INTRODUCTION

Par grandeur ou quantité mathématique (quantum, quanlilas, Grosse) on entend une qualilé commune à des ohjels de diriorentcs espèces, par rapport à laquelle ils sont comparables numériquement, comme leur longueur ou leur poids. Cependant toutes les suites de représentations ([ui peuvent être soumises aux opérations mathématiques sont loin d'être comprises dans celle définition, (iénéralcment parlant, il faut entendre par grandeur ou quantité mathématique l'ensemble d'une suite de représentations soumises au moins aux conditions suivantes : 1" Chaque représentation isolée occupe dans cette suite une place suffisamment déterminée ; 2° Entre les grandeurs de la suite ou entre ces grandeurs et celles d'autres suites également ordonnées, il existe des rapports qui peuvent élre combinés et donner naissance î\ de nouveaux rapports.

Seulement, hàlons-nous de le dire, avec ces définitions générales, que l'on formule de manière à ne laisser échapper ancun cas particulier, on n'avance guère. Car pour parvenir de là à une idée claire et précise du concept de la grandeur mathématique dans le sens ordinaire qui est, et qui restera la notion fondamentale de la géométrie, de la mécanique, et n'en doutons pas, aussi de l'anidysc abstraite, il faudrait restreindre la définition générale,. jusqu'à ce qu'elle s'adaptât au concept voulu. Cette manière de procéder que l'on trouve chez quelques auteurs a un défaut capital. C'est que, au fond, pour savoir où s'arrêter en restreignant la définition générale, il faut déjà être en possession du concept final. Aussi les résultats que l'on obtient de cette manière me paraissent-ils peu satisfaisants, assez vagues et même contradictoires selon qu'ils se fondent sur ditîérenles idées préconçues.

Pour comprendre h fond les concepts puissants qai dominent toute la pensée comme ceux de l'espace et du temps et aussi des concepts moins vastes ((uoif{ue encore très bien délimités, tels que celui qui nous occupe, il paraît plus naturel et môme plus intéressant de procéder de la manière inverse, en essayant de remonter h l'origine du concept, d'examiner attentivement par quelles abstractions il peut s'être formé, de le poursuivre dans les difTérents domaines de la connaissance OLi il se manifeste, et d'établir enfin solidement les caractères communs de ces difTérentes manifestations. Ce n'est qu'ainsi qu'un concept à ramifications si riches et si délicates, comme celui de la grandeur mathématinnc , peut être finalement débarrassé do tout accessoire, ce qui doit être notre but. Car les grands concepts présentent en général deux états de développement bien distincls, dont le premier est commun à tous les hommes, et l'autre, de nature scientificjue, tend à une détermination exacte du concept commun. Ceci peut être fort difficile, à la vérité, comme par exemple s'il s'agit du conce|it de matière organisée, ou do règne végétal ou animal : Quelque manifeste que soit la différence entre un lion et un pommier, la science n'a pas encore réussi à tracer la ligne de séparation entre le règne animal et le règne végétal.

Nous donnons dans cet ouvrage deux exemples de la mélhodo in(li(p]éc. Celui ([ui va suivre sur le concept de la grandeur, et plus loin l'examen du concept de la limite. Mais nous nous proposons de soumettre ailleurs à une analyse semblable d'autr(»,s concepts, à savoir ceux de l'espace et du temps et les concepts mécaniques de force, etc.

Quant à la présente recherche, nous serons assez vile conduits à une forme fondamentale du concept mathématique de grandeur qui domine non seulement le monde extérieui", mais aussi la vie intérieure de l'âme.

Les quantités malhémaliquea linraires, c'est le nom que je donne à cette forme fondamentale, sont les propres racines de l'analyse, par lesquelles elle lire conlinuollement une nouvelle nourriture de sol natal, l'élude de la nature. Mais, d'un autre côté, nous saisirons plus nettement l'essence de grandeurs nialhi'matiques d'une autre espèce si nous les comparons aux grandeurs linéaires, et si nous cherchons par quelles propriélés elles en différent.

La grandeur mathématique peut, par sa nature, ne prendre que des valeurs discontinues, comme le nombre d'objets, Anzahl, ou bien elle correspond à une espèce de représenlations passant d'une manière continue de l'une à l'autre, comme cela a lieu pour les longueurs. Ceci trace pour nous, il esl vrai, une

lignc (le suparalion île cluiquc ciH»' de laciui;llo nous jjortorons l)ienltH noire obsorviiLion. Celle ligne pourlant, comme on le reconnaîlra bienlôl, ne réalise pas à proprement parler une scission dans le concept de grandeur, parce (|ue la cjuanlité malhémaliijue continue dont il s'agit essentiellement ne peut servir à m^sw/xv qu'après l'inlroducLion du concept de nombre, etparccqu'ainsi le concept de grandeur continue dans son diWe- ]oppcment scionlilHjue suppose celui de grandeur discontinue.

1. — Quantités mathématiques discontinues. — Maintenant, pour en venir tout de suite aux (juantilés m.-ilhémati(iues discontinues, le concept de nombre d'objets (c'est à cette espèce de grandeurs discontinues que nous voulons ici borner nos considérations) a son origine dans la représentation de l'état isolé des objets de la perception ; et on s'e.\pli(jue sur ce concept à l'aide de mots ou de signes par lesijuels on exprime le nombre d'objets et (|ui s'appellent les nombres.

Le concept du nombre d'objets est tout-à-l'ait indépendant de l'espèce des objets. Raphaël, un théorème, un canon, font ensemble trois objets. Le nombre d'objets est donc , pour ainsi dire, ce qui subsiste dans notre pensée, lors(iue tout ce qui distinguait les choses s'évanouit, et qu'il n'y a plus dans l'esprit qu'une représentation, à savoir que les choses étaient distinctes; il mesure combien de fois notre conscience a reçu une impression distincte. 11 suit immédiatement de \h que les objets séparés, lorsqu'ils sont identiques ou (ju'ils ne didérent presque pas les uns des autres, éveillent immédiatement la représentation du nombre, car l'impression des différences n'a pas besoin de s'efl'acer, elle ne se forme môme pas. Gela suppose pourtant que l'attention n'est pas absorbée par la configuration géométrique des objets, à plus forte raison qu'elle ne se porte pas de prime abord sur leur ordre.

2. — Eclaircissements sur la formation du concept. — Le mode de provenance, qui vient d'être indiqué, du concept du nombre d'objets, est commun h peu près h tous les concepts. Toutefois il semble h propos, au commencement d'une série de déterminations de concepts , de dire comment je me représente la formation du concept. Les concepts naissent là où des traits communs à un groupe de représentations éveillent et captivent notre attention. La variété de ces représentations s'efface ou, comme l'écrit Jean Millier, s'obcurcit devant notre conscience. Lorsqu'ensuite le concept, (c'est-à-dire l'ensemble de ces caractères communs), persiste dans notre pensée, il se fixe dans ses traits essentiels, dans nos représentations et notre souvenir, au mot ou au signe à l'aide duquel le langage ou la science le désigne. Si on veut remonter au contenu réel

du concept, on fait reapparaître devant la pensée une ou plusieurs des représentations particulières d'où étaient abstraits les caractères communs. Aussi peut-on observer sur soi-même ([ue des concepts pour lesquels il n'existe encore ni mot ni signe se rattachent à une certaine représentation émergeant d'une façon particulière du groupe auquel elle appartient, représentation qui leur sert ainsi de signe. C'est bien là d'une façon générale le début de la formation du concept et de la forme la plus vraisemblable de ce concept chez ceux qui pensent sans la faculté de parler.

Les caractères communs à une suite de concepts se réunissent ensuite pour former un nouveau concept plus général et par cela même plus pauvre et ainsi de suite.

