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SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGENES. f

Entre ces n équations on penl éliminer les n — i puissances jj, ^|, ■■■iy",' ■t il restera nne relation qui, développée, se présentera sous la forme

, sous la forme équivalente

dy,

On obtient ainsi le résultat demandé. On remarquera que tous les coefficients U sont uniformes comme fractions rationnelles de x. De plus, les points singuliers ne peuvent provenir que des équations (p :^ o on Up ^^ o, ou de l'équation que l'on obtient en égalant à zéro le coefficient dejf" dans/(jv, x) = o. Le seul cas qui prêle à discussion est celui où l'on a

Ai' A'^ ..

s le déterminant D, on a

Jï ■ - ■ rn

Le premier facteur est le produit des diffc.

Le second facteur est la quantité Uo elle-même.

On voit par là que si les fonctions y,, y^, ■ ■ -, y» sont liné

deux à deux des quantités

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(lantes, l'équation Uo = ne peut être satisfaite cjiie par les points sing-iiliers, c'est-à-dire par les valeurs de x qui annnleol D exceptionnellement.

Dans le cas où l'on a identiquement Un= o, les n fonctions^ étant supposées distinctes, on aura D ^ o, c'est-à-dire qae ces fonctions, quoique distinctes, ne sont pas linéairement indépendantes.

Uans ce cas, l'équation diffcrentielie

s'abaisse à un ordre moindre, ou, ce qui revient au même, le système difTéreiUiel équivalent peut être ramené à renfermer moins de n équations différentielles.

06, Revenons aux relations (56) qui relient entre elles les valeurs nouvelles et les vaieurs anciennes des éléments d'un système fondamental de solutions.

Considérons à la fois deus systèmes fondamentaux de solutions dont nous représenterons par^,yet 7i;/ les éléments. Soient Y,j et H,j leurs nouvelles valeurs. Nous devrons avoir les deux systèmes de relations à coefficients constants

- ij.yi.,