Écrivons
■ ne éq.iation régulière c
dx" X dx"-'
Le. exp„B.,u,
r des soIiUions seront d
(') Voir la Tlicse <Ip M. Floiiuel,
Hosled by
On divisera ce résultai par x'', et l'on égalera à zéro le coefficient de la plus basse puissance Je x.
Voici d'autres propriétés :
Si pi, est identiquement nul, D(;') est dîvlsiLle par r. Faisons cette division et changeons ensoiie /- en /■+ i, nous aurons i'éqiiation caractéristique de l'équation différentielle d'ordre n — i, obtenue en prenant pour inconnue-^- Il n'y a qu'à vérifier l'exactitude du calcul proposé, ce qu'il est facile de faire.
Si l'on pose^^a;'"»5 dans l'équation difTéreiilielle, Téqualion caractéristique de l'équation en z aura pour racines celles de l'équation caractéristique primitive, diminuées de r^. Elle se déduit donc de l'équation D(r) ^i^ o en changeant /■ en /■ + /■«.
Si l'on pose y = '^{x)z, ^(a^) étant une fonction holomorphe différente de zéro pour ^ ^ o, l'équation caractéristique de l'éc|iiation en z est la même que celle de l'équatloo en y. En effet, on voit sans peine i|ne ré(|iiatlon en z clant de la forme
KA+t'O;.
son équation caractéristique a son premier parties, la première provenant de l'expression
et la seconde de
;re décomposable en dei
..ir-n^'y, + ...^P„l
nP„|-
Or, le plus haut exposant de x dans les dénominateurs de la première expression étant supérieur au plus grand exposant de x dans la seconde, si l'on multiplie par xs~'', g étant le plus grand de tous les exposants, et si l'on fait ensuite^ = o, la seconde expression donnera un résultat nul, et l'on obtiendra, par conséquent, le même résultat qu'en opérant sur la première expression seule, c'est-à-dire sur celle qui correspond à l'équation caractéristique de l'équation en y.
Ces diverses propriétés, rapprochées des théories que l'on a vues dans les Chapitres précédents, servent de base à la théorie des équations différentielles linéaires et homogènes d'ordre «dans la plupart des Mémoires (' ) publiés sur cette question. Pour plus de détails, nous renverrons le lecteur à ces Travaux.
SVSTÈMKS u'iîQ1;ATI0NS DlFFÉREiNTlELLES LlNÉAIl\r.S UT HOMOGÈNES. I 33
Ajoulons enfin une remarciiic. Il peuL se préseiiLer une circonstance curieuse dans ]e cas des systèmes réguliers. Si, en un point (jnelconque a; = o, toutes les racines de l'équation caractén's tique F(;-)=: o sont entières, positives et distinctes, elles ne formeront qu'un seul groupe. Si, en outre, les logarithmes disparaissent dans l'intégration, les solutions n'oÉFrironl au point a; = o aucune singularité, et ce point ne sera pas en réalité un point singulier. Il ne diffère des autres points qu'en ce que le déterminant d'un système fondamental de solutions s'y annule. Ces points ont reçu, de M. Weierstrass, le nom de points à apparence singulière.
98. Le théorème de M. Fnchs fournit une seconde méthode pour décider si
un système quelconque e
st réguhe
Posons
el soit donné le système
= a^, ri + ■ ■
Il est à peu près évident que ce système sera régulier, si la valeur z satisfait à une équation différentielle régulière d'ordre n, quelles ejue soient les valeurs de X, , . .., !„. Nous allons préciser cette question.
D'abord s satisfait à une équation différentielle. Car si la variable x fait !c tour de l'origine, on a, avec les nolations du Chapitre III,
et, entre les anciennes et les nouvelles valeurs yij et Y,/ des éléments d'un système fondamental de solutions, existent les relations
i qu on a
Z;= X,(C;i7i,-|-...-+-Cy,,J'i„)H-,..-(-X„(G;i>-„|-4-,.. 'r Gj„y„„)
h?.„rM)+-.-+C;„(X,r.„+... + >.„r«.),
Zy= C;i3, + ...+ 0;,,=,,.