3. — Quantités mathématiques discontinues (suite). - Le concept du nombre expi-imé par des chiffres ou par des mois api)artient de sa nature à ceux qui se sont le plus détachés des représentations réelles qui les ont engendrés. Cela lient à ce que on ne peut se faire une représentation réelle que de tout petits nombres. 11 y a peu d'hommes qui, du premier coup d'œil, puissent reconnaître un nombre d'objets convenablement choisis, (par exemple de boules de même forme et de même couleur,) — qui dépasserait cinq ou six. J'admets là que l'ordre géométrique des objets s'est trouvé autant que possible le môme pour les différentes collections d'objets, que par f'xcmple ils sont rangés ù. peu près en ligne droite. Dans la disposition uniforme sur une ligne droite ou môme dans la disposition sur un cercle, où de plus il manquait un point de départ nettement distinct, Dahse ne pouvait, à ce ([ui m'a été (lit, compter du premier coup d'œil qu'un nombre remarquablement plus petil que lors([uc les objets étaient disiribués sur une surface plane, où ils formaient des figures géonnMriques iri'égulièrcs qui les lui rendaient plus faciles à complrr.

Ainsi admettons que nous ayons une représenlitiun nette lies nombres à peu près juscju'au nombre sept, nous pouvons alors, jusque là, faire correspondre le concept de nombre d'objets à une suite de représentations particulières, comme nous pouvons faire correspondre le concept chêne à la représentation de tous les chênes que nous avons dans noire souvenir. Au-delà de ce chiffre nous avons bien des représentations réelles de pluralités plus ou moins grandes, mais cependant les représentations de nombres un peu grands se rattachent ù la représentation du dénombrement; 31 . par exemple, n'est pas une re|)résenlation tirée directement île la perception, mais elle suppose le fait préalable du dénombrement.

Or le (lônoiubi'cincnL lui-raôino exige, ([uand on dépasse nolablement le nombre 20, c'esl-ù-dire le nombre des doigts des mains cl des pieds, un syslèmo de numiTalion et par consé([iienl un certain degré de développemeul scientili(jue.

Le concepl de nombre montre ainsi nettement tout d'abord deu.K degrés de d(!veloppement dont le second comporte des commencements de science et ensuite un troisième complètement scientifique.

Au premier degré de développement nous trouvons les commencements les plus grossiers de la mesure des pluralités à l'aide de nombres ; ils se rattachent aux représentations tirées directement de la perception de tout petits nombres comme peuvent en avoir aussi les animaux, qui se mettent en défense contre plusieurs ennemis autrement ((ue contre un seul. D'après des rapports concordants sur les peuples non civilisés de l'époque actuelle, ainsi que sur les époques antérieures h. toute civilisation, cette numération primitive consistait simplement dans la comparaison avec les nombres des doigts des mains cl des pieds. Nous en avons encore un témoignage dans notre système décimal de numération, ce détestable héritage de nos pères. — Le développement ultérieur du concept de nombre a fourni la suite illimitée des nombres entiers, déterminée par celle circonstance que chaque nombre représente une collection contenant un objet de plus que la précédente, et a établi dans celte suite des points de repère qui permettent de mesurer toutes les pluralité.^.

Enfin, le développement sciciititique du concept de nombre s'est marqué dans la recherche des rapporls entre les nombres entiers et a conduit finalement des règles de calcul les plus simples à la théorie des nombres. En vérité cependant, le chemin fut loin d'être aussi direct. Bien au contraire, les commencements du développement scientifique du concepl de nombre concordent avec ceux du concept de quantité continue, tous deux se sont d'abord développés et formés par les exigences qu'ils ont montrées l'un à l'égard de l'autre, juscju'à ce que une pensée plus profonde se soit plu aux belles propriétés des nombres pour elles-mêmeset que, aucours des années, elle ait posé les germes multiples d'une science qui, dans les deux derniers siècles, a atteint un si riche développement.

4. — Des quantités mathématiques continues. — Voici des exemples de grandeurs mathémaliijues continues : Longueur, surface, volume, poids, temps, vitesse, force, ([uantité de chaleur,intensilé de lumière et de son, tension électri(iue, force de courant, etc.

Quand on parle des quantités malhômaliques, on ne pense tout de suite qu'aux quantités géométriques, et, en particulier, h la ligne droite limitée en longueur, à laquelle on cherche à ramener les autres quantités parce que c'est incontestablement la représentation de cette espèce la plus simple, la plus invariable et la plus répandue. Ce n'est pas une représentation dans le sens déjà donné plus haut h l'occasion du nombre d'objets ; c'eat plus proprement un concept mais qui, ici, à rencontre du nombre, est si voisin le plus souvent d'une des représentations particulières d'où il a été lire (jue dans la pensée cette représentation y supplée. Ainsi l'un en y pensant se représente une arôte ou la limitation d'un plan; pour un autre la longueur apparaît sous la représentation d'un Vi\ ou d'un trait ou d'un rayon. Enfin, on y voit aussi la trajecloire parcourue par un point mobile à la manière des étoiles filantes.

Les quantités mathématiques continues que j'ai citées ont tout d'abord ceci de commun que leur mesure et leur comparaison dépendent des perceptions du sens de la vue, ensuite que leur qualité comparât le ou mesurable devient toujours finalement l'étendue recliiigne, et qu'elles se laissent, comme celle-ci, partager et combiner par addition. Observons, pour expliquer ceci, les représentations mesurables de la géométrie.

5. — Caractères communs aux quantités déjà citées et aux quantités géométriques. — Sur la mosaïque d'un champ visuel, apparaissent des images telles ({ue chaque morceau qu'on en découperait n'importe oii possède les mêmes propriétés que l'image complète. L'intuition la plus immédiate de telles propriétés nous est ofl'erte par l'image de la ligne dr<»ile limitée. Mais ce serait une erreur de vouloir l'aHirmer aussi d'un arc de cercle non rectifié, parce que le rapport de la corde à l'arc ne reste pas invariable lorsque l'arc devient de plus en plus petit; parce que, bien loin de \h, dans une division pi-iiongée de l'arc de cercle, la représentation cesse peu à pou d'être celle d'un arc et se change en celle de la ligne droite.

Au contraire, il en est des surfaces planes uniformément colorées et éclairées, quelle qu'en soit la forme, comme des lignes droites ; seulement cela n'est plus le fait d'une intuition directe. L'analogie enli-e les propriétés mesurables îles lignes droites et la représentation de mesure qu'offrent de telles surfaces planes est rendue possible par l'inlervenlion du concept nouveau de l'aire, c'est-à-dire de l'ex/iauslion d'une surface plane limitée d'une laçon (juelconciue et liu transport de ses portions de surface dans le cadre d'un rectangle, par exemple, dont la base serait fixe, tandis fiuela hauteur dans sa variation déterminerait à chaijue instant l'aire du rectangle. Par cet

« épuisement » la comparaison ol la mesure des surfaces semblables sont lout-à-lait ramenées h celles des longueurs. Si nous imaginons ensuite cjue notre représentation visuelle soit complétée par la représentation de l'espace, alors apparaît le concept de volume, dont nous exprimons la mesure à l'aide d'une longueur, absolument comme nous l'avons l'ait pour l'aire. Ce concept, tout comme la longueur, Jouit de cette propriété, que les parties sont de même nature (jue le tout au(jucl elles appartiennent, ou que n'importe (|uel autre tout de môme csjièce. Dans les autres quantités math(''matiques déjà citées on découvre également et sans peine la longueur qui fournit la mesure. Pour citer quelques exemples familiers: l'arc de cercle que décrit l'aiguille (le l'horloge, une fois rectifié, fait dépendre le temps d'une longueur ; la graduation du levier de la bascule mesure le poids ; la force devient proportionnelle h l'énergie des phénomènes de pression et de mouvement, qui de leur côté peuvent être immédiatement exprimés en longueur, etc.

