DE FORME QUELCONQUE

Nous rappellerons d'abord le principe d'hydrostatique suivant : Quand un fluide élastique est enfermé dans une capacité, la pression quil exerce contre les parois de cette capacité est, en tous les points, normale à ces parois.

Supposons maintenant qu'une capacité d'une forme quelconque soit limitée en partie par des parois fixes, en partie par des parois qui peuvent se mouvoir sous l'influence d'une pression intérieure en transmettant le travail qu'elles reçoivent à des organes mécaniques quelconques, et que celle capacité soit mise en communication avec une chaudière qui contient, en quantité indéfinie, de la vapeur à la près-

stante de cet effort. Or s.oz représente 1 accroissement de volume de la capacité, résultant de ce mouvement delà surface s, ou le volume de vapeur qu'il faudra introduire dans celte capacité pour maintenir la pression constante; donc le travail est égal au produit du volume V de vapeur dépensée par la pression P, ou à :

PV.

Si la surface 8, (fig. 11^ pi. 3) au lieu de se mouvoir parallèlement à elle-même, dans une direction rectiligne quelconque, tournait autour d'un de ses côtés, dont m est la projection, ou pourrait supposer que la direction de la puissance s.P demeure constante, pendant que Textrémité n décrit Télémenl nm' de la circonférence de rayon mn, et que les pressions sur la surface s sont remplacées par leur résultante s,P appliquée au point o, centre de gravité de cette surface ; le travail produit pendant ce mouvement infiniment petit serait P^.oo'. Or 8,oo' est le volume du prisme triangulaire qui a pour base mm'Uy ou le volume de vapeur qui doit pénétrer dans la capacité pendant le petit mouvement indiqué pour maintenir la pression ; donc le travail serait encore le produit de la puissance P par le petit volume engendré. Le résultat serait le même pour tous les volumes infiniment petits, engendrés successivement, la résultante s.P prenant, au commencement de chaque élément que son point d'application o va parcourir, la direction de cet élément; il en résulte que, pour un mouvement d'une amplitude quelconque autour du point m, la surface s recevrait un travail égal à la pression P multipliée par le volume engendré V, ou :

PV, comme ci-dessus.

Enfin, quand la surface s se meut d'une manière quelconque, le même principe est encore applicable, mais la démonstration en est un peu plus difficile.

(Fig. 12, pi. 3). Supposons que cette surface rectangulaire s qui se projette horizontalement suivant mn et verticalement suivant mhkn, passe de la position mn à la position infiniment voisine m'n", son centre de gravité o passant en o", la surface restant perpendiculaire au plan horizontal dans ce mouvement infiniment petit, et les côtés verticaux qui la limitent restant parallèles à eux-mêmes.

Pour ce mouvemeDt infiniment petit, la direction de la pression P de la vapeur pourra être considérée comme invariable, et le travail de la résultan te s. P de toutes les pressions sur leséléments de la surface, sera

s.P.oz = 5.P (ox-J-xz).

Si nous supposons le cas le plus général^ celui où la surface Sy pendant son petit mouvement, ne reste pas perpendiculaire au plan horizontal et où tous les côtés qui la limitent ne restent pas non plus parallèles à eux-mêmes , nous pourrons considérer le mouvement effectif comme résultant de quatre mouvements simples :

P Un mouvement de la surface parallèlement à elle-même de mn en m^n^y

2"* Un mouvement de rotation n^n" du côté kn autour du côté hm qui reste immobile et qui se projette horizontalement en m^ ;

3® Un mouvement de rotation de la surface dans son propre plan et autour de son centre de gravité o" qui demeure immobile;

i"" Un mouvement de rotation de cette surface autour d'un axe quelconque CD, ou AB, situé dans son plan et passant par son centre de gravité, de façon qu'après ce quatrième mouvement, la surface se trouve dans la position effective qu'elle doit occuper après le petit mouvement général que nous lui avons supposé dès le début.

Il est évident qu'un mouvement quelconque infiniment petit de la surface s pourra toujours résulter de la combinaison de ces quatre mouvements simples,au plus, se produisant simultanément, et pourra même, soi van i ^n iiinure, ne résulter que Je un. de deux ou de trois

autour d*un axe passant par son centre de gravité et situé dans son plan, Taugmentation de volume d'un côté de Taxe sera précisément égale à la diminution de volume de Tautre côté ; de sorte que le volume effectif engendré sera encore nul.

