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^Cj,a,a
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on en conclut {§ 38, Chapitre II) que les dwiseiu ncuit
/„ — Ul ... /„,
Rt'")=
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S\STÈMES D ÉQliATIOSS DIFFÉREJSTIKLI.ES l.INliLAIRES ET HOMOGÈNES.
ne dépendent pas du choix du système fondamental de sohicionx qu, former ce déterminant.
les coeificienls / étant imilépi
s do l'indice î. Nous
conserve les mêmes diviseurs <5iémentaires quand on cliange le système fondamental de solutions.
On a va d'autre part (Chapitre II, §^3, équat. /\&) qu'on peut former a priori un déterminant
ayant les mêmes diviseurs élémentairesqne le précédent. 11 résidle de \k que peut faire une double substitution de la forme
qui ramène à
la fois la
■or
lie
à la forme el la forra e
à la forme
• y in
les /et les Y
étant les
an
len
ne
et
les
nouve
Jlesv
respondent ai
détermir
an
to
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Or, si l'on considère la forme de ce déterminant R'(<ii) par rapport aux coefficients qu'oo appelait l d'une manière générale, on voit qu'on a les relations importantes ponr un système choisi yj- de solutions
On a donc ce théorème remarquable :
Soient (w, — fù)"', ■ ■ ■, (wp — u^Ytles diviseurs élémentaires du déterminant R(<o), et il importe peu que les binômes (Di — ti),..,,(ijp — w soient distincts ou non, on peut trouver un système fondamental de solutions dont les éléments se groupent d'après les relations
'Yï,C(.= <0/iyi,ei,-l-J'l.c,,
(tû/, — m)"'- étant l'un quelconque des p diviseurs élémentaires de R((i)).
On peut arrivera ces relations en partant d'un système fondamental quelconque de solutions, et en substituant à ses éléments d'autres éléments qui leur soient liés par des relations linéaires indépendantes et à coe ffîcients constants convenablement choisis.
68. La seconde partie du théorème précédent conduit à la question intéressante du choix des coefficients constants qui permettent de passer d'un système fondamental au système spécial défini par le théorème.
Soit (iii ^ w un diviseur linéaire quelconque du déterminant
nts ytj d'un système fondamental de soluti
SYSÏliMF.S 1) ÉQUATIONS DlfFÉREKTlELLES LINÉAmES ET IIOMOGKNES.
(57) ^,i^inyn^--.+ ljnyi..
L'équaùon R(w) r= o s'appelle, d'après M. Fuchs, V éq nation fondainenlale déierminante ou simplement l'équation fondamentale.
Soient {(D| — ii))-^., (ij, — co)^., ,,,, (w, — w)'^^-, les plus hautes puissances de cù| ^ 10 qui divisent respectivement R(<d), puis tous ses mineurs du premier ordre, . . . , enfin tous ses mineurs de l'ordre r — i . On sait que les nombres An, /ii, . . ., h,, ne peuvent aller qu'en décroissant, et que leurs différences successives
le peuvent pas aller en croissant.
Puisqu'il doit exister une solution satisfaisE
el, par
siiiLe,
00 ilevi
■a pouvoir sa
tisfaire ■
„x condùion.
+ /./*'"-" (y = i,a,.,,,vO-
Or le déterminant R-('i>) admettant le diviseur linéaire (ù, — w, on voit déjà que les conditions (58) sont compatibles. Ensuite tous les mineurs de R(ii>) s'annuiant pour (o ^ W| jusqu'à ceux de l'ordre yesclusivement, on pourra exprimer S^i ^=1 ■ ■ ■ ' S" ^" fonctions linéaires et homogènes de r constantes arbitraires.
Il y aura donc r solutions uij {i^=i, a, . . •, n;/ r= i, a, . . . , r) linéairement indépendantes, satisfaisant à la relation
et donnant par combinaisons linéaires toiUes les autres solutions qui salis font aux mêmes relations.
69. Ces r solutions étant déterminées, il existera des solutions ii)j, satisfaisan si tous les diviseurs élémentaires fournis parw, — w ne sont pas simples.
