrits l'un au-dessus de l'autre (j- \. Convenons de dire que

deux fractions sont égales quand les termes de l'une sont des équimultiples de ceux de l'autre, définissons somme, différence, produit, quotiont des fractions les résultats auquels conduisait la considération des (juantités concrètes, etc. f^es définitions étant toujours conformes à ce qui résultait pour nous de la donnée expérimentale, rien ne sera changé à la suite du chapitre sur les fractions. Il est probable que tôt ou tard on exposera ainsi couramment ce chapitre. Mais qu'on trouve alors

la solution x = ^ au problème le plus simple, où l'inconnue, est

une longueur, il faudra bien admettre, pour l'inlerpréter, que o ^ représente deux fois le tiers de l'unité et, en somme, on

rétablira ainsi tout ce qu'on aura paru supprimer.

Ces exemples suffiraient peut-être à montrer la marche des sciences mathématiques : elles se développent naturellement sous l'impulsion de l'expérience, mais cachent tôt ou tard sous des constructions logiques l'origine de leurs concepts. En voici

une dernière et inl('^ressante confirmation tirée de l'analyse supérieure.

Supposons (ju'à un instant quelconf[uc de l'hisLoire des mathématiques, on sente le besoin d'utiliser une propriété nouvelle des quantités concrètes : il ne sera pas toujours lacile de l'énoncer simplement, de l'expliquer, de la ramener à d'autres connues, de débrouiller les éléments complexes qu'elle implique. Il se peut cependant ([ue des esprits élevés devinent comme par instinct f|u'il s'agit là d'une notion féconde, et (ju'un développement fondé sur elle réalisera un grand progrès dans la connaissance gén('Tale des choses. A priori, nous n'avons pas de peine h admettre l'existence de tout un long chapitre mathématique construit sur des notions qu'on n'cxpli- <|Lic pas : la géométrie et l'arithmétique n'unt-ellos pas pour données initiales des concepts impossibles h détinir? Si nous supposons enfin que les chercheurs appliqués aux idées nouvelles, fi-appés de l'intérêt des résultats, se soient avant tout préoccupés d'en enrichir la liste, la reconstruction logique des données expt-'rimentales risquera tort de rester longtemps inachevée; longtemps, la branche analytique qui aura ainsi poussé brusquement semblera ne point se rattacher au tronc primitif. C'est précisément là ce qui s'est passé pour l'analyse supérieure, pour celte partie de l'analyse qui traite des incommensurables, des limites, des séries et produits infinis, des infiniments petits, des différentielles, etc. Le fait expérimental qui en est le point de départ, et dont l'introduction dans l'analyse remonte à une époque impossible à fixer est la notion du devenir de la quantilé concrète, du pa=?sage continu d'un état à un autre. Après avoir sug-^éré bien des travarix, cette notion parvint à sa dernière et complète consécration dans les méthodes ciu'inaugurèrent Newton et Leibnilz. Mais l'exposé de ces méthodes est loin d'avoir toujours ]ii-ésenli> l'enchaînement dont les traités nous donnent aujonrd'luii le tranciuille speclacle. Ce n'est que dif(ioiloiut?nt et au prix de longs efforts qu'a été définitivement arrêté chez nous, depuis Gauchy et Duhamel, l'exposé (il; l'analyse infinitésimale. Le problème de reconstruction logi(|ue ((ui devait en l'aire une suite rigoureuse des chapitres antérieurs est-il complètement résolu ? Nous allons faire voir qu'il ne l'est pas d'une façon absolue dans l'enseignemenl actuel , sauf à montrer ensuite comment un pur formalisme peut fournir cette solution.

L'exposé que prr'senlent aujourd'hui les cours iKanalyse et (jui a pour point de di'qiart la définition mathématique de la limite, réduit le fait expérimental (|ue nous av<^ns signait' à un simple postulat indémontrable, le principe des limites, qui

s'énonce .-linsi : Si une (|Lmnlili'' vai-i.iljlo croil sans cesse, toul. en rcslanl inlV-ricurf à une (|iuuilil('' (lélormint''e, elle n une limile.

Duhamel en donne lu démonslrulion suivante : (*j

<.( SoiL A la valeur iiu-dessous de Lujuelle est toujours la « variable, et B une de celles (ju'elle prendra ; (lu'oii pai-lagc « l'inlcrvalle de B à A en parties é}i;ales aussi petites (|ue l'on u voudra : la variable pourra bien dépasser tous les points de « division, mais ne peut aller Juscju'à rexlrcmité ; il pourra « aussi se faire (lu'elle ne les dépasse pas tous, et alors il y en « aura un qui sera le dernier qu'elle dépasse ; elle restera « donc toujours comprise entre celui-ci et le suivant, c'est-Ji- « dire dans un intervalle aussi resserré que l'on aura voulu et a tlans lequel elle ira toujours en croissant. En subdivisant « cet intervalle en un nombre aussi grand qn'on voudra de « parties égales, on reconnaîtra de même (|ue la grandeur ne « peut se trouver ({ue dans un nouvel intervalle tixc entre B et « A, et d'une étendue aussi voisine de zéro qu'on le voudra. « Il existe donc une certaine valeur fixe entre B et A, dont la « variable s'approche indéliniment ; elle a donc une limite. »