Maintenant, dans le cas où nos perceptions et nos observat'\ons nous apportent une espèce de représentations qui ne différent entrc-elles que par le plus ou le moins, nous nous sentons provisoirement satisfaits quand nous avons posé les divers degrés de cette représentation dans des rapports déterminés avec les représentations mesurables de la géométrie, quand, par conséquent, nous y avons trouvé une longueur donnant la mesure. Ceci nous apparaît, en efl'et, comme le premier pas fait vers l'intelligence mécanique des choses. Nous ne faisons en cela que suivre notre tendance h ramener ce qui est nouveau et compliqué, et par cela même trouble la quiétude de notre âme, à des choses vulgaires et familières, parmi les([uelles il faut compter en première ligne les représentations géomét riques mesurables. Car, comparer et partager les étendues sont p our nous choses si naturelles que ces faits, comme le premier degré du concept de nombre d'objets, ne sont peut-être pas spéciaux à l'homme. Les concepts d'aire et de volume appartiennent aussi vraisemblablement aux premières acquisitions de l'esprit humain. L'espèce naissante pouvait les abstraire d'observations sans nombres. Le besoin d'étofTe pour les vêlements et pour les couvertures des tentes, la capacité de différents vases ou autres objets de même nature, la semence nécessaire à des champs, de formes et de grandeurs difïérentes ; ensuite, par les progrès de l'état de société de l'homme, les concepts de propriété foncière et des mesures conventionnelles et une foule de choses semblables ont fait de l'aire et du volume une des formes fondamentales d'intuition de notre esprit, L'enfant acquiert ces concepts, s'ils ne sont innés, par exemple,

en déchirant du papior ot, en jouant avec des vases qu'il remplit de sable ou de liquide.

Les représentations mesurables de la géométrie forment donc le point de départ au(juel revient sans cesse noire pensée dans ses déductions rigoureuses. Cette affirmation ne rencontrera certainement pas de contradiction sérieuse,

6. — Introduction du concept de quantité linéaire. — Les quantités citées jusfju'à présent ont donc une propriété commune remarquable; elles peuvent se ramener aux longueurs; leurs différences, leurs parties et leurs multiples sont de nouveau des quantités de même espèce, comme pour les longueurs ; elles sont, comme les longueurs, susceptibles de prendre des étals très petits ou très grands ; comme les longuoui"s, e]]3s sont comparables, mesurables. Je nommerai les (juantités mathémalhi([ues de cette espèce : Qaantilés mathématiques linéaires. Mais il paraît convenable d'amplifier ce concept par rapport à l'étendue dans laquelle en fait corresdre la quantité linéaire à une longueur, (juc rien ne nous oblige à considérer comme illimitée.

Supposons donc établie entre une certaine quantité et une des quantités linéaires décrites tout-à-r'heure, par exemple, une longueur indéterminée, une relation telle {[ue cette grandeur soit une fonction continue de la quantité linéaire, (que cette relation puisse être observée ou qu'elle soit la conséquence d'un raisonnement, ou eutin c[u'clle soit un exemple imar/iné par nous dans une intention quclconc[ue). Si cette grandeur on augmentant ou en diminuant en même temps (|ue la longueur à laf|uelle elle correspond se change en une grandeur do môme espèce, d'où il suit. puisf[u'elle est supposée continue, c'est-à-dire croissant par degrés aussi petits qu'on voudra, qu'elle commence par zéro, il faudra la considérer alors comme (|ua,ntité linéaire , dût-elle ne pas croître indéfiniment. On }>ov.rra, en effet, la faire correspondre point iia,r point au moins à la ligne droite liniil'''e et, coniuv^ elle, à iexeption de l'élentlne, (.'lie possédera les propriétés des grandeurs linéaires.

La concentration, c'est-à-dire le rapport d'une quantité de substance en dissolution à une quantité fixe d'un liquide dissolvant, nous fournil un exemple de grandeurs linéaires limitées. Elle peut varier entre zéro et Tinlini, mais aussi entre zéro et une valeur finie. 11 peut aussi, comme pour l'élher et l'eau , être nécessaire de considérer séitarément les deux iM|)ports, de l'eau à une t|unnlilé fixe d'éther, et de l'élher à une(|uantité lixe d'eau, pour fair(! de ces rapports des quanlilés lini'aires selon notre délinition. Un autre exemple de grandeur lini'airo limitée est la probabilih' d'être atteini à une distance

donnée du but du tireur. Si on la considère comme le rapport du nombre de coups s 'égarant à celte dislancc ;i un nombre très grand de coups tirés, la diiïérence de deux probabilités pareilles peut de nouveau être envisagée comme une probabilité.

7. — Ce qui peut se graduer suivant l'étendue ou l'intensité appartient aux quantités linéaires. — Toutes les espèces de (|uantités (jue nous pouvons considérer comme quantités mathématiques sont loin d'être linéaires, de sorte que notre tâche est tout d'abord d'acquérir au moins une idée approchée de la dissémination des quantités linéaires dans les différents domaines de la connaissance humaine. Cette tâche nous est facilitée par la rcmanpie suivante :

On a coutume, on le sait, de partager les espèces de (juanlités en deux cati^gories selon r[u'elles sont graduées suivant l'étendue ou l'intensité, (cxtensives cl intensives). La multiplicité n'en est certes pas ainsi épuisée, mais ce (jui est important c'est que toutes les suites de quantités se distinguant par l'étendue ou par l'intensité puissent cire considérées comme appartenant aux quantités linéaires.

Je dis appartenant aux quantités linéaires. Car pour ce qui est des quantités variant suivant l'étendue, on ne peut pas, par exemple, considérer comme linéaire une suite continue do triangles semblables, leurs différences étant, entre autres raisons, quelque chose d'indéterminé, au lieu d'être de nouveau des triangles semblables. Mais ce (jui distingue et détermine

les triangles, périmètres, hauteurs, surfaces, etc , est de

nature linéaire. Ainsi nous pourrons dire d'une façon génér.\le que ce qui est gradué seulement suivanl Y6[enduQ pcuf-rlrc ramené à la mesure linéaire.

Au contraire , les suites de quantités continues graduées suivant l'intensité, quand elles peuvent être conçues comme quantités mathématiques, sont toujours linéaires.

La condition qu'une su' te de quantités soit mathématique exige seulement que les individus de la suite soient définis en eux-mêmes d'une façon suffisante et nullement que nous puissions les déterminer actuellement en les faisant correspondre à une mesure linéaire, ou que nous supçonnions seulement le moins du monde comment nous pourrons jamais les y ramener. Gela posé, il nous faut chercher tout d'abord à montrer clairement ce que l'on doit entendre par « différence d'intensité. » Ce concept n'est pas, en vérité, aussi facile à analyser (juc celui de la différence d'étendue. Mais précisément ici, nous n'avons pas le droit de nous faire forts de ce qu'il ne nous est pas moins familier. Grâce à l'explication suivante de ce concept, je ne me suis jamais trouvé dans l'embarras.

Nous eyriployons V expression « différer en intensité », quand nous tenons les variations d'une grandeur ( augmentation ou diminution) pour des grandeurs de mêni". espèce; quand par conséqiœnt les différences dans une espèce de grandeurs nous apparaissent de nouveau comme des grandeurs de même nature.

Or, c'est \h une des propriétés principales des quantités linéaires géométriques qu'à la vérité on ne distingue pas suivant l'intensité, mais suivant l'étendue. Celle dénomination ditTércnlo de la rclalion entre les quantités de même espèce, dont les unes sont dites graduées selon l'étendue, les autres selon l'intensité, ne constitue donc pas une diiïérence dans le caraclcre mathématique de ces grandeurs, et ce que nous venons d'exposer constate pleinement la nature linéaire des quantités mathématiques qui difFèrent suivant l'intensité, quand, bien entendu, on les suppose en outre suffisamment déterminées et continues. En efïet, quand la variation d'une variable se fait par des différences pour ainsi dire, de même nature que la variable, elle doil, si elle est continue, commencer par zéro ; en oulre, étant formée par des accroissements aussi petits qu'on veut, elle admet aussi nécessairement des multiples et des parties de môme espèce, et c'est là précisément notre concept des quantités linéaires.

Pour éclaicir ce qui précède par des exemples, on dit de la température qu'elle est graduée suivant l'intensité. Cependant il faut ici distinguer la lempératuro sentie physiologi([uemcnt, c'est-à-dire la sensation de chaleur qui appartient aux sensations dont nous parlerons plus loin, et la température physique qui est l'expression de l'intensité du mouvement calorifique et par suite qui est la quantité linéaire proprement dite.

Enfin, mentionnons encore la dureté qui consiste en une résistance, non encore rigoureusement analysée au point de vue physique, que présentent les corps solides quand on veut leur faire subir des variations de formes qui dépassent les limites de l'élasticité (soit en les éraillanl, soit en les pressant, soit en les brisant). S'il est ici question de difiérencc en intensité on se représente clairement à l'esprit que les forces de résistance dont la dureté est la manifestation dans leur variation d'une matière à une autre, ou dans la même matière, (par exemple, sous l'action de la température,) subissent des accroissements qui sont des forces de la môme espèce, et auxquels correspondraient certains degrés de dureté. Bref, la dureté est pour les forces de cohésion re que la lempi''rature est pour le mouvement calorifique.