On reconnaît les équations caractéristiques d'une équation différentielle linéaire et homogène d'ordre n. Pour des valeurs choisies de 1, l'ordre n'est pas nécessairement «; ilfatit, pour cela, en plus des conditions précédentes, que les « fonctions 3|, . . . , z„ soient linéairement indépendantes.
Le contraire peut arriver. En effet, écrivons la relation
A|;, + ...+ A„s„= o à coeflicieiits cousiaols, On-eii conclura, en faisant
la rdallon
A,a,^u+.-.+ i„r.<i)-i----+A<.(>'i7i-, + -..-HÀ„^„„) = "
X,[Aij.„ + ...-hA„j,„)+... + „{A,jr.,+... + A„j^„„) = o.
Or, les parenthèses renferment les éléments d'une certaine solution du système dîfférentiel. Donc, si l'équation générale en z n'ext pas d'ordre n, ileociste une solution -^t, . .., Ti„ des équations en y, entre les éléments de laquelle il existe une rrlation linéaire à coefficients constants de la forme
La réciproque est vraie. En effet, on a
';/ = A,j',-i-*-.---t-A„7ï„ et, |iar suite,
X,(Ai,j„ + .-.>+--'+'-.(A,^,„ + ...) = '> ou
Donc les n fonctions
ne sont pas linéairement indépendantes.
Mais si les \ restent quelconques, l'ordre de l'équation en z est n. Car, pour que l'équation
'^l(Ai^,i-I-.,.-H A„>-„j)-i~-..-i->>«(Aij'„, + ...H-A„^„„) = o
soit salii-iaile pour toutes les vaScnrs de )>|, . . . , ï,,,, il faudrait (|ue l'on eût
ce qui est impossible, si le système de solution ^^y est fondamental. On formera l'équation A''ordre n en s de la manière suivante. l*osons, en général,
^^ = ' (Af, y, + ...-i- Af,,j-„),
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SYSTÈMES D^ÉfiiJATlOKS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET UOMOGÈNES.
rfa;*+i "^ ic*F V' dx +■■■'*"■'''' ct^ ^ ^ ^*P KC'^ dx +■■■ + *'" rfa.; - ^(Af,j', + ...-^A?„r„),
ot, en remplaçant -r-^ par sa valeur tirée des équations proposées, ne tiendrons
équations où l'on a
K'^ip = ^P^ - ^p3;p-i AJjH- (A;*, A,V^. . ,-t- Af;,A/,j),
et les fonetions A;y seront holomorphes, à condition que p soil un entier posilif, et que les fonctions «iy de l'équation (149) qu'on peut écrire A,y soient holomorphes. On aura alors successivement
SI
dx''
(Af,ri-i-
yy
iAfi+.,
Af
plement
ir
rii-
En faisant k ^^i , ■>., . • . , « dans cette équation, noiis obtiendrons 11 équations dn premier degré en;',, . . . ,y,t. Avec l'équation qui définit s nous aurons n -+- 1 équations entre lesquelles nous pourrons éliminer y , , . . . , y„. Le résul tat obtenu est de la forme
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ou, en développant, de la forme "z 1 i, d"-'z
Si l'on a p := 1 , tous les rapports -~ devront être holomorphes, car l'équation en s devra être régulière comme le système proposé.
Pour une valeur quelconque de p, les conditions seront, comme on l'a déjà vu direclemeni, compliquées à cause de la présence indispensable des n indéterminées X| , . . .,1,1 dans les déterminants A.
Cependant, si les hypothèses
Xy=0, J^i, li^O,
faites pour toutes les valeurs de i successivement, conduisent à n équations différentielles d'ordre n, chacune de ces équations, étant débarrassée d'arbitraires, sera d'une façon rapide reconnue régulière ou non, et cet examen suffira évidemment pour formuler une conclusion sur l'équation générale en z, ou sur le système proposé lui-même.
99. Le procédé qui permet de ramener un système régulier à la forme canonique consiste à faire une suite mélangée de substitutions des formes
Réciproquement, si l'on fait, dans un système canonique général, une suite de substitutions arbitraires des formes précédentes, on formera un système régulier quelconque.
Comme conclusion de ce Chapitre, nous dirons que tout système régulier peut être ramené à un système canonique.
SYSTEMES D EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ET HOMOGENES.