Le raisonnement est rigoureux Jusqu'à la conclusion exclusivement : Quant à passer de ce que l'intervalle (jui comprend la grandeur peut devenir aussi petite qu'on veut h l'existence de la limile, ce n'est pas moins diflicile que d'admettre d'emblé'^ la conclusion, sans démonstration aucune. Ainsi (|ue le montre nettement M. Paul du Bois Reymond, la diminution de l'intervalle (jui comprend la grandeur n'atténue pas la difficulté qu'il y a à concevoir la limite. Le raisonnement de Duhamel cache une illusion ; et cela est si vrai que souvent, au contraire, pour expliquer (ju'une grandeur resserrée dans un intervalle de plus en plus petit a une limite, on se fonde sur ce que les valeurs qui la comprennent forment deux séries l'une croissante, l'autre décroissante, admettant chacune une limite d'après le principe en question , et il sullll ensuite de remarquer que les limites sont les mêmes.

M. Bertrand, à propos des séries à termes positifs, dit simplement : « Il est clair que si dans la somme «o + Ui +••• « -\- Ua on prend un nombre de termes toujours croissant, « les résultats obtenus iront en augmentant et s'ils ne peuvent « pas dépasser toute limite, ils approchent nécessairement

(*) Diiliamel. — Des méthodes dans les sciences du raisonnement. 2»"= partie, page 113.

« autant (iiron veut du plus petit des nombres (lu'il ne peuvent « pas dépasser. » C'est de la même manière que raisonne M. 13riot. Mais qui ne sent que rcxistence de ce minimum parmi les valeurs que ne peut dépasser la variable n'est rien moins que démontrée, et qu'en somme ce raisonnement se réduit échanger, sans l'expliquer, renonciation du fait intuitif. Ces démonstrations et toutes celles qu'on peut rencontrer reviennent au fond aux deux que développe l'auteur de ce livre, montrant cha(pic lois l'illusion qu'elles dissimulent. D'autre part, si on rejette toute démonstration, acceptera-t-on le pi'incipe des limites au môme titre qu'une proposition de ce genre : « La même chose ne peut pas être et ne pas être en même temps? » Il est très clair, au contraire, que le principe des limites énonce un fait nouveau, une propriété particulière de la quantité concrète et continue. Le caractère d'évidence qu'il nous présente est dû h l'expérience seule. C'est bien un postulat (lue l'enseignement pose au début de l'analyse supérieure, réduisant ainsi à la vérité qu'il énonce comme à un mininmm nécessaire la donnée (jui lui sert de base. Est-il possible de dissimuler enfin ce postulat ? Il suffit, pour s'en convaincre, de lire V « Introduction à l'étude des fonctions d'une variable », de M. J, Tannery. L'enchaînement rigoureux de définitions et déductions par lesquelles l'auteur nous conduit insensiblement du nombre entier à toutes les notions les plus élevées de l'analyse résout bien décidément le problème de reconstruction logi(iue qui devait faire disparaître dans l'exposé foi'mcl des mathématiques toute lacune entre les chapitres anciens et les nouveaux. Pour comprendre par quel mécanisme simple il est possible d'atteindre ce résultat, qu'on se rappelle l'exemple des fractions déjà mentionné. A la condition de se résoudre h un pur formalisme, rien n'est plus aisé que d'appliquer ici une méthode identique. Nous sommes convaincus (ju'une suite de valeurs croissantes mais ne croissant pas indéfiniment a une limite, quand sous ces valeurs nous avons on vue des états successifs d'une quantité concrète : laissons de côté cette dernière considéralion et créons, en vertu d'une définition, la (imite de la suite des valeurs. Ce ne sera plus une chose concrète, vue par intuition sensible, ce sera un jiur symbole. Nous conviendrons (le dire qu'il est supérieur à toute valeur atteinte ou dépassée par la suite qui sert à le déflnir, — inférieur à toute valeur qu'elle n'atteint jamais ; — nous conviendrons des circonstances où deux symboles répondant à la définition nouvelle sont égaux, ainsi que des résultats d'opérations offectuées sur eux, et, grâce au souci constant de faire correspondre ces définitions ou conventions aux vérités qui résultent pour nous

— Iode l'exislencc de la limite, rien ne sera change; dans la suite des déductions. Le principe des limites aura disparu de l'rmalyse en tant que pro[)osilion h établir — et, avec lui, la dernière trace- de tout donnée c.\i)érimcntalo aulre (|ue la donnée initiale^ de rarillimétiquc,le nombre. Mais, pour appliquer à ce dernier* exemple les idées indiquées à grandes li^nics dans celte préface, il est bien entendu (luc dès (pi'on louchera à loulil ainsi affiné pour résoudre le plus enfantin dos problèmes, ayant trait à des longueurs, p;ir exemple, la solution ne sera justifiée et interprétée que grâce h l'opinion que les symboles correspondent h des réalités.