J'ai choisi ces exemples, parce ([uf^ la justesse de l'explication que nous avons doum'-e du concept n'y est peut-èlrp pas

aussi évidenle d'ellc-mAme qun d;ins los cas qui se prilsenlent ordinairemcnl.

JiiRcant ainsi la n<ilurc linôiiiro des suiles de (juanlilés graduées suivant l'étendue ou l'intensiti'; comme suClisamment i'oTdée, cherchons maintenant ù nous former une vue générale des quantités mathémuti(jucs propres aux différents domaines de la pensée.

8. — Les quantités du monde extérieur. — Tout d'abord, le mondt3 de la perception (jue nous nommons monde extéiieur. En première ligne, se trouvent les mystérieuses causes premières qu'on nomme forces et, en les mettant en avant, nous franchissons les limites du domaine de la perception et nous nous trouvons alors en plein dans l'empire des créations de la pensée humaine. Sous l'influence d'une poussée intérieure, nous concluons des phénomènes à l'existence des forces premières, et puisque enfin nous ne savons rien sur elles, nous devons voir dans les phénomènes leurs effets complets. Les effets sont ainsi dans notre représentation équivalents en quantité h la force qui les produit. Or ces eflels, pressions, tensions, mouvements, sont des grandeurs linéaires, il en est donc de même des forces et voilà pourquoi nous les avons citées comme telles.

Si loin que nous soyons, et pour toujours, de pouvoir représenter mathématiquement tous les phénomènes du monde extérieur, aucune espèce de grandeur ne semble devoir s'offrir , qui ne puisse probablement être un jour comprise dans le concept des quantités mathématiques linéaires, ou mieux qui ne se révèle probablement un Jour comme une quantité linéaire. Car parloutoù nous pén(''trons, toute variation se montre graduée suivant l'étendue ou l'intensité, et nous considérons de pareilles quantités qnand elles sont susceptibles d'une définition précise (ainsi que cela a été plus haut examiné de près), comme essentiellement linéaires, môme si nous ne les avons pas encore ramenées, comme pour la dureté h leurs dernières variables linéaires géométriques et mécaniques.

9, — Les quantités du monde de la perception interne. — Sensations graluées suivant l'intensité. — Etudions ensuite en les considérant comme des ([uantités au point de vue de leurs propriétés, quelques phénomènes de la vie interne de l'âme. Les sensations par lesquelles des excitations ou irritations se révèlent à nous sont bien les plus simples phénomènes qui doivent se présenter ici, et ofl'reni une foule d'espèces de quantités très instructives.

En premier lieu se trouvent les sensations graduées suivant

l'intensité, telles que la douleur, les sensations de la peau, les sensations d'intensité (fui nous viennent des sens.

En appliquant aux sensations notre proposition relative aux quantités (jui difl'ùrent en intensité, nous reconnaîtrons que ce sont aussi des quantités linéaires, lorsque, bien entendu, elles peuvent être considérées, avant tout, comme quantités mathématiques. On se représente bien, en efTct, que si des excitations d'une môme espèce s'additionnent, une somme de sensations produites respectivement par les difTérentes forces d'excitation, ne forme également qu'une seule et même sensation plus intense. Ainsi, on s'imagine qu'une impression de chaleur plus vive qui correspond à une élévation de température est produite par un accroissement de la sensation, lequel est lui-môme une sensation de chaleur, de sorte que l'impression de chaleur devient comme une image intérieure de la température.

Il n'y a donc plus qu'à se demander si l'intensité de sensation est une (juantité mathématique, si elle admet des valeurs particulières suftîsamment déterminées pour être acceptées comme une fonction délinie de quantités linéaires mesurables. La différence des forces de sensation qui correspondent dans des circonstances difTérentes à la môme excitation, la brièveté du temps pendant lequel l'intensité de la force de sensation produite par une excitation constante reste la môme, l'influence de la fatigue et, avant toute chose, le manque d'observation méthodi(|ue de soi-même, prêtent principalement aux sensations de l'odorat et du goût une apparence d'instabilité inappréciable (|ui peut nous entraîner à donner tout de suite à cette question une réponse négative.

L'investigation scientifique est loin d'être enrayée par une telle apparence d'instabilité ; elle cherche d'autant plus à lix^r l'instable. H existe sans aucun doute dans l'organe central un état correspondant d'une taQon précise à l'excitation, état (|ue notre conscience doit s'exercer à évaluer et à distinguer des influences voisines, et peut certainement apprendre à connaître petit à petit. IJ'ailleurs les sensations d'intensité des sens de l'ouïe et de la vue, ijui se prêtent à une observation plus longue et à une comparaison plus facile que celles des sens du goût et de l'odorat, présentent aussi en général plus d»^ sûreté et de fixité. Il ne semble donc nullement invraisemblable que. dans toutes les espèces de sensation ou dans (|uel(iués-uucs (fui sont graduées suivant l'intensité, on puisse trouver les conditions sous lesf[uelle3 il nous sérail possible de susciter î\ chaque inslani des intensités de sensations particulières qui correspondraient à des quantités égales d'exciUition et qui nous puraîl raient absolument égales. Cela

suffirait pour reconnaître dans les sensalions des fonctions raalhàmati(|iios dos f[uantit(5s d'excitation, surtout si l'on songe à la (inossc (|iin|(nii>,|()is ôtonnanli' do nos sens pour la dislinction des dogn-s d'excitations par les inlensiti^s de sensations, finesse des sens qui, comme l'app'^ennont de nombreux exemples, si elle n'est p;vs donn/'c naturellement, peut-être portée h un haut dcgrô par l'exercice.

D'après cela nous pourrions être fondés ù considérer les sensations graduées suivant l'intensité comme des quantités linéaires, c'est-à-dire comme des fonctiotis dos ([uantités d'excitation qui commencent par zéro et dont les difriTonoes. les parties, les multiples, sont h leur tour, quoique non exprimables, dos forces de iicnsjitions. Mais combien serait plus claire pour nous leur essence linéaire, s'il existait quelf|ue principe qui nous mît en état, étant donné deux sensations, non seulement de reconnaître la plus forte ou la plus faible, mais encore de calculer numériquement leur rapport.

Pour les sensations qui varient suivant l'intensité, nous ne possédons précisément pas d'unité do mesure transportable qui soit elle-même une pareille sensation pouvant être perçue en même temps qu'une sensation à mesurer et ({uenous puissions également appliquer contre elle ; nous ne pouvons comparer les intensités de sensations que par le convenir. C'est là, en ce (]ui concerne le rapport de mesure, la diiréreuce essentielle en're la vue el, par exom[j]e, le goût. Car, supposons que notre perception de la vue ait les mômes bornes que celles du goût, nous ne pourrions pas voir deux longueurs en même temps, une seule figurerait dans le champ unil'orme de noire vue : sûrement nous serions aussi incapables de nous faire une idée d'une longueur double que nous le sommes en réalité de nous représenter une douceur double. Nous ne pouvons pourtant pas conclure de cette incapacité f(ue le phénomène cérébral (jui correspond à notre sensation de douceur ne fournisse pas l'idée du double de son énergie.

Poussons encore un pe j plusloin l'opposition dos deux sortes de sensations. La perception d'une ligne de longueur limitée sera transportée de la l'étino au cerveau par la voie du nerf sansaucune porte. Qu'il vienne s'ajouter à la perception visuelle de la longueur limitée la vue simultanée de plusieurs longueurs ainsi que la possibilité de leurs déplacements respectifs dans le champ visuel, cela nous fournira l'intuition du double des longueurs et plus généralement de leurs rapports numériques. Enfin, le sentiment que cette inhùlion répond à la réalilé, naît seulement du concept de l'espace, c'est-à-dire de l'apparition ultérieure du déplacement suivant la 3rae dimension.