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Pour trouver ces nouvelles solutions, nous supposerons qu'on a choisi pour système fondamental un système de solutions où entrent les fonctions déjà calculées K,j{t ^= t, 2, ■ . -, n; j = i, 1, ..,,/■). Ce système peut être considéré comme fondamental, car on peut évidemment prendre arbitrairement les valeurs de !• désignées des quantités g,, g-^, ■ ■ ■ , gn- Soient g,, g-,, gr, ... ces quantités.
n'est pas nul, on pourra substituer, quelles que soient les valeurs que l'on calcule pour gr^, , gr+i, • ■ • , gii, 1*: système Uij, y,]- au système primitif, sans que le nouveau système cesse d'être fondamental.
Alors les relations (5^) prendront la forme
j Y,-,,+i = '«i"ii+---+^;-(-,,,-"cr-i-^;-i-i.,.+irf.'--Hi^----!-/;-n,„:r,„,
1 ym =/;,,«,■! ^...+f,„.«,> +/;,,.^,7-v+, ^■■■+r„„y,„.
70. Nous montrerons tout d'abord qu'il existe une relation de la forme
où 3,- est une fonction linéaire homogène à coefficients constants des ji^j, et avi la condition
qui entraîne
11 faudra cjue l'on ail
/, <ui «,-, + ... + ^;.u)i 11;,.+ ^;^.i (/'„,,, (ta -'-■■-+ ';.+i.„7f/i) ■-!-■- -
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SYSTF.MES n r.QUATIONS DIFFÉREKTIELLES LIKIÏAIIIES ET HOMOGÈNES.
i les éqii;
Is'r^id',.
de cooditioo suivanles :
Ces égaler
Ma
équations ne à o et poser si
enfermant | iiplement
1 pourra prendre ces quanlilés
= ^i'4-iri,/-m
alors les quantités ^'^.^i, ..., ^^,, qui sont seules à d<;Lcnniner, c pouvoir se tirer des équations (58 a) auxquelles elles satisfont.
Effeclivemenl, si l'on prend les n — /■ dernières équations précédentes, terminant des coefficients /' correspondant est un mineur de l'ordre r du
le dédéter-
relatif au système de solutions (5^ «) et qui a les mêmes diviseurs élémentaires que le déterminant R(w). Si ce déterminant mineur est nul, les dernières équations (58a) sont compatibles, et de ces équations on tirera les valeurs de g'^^^ , . . . , o"^, el, si l'on veut, ensuite on aura les valeurs des inconnues >.,, .. ., \r pa'' 'es premières équations (58 a).
71 . Examinons le déterminant R'(a)). 11 est égal à (o., sant
Or R'(w), ajant les mêmes diviseurs élémentaires que rî((u), est divisible \ (il), — (,))^û, donc R| (w) est divisible par (w, ^ t>))''-~''. Les mineurs du prem ordre de R'(t^) seront divisibles par (to, — (l))*i. En particulier, chaque minei égal à (tj, — w)''M, R, (tj), où M, est la caractéristique d'un mineur du prem
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70 L. SAi;VAGE.
ordre, est divisible par («>, — (!))''■ et, par suite, chaque mineur M, l\, ((o) est divisible par ((0| — bi)''i~'\
De même chaque mineur du deuxième ordre deR, (lu), représenté par M2R, (co), est divisible par (to, — w)^î^'", etc. Enfin,. chaque mineur de l'ordre y ^ r de R, ((jj) sera divisible par (w, — w)^^— "''. On pourra le représenter par M^^i R, (to).
Discutons ces résultats. H faut d'abord écarter les puissances ((u, — u>)*^'dont les exposants ne seraient pas positifs. Comme les nombres h^, h,, ..., /ir i vont en décroissant, on voit que le nombre /• séparera celte suite de nombres en deux autres, l'une A,,, h,, ..., hs__, de nombres plus grands que r et l'autre Aj, ..., hr-i de nombres pins petits que /■. Les premiers seront seuls à considérer.
En conséquence, nous dirons que le déterminant R, (to) et ses mineurs d'ordres successifs admettent jiisqu'à l'ordre s exclusivement les diviseurs respectifs
Deux cas pourront se présenter. On pourra avoir he^^r; alors les solutions ' m,, .-., «(> seront toutes les solutions distinctes correspondant à la racine m,- Dans le cas de ho = r, on sait que le diviseur (w, — w)'" fournit r diviseurs élémentaires simples. Nous nous trouvons d'accord avec la théorie des paragraphes précédents.