Le volume effectif engendré dans le mouvement résultant des quatre mouvements simples se réduit donc à

S.OX-\- S,XZ = S.OZy

et le travail de la vapeur contre la surface 5» pour ce mouvement résultant» est encore égal à la pression P par mètre carré, multipliée par le volume effectif engendré par cette surface ; de sorte que nous retrouvons pour le cas le plus général, la même expression du travail de la vapeur, que dans les cas plus simples que nous avons d'abord adoptés.

Les mêmes considérations pouvant s'appliquer à toute la série des mouvements infiniment petits qui constituent un mouvement d'une amplitude quelconque, la même conséquence y devient également applicable.

Cette démonstration étant tout à fait indépendante de la grandeur de la surface rectangulaire 5, nous pourrons la supposer infiniment petite et la considérer comme élément de surface ; d'où nous tirerons la conséquence que tout élément de surface qui reçoit l'action d'un fluide, dans une capacité, et qui se meut sous cette influence, reçoit un travail égal à la pression du fluide par mètre carré, multipliée par le volume qu'il engendre, ou par le volume de fluide nécessaire pour maintenir la même tension dans la capacité que cet élément agrandit par son mouvement.

Maintenant si l'on observe que, dans une capacité formée de parois fixes et de parois mobiles et qui contient de la vapeur, les éléments de la surface des parois mobiles qui se meuvent sous l'action de cette vapeur engendrent une somme de volumes élémentaires qui représente précisément l'accroissement général du volume de la capacité, on en pourra conclure que :

Dans toute machine quelconque composée (Tune capacité qui peut s'agrandir sous l'influence de la pression intérieure de la vapeur ^ le travail à pression pleine transmis à la partie mobile de Vappareily

est égal au produit de la pression de la vapeur par mètre carré, multipliée par le volumede vapeur quil a fallu fournira la machine, pour y maintenir la pression constante pendant le mouvement.

Si la capacilé qui reçoit la vapeur élail munie de parois mobiles, dont les unes fussent mises en mouvement de façon à agrandir la capacité et les autres de manière à la diminuer, et que le mouvement des unes fut solidaire du mouvement des autres, il est évident que le mouvement des parois rentrantes constituerait un travail résistant, que celui des parois qui obéissent à faction de la vapeur, constituerait un travail moteur, et que les organes mécaniques, sur lesquels ces parties mobiles de la capacilé agissent simultanément, ne recevraient qu'un travail égal a la pression P de la vapeur, multipliée par la différence entre Taccroissement et la diminution de volume dus à ces deux catégories de parois, où, en d'autres termes, à la pression P multiplié par Taccroissemeut effectif du volume de cette capacité.

D'autre part, lorsqu'une partie mobile des parois d'une capacité se meut pour agrandir cette capacité sous l'influence de la vapeur, elle reste en contact, sur tout ou partie de son pourtour, avec les parois fixes, pour empêcher les fuites de vapeur, et se trouve alors sollicitée, de dedans en dehors, par la pression de cette vapeur et, de dehors en dedans, par la pression atmosphérique ou par la pression qui existe dans une deuxième capacité qu'elle sépare de la première. Dans ce cas, les deux faces de l'obturateur, comptées de part et d'autre de sa surface de contact avec la partie fixe de la capacité, ou avec les parois du conduit fi\e dans lequel il se meut, eiigcndrenl nécessairement le

F représente ce que l'on nomme la contre-pression moyenne par mètre carré dans les machines de tous systèmes, mues par un fluide élastique.

Détente dans les machines de forme quelconque.

Quelle que soit la forme d'une capacité contenant de la vapeur à one certaine tension, cette tension a la même valeur après un certain accroissement du volume de cette .capacité que si celle-ci était cylindrique. Il en résulte que si Ton détend le même volume de vapeur à la même tension, jusqu'à la même limite, dans une capacité cylindrique et dans une capacité de forme tout à fait arbitraire, les mêmes pressions auront lieu sur les parties mobiles des deux appareils à Tinstant où ceux-ci présenleront le même volume, et qu'entre deux volumes infiniment voisins pris dans Tune et dans Tautre capacité, la tension qui peut être considérée comme constante, produira le même travail dans chacune de ces capacités ; donc le travail à pression pleine et à délente d'un volume donné de vapeur, est absolument le même dans toutes les machines dont Tobturateur présente un volume constant dans le conduit qu'il parcourt sous l'influence de la vapeur, quels que soient la forme et le mode d'action de cet organe, et les formules que nous avons trouvées pour le cas des machines ordinaires à cylindre, sont également applicables à presque tous les autres systèmes d'appareils à vapeur. Il n'y a pour cela qu'une légère modification à introduire dans les formules (A), (B), (K) et (G).

SL devient V le volume après la délente quand il n'y a point

d'espace nuisible.