La tendance h éliminer toute donnée expérimentale autre que les données initiales est-elle une simple manie des mathématiciens? — Manie dangereuse en ce cas, puisqu'elle a pour conséquence de donner ;i leur science une allure capricieuse et l'apparence d'un simple jeu d'esprit? — Cette tendance répond au contraire à une haute nécessité philosophique. Les éléments de notre connaissance, ((u'cllc (|u'en soit l'origine, expérimentale ou rationnelle, se combinent dans notre esprit de telle sorte que le degré et la nature de la certitude qu'ils compcirtent sont souvent fort difficiles à préciser. Or, la reconstruction logique des faits mathématicjues a pour résultai de séparer nettement d'une part ce qui, en eux, présente le caractère de la certitude, sinon absolue, du moins la plus haute à laquelle nous puissions alteindro, et d'autre part ce qui n'est qu'une vérité d'induction. En d'autres termes, elle a pour effet de créer une mathématique idéale planant au-dessus de toute expérience : c'est celle (juc connaissent surtout les mathématiciens. Derrière leurs échafaudages logiques, ils sont bien réellement à l'abri de toute objection ; et c'est avec raison que l'évidence de leurs conclusions est prise pour le type de la plus complète qu'il y ail à nos yeux. Sluarl Mill prétend que la certitude des vérités mathématiques est inductive. CcUle Ihèse n'atteint que les vérités mathématiques objectivr-s, pour ainsi dire, énoncées à l'occasion des êtres concrets que suggère l'expérience. Elle nous parait en ce cas absolument juste, car elle revient à dénoncer l'éternel postulat qui se cache, pour reparaître au moment de l'application, derrière toute création du géomètre ou de l'analyste. Mais clic ne saurait porter sur les vérités logiques do cette mathématique idéale ({ue nous venons de définir. Celle-ci semble, il est vrai, n'être point débarrassée des données initiales : si on y regarde de près, on voit cependant qu'elle n'affirme rien sur ces données ellesmêmes, et montre seulement quelles en sont les conséquences si on les accepte comme hypothèses. Enfin la confection de cette mathématique toute formelle nous donne néanmoins sur

les choses elles-mêmes une indication précieuse : elle nous apprend quel csl le minimun do propriétés qu'il sutïit de supposer dans ces choses pour Juslifior l'application des vérités logiques. Toutes les propriétés géométriques du cercle; par exemple, s'étendront aux ronds concrets, s'il en existe, dont tous les points sont à la môme distance d'un centre. L'analyse supérieure s'appliquera aux (juantités dont il existe des états correspondant à tous les symboles qu'elle a créés, etc. Et ainsi on apprend à connaître le minimum de propriétés caractéristiques par lesquelles un l'ait concret peut entrer dans l'engrenage des déductions de la malhémati(}ue [jure.

Voilà d'où celle-ci tire sa r.iison d'être. Mais quel que soit l'intérêt qu'elle présente, nous croyons avoir suffisamment montré que, par son essence purement formelle, elle ne saurait donner la solution d'aucun problème de connaissance concrète. C'est pourquoi les traités de mathématiques, si rigoureux qu'ils soient, et précisément d'ailleurs en raison de leur rigueur extrême, ne pourront jamais rendre superflue l'étude des problèmes de la connaissance tels que ceux que traite ce livre.

Le Havre, ce 1''' Avril 1887,

(i. MlLHALD.

PIIÉFACK

Le besoin de voir ciair duns la nalure inLimc des intégrales des éffLialions aux dillefcnticlles parlielles du second ordre me conduisit à l'élude des formules g'jnérales qui, comme celle de Fourier, servent à exprimer les [onctions arbitraires. Ces recherches m"ol)ligL;rent ensuite à considérer l'essence des fonctions indépendantes tie toute hypothèse et celles de leurs intégrales. Sur ce point, Je ne parvins et Je ne pouvais parvenir à une inlelligonce par(ait(!, qu'en soumettant à l'épreuve de la crilKjuc lie la connaissance les concepts analytiques fondîimonlaux de grandeur et do limite. Je veux mainteuiinl, d;uis ]o travail dont ce livre contient la première partie, parcourir eu sens inverse, mais en moins de temps, Je l'espère, le chea^in que j'ai suivi moi-même

11 s'agit, en efTcl, d'un ensemble de théories f(ui méritent d'être bien solidement établies dans un exposé spécial et dont l'idée fondamentale devient évidente, dès (ju'on porte sa pensée sur la répartition des sciences médicales. Des ihéories générales s'opposent ici à. des théories spéciales, comme à l'anatomie spéciale, à la pathologie spéciale, etc., s'opposent les sciences générales de même nom. De même il paraîtrait à propos de distinguer dans l'analyse une théorie spéciale des jonctions et une théorie générale.

La première, en étudiant d'une manière très générale les fonctions de variables complexes, a pour but de représenter des fonctions de propriétés déterminées et d'étudier la nature de grandes classes de transcendantes, en particulier de celles qui ont tles relations avec les fonctions algébriques.

La théorie générale des fonctions embrasse, à mon avis, tout ce qui se rattache a l'idée la plus générale de fonction : En tête je place la métaphysique des coucepts de grandeur et de \ irai te, coaime servant de base à la théorie de l'argument, de la fonction, et de la condition commune de convergence et

de divergence des difTércntes opérations iaQnies. Ce sont là, soit dit en pussanl, les questions traitées dans la premiOre partie de mon travail. Puis, on trouvera la théorie généraie des séries, l'élude de l'intégrabilité et de la différentiabililé des Ibnctions et les propositions giînérales relatives à l'intégrale définie ; ensuite la théorie de l'expression de fonctions diles arbitraires à l'aide d'inlégrales et de séries, mais en particulier les expressions de Fourier qui précisent davantage le concept de fonction, enfin difïérentes parties qui s'y rapportent dans la théorie des équations aux diirérenLielles partielles du second ordre.