On peut avoir /î||> r, alors w, est racine de R|(to) = o, et le calcul préparé plus haut montre que l'on peut former s solutions indépendantes^ telles que l'on ait
(60) xj'; = ^ih; + oK",7),
où a est la caractéristique d'une fonction linéaire et homogène à coefficients constants.
La fonction wi satisfait, comme les éléments w// eux-mêmes, à la relation
Soient u'i., (y = [> 2, ■-.,■') les nouvelles solutions. Toutes celles qui satisfont auK mêmes relations (60), pouvant être obtenues par le môme procédé, ne pourront être que des groupes de fonctions linéaires et homogènes des u et des u' .
Il ne peut y avoir entre ipi, , ...,fp,j aucune relation linéaire et homogène à coefficients constants, sans quoi l'on pourrait former une fonction linéaire et homogène avec «,', , . . . , u\, satisfaisant à la relation
Celte solution serait bien distincte des un,^ puisque les «'ne dépendent que àasy.
Il y aurait donc plus de /■ solutions satisfaisant à la relation
ce qui est contraire à l'Iiypolhèse.
Maintenant, puisque [b,, , .,.,ffl,j sont des fonctions indépendantes, elles peuvent remplacer s des solutions nu , . .. ^ Uir et porter les mêmes noms, de sorte que l'on peut écrire, sans nnire à la généralité, les relations
où entrent les anciennes cl les nouvelles valeurs d'un système fondamental ctiois de solutions des équations (A).
72. Nous pouvons, avec un changement d'indices, écrire les équations prf dentcs sous la forme
= iO,l.
Les autres équations (tii) en Y conservent les mêmes notations cl Drdre.
X^'équation fondamentale, tirée des équations (62), prend Ja forme
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l'ih
et y'a = /■ 4- ,î + 1 . En outre, on eitiploio une forme aussi abrégée que possible pour la représentation de K"{(i)).
R"((o) a les mêmes diviseurs éîémenlaires que R(w). De plus, un déterminant R'i(a)), tiré de R''{w) comme R|('(!)) est lire de R'{(o), aurait le même diviseur commun à tous ses mineurs de chaque ordre que Ri((ij).
Un déterminant tel que
admet un diviseur simple (tO| — w)-.
Développons par la règle de Laplace un déterminant quelconque de la forme
1 nous servani des deux premières ligne;
3st-à-dire qu'il sera divisible par (w, — o.
nous voyons qu'il sera égal à
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SYSTÈMliS d'équations DIFFÉRENTIELLKS LlNliAKiES LT UOMOGÉSF.S. ^3
Il résnllede là que les mineurs de R"(ui), formés en emplojanl, les i-~\-s premières lignes, seront divisibles par («i, — w)''+* et, par suite, vn mineur quelconque d'ordre ta de R2(w) sera divisible par Aj, — (/■-(-s).
Comme précédemment, il faudra chercher nn nombre t tel que tous les nombres /îo, Ai, . ■., fi!^\ soient plus grands que /■ + s et les autres nombres hr, ..., /tr-i plus petits.
Si l'on a
alors les solutions H;,, . .., h^^ (voir les équations 62) sont ton (es les solutions distinctes correspondantes à la racine w,.
Mais si l'on a
alors tùi est une racine de Ha((o) = o, et nous pouvons continuer le calcul de la manière suivante.
(fi3 ,
De ces équations (63) nous pourrons lirer ( svslèmes de valeurs distinctes pour g",, , . . , g"„ et former ( solutions
linéairement indépendantes entre elles, et linéairement distinctes des fonctions déjà formées, puisqu'elles dépendent des j'. Or, si l'on multiplie les dernières équations (62) \>^>-' g}., ■■•, g], et si l'on ajoute, on voit que la solution iv,- satisfait aux relations
en représentant par i}/,- uuc fonction linéaire et homogène à coefficients con stants.