Dans les sensations cfui difTèrent en intensité voici commont les choses se passent: sur la trajectoire nerveuse qui va de la membrane muqueuse de la bouche, par exemple, au cerveau, une fraction de l'énergie de l'excitation se perd vraisemblablement; ce qui en arrive dans la matière cérébrale se résoud en un mouvement dont l'énergie est à son tour transformée partiellement en quelque autre chose, tandis que la dernière partie de cette énergie vient entière et complète se révéler à la conscience comme une sensation et à mesure que notre moi sentant, veut ou peutporterson attention sur elle, elle se trouve entraînée dans l'engrenage de notre pensée.

Cette partie de l'énergie est la quantité linéaire et elle prendra toujours (cœteris paribas) pour d'égales quantités d'excitation la même valeur suffisamment précise de l'açon à pouvoirêtre assimilée h une quantité mathématique. Pourronsnous jamais la mesurer?

Le problème que la vie nous présente sans cesse est au contraire celui de l'estimation et du calcul de l'excitation par la sensation, et en cela, comme nous le faisons pour nos perceptions de dimensions grâce à l'intuition de l'espace, nous jugeons que nos calculs de quantités d'excitations fondés sur des expériences variées sont aussi en accord avec ce qui nous paraît être la réalité.

Toutefois c'est une idée hardie qu'eut Théodore Fechner, le jour où il se posa ce problème inverse d'exprimer l'intensité de sensation en fonction de l'intensité d'excitation. Si peu certain que puisse paraître jusqu'à présent son résultat, il lui revient incontestablement l'honneur d'avoir le premier cherché scientifiquement à mesurer les sensations. (*)

(*) Le raisonnement qui conduit à sa loi psychologique consiste à peu près en ceci : Si une excitation croît à partir d'une valeur 3, nous n'en percevrons pas la variation, malgré toute notre attention ; avant que l'excitation ait atteint une certaine force 8-(- /^ S où /\ fi dépend, suivant l'expérience, de la force d'excitation déjà existante p.' Pour des poids posés sur la peau, et pris comme exitation E. M. Welvr, a trouvé que ^ fi est proportionnel à fi. On applique cette loi à partir de la valeur P zz 0, il y correspond une valeur ^ [i rz A f^o '!"' s'appelle le seuil de la sensation. Le fait important au point de vue de la théorie des grandeurs est qu'une pareille loi puisse être adoptée du moins entre de certaines limites, de sorte que nous n'avons pas à nous préoccuper ici de l'étendue dans laquelle la loi de M. Weber répond aux faits.

M. Fechner suppose, et ce point est le fondement de sa théorie, que l'accroissement ^y de la force de sensation y lcfl'i<?l ^st précisément perçu, est indépendant de y 5 de sorte que Y est formée par l'addition

A fl d'accrroisscments égaux /\Y ''e sensation. Mais puisque —^ est cons-

10. — Suites de sensations non graduées suivant l'intensité qui sont bien des quantités mathématiques mais non pas linéaires. — Kn dohors des espèces de sensations graduées suiviinl l'inlensilé, nous en connaissons où une classe de sensations se compose d'individus (lui fournissent bien des impressions semblaliles les unes aux autres dans un certain rapport, mais dont la din"(''rence n'éveille pas, comme dans les sensations étudiées jusqu'ici, la représentation spontanée que chaque sensation individuelle est une somme d'accroissements élémentaires de même espèce.

tant, il peut alors conclure que Ay est proportionnel à — ^ . 11 paraîtra

donc tout-à-fait admissible que traitant Ay et AS comme des différen-

tielles, il conclue que Y est proportionnel a log. t~â — , ce qui est sa loi

psychologique. La quantité A y est hypothétique ; c'est pounjuoi, manquant de toute mesure pour la sensation, nous ne pouvons affirmer qu'il y ait erreur à trouver plus vraisemblable la proportionnalité outre les forces d'excitation et celles de sensation. La théorie de Bernstein me paraît le plus particulièrement parler en faveur de la loi de Fechner quoique d'une façon indirecte. Suivant toute vraisemblance, il correspond dans l'organe central aux terminaisons périphériques des nerfs qui reçoivent l'excitation im système bien arrêté de fonctions qui peut-être considéré comme l'image du monde extérieur entrant en relation directe avec notre corps. Sous ce mot monde extérieur il faut ici comprendre tout ce qui existe en dehors du sensorium.

M. J. Bernstein a essayé de nous donner une idée d'une fonction centrale de cette espèce qui mesurerait tout de suite la force d'excitation et expliquerait le phénomène de la sensation localisée. (Untersuchungen iiber den Erregung'svorgang im Nervem und Muskelsysteme, p. 163, sqq.) Il a entrepris ensuite d'expliquer des expériences sur la localisation des sensations de la peau, par lui certain mécanisme cérébral et ses constructions ingénieuses ont fourni le rapport de Fechner entre l'excitation et la sensation. La confirmation expérimentale des conclusions que J. Bernstein a tirées de sa théorie peut donc en fait être considérée comme une confirmation de la loi de Fechner ; quoiqu'il soit à peu près inutile de pénétrer plus avant dans les phénomènes qui séparent le phénomène générateur de la sensation dans le cerveau et l'aperception elle-même, je ferai tout -fois la remarque suivante : Je me représente le moi sentant comme un phénomène psychique existant isolé, qui, ou bien, suivant le besoin de la pensée, recueille ça et là dans le mécanisme qui donne l'image du monde extérieur, des informations qui se présentent à lui, ou bien sous l'influence d'excitations particulières et plus puissantes, s'exerçant sur le mécanisme, les ressent involontairement. Ici donc l'état du mécanisme qui correspond à l'excitation doit dépasser un seuil de Fechner c'est-à-dire doit atteindre un certain degré pour pouvoir pénétrer dans la conscience, degré qui dépend toutefois de la fatigue de l'attention, des dispositions naturelles, de l'exercice.

Cuiiimc suite de sensalions non grudaées suivunl la Ibrce, on peut citer entre autres : la hauteur du son, la couleur de la lumière, le timbre du son.

La hauteur du son constitue une sorte de transition. On ne pourra jamais la considérer comme une quantité mathématique linéaire, car pour cela, il faudrait qu'il pût être question d'une différence entre deux hauteurs de son qui serait h. son lour une hauteur de son et d'une fraction de hauteur de son. En vérité la hauteur de son physique qui est donnée par la durée de la vibration, et qui est ainsi une simple durée de temps, devra être traitée incontestablement comme une quantité linéaire, si on n'y voit pas autre chose qu'une simple durée de temps ou qu'un nombre la rendant égale au nombre de vibrations d'une seconde. La différence entre deux hauteurs de son est alors la diflérence entre deux nombres ; mais la hauteur do son pliysiologicpie, c'est-à-dire celle qui est sentie, rpiand môme elle serait susceptible d'une détermination plus précise et plus constante que 'es intensités de sensation, ne comporte pas de pareilles difîérences, et n'est donc pas une quantité linéaire. Seulement, par le fait que les impressions se distinguent ici seulement par cette différence de hauteur (jue connaissent bien la plupart des hommes à tous les degrés de culture, elle n, avec la quantité malhém.iliijue linéaire, une certaine parenté qui fait défaut aux autres ([uantités citées, couleur de la lumière et timbre du son.

Los couleurs de la lumière sont des impressions de nature tout-à-fait variées dans lesquelles on aurait difflcilement avant Newton pressenti un ordre nécessaire ; du moins je ne sache pas que les phénomènes naturels do dispersion aient été ainsi oxpli(}ués. Mais dans tous les cas les couleurs peuvent être rangées en un ordre déterminé à l'aide duquel chacune d'elles correspond à une valeur pariiculicre d'une (|uantilé linéaire, la durée de vibration ou bien une abscisse du spectre que l'on fixera commodément. Entre les couleurs on établit encore des rapports on faisant correspondre à chaque couleur sa complémentaire ; ce sont ainsi certainement des quantités mathématiques quoiqu'elles ne soient pas linéaires.

Dans les sensations envisagées jusiju'ici l'excitation était donnée directement comme (luanlité linéaire. C'était ou bien un ))hénoméne mécanicpie produisant, par exemple, une sensation de pression ou de douleur, ou bien, comme pour la sensation de chaleur, de hauteur de son et couleur de la lumière, etc...., c'était un phénomène physique ramené depuis longtemps à des graduations de (|uantilés linéaires.