Ainsi, en peu de mois, ce que contient la théorie générale des Ibnctions, c'est la théorie des rapports de grandeurs et des opérations en général, c'est-à-dire sans qu'on ait essentiellement en vue la représentation de dépendances particulières.

Depuis que, pour la première fois en 1872, j'ai publié, sous un autre litre, il est vrai, une étude sur ce sujet, il a paru des ouvrages qui poursuivent le môme but. Il pourra m'arriver de leur emprunter maintes choses de valeur, comme je fais pour Monsieur U. Dini, à qui j'emprunte des proposi'ions importantes sur la non différentiabililé de certaines fonctions. On verra cependant que mon travail pour le plan comme pour le fo)id même du sujet est absolument original. Cela est vrai assurément en ce qui concerne cette 1'^ partie, mais aussi en ce qui concerne la suite, par exemple, le prochain fascicule dont le sujet est la théorie générale des séries, et où, en dehors de ce qu'on trouve déjà dans les traités, j'apporte plus d'un aperçu nouveau.

Comme je l'ai dit, celte première partie contient l'examen, au point de vue de la théorie de la connaissance, des concepts de grandeur et de limite et l'application des résultats de celte étude aux théories de l'argument et de la lonclion. Le , .blême qui touche à la théorie de la connaissance, je cro l'avoir résolu ad-assem, et ce qui garantit entre autres chuses la l'igueur de la solution c'est ({u'elle explique, de la façon la plus naturelle les paradoxes qui se sont montrés tout récemment dans l'analyse.

Le concept de la limite analytique, ou (car en définitive il ne s'agit que de cela) celui de la limite de la fraction décimab, naît de certaines successions de représentations, qui ont, comme je le montrerai dans une autre occasion, une signiûcation bien plus large encore. Selon qu'on coupe, d'après certains principes, ces suites de représentations ou que l'on fait atteindre à la pensée leur terme idéal, il naît une double forme d'intuition dont on peut suivre la ligne de démarcation à travers toutes les spéculations de la théorie de la connaissance.

Les représentations, éléments simples delà pensée, et dont la succession accompagne et régit tout acte mental, étant les matériaux primitifs de toute élude qui porte sur la théorie de la connaissance, doivent être précédées, comme notre étude sur les concepts analytiques fondamentaux, d'uno définition suffisante du mot « représentation » (Vorstcllun/y).

Kn effet le sens de ce mot, (juoiqu'il soit d'un fréquent usage, ne paraît pas être élabJi avec la rigueur que demandent son importance fondamentale ainsi que la multitude et la v.iriété immense des mdividus qu'il embrasse. Car il ne s'agit pas seulement des représentations visuelles, de celles de l'ouïe et des autres sens, mais aussi, par exemple, des représentations de douleur, de gaîté, de colère, de volonté, etc.. Bref, on peut dire que tout phénomène psychique, qu'on l'appelle perception, sensation, volition, est également une représentation, ou, pour parler plus exactemenf, fournit à l'esprit une représentation de lui-môme. Or, comment pr<»ciser et délimiter ces concepts ? — Voici mon opinion :

Est une repr^'sentalion toute apcrceiilion qui peut devenir un objet du souvenir, et sous la forme même quelle affecte, à l'instant oh la 7némoire la reçoit. Et Je comprends naturellement aussi, dans la totalité des représentations, tout souvenir qui, par le travail de la pensée, s'offre à la conscience .

Ainsi se réunissent sous un même principe simple et bien défini les représentations qu'on peut nommer directes et qui sont les impressions immédiates de nos sens, devenues conscientes, et les représentions indirectes tirées du souvenir.

Tùbi)igen, Fécrier J8S?.

Des conccpls de (ji'îïU'leui* et de limite

Remarques préliminaires et énonciation la plus simple du problème priucipal

Par concept de limite , on entend un certain mode de raisonnement en vertu du(iuol, de la nature d'une suite de valeurs susceptibles d'tMre mesurées ou observées on conclut h l'existence di valeurs (lui échappent ù toute perception et dont l'existence ne peut jamais se démontrer au sens ordinaire du mot. Malgré tout, d'ailleurs, nous sommes 'uaLûtués à nous contenter sans sourciller de celte conclusion que nous appliquons constamment.

Cette façon de conclure h l'existence < fTective d'objets que ne peut atteindre aucune perception immédiate ou médiate, est, comme on sait, familière à certaines sciences, ou l'on fait appel à une manière commune h tous les hommes de concevoir par intuition et de sentir. Mais ne faut-il pas s'étonner qu'une forme de pensée, qui est à peine plus rigoureuse, doive servir h consolider les notions fondamenlales les plus indispensables et les plu^ fécondes des mnlhém-itiques, c'est-à-dire, précisément d'une science qui plus que toutes les autres, se faii gloire de la rigueur la plus méticuleuse et la plus nette, et qui chaque jour se montre incontestablement plus digne de sa réputation?

Quel mathémalicien pourrait nier que (surtout dans l'idée qu'on s'en fait ordinairement) le concept de limite et ses firoches parents, ceux de l'illimité, de i'infiniment grand, de l'infiniment petit, des irrationnelles, etc.. manquent encore de solidité! Le professeur, qu'il écrive ou (]u'il parle, a coutume de parcourir à pas rapides cette périlleuse introduction à l'analyse, pour se promener d'autant plus aisément su"" les chemins si commodes du calcul.