SZ, le volume avant la détente.

-, ou X, devient :rr,, Y étant le volume avant la détente.

Alors la formule (A) devient :

v[^'(l +log.yr 2,3026) -P'] (C).

Si la machine dont on veut calculer le travail présente une espace

nuisible dont le volume est V", il faudra employer la formule (B) qui devient évidemment :

(V+V") [ ^^^ (i+log. ^i^!2,3026) ] - VP'- PV". (D)

Telles sont les formules que Ton peut appliquer à la recherche du travail à pression pleine et à détente, dans toute espèce de machines et dans rhypolhëse d'une variation de tension suivant la loi de Mariotte.

Dans les circonstances où il faudra adopter Thypothèse du refroidissement pendant la détente, on emploiera les formules (K) et (G) de M. de Pambour, qui deviendront alors : Lk formule (K) :

(V'+V")(« + P)[^^q:^,+log.^^2,3026]-V(«+P');

et la formule (G) :

V (n + P) [l + log. y, 2,3026] - V (n + P").

Les formules (A) (B) (K) (G) ne sont que des cas particuliers de ces formules générales, applicables aux machines à cylindre.

Cependant il faut remarquer que, dans les machines à cylindre, les accroissements de volume et, par suite, les décroissements de pression^ sont proportionnés aux chemins parcourus par le piston, tandis que, dans les appareils d'une autre forme, les accroissements de volume

Les formules (C) et (D), applicables à ions les cas où le volume de Torgane qui reçoit directement le travail de la vapeur est constant dans le conduit que celle-ci doit remplir avant d'être abandonnée, doivent être légèrement modifiées, lorsque cet organe occupe un volume variable pendant son mouvement dans le conduit, ou, plus généralement, lorsque les deux faces qui reçoivent Taction de la vapeur et celle de la contre-pression, engendrent, pendant le mouvement, des volumes qui ne sont pas égaux, jusqu'à Tinstant où la vapeur est abandonnée ; dans ce cas, il faudra évaluer, d'une part^ le travail de la vapeur qui sera donné par les expressions :

VP h pression pleine sans espace nuisible : VP a pression pleine avec espace nuisible :

Par la formule (G) à pression pleine et à détente, sans espace nuisible, en y supposant la contre-pression P', nulle;

Et par la formule (D) à pression pleine et à détente, avec espace nuisible, en y supposant également la contre-pression P^ nulle ;

Ou en appliquant dans les mêmes conditions les formules (E) et (F), quand il faudra adopter l'hypothèse de l'abaissement de température; ou toute autre expression correspondante dérivant de l'hypothèse de M. de Pambour.

Puis, d'autre part, évaluer le travail absorbé par la contre-pression et la soustraire du travail qu'a produit la vapeur pendant le même temps.

Si la surface qui reçoit l'action de la contre-pression moyenne P' engendre un volume V"', nous aurons l'expression générale :

(H) (V+V") [:LQJ^)(i + iog.X±V:|2,3026]-PV"-P'V"',

applicable à toute espèce de machines dans lesquelles la contre-pression moyenne P'; pendant toute la durée de la marche, peut être déterminée.

Cette formule est aussi applicable au cas où il n'y a point d'espace nuisible; il n'y a qu'à supposer V" = zéro.

Lorsque la contre-pression P', au lieu d*élre assez peu variable pour que l'on puisse lui supposer, sans grave erreur, une certaine valeur moyenne, varie entre des limites très-écartées ou suivant une certaine loi, il faut calculer le travail absorbé par cette contre-pression pendant que l'organe récepteur parcourt un certain chemin en la surmontant.

exactement comme si c'était un travail moteur contre le même organe parcourant le même chemin en sens inverse, la pression étant la même en chaque point du parcours pendant ces deux mouvements contraires où la même surrace du récepteur engendre le même volume.

Pour donner une idée nette du mode d'application de ces considérations générales à révaluation du travail d'un fluide élastique dans un appareil d'une forme quelconque, nous prendrons pour exemple la disposition indiquée (fig. 13, pi. 3).

Un cylindre plein, calé sur un arbre, peut tourner dans un autre cylindre creux qui est fixe; le premier est tangent au second dont les fonds plats s'appliquent exactement contre les bases du cylindre intérieur ; ce dernier porte parrallèlement à son axe de rotation deux larges fentes rectangulaires dans lesquelles glissent à frottement doux des obturateurs rectangulaires M et N, poussés par des ressorts contre la surface interne du cylindre fixe et fermant hermétiquement le conduit qui reste entre les deux cylindres. La vapeur arrive par Torifice A et s'échappe par B ; C est aussi un orifice de décharge.