Dans les sensations qui suivent il faut considérer au contraire la question au point de vue de la nature essentielle de l'exci-

talion prise comme (lUiintilé. Pour ce ([ui est du liiubrc du son, M. Hclmholz a éludii; avec plus de rigueur la nature des phénomènes physi(|ues qui ont lieu dans l'air uu dans l'organe t'I au\(|U('ls correspond un certain timbre de son senti, quoique,par la nature embrouill(''e des pht-nomènes, le rapport entre le timbre du son et le genre fie vibration de l'air, ne se prrle pas encore à une détermination aussi simple et aussi précise que la hauteur du son. Mon père a établi pour les voyelles un ordre semblable à celui dos couleurs du spectre, (ju'ont approuvé les phonologues. (*) Imi tout cas, c'est là un premier pas dans la voie (jui peut conduire à représenter la sensation du timbre comme quantité mathémafi(pie.

Enfin il faut rappeler les sensations de l'organe de l'odorat et du goût, en tant qu'elles sont flirt'érenlos de nature. D'une façon générale on n'a pas encore découvert pour elles un principe pouvant servir à classer soit les excitations, soit les sensations. Les sensations de l'organe du goût semblent se limiter fi peu d'espèces, tandis que les sensations de l'organe de l'odorat sont d'espèces très nombreuses; de sorte (|ue ici un principe d'orilination serait incontestablement un progrès réd.

Les (|uanlilés de sensation de première espèce ([ui se distingu(^nt par l'intensité sont aux quantités de sensation de deuxième espèce (|ui sont classées d'après leur nature, dans le rapport suivant : chaque sensation de deuxième espèce représente une suite particulière de sensations graduées suivant l'intensité. Toute couleur, hauteur de son, tout timbre de son, toute odeur et toute sensation de goût peut repr-ésenter une cpèce de sensation, graduée suivant l'inlcnsitt'.

12. — Les dispositions (") de Fâme en tant qu'elles peuvent être saisies comme quantités mathématiques sont certainement linéaires. — Insistons un peu sur les phénomènes de l'âme. Après les sensations viennent les dispositions, s'il est permis d'eiîiployer cette expression pour désigner les élats de l'âme C|ui engendrent des désirs, des volitions, et en conséquence déterminent des actes, bref, comme dit Jean Muller, d'une façon générale, donnent naissance à des tendances. On ne peut méconnaîtr'e que la joie et la tristesse présentent des graduations constantes suivant l'intensité, et que, dans l'oscillation de la disposition de l'àme, le même état se reproduit un nombre incalculable de fois, de sortes que dans les dispositions on peut parler d'une certaine égalité. Tout ce qui s'appelle

(') Cadiiius oder allgemeine Alphabètik con Félix Henri/ du Bois Reymond, page 153.

(") Stiiiimioiyen,

passion, affection, peut se difTérenlier en plus ou en moins; par exemple crainte, angoisse, terreur, colore, fureur; et, en outre,

plaisir, volupté, etc Les sensations et perceptions sont en

vérité quelquefois aux dispositions à peu près dans le mùme rapport (jue les excitations aux sensations variables, en ce qu'elles produisent directement une certaine disposition : mais en général il y a entre deux excitations de \'kvne,\Q jugement qui nous met hors d'état de faire correspondre les dispositions à des quantités linéaires. Néanmoins elles possèdent en partie quelques-unes de leurs propriétés caraclérisques h un degré surprenant. C'est ainsi que la tristesse ou la joie peuvent s'accroître {\ la suite de petits incidents successifs, dont chacun pourrait h. lui seul apporter un peu de tristesse ou de joie. Je suis donc convaincu qu'on est fondé à parler dans le sens propre du mot de joie double, de mauvaise humeur double. Toutefois la conception des dispositions comme (juantités linéaires peut être encore plus facilement attaquée que la nature mathématique des sensations.

13. — Les quantités qui apparaissent dans les mathématiques elles-mêmes sont en partie non linéaires. — Les quantités mathématiques citées jusqu'ici ont été trouvées toutes dans le monde extérieur ou dans le monde intérieur de l'àme. Nous nommons de pareilles (juantilés /celles. Mais il y a des quantités que crée la pensée humaine et qui sont en dehors de tout rapport direct avec le monde de la perception. Les procédés logiques de la combinaison des quantités, une des opérations favorites de l'esprit humain, conduisent à certains symboles qui en mathématiques s'appellent (juantités , et qui non seulement servent, comme en général les signes mathématiques, ù. résumer dans un signe les conclusions qui reviennent constamment, de sorte que la vue d'un pareil signe nous épargne la récapitulation d'une série de conclusions, mais qui aussi représentent une suite discontinue ou inlinimenl resserrée de signes mathémaliffues d'une certaine espèce.

Elles sont d'un intérêt particulier, ces quantités qui naissent de l'application des opérations mathémali([ues au-deli\ des cas où elles sont naturellement valables, (*) ou bien de la poursuite

(') C'est ce (jue Hanlicl a appelé le principe de permanence des lois formelles. Il est peut-être bien risqué de faire déjà un principe de (iuel<iue cliose qui réussit étonnamment, mais par liasard, (juand, pour le moment, on n'a pu pénétrer (pie bien incomplètement dans l'essence du phénomène. Il y a une foule de cas où les lois funnelles ne peuvent être ajipliiiuées au delà du domaine de valabilité, sans conduire à des résultats absolument inutiles. Par exemple, la loi lormelle

dx i ^ 1 dx

de cerlîiincs analogies, d auxquelles ne convient plus aucune significalion numéri<|ue de sorte qu'elles ne peuvent jamais (^trc prises pour des (|uanlités linéaires. Ici, il est clair pour tout le monde qu'elles doivent leur nom de ((uanlité uniquement à ce que leur origine cl leur définition permettent fie calculer avec elles comme avec les quantités réelles ; le plus souvent pourtant. îi la condition de restreindre ou d'altérer certaines opérations au\i[uclles on pi'ut soumettre les (pianlités linéaires.

Dans la quamilé complexe, par exemple, la distinction de |)lus grand ou de plus petit disparaît pour se réfugier dans le module. « Dans l'inlini des fonctions » cefjui fait le plus grand ou le plus petit, ce n'est pas la différence mais le quotient. (*) De même toutes les branches des mathématiques s'enrichissent chaque jour de quantités que l'on peut, pour les distinguer des précédentes, appeler quanlités analytiques.

14. — Enfin il apparaît dans les relations humaines des quantités mathématiques qui n'ont rien de commun avec celles citées jusqu'ici. — Âlais au fond, les quantités analyti(|ues appartiennent encore elles aussi au monde de la perception : les problèmes et méthodes de la mathématic[ue satisfont tous finalement à notre tendance à comprendre mécaniquement le monde. Mêmes les doctrines les plus abstraites que l'analyse et la géométrie ont imaginées, tantôt pour suivre la marche tracée par un problème physique, tantôt les tirant de leur propre fonds, possèdent pour l'homme intelligent une valeur non moindre que telle méthode dont le but immédiat est pratique.

Dès qu'une combinaison de quantités parait nouvelle, cela suffit pour lui accorder une valeur, car qui peut savoir si dès demain elle ne nous prodiguera pas les explications les plus désirées sur des points où nous les attendions le moins ? Sur les besoins scienlitiques de l'avenir nous sommes précisément lout-fi-fait hors d'état de juger parce que, comparés h la provision de choses inexplorées, soit en nous, soit hors de nous,

est valable daus une foule énorme de cas, mais au-delà, elle ne donne rien qu'une formule fausse.