En vérité, on fait rarement fausse route, quand on cherche les choses les plus curieuses en dehors des chemins que suit la Ibule: Eh bien, nous nous proposons de parcourir précisément ce terrain qu'évitent les autres.

Comme c'était à présumer, nous reconnaîtrons bientôt que les difficultés inhérentes aux concepts que j'ai mentionnés plus haut ne sont pas de nature mathématique : elles seraient sans cela aplanies depuis longtemps I Elles ont bien plutôt leur origine dans les éléments simples de notre entendement, dans les représentations.

La solution de l'énigme, si je ne me suis pas trompé, est, que c'est et ce sera toujours une énigme , seulement, cette énigme est, me semble-t-il, ramenée h son expression psychologique la plus simple. L'observation la plus tenace de notre pensée et de ses rapports avec la perception ne nous conduit pas au-delà de la constatation que voici : Il y a, pour l'esprit, deux manières tout-à-fait distinctes de saisir les choses, qui ont un droit égal h être prises pour l'intuition fondamentale de kl science exacte, parce que aucune des deux n'apporte de résultats absurdes, du moins tant qu'il s'agit des mathématiques pures. Et lorsque, dans d'autres sciences, l'une de ces deux formes de pensée semble aboutir à des contradictions, la majorité des penseurs a préféré jusqu'à nos jours supporter cet inconvénieni, plutôt que de renoncer à l'intuition correspondante du monde.

Toujours est-il fort surprenant, qu'alors que tout ce qui pouvait cacher la vérité a été éliminé ot qu'on peut s'attendre a en contempler enfin l'image cfaire etnelle, elle nous apparaît sous une double forme. Celui qui le premier a vu à travers un cristal transparent la double image de l'objet simple, n'a pu en faire témoins ses amis avtîc plus d'émotion que j'en ai moimômo à cet instant, où, arrivé au terme de l'examen le plus scrupuleux et le plus infatigable, je dois me résoudre h exposer au lecteur le double mode d'intuition des principes fondamentaux de notre science.

Ces deux modes de représentations, je les nomme, me rattachant en cela à des concepts familiers, Idéalisme et Empirisme. Pour les caraclis-iser tous deux en peu de mots, l'Idéalisme croit à la vérité de certaines formes limites de nos idées exigées par notre entendement, mais qui sont en tlehors de toute perception et de toute repr.''senl\ti(")n sensible : l'Empirisme est le système de complète abnégation, il n'admet comme existant ou comme correspondant à l'existence, que ce qui peut-èire perçu ; il ne se confond ainsi en aucune façon avec h' pyrrhonisme classique.

Nous avons indiqué dans le concept de limile le problème auquel reviennent nos reclierclies actuelles, il nous Caut maintenant en montrer plus nettement l'objet.

liln cherchant à donner ù. la question la l'orme la plus générale et la plus abstraite, au sens d'une règle de calcul f(ui se continue indéllnimcnt ou d'une opération dite inlinie, nous apercevrons tout de suite aussi la (orme ki plus simple du raisonnement dont les formes variées qu'il affecte dans l'analyse n'ont pas toujours été .jusqu'ici î\ l'abri du reproche du manfiue de rigueur. Et, dans cette forme simple, il fauiJra ensuite analyser celte conclusion jusciu'à complète satisfaction de notre soif de connaître, qui, de son côté, doit se calmer en présence d'une limite elfective de notre jjoî^yo/;* de connaître..

Des principes et méthodes de l'analyse où le concept de limite forme l'hypothèse essentielle

Nous désignerons par f (\) une suite de représentations liées à une autre suite de représentations x de telle manière que, à chaque représentation particulière, x, corresponde une représentation particulière f (x). A cette forme la plus générale du concept de fonction ou dépendance uniforme répond aussi la manière la plus générale d'arriver au concept mathématique (le la limite : Il sufllt d'imaginer, sous les représentations, des états comparables numériquement à d'aulres de môme espèce, de telle faeon qu'on puisse substituer à ces représentations ou ?i ces étals leurs mesures numériques, ce qu'on appelle leurs valeurs, x désigne alors une suite de grandeurs qu'on peut exprimer en nombres. Nous imaginons ensuite, pour e.'ipliquer le concept de limite, qu'elles augmentent jus(|u'à dépasser finalement toute borne, à peu près comme le temps qui s'écoule depuis un instant déterminé just[u'au présent qui recule indéfiniment. Il y a cependant une difl'érence, c'est que l'accroissement de nos grandeurs n'a pas besoin de passer par tous les degrés, elles peuvent procéder par bonds, comme Font les aiguilles sautantes de certaines horloges, ou passer par des suites de valeurs se succédant sans règle et d'une manière absolument quelconque. Si maintenant il existe une grandeur déterminée Y, dont, x croissant, f (x) s'approche indéfiniment, de telle façon qu'il existe toujours des valeurs suffisamment grandes de x, pour que à partir de ces valeurs la différence Y — f (x) devienne et reste ensuite plus petite quo

n'importe quelle grandeur si petite qu'on l'imagine. Y s'appelle la limile de f (x) et on écrit :

Y rr: limr(x).

Ainsi, X croissant par des valeurs quelconques, 1 est la limite de

'■ — : — , et X prenant toutes les valeurs entières, 2 est la limite

de \ -\ — ô"+ "T +"--y7 • Enfin? zéro est la limite de — ^— .