Si la vapeur arrive à pression pleine P pendant que l'obturateur M passe de sa position actuelle à la position N, on voit que le travail reçu par cet obturateur et transmis à l'arbre K croîtra continuellement pour des angles au centre égaux, jusqu'à la position N où il sera :

P. volume A m n.

Si, pendant ce temps, la contre-pression a été P\ le travail de cette

cofilre-prossion sera

plus petit pendant la seconde moitié, exactement de la même quantité, et nous retomberions sur le cas de la formule (P — P') V.

Dans le premier cas que nous avons considéré, de deux obturateurs et de deux orifices dedécharge,on pourrait encore remarquer qu'après la première moitié d'une révolution, pendant laquelle le volume engendré par la face de Tobturateur qui reçoit laction de la contre-pression est plus grand que le volume de vapeur, les deux faces de cet obturateur éprouvent simultanément Taction de cette contre-pression et que la face qui avait engendré le plus grand volume, engendre le plus petit dans la seconde moitié de la révolution; de sorte que la contre-pression produit, dans cette seconde période, un véritable travail moteur égal à P'. volume mnyx, qui compense la portion équivalente de travail résistant dans la première période, et que le travail effectif par révolution devient encore (P — P') V ; mais cette dernière restitution n*aurait pas lieu si on supprimait la moitié inTérieure du cylindre fixe en employant un autre moyen pour faire rentrer Tobturateur dans le cylindre mobile.

Nous pensons que cet exemple très-simple suffira pour montrer de quelle manière les formules générales (C) (D) (H) (E) (F) peuvent être appliquées à une machine quel que soit du reste son mode de construction.

Avant de terminer ce que nous avions à dire sur ce sujet, il ne sera pas inutile de faire observer que, quoique les formules (A) (B) (K) et (G) ne soient que des cas particuliers des expressions générales (C) (D) (H) (E) (F), elles ont été nécessaires à la découverte de ces dernières expressions, dont il eût été fort difficile de démontrer directement Fexactitude dans toutes les circonstances plus ou moins bizarres où la vapeur peut être employée comme force motrice, et que ce n'est qu'en prouvant Tidentité des travaux produits par un même volume de fluide élastique détendu jusqu'à la même limite, dans toutes les machines imaginables, avec le travail qu'il produit dans une machine cylindrique à piston ordinaire, que l'on a pu généraliser les expressions relatives à ce dernier cas et les rendre applicables à toute espèce d'appareils.

Nous allons rassembler ci-dessous, dans un même tableau, toutes les formules qui peuvent servir à évaluer le travail dans les applications où la vapeur doit être détendue, afin de faciliter les recherches.

Pour maehmes à cylindre* (A) SL f-Cl+log. X 2,5026) — pH dans 1 hypothèse dune varia^

tioude pression suivant la loi deMarioltc et sans espaces nuisibles. (B)S(L-{-C)['^g±^(l-flog.^2,5026)]-SCP'L+PC),dans

la même hypothèse, mais avec espaces nuisibles. (G) SZ (» + P) [l H-Iog. 1 2,3026] —SL (n + P ) dans 1 hypothèse

admise par M, de Pamhour el sans espaces nuisibles. (K) S (Z+C) („4- P) [ A^ + log. ^ 2,5026] - SL (n+P')

dans la même hypothèse mais avec espaces nuisibles.

Duns li7s (ieu\ dcraières formules, le facteur coDstant nest égal h 15O0 pour tes teasioQs ini Liâtes infénoures à 3 atm. et égal a 3500 pour les teusions supérieures.

Pour machines quelconques^

rPV V T

(C) V Ur^ (1 + log. - 2,3026) — P' dans 1 hypothèse d'une varia-

tion de pression suivant la loi de Alariotte, ctsans espaces nuisibles*

(D) (V + V") [-^^î^^ (l + log.,^>,5026]-VP'-PV" dans la même hypothèse mais avec espaces nuisibles.

(E) (V'+VO («+P) y^„ + log. ^i^ 2,3026] -V(n+P'),

Ces formules sont encore applicables aux machines à deux cylindres et aux machines quelconques où la détente s'opère dans un deuxième appareil.