(') Nous montrerons plus loin ce qu'il en est des quantités infinitaires. C'est principalement la propriété de divisiljilité qu'elles ne possèdent pas au sens des quantités linéaires ; attendu que de la divisibilité résulte immédiatement qu'on peut approcher autant qu'on vent de toute quantité linéaire donnée, — comme on approche cle un à l'aide de la suite

~5~'~4~'~Tr ■ ■ ■ • ^^'■P-'- '^nn. XI Bd. Uber die Paradoxen des Infinistarcalcïds. Ait. 9.

notre savoir et notre perspicacité sonl une quantité infiniment petite dans le sens le plus propre du mot.

iJe cette remarque qui nous servu-a de transition des quantités réelles aux quantités mathématiques, il ne faut pas conclure qu'à mon avis il faille renverser les limites qui séparent les jeux savants de la mathémat!(|ue, et que les combinaisons du jeu d'éch'^c puissent être considérées comme occupant le même rang scientifique que celles de Talgèbre, par exemple, parce que personne ne peut savoir pour celles-là à (|uoi elles îservironl un jour. L'inégalité de rang, que l'on sent en général entre les combinaisons d'échecs et celles de la maihématique, me paraît, absîraction faite de l'utilité pratique, consister en ce qui suit :

On ne peut nier que le problème du saut du cavalier, et particulièrement ce qu'on appelle les fins de parties de jeu d'échecs, avec leur conclusion qui se déduit nécessairement de la pose initiale de quelques figures, présente le caractère propre aux questions vraiment mathématiques, dans les limites d'un champ de comljinaisons très restreint. Mais à la p trfie de jeu se mêle un élément aussi nécessaire quil est peu maihématique, à savoir les fautes de pensée. La partie de jeu proprement dite n'appartient pas à la mathématique parce qu'elle suppose des partenaires dont le jugement est humainement imparfait. Si on écartait les fautes, le jeu fournirait des problèmes de combinaisons sans doute sérieux, mais d'une complication inouïe. On serait déjà dans l'embarras si on voulait expliquer ce qu'il faut entendre par : un coup d'échecs parfait. (*) Le champ de combinaisons est si restreint qu'il ne récompense pas des recherches d'une aussi extraordinaire difficulté, — pas plus que le si petit nombre de résultais nouveaux, qui sont en perspective. 11 en est de même des jeux de cartes savants où on laisse au hasard la plus petite inriuencc possible.

Les (juantilés qui interviennent dans les jeux, distinctes parleurs valeurs, ont de commun avec les quantités analytiques mentionnées la non réalité, mais elles n'ont pas comme celles-ci avec la réalité un rapport à peine moins étroit (jue beaucoup de (quantités réelles ; surtout elles correspondent à des champs extraordinairement pauvres de combinaisons ; nousleur donnerons le nom de quanlités de jeu, et nous terminerons là celle revue des rlifférentes espèces de quanlités du monde de la perception.

(*) Kiitro dos ("'très raisonnant avoo une rectitude {larfaite toute la partie se hurnoiuit à tiier au sort le pretnior coup.

15. — Tout ce qui précède montre que nous avons surtout à étudier avec le plus de rigueur possible le concept de grandeur linéaire. — Ici donc se lei'minf noir»; roviic. Api-rs .ivnif (.'.\aniin(> suivaiiL l;inl de directions ce qu'il faut enlciidre par grandeur malhémali(iue. nous avons appris h diiliaiiter à. pou pr(>s ce concept. Pour résumer en peu de mois nos résultats actiuis, la rigoureuse science de la nature tend h retrouver sans cesse dans tout ce (pii est variable la même espèce de grandeurs, à savoir les quantités mathématiques linéaires, jointes au concept du nombre, et l'essence des choses ne pi'éscnto aucun obstacle invincible qui s'oppose fi cette tentlaiice.

Les champs d'études, ([ue recouvre l'obscurité des phénomènes psychiques, nous montrent à côté de quelques espèces de grandeurs graduées à la manière des linéaires, des espèces au.\(iuelles il [)cut arriver un jour de revêtir l'uniforme de la mesure de longueur, (luoique elles soient de nature toute diirérente. Les autres grandeurs que nous rencontrons dans le monde de la pensée humaine ou bien sont des créations de nos méthodes de raisonnement scientifiques, ou bien servent à notre divertissement.

On n'a pu encore donner jus(]u'ici une définition spéciale plus précise du concept de quantité linéaire. Leur propriété principale est, nous l'avons montré, que comme la longueur, elles se prélent à des comparaisons de mesure, et que même finalement, elles peuvent être saisies comme une longueur, — nous n'avons pas d'ailleurs indicjué avec plus de précision ce qui caractérise la mesure des longueurs elle-même. Nous avons posé plushaut comme signe des quantités linéaires une certaine homogénéi'.é, en vertu de laquelle leurs difTérences, parties et multiples sont encore des quantités de même espèce. Enfin, il a été question de la fusion des concepts de ((uantité et de nombre.

Tout ceci doit être maintenant exposé avec beaucoup de soin car le concept de grandeur est la clé unique et nécessaire pour arriver i\ l'intelligence des autres concepts fondamentaux de l'analyse.

Le concept de quantité tel que nous voulons le décrire maintenant se présente sous trois degrés difï'érents d'abstraction. Tout d'abord c'est un concept brut, impliquant uue idée vague de comparaison, qui pourrait bien n'être pas exclusivement humain. En vue de la mesure, il s'affine et reçoit le contenu que nous pouvons considérer comme l'origine des mathématiques. Quand, nous fondant sur l'intuition habituelle et naturelle des choses, nous l'aurons analysé le mieux possible, il semblera, et cela est pour le moment notre but, il semblera,

(Jis-je, que nous soyons Loul-à-Hiit parvenus à la délimitation précise du concept de ([uanLilé cl que le dernier mol là-dessus ait été dit.

Mais nous trouverons ensuite que cela n'a simplifié en rien pour nous la difïiculté du concept de limite. Nous serons donc obligés encore une Ibis de remonter h la naissance du concept de ([uantité linéaire et de le poursuivre cette fois jusque dans SCS racines les plus tenues. On voit ainsi que la pénétration véritable dans l'essence des deu.v concepts de grandeur et de limite est indivisible, ou plus exactement les deux choses s'équivalent, comme Je l'ai déjà déclaré il y a longtemps. (*) Ce troisième degré de l'abstraction du concept de grandeur aide donc aussi à mettre en lumière cette remarquable opposition desdeux intuitions fondamentales propres à l'homme dont il a été ([uestion dans la préface et qui reviendront plus tard sous le nom d'idéalisme cl d'empirisme.

16. — Définition plus précise du concept de quantité linéaire.

— Puisque les quantités malhémati([ues linéaires dont l'extension n'a pas de limite se co.iiportenL,eri tant que grandeurs, comme des longueurs, il n'est pas nécessaire d'en avoir constamment présente à l'esprit toute la multiplicité, il sufTil de penser tout simplement aux longueurs. Toutefois nous conservons la désignation de quantité, n'employant l'expression plus explicite « quantité mathématique linéaire », que là où ce caractère des: grandeurs devra cire accentué.

Le premier degré de l'abstraction de quantité linéaire est ainsi caractérisée :

Comparaison sans la représentation de mesare.

I. — Les (Identités mathématiques linéaires sont ou bien ('fjales ou bi'n inégales. Elles sont égales si leu.rs manif'<'x'ations sensibles produisent la nirnic impression dans les môin •< conditions. L'une est plus grande que l'autre si son image sensible peut-être dim'inuée par exhaustion de telle manière qu'elle puisse e.vactement coïncider avec l'a'ctre, la chose inverse étant d'ailleurs impossible.

II. — Parmi les quantités linéaires d'une espèce, par exemple, pour tout-^s les étendues possibles, aucune en particulier ne Jouit d'une prérogative , cl nous ne nous représentons ainsi comme nécessaire aucune limite dans lu petitesse on la grandeur d'une quanti te.

(*) J'ai commencé cette étude dans rintroduotion à l'article déjà cité, Ueber die parado3:e>i des in/tnitarcal-cids.

m. — Deux OH plusieurs quantités de même espèce réunies, donnent, une nouvelle quantité de ni^me espace, plus f/rande que ses éléments cutnposants. D'un autre côté toute quantité peut-être parluyée en un aussi grand nouiljre qu'on voudra de quantités de même espèce, dont chacune est plus petite (jue la ([uantité non partagi'o.

Tandis que la prcmif^rc partie de l;i propriél('; 111 donne la représentation de la somme, la deuxième contient incontestablement le germe de la comparaison de mesure ; car ce qui intervient là ce n'est pas un assemblage fortuit de quantités, mius un Assemblage f{ui fournit un certain résultat et engendre le concept de la dirf(''rence dans lequel nous trouvons distinctement le caractère de mesure — On arrive ainsi h. la Comparaison aveô la reprôsentalion de ^nesure :

IV. — Quand une quantité est plus grande qu'une deuxième, il en existe toujours une troisième de même espèce que ces deuta là, qui, unie à la deuxième, reproduit la première.