Au contraire il n'y a pas de limite, par exemple, à la série des nombres entiers 1,2,3, ... pas de limite non plus, par conséquent, à la suiie de tous les nombres x, quand ce symbole représente tout nombre entier ou fractionnaire. Les phénomènes périodiques, comme les révolutions sidérales, n'ont pas de limite, supposé (lue le mouvement des planètes reste 'dans l'avenir ce qu'il a été dans le passé. Le concept général de fonction comprend aussi : les opérations dites infinies ; par exemple , les séries et les produits infinis , les fractions

continues, les intégrales, etc Dans les séries elles produits

infinis, x désigne, comme dans l'exemple cité plus haut, 1« rang du dernier élément auquel on limile provisoirement l'opération.

Presque à chaque pas dans l'analyse on se trouve en face de cette ((uestion : Telle ou telle fonction f (x) a-t-elle ou non une limite, lorsque x ou bien tend vers une valeur déterminée ou bien croît indéfiniment ? L'analyse nous pose si souvent celle (]ucslion que, pour la résoudre, il s'est amassé dans le cours des années un trésor extrêmement abondant de propositions, de règles et de théories, dont quelques unes nous sont si faminèrcs que nous les appliquons inconsciemment comme les règles du calcul élémentaire. Dans les opérations infinies, dont je viens de parler, on nomme critérium de con\ergenee ou de dix'orgenceles règles qui décident de l'existence ou de la non existence d'une limile.

Manlenant, toutes les propositions, rè.gles ou théories, semblent pouvoir être consid(M'ées comme traTisformations et raisonnements purement math(!'maliques, grâce auxquels dans le cas même le plus compliqui'', apparaît toujours certain ci-ilérium extrêmement simple qui résoud immédiatement la question de l'existence d'une limile. Ce critérium est fourni |);ii' 1,1 proposition suivante qui certainement est très acceptable (|ii;m(l même on la laisserait sans démonstration :

Si la d>l}ùi'C)ire f(xi) — (fx) (xi > \) à pnrlir d'une valeur su Ifisuniincnt grande de Xi et pour des valeurs arbitraires de la ((if/crrnre x, — x, reste nu-dessous d'un nomhre choisi aussi pi'dl qu'int a voulu, la fonction f (x) a une valeur limite d>'ier-

minée. Ma>s si, p )Hr nimpor/r f//w!te valeur de \, si grande qii'tille soit, on trouve poior r(\,) — \{\\ ( toujours x, > xj des valeurs supérieures à un petit ttomhre quelconque mais indépendant (le la variation de x, ('(.x) n'a pas de limite.

Celle proposilion n'csL d'aillours f|u'uno extension de la règle giuK-rale pour la convergence des séries donnée par Gaiichy : Pour (jue la série u, -j- u-, -|-. . . . soil convergente, il l'aiit et il suffit que ?<„, + i*,n;.i -|-.... m„ ait la limite zéro, (juand m et n croissent indéfiniment.

Je nomme la proposition concernant \'(\) le principe g(;néral de convergence et de divergence, parce qu'en effet je trouve que dans tous les raisonnements concluants, de moi connus, louchant la limite, on finit toujours pnr reconnaître que dans cette règle réside la force do la démonstration.

On peut affirmer que ce principe, de concert avec la définition de la limite d'après laquelle il faut concevoir une grandeur Y dont la différence avec f(x) tombe au-dessous de toute ((uanlité quand on fait croître x, i eprésentii phychologiquement une grande partie du domaine malhémati(juc, tout au moins la partie do ce domaine ({ui traite des difficultés inhérentes aux concepts. Dans ce sens, nous pouvons dire que notre recherche sur les concepts fondamentaux des mathématiques revient à la complète intelligence de ce principe.

Il comprend deux parties, l'une affirme l'existence d'une limite et l'autre l'exclut sous une condition déterminée. Le concept de limite est ainsi chaque fois supposé. En réalité, il s'agit avant tout de la première partie parce que des voies purement mathémaliques conduisent de la première à la seconde. Maintenant, on peut démontrer la proposition, de même que la règle fondamentale de Cauchy. très facilement de [)lusieurs manières et ceriainementavcc ce degré do rigueur dont peuvent se flatter les démonstrations d'autres principes connu'^. Mais si, dans de pareilles démonstrations on revient rie plus en plus aux idées élémentaires dont elles sont formées, et qu'à chaque conclusion on se pemande à nouveau si elle est bien satisfaisante, on découvre alors dans chacune d elles au moins un point qui correspond h une lacune dans la suite de nos représentations, oîi sans transition quelque chose survient dont on ne cherche même jamais à démontrer l'existence. Ce quelque chose est la limite môme. Si près de nous qu'elle soit placée, un abîme insomlable nous en sépare toujours ; la continuité des représentations est interrompue quelque part. On atténue ce l'ait en dis mt : passer à la limite, pour exprimer le saut que l'on fait par dessus cet abîme, mais ce mot indi(jue bien 5, quel point on acinscience d'une lacune. En effet, si on ne connaît pas déj*i la limite d'une fraction,

comme dans nos exemples simples donnés plus h;iu(, mais que, la condition posée par le principe général étant remplie, on aCdrme que la fonction doit avoir une limite, voici alors exactement le sens de ce ([u"on aflirme : Le symbole 1(2) crée ou engendre une grandeur dont on ne savait rien jusqu'ici et qui, sans l'opération ('(x), n'avait pas besoin non plus d'exister. Mais en quoi consiste une grandeur limite ainsi engendrée ' Comment doit-on la concevoir ?...