En effet, (fig. 4, pi. 1), supposons que la capacité du grand cylindre soit cinq fois celle du petit; la vapeur sera détendue jusqu'à cinq fois son volume primitif, et quoique, pendant sa détente, elle produise un travail résistant sous le petit piston, elle n'en a pas moins produit à la fin de la course le travail effectif correspondant à Taccroissement réel de son volume^ comme nous Tavons démontré ci-dessus. Il en résulte que le travail sur le grand piston, pour arriver à ce résultat, doit Tavoir emporté sur le travail normal correspondant à la détente jusqu'à cinq fois le volume primitif, précisément d'une quantité égale au travail résistant qui s'est produit sous le petit piston ; de sorte qu'en ajoutant le travail à pression pleine sur ce dernier piston au travail à détente sur le grand et en soustrayant le travail de la contre-pression sous le petit, on arrive exactement au même résultat que si l'on ne s'était servi que du grand cylindre, que la vapeur y fut entrée pendant un cinquième de la course et se fût détendue jusqu'à la fin de cette course. Cette disposition à deux cylindres ne présente donc aucun avantage théorique sur remploi d'un seul cylindre au point de vue du travail fourni par la vapeur; mais elle présente l'avantage pratique d'un effort moins irrégulier sur le balancier qui reçoit l'action directe des pistons, parce que la pression pleine et la détente, au lieu de se produire successivement, se produisent simultanément et se combinent sur les deux pistons de façon à produire une somme d'efforts moins variable pendant la course que l'effort unique correspondant à la détente dans un seul cylindre.

Nous allons le montrer par un exemple numérique :

Supposons que la surface du petit piston soit de 0"''25, que la surface du grand soit de 1°"*, que la course de celui-ci soit les cinq quarts de celle du petit, que la tension de la vapeur soit de 4<^^">' ou 413321^'*' par mètre carré, qu'il n'y ait point d'espace nuisible et enfin que le vide absolu existe sous le grand piston.

La capacité du grand cylindre sera cinq fois celle du petit et la vapeur se détendra jusqu'à cinq fois son volume primitif, si elle afflue dans le petit cylindre pendant toute la course du piston.

On trouvera les pressions de la vapeur qui se détend sur les deux

pistons au commencement, au quart, au milieu, aux trois quarts et à la fin de la course, en observant que les volumes delà vapeur, quand ces pistons arriveront en ces points, serontsuccessivementau volume avant

la détente, comme 1:1, comme —4 — t ' *' comme ~ -] — ^ : 1,

4 4 2 ji

comme — -f- -7- : 1 , comme 5 : 1 ; 4 4

ou comme 2 : 1, comme 3 : 1, comme4 : 1, comme 5:1.

On aura donc les pressions suivantes :

Sur le grand piston, au commencement de la course. » au quart de la course

au milieu de la course. . . .

aux trois quarts de la course.

kil.

» à la fin de la course. . . .

Sur le petit piston, pendant toute la course 41332. 0«*25='.

Sous le petit piston, au commencement de la course. . 41332. 0i*^25».

» au quart de la course

au milieu de la course. . . .

aux trois quarts de la course .

kil.

sant se détendre jusqu'à la fin, ce qui aurait fourni exactement le même

travail, on eût obtenu les pressions effectives suivantes :

kii.

Au commencement et pendant I de la course 4133:2.

Au quart de la course 41332- = 33066.

Au miUeu 41332^ = 16533.

Aux trois quarts 41332-5^: = 11022.

A la fin

On peut représenter par une figure la loi de variation des pressions effectives dans les deux cas.

Soit AH (fig. 1 4, pi. 3) la course du grand piston et AB la pression initiale :

Les perpendiculaires élevées sur AH jusqu'à la courbe BMNOQ représenteront les pressions successives dans le cas des deux cylindres , et les mêmes perpendiculaires limitées à la ligne droite et courbe BGDEFG représenteront les pressions lorsque Ton n'emploiera qu'un seul cylindre.

L'avantage principal de remploi de deux cylindres dans les machines à détente consiste donc dans la diminution des variations de Teffort effectir transmis à forgane de communication de mouvement qui reçoit directement son action, ce qui atténue les irrégularités de vitesse qui sont la conséquence nécessaire des variations qui se produisent dans les quantités de travail transmises.

On peut encore, par remploi d'un troisième, d'un quatrième cylindre, etc., diminuer de plus en plus les variations des efforts effectifs transmis, mais cela complique les machines au delà des limites admises dans la pratique et Ton y a renoncé.

La théorie de la transmission du travail dans ces machines à plus de deux cylindres, est, du reste, la même que celle que nous venons d'exposer et ne présente pas plus de difficultés. De plus, cette dernière s'applique également aux machines à rotation directe dans lesquelles la détente, opérée dans un deuxième appareil plus grand ou tournant plus vite que le premier, peut offrir de très-notables avantages qui seront appréciés plus tard si l'on parvient à faire de ces machines susceptibles d'un bon service pratique.