Suppose-t-on égales la deuxième et la troisième, on esl conduit alors par la proposition IV au partage avec propriété de mesure. Puisque nous voilà parvenus au partage en deux parties égales nous pourrions, étant donnée une quantité, en chercher une deuxième plus petite, telle que la différence fût la moitié de la plus petite, etc.. Pourtant ce n'est guère ainsi (pie le genre humain a acquis les intuitions communes à tous les hommes, auxquelles nou55 arriverons ranintenant. Mais il suffit pour notre recherche, de pouvoir les supposer communes à tous les hommes, et il est tout à fait inu'ile que nous nous perdions en conjectures sur la façon dont ils les ont acquises.

Si on réunit des quantités égales, en disposant à volonté de la grandeur et du nombre de ces quantités, la quantité qui en représente la somme est également arbitraire. Nous nous représentons très-bien que, si grande que soit supposée une quantité, on peut en composer une qui la surpasse en grandeur en ajoutant des quantités égales entre elles dont la grandeur ou le nombre peuvent être arbitraires. Nous avons ensuite la représentation qu'une quantité quelconque peut-être composée rigoureusement à l'aide de quantités plus petites égales entre elles, dont nous pouvons choisir arbitrairement le nombre et que, ce nombre croissant, la petitesse des parties tombe audessous de toute limite.

Nous possédons ces représentations. Elles nous sont aussi naturelles et familières que celles qui concernent nos besoins physiques. Est-ce là une forme de pensée innée ou implantée chez l'individu par transmission, ou acquise par une observation

personnelle, cola nous est tout aussi indifTérenl que la manière dont, elle résulte de représentations plus simples.

Les propriétés de l'addition et du partage des quantités sont les propriétés fondamentales de l'analyse, mais en particulier cela est vrai de la divisibilité illimitée des f|uanlilés malhémathiques linéaires, qui contient in nuce le concept de limite. Ajoutons maintenant aux propriélés données plus haut celles qui suivent :

r. — On peut loujoiivs additionner des quantités égales ou inégales, dont la plus petite ne doit pas tomber au-dessous d'une quayititi; prise aussi pelile qu'on a voulu, en nombre suffisant pour atteindre une quantité qui n'est pas inférieure à une quelconque de même espèce, donnée d'avance.

VI. — Une quantité peut être d'une foule de manières, partagée en plus petites, et parmi ces divisions, se distingue celle qui se fait en deux ou trois, ou en un plus grand nombre de parties égales. Le partage d'une quantité peut se continuer jusqu'à ce que toutes les parties deviennent plus petites qu'une quantité de même espi'ce supposée aussi petite que l'on veuf. Mais si loin qu'on puisse supposer poussée la division, les parties sont toujours des quantités de même espèC''.

Je veux d'ailleurs remarquer expressément (jue dans le tableau précédent je ne me suis pas proposé de ramener les propriétés du concept h leur mesure nécessaire et d'accjuérir ainsi lejilus petit nombre possible de perceptions, sur lesquelles notre pensée l'ondant son travail nous fournit la représentation de la quantité raalhématique linéaire, comme nous la lirons sans doute de perceptions variées et sans nombre. — Cela exigerait une recherche d'une nature exlraordinairemenl délicate, ([ui nous égarerait. On ne pourrait d'ailleurs répondre à la question concernant le plus petit nombre nécessaire de propriétés que par une étude approfondie et complète du concept de grandeur Mon but a été seulement de donner une définition telle que chacun y reconnaisse le concept qu'il possède des quantités mathématiques linéaires de la géométrie, el. suivant l'étendue de ses connaissances, les propriélés d'autres ([uantités linéaires innombrables qu'offrent les branches les plus diverses de la science.

Aux premières représentations brutes de la quantité mathémali([ue linéaire, c'est-à dire vraisemblem'Mit fi la représentation fondamentale la plus anc'^onne et la plus répamlue des choses qui, ne 'liflérant qu'en grandeur ou en pelilesse, se prêtent tout de suite ;\ une mesure plus rigoureuse, s'est Joint innnloslabliMnfni le concopt d'unité di' mesure, el l'unité a été

suivie des nombres fraolionnaircs. Le fait de mesurer avec les iinili'-s a produit la science de la mesure, et cello-ci, sans cesse invoquée dans des recherches et des observations dans le ciel cl sur la terre, a gém-ralisé ses problèmes, agrandi ses vues, pctIV'ctionné ses méthodes et toujours augmenté l'ensemble de connaissanr'es et de théories, d'oii les mathématiques sont sorties dans les derniers siècles comme imo science imiépendante.

Considérons donc (mcore l'union des concepts de (juantité et de nombre: Ces explications préliminaires sur le concept de quantité y trouveront leur conclusion.

Quantité, nombre et formalisme littéral.

17. — L'unité et le un. — Pour comparer entre elles plus de deux quantités mathématiffues, et aussi pour pouvoir s'exprimer avec une parfaite précision sur la variation des (|uantités, il faut fixer l'unité de grandeur, ou simplement l'unité, c'est-fi-dire une quantité déterminée parmi celles d'une certaine espèce h laquelle on compare les autres et qui sert h les mesurer. Ce n'est pas seulement la divisibilité des grandeurs qui engendre le concept de l'unité, c'est aussi, comme Je l'ai observé, l'attention fixée simultanément sur plusieurs quantités.

Un certain degré de développement de la science de la mesure exigea, un Jour la division indr/inie de l'unité pour (ju'on pût comparer entre elles d'une façon rigoureuse à l'aide de l'unité des quantités difiérentes. C'est là évidemment l'origine des nombres fractionnaires qui, dans la représentation, rappellent en efTet toujours un certain partage. On aura assurément à distinguer ici encore au moins deux degrés de développement du concept. Les nombres fractionnaires les plus simples correspondent probablement à un degré de culture ;\ peine moins avancé que les nombres entiers ; le besoin journalier de partager la nourriture ou le butin ou toute autre chose a dû y conduire ; tandis (lue les fractions (jui ont de plus grands numérateurs et d '-nominateurs, et surtout le concept développé de la fraction, appartiennent déjà à la science de la , mesure. Il est instructif d'opposer l'un à l'autre le concept de a (juantité dans sa liaison avec les nombres fractionnaires, et 'e concept des nombres entiers.

Ce qui sert de base au concept du nombre entier, c'est le un qui est profondément distinct de l'unité. Comme le un est le point de départ des nombres entiers, l'unité est celui des nombres fractionnaires. Toute uni'é est un un, mais tout un n'est pas une >oiité. Et il est heureux que pour ces deux concepts absolument distincts, nous ayons en môme temps deux mots à notre disposition. Du reste ces deux sortes de

nombres, nombres entiers et nombres fractionnaires, finissent par ne former qu'une seule et même suite par l'intermédiaire du concept de mesure. Car bien que l'idée du nombre entier naisse indépendamment du concept de quantité, et n'ait directement rien de commun avec lui, le concept de quantité tel que nous l'avons décrit suppose déjà le concept de nombre d'objets et complète ce concept de nombre h l'aide des nombres l'ractionnaires.

On est conduit, par ce qui précède, soit dit en passant, à voir dans la théorie des nombres, en tant qu'elle se borne à l'étude des rapports et propriétés des nombres entiers, une science existant en principe, en dehors de l'analyse, et qui tôt ou lard formera un tout distinct. Car si nombreux que puissent être ses points de contact avec l'analyse, si utile que celle-ci puisse lui être encore, — (ce qui peut donner pour quelque jour l'f.spoir d'une riche compensation), on est cependant fort tenté de croire que la théorie des nombres entiers peut atteindre un terme qui nous parait aujourd'hui inaccessible h Tanalyse, et qu'elle parviendra nn jour à tirer d'elle-même la démonstration de tous ses théorèmes. Je ne songe naturellement pas h tenir pour limités les rapports des nombres entiers et de l'analyse. Dans tout phénomène variable il peut arriver que des nombres entiers viennent atlirer notre attention et acquièrent une importance décisive.