Si, par exemple la série, i + "ô" ^" 2~^ ~^ •> "^ 2 + • • • ^

pour limite 2, c'est-à-dire un nombre, comme on peut l'établir facilement en faisant voir que ce nombre satisfait à la condition

de îa limite, c'est-à-dire que la différence 2 — ( 1 -f- ô+- • ~ônl

quand n croît indéfiniment, devient aussi petit qu'on veut,

aucun homme n'a encore vu le nombre ou la fraction décimale

ou une autre chose quelconque qui représente la limite de la

suite i -\- -X -\- 7)—^ + ô-Q~T + • • • Personne n a vu le résultat

numérique de l'extraction de la racine carrée de 2, supposé^^ prolongée indéfiniment, résultat que nous désignons par [/ 2 pour efîectuer sur ce symbole toutes les opérations aussi naturellement, par exemple, que sur le nombre 2 lui-même. Si cependant on affirme que ces limites existent, ou bien cette affirmation est fausse, ou bien elle a besoin d'une explication qu'on cherche vainement dans les ouvrages de mathématiques spéciaux et à plus forte raison dans les écrits philosophiques qui s'y rapportent.

Toutefois, la formation de la limite par la variation absolument indéterminée d'une fonction f(x) (c'est ainsi (juc nous la supposons jusqu'ici) est évidemment comme t(\) elle-même un ensemble très vaste de représentations où nous nous elVorcerons plus tard d'apporter de l'ordre dans le chapitre qui a Irait au principe général de convergence et de divergence. Il y a un cas particulier du principe général, suivant lecjuel une fonction qui varie toujours dans le même sens (') et qui n'aug-

(') Kxprossion abrégée pour désigner une fonction qui ne fait qu'augmenter ou que diminuer cliacjue fois (ju'clle varie. Cela n'e\elut pas qu'elle soit constante dans des intervalles entii'rs ou i)artout. C'est ce que I.ejeune-Dinchlet voulait désigner en disant : la f mction ne dimimu' jamais ou n'augmente jamais. 'Dove's Repert. Bd 1. Darstellung W'illkulirlicher Functionen dureh Keihen). M. Neumann a proposé naguère d'appeler mo)iotones, des fonctions soumises aux restrictions en question, ot u'mis ferons aussi usage de ce terme, où cela paraîtra convenable.

mente ni ne dimminue au-delà de toute limite, doit nécessairement avoir une limite d(Hcrmin('C. Il conviendrait déjà bien mieux, comme représentation plus simple, à la recherche de l'origine tlu concept de limite, et enfin il présente lui-même dans un cas tout spécial un mode de consiruclion de la limite bien i)lus simple encore gi'àc' auf|uel. comme Je le montrai aussi dans le chapitre cité, la lacune ([uc J'ai relevée dans la déduction des propositions générales se trouve diminuée, .l'ai en vue l'expression habituelle de ce (|u'on nomme les irrationnelles à l'aide de fractions dé'cimales illimit(''Os. Elle équivaut ainsi, pour nous, à l'expression la j)lus simple de tout ce ([ui dans l'analyse dos opérations infinies apparaît encore en définitive comme non démontré.

Dés que l'origine de la limite de la fraction décimale n'aura plus d'obscurité pour nous, le charme sera rompu et l'analyse sera maîtresse chez rjle. Elle gouvernera alors aussi aisément et sûrement dans l'immense variété des rapports de grandeurs, que l'a fait de tout temps la théorie des nombres entiers, dans son domaine plus étroit.

On le voit, les réflexions que suscite le mode de raisonnement fondé sur le concept de limite pourraient déjà être soulevées par les opérations arilhméti([ucs les plus usuelles, comme le développement d'une fraction décimale illimitée. Seulement, dans lesmathémati(iues élémentaires où les fractions décimales illimitées ne servent tout au plus qu'au calcul, qu'est ce qui aurait pu éveiller le soupçon que tout n'y est pas absolument net ? L'examen du problème de la limite qui va suivre a été bien plutùl. amené par certaines combinaisons nouvelles et hardies qui prennent naissance quand on transporte aux variations des fonctions les différences infiniment petites du « continnum » des nombres, et c'est précisément dans ces combinaisons qu'ont paru surgir des difficultés de conception insurraontiiblcs.

En effet, Fourier (]ui , en donnant aux géomètres des exemples nombreux de discontinuité des lonctions, nous a mis sur la voie de la notion moderne de la fonction analytique, ne connaissait pourtant que des fonctions continues, comme celles que l'on avait étudiées jusqu'à lui , et ne présentant que dans des points isolés des interruption ? de continuité, à savoir des changements brusques de valeur. Cette représentation trop restreinte des fonctions, comme devant, à l'exception de quelques points isolés, varier d'une maniî-re continue à l'instar des fonctions algi'briques et des transcendantes les plus simples, c'est Lejeunc Dirichlet, que je sache, qui le premier en a fait sentir l'insuffisance. Mais ces idées préconçues sur la marche des fonctions n'ont disparu pour tout

(\o bon querlevaiit les fonctions continues qui n'adnnellenl pas de fliTivéos, et les fonctions toujours discontinues et pourtant intégrables fonctions qui ont élé sauvées pour la science, du Ircsor didée.s qu'un des plus profonds et malheureusement des plus laconiques chercheurs de ce siècle a emporté dans son tombeau prématuré les unes, par des élèves dignes de son enseignement, les autres, par une circonstance heureuse.