Les t solutions wi permettent de former toute autre solution satisfaisant aux relations {Q^), car on a suivi une marche de calcul qui doit tontes les fournir. Entre les fonctions i/,, , .. , '^/j il ne peut y avoir aucune relation de la forme
où !c, . .., î. sont des constantes et / une fonction linéaire ei homogène à coefficients constants, car il existerait une fonction linéaire et homogène de ip,,, . . . , S. 10
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Wii, qiLi, n étant pas une expression des solutions m/i , . . . , Uir, jouirait des propriétés des cléments u', ce qui est impossible.
On remarquera aussi que i est an plus égal à s, car, s'il en était autrement, par l'cliniinalion des u' on pourrait former une relation
On aurait pu voir aussi que s est au plus égal à /■, Toutes ces remarques sont bien d'accord avec la théorie déjà connue.
73, La méthode suivie peut évidemment s'appliquer indéfiniment, et l'on retrouve sous une autre forme les propositions du n" 67.
7-i. Après avoir tiré tout ce qu'il est possible du div pourra former un sy.stème fondamental de solutions
-<.)deR(oj), on
satisfaisant aux relations
les quantités <d,/, étant égales à zéro ou à l'unité, à l'exception de tU), et a tions
(65) y^/= Gy^",j -H ■■.-K G;/,, «,-/». + Gy/,.^, >■;,/,.+. + ---+G^«r,«-
On pourra raisonner sur l'équation fondamentale
SYSTÈMES D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES, où l'on a
comme on a raisonné sur R(w).
En oulrc, si l'on forme le système d'équaûons
on pourra le résoudre en prenant pour o) «ne valeur w.^ différente de w, et annulant R(iû), puis en calculant les valeurs proportionnelles de /'î/,,^., , ■■■, m,„ et enfin en calculant successivement les autres inconnues m, dont chacune a pour coefficient Uf — oia dans une des premières équations.
On en conclura, comme au n" 68, qu'on peut former un sjstème fondamental de solutions
o,-„ {h--^ i,a, ...,ht-hk'^},
où les h'^, h'^ prcmif^res solutions sonl particularisées.
En partant de ce système fondamental el par des raisonnements analogues aux précédents, on pourra former des systèmes fondamentaux de pins en plus particuliers, jusqu'à arriver à la réalisation complète du théorème énoncé au n° 67.
75. Nous devons maintenant traduire les théorèmes démontrés jusqu'ici en supposant le point initial situé à l'infini.
Reprenons les équations (A) et remplaçons-y la variable x par la variable — >, de sorte que, quand a: devient infini, x' devient nul. Il suffira alors d'étudier les fondions^ dans le domaine de l'origine œ'^^^o.
On aura
dy dy dx' dy , dy
dx dx' dx dx' dx'
et les équations (A) deviendront
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en appelant a! ce que devient une fonction a divisée par x"^, cliangée de signe et exprimée au moyen de la variable x'.
Le système (A') étant de la même forme que le système (A), on pourra lui appliquer tous les théorèmes démontrés .précédemment. Le point x' ^^ o pourra d'ailleurs être un point singiilier ou non singulier des fonctions al .
76. Si l'on considère l'équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n, on sait qu'on peut en faire l'étude au moyen d'un système d'équations linéaires et homogènes équivalent.
On obtient alors les théorèmes suivants qu'il suffit d'énoncer.
1, Si la variable indépendante revient à sa valeur initiale, les nouvelles valeurs Y; des intégrales d'un système fondamental sont liées aux anciennes Yi par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants de la Jorme
CMj Y/=';,,ji-4-...+ c,v,^„ (i=i,s,...,/i) (i,"61).
51 le chemin fermé décrit par la variable peut être déformé d'une manière continue sans rencontrer de points singuliers jasqu 'à être réduit à un point; les fonctions y sont uniformes dans la région oie celte hypothèse est réalisée (n» 62).
III. Les équations (66) sont caractéristiques des intégrales d'une équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n.
C'est-à-dire que, si n fonctions yt, . . ., y,i linéairement indépendantes prennent des valeurs nouvelles liées aux anciennes par des relations linéaires et homogènes à coefficients constants, telles que les relations (66), ces fonctions forment un système fondamental d'intégrales d'une équation linéaire et homogène d'ordre n, dont les coefficients sont uniformes, et n'ont pas d'autres points singuliers dans la région considérée que les points singuliers des fonctions y.