Vue rapide sur la recherche qui va suivre

Une recherche aussi sérieuse que celle que nous allons faire sur la démonstration du concept de la limite, devrait raisonnablement se demander avant tout : En quoi consiste une démonstration mathématique? Quel critérium la fera déclarer satisfaisante ou défectueuse ? Laissons pourtant de côlé ces questions embrouillées. .Je crois que pour Juger la valeur d'une démonstration, on peut aujourd'hui s'en fier au sens logique, devenu depuis (pielque temps beaucoup plus délicat, d'un mathématicien de profession. La déQnilicn scientifique de la démonstration maihématique. réussira peut-être un jour par une voie analogue h celle qu'a ouverte la logique du calcul de Boole, que M. Schrooiler, en la remaniant, nous a rendue plus accessible.

Il est pourtant bien évident que, pour démontrer ou concevoir, il faul relier à une représenlalion initiale déjà existante ou à un concept (c'esl-à-dire à l'ensemble de qualités communes h une classe de représentations) une représenlalion finale, qui est précisément l'objet nouveau à démontrer ou à concevoir, etcelaà l'aide d'une chaîne de représentations dontla génération successive et continue ne surprend jamais, jamais ne trouble la (luiétude de notre conscience attentive. Pour concevoir, l'esprit remontera de la représenlalion nouvelle à la représentîdion initiale ; pour démontrer, il suivra le chemin inverse. En tout cas, notre étude qui porte sur les valeurs num 'ri'ju^s. e.xige tjue nous mettions tout d'abord en pleine lumière la représentation première ouïe concept initial, (pii ne peut être que le concept do la grandeur d'une façon générale et tout particulièrement, pour parler avec plus de précision, de la grandeur mathématique considérée surtout dans son rapport avec le nombre.

Après avoir solidement établi le concept de grandeur math(''mali(|iie nous pourrons atlatjuer notre problème principal, le concept de limite, ou tout simplement, la recherche de la limite d'une fraction décimale. Lh, notre pensée devra, comme nous l'avons dit. suivre deux voies différentes. Nous

l&cherons do tlccrirc deux inoeles d'inluilion absolument opposés \\m à l'aulrc, dont aucun cependant ne saurait avoir notre préléronce. Pour les développer au\ yeux du lecteur tout-à-fait indépendamment l'un de l'autre avec leurs propositions inconciliables, J'ai adopié une Ibrme particulière d'exposition.

Que le lecteur veuille bien se supposer par la pensée dans le cas suivant. Après que Je me serais par occasion, cnlret<.'nu avec deux savants amis sur les intuitions fondamentales de l'analyse, je les aurais priés de me communiquer leurs idées par lettre avec plus de détails, ce qu'ils m'auraient promis de faire de bonne grâce. Ensuite J'aurais, avec leur permission, soumis il chacun des deux les communications de l'autre, et j'aurais ainsi provoqué cet échange écrit d'opinions que Je me permettrai de soumettre au lecteur, après avoir analysé le concept de grandeur. Je me suis efforcé de faire raisonner mes deux interlocuteurs avec la même rigueur, et il ne dépend donc pas de ma l)onne volonté que le lecteur réussisse à montrer une faute de logicjue dans les raisonnem nts de l'Idéaliste ou de l'Empirislc. L'idéalisle prendra le premier la parole.

fj'idée, suivant lMC|uelle deux modes d'intuition essentiellement distincts pour les concepts fondamentaux de l'analyse, sont non-seulement indiqués dans ce qui suit, mais réaiisés méthodiquement, peut d'une manière générale s'entendre ainsi : h l'égard des limites, ou termes hypothétiques de nos suites de représentations qui ne sont graduées qu'en plus ou en moins, nous avons coutume de prendre position de diiïérente manière suivant nos dispositions naturelles ou notre éducation; aucune raison logiijue n'entrave la liberté de notre choi;:. Cette pensée semble d'ailleurs élre aussi \m excellent guide dans les principes fondamentaux d'autres domaines de la connaissance humaine, comme Je me propose de le montrer sous peu dans un travail spécial.

11 en est de la limite du nombre décimal sur laquelle la foule ne voit ni ne veut accueillir l'ombre d'un doute, comme du fameux axiome d'Euclide.

A (juels ellorts ont dû s'astreindre les esprits les plus distingués pour démontrer chacune des vérités dont l'évidence apparaît spontanément à un gar(;on charpentier ! Mais le but et le bénéfice de ces recherches ne furent pas seulement uni^ pure certitude géométrique, mais une intelligence plus profonde du mécanisme de la pensée humaine. Car, pour trouver l'origine de ces intuitions géométriques naturelles, il fallait analyser la représentation d'espace qu'a l'esprit humain et remonter jusqu'à la manière dont il l'a acquise.

La conclusion des considérations suivantes, qui doivent servir d'introduction à la théorie générale des fonctions, sera fournie par la théorie mathématique du concept de limite et du principe général de convergence. C'est seulement après une aussi longue traversée sur une mer philosophi(|ue, que nous Ibulerons pour la première fois avec celte (jucslion un terrain mathématique, cl il ne nous arrivera plus désormais, — ce sera le résultat de noire élude sur les concepts — de sentir ce sol nous manquer sous les pieds.