Ecrivons les iliquations (119) sous la forme
Si les coefficient «,y sont holomorpiics dans le domaîoe de l'origine, et si tous les nombres entiers «i sont nuls ou négatifs, le système est rég-ulier.
Nons n'aurons donc de difficultés à rencontrer que dans la recherche des systèmes réguliers oOi l'un au moins des nombres a; est positif, en même temps que toutes les valeurs initiales correspondantes a", (y := i, 2, . . ., n) ne sont pas nulles à la fois. Nous nous placerons dans cette lijpotlièse.
Nous supposerons d'abord que tous les nombres a, soient positifs, et nous poserons
Nous ferons ensuite la substitution
SYSTlblES 1) ÉQUATIONS DIFFÉRENTIEU.ES LIKÉAIRES ET HOMOGÈNES. IO7
el nous identifierons, sachant qn'il doit exister au moîus une solution de cette forme .
Nous aurons d'abord les équations
qui devront être compatibles, et nous pourrons supposer au moins l'un des tp, soilto*, différent de zéro. Alors, si cela est nécessaire, nous remplacerons, dans les équations différentielles (ia3), l'inconnue yi par y 1-^^.1}' t (i=^ Q.,'i, ...,/i), de sorte que la valeur initiale <ff -h'^^i'f'l ne soit nulle pour aucune valeur de i, et nous aurons
3^'-^"'-^ ^attyi + an(y^.^y-iyi)^.-.^'iu,(7u-<-'>'nr'')'
Il est évident que le nouveau système différentiel pourra prendre la même forme générale que le sjstème ((23), et sera régulier comme lui. Mais, de plus, si l'on fait maintenant la substitution
on devra avoir a";^ o pour toutes les valeurs de /.
92. iVoas supposerons que le système (laS) est préparé de manière à satislaire à cette hypothèse.
Parmi les équations (laS) distinguons celles qui correspondent à la plus grande valeur a des nombres entiers a,-, et plaçons-les les premières. Le système ('23) pourra s'écrire
et, pour les valeurs r , 2, . . ., A de l'indice i toutes les quantités b^j ne seront pas nulles pour toutes les valeurs de J, tandis que l'on aura 6?y^= o pour i^ h -h i, h-h2, .. ., n.
Dans ces conditions, on peur démontrer que le déterminant
\ K, ■■■ 'Ah
est nul. En effet, dans le système (124), considérons !a solution
loS L. S.VUVAGE.
OÙ nous pouvons supposer a,?^ o, et posons r!= t'iqi-
Nous aurons
Mais
Ui dx X ip,- dx
Nous aurons donc
dx 9; ' | \X <^i dx I y Of '
Gomme ces équalions admetlenl la solution Çi^ i, nous aurons ldenLi([iicment (126) 6,-,^ +...-+-ii«^ =0.
Cela posé, remplaçons g, par x''(q^ + xq^ -\-. . .), Nous aurons ([37) ^'^''[^('îï-^^g'-^ ..)-^-gj-^2a;qf^...^
En idenliiianl à ïéro les coefficients des diverses puissances de x, nous aurons d'abord la condition de possibilité
'Ai^.^ 'Ai ■■■ /A„^
îï /.o,!fi
^Si-^ ^K
Tli 'fil
Au moyen du premier membre de cette condition formons l'équation en a
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SYSTÈMES d'équations DHTÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 1 09
Elle pourra se ramener à l'équation
— s Aîa ... hin
Kl b%- ■■■ Kji-'
Mais, à cause des conditions (laô), on peut écrire
de sorie que, si l'on pose
on ponn-a former un nonveau sjstème différentiel régulier de la forme
fit, en posant
1 pourra encore
identifier à zéro les coefficients des divi
et l'on aura !a condition
qui fournira l'équation en s
Introduisons la racine zéro supplémentaire, et écrivons celte équation sous la forme
i,%,-S΄-^ -ï
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IIO 1-. SAUVAGE.
En fijoLiLaiit la premièi'e ligne à cliacune des siiivaiiLcs,
Mais à cause des conditions (ia6) on a,
mple,
bh
Donc, si l'on relranclie, dans le déterminant (i33), la somme des éléments des dernières colonnes des éléments correspondants de la première, on aura l'équation (129) et, par suite, l'équation (i3o), Appelons A(5} et ^,{5) les premiers membres des équations (i3o) et (i33), nous aurons, au signe près, la relation
(.34) a{0 = ïi,(0-
Voici les conséquences de la relation (i 34).
Considérons d'abord une équation régulière à une inconnue
Donc i(s)^^ o admet la racine zéro.
Passons à un système régulier de deux équations différentielles, INoiis aurons, à cause dn cas précédent,
et, à ca.use de la relation (l34), l'équation
devra admettre deux fois la racine zéro.
De proche en proche, on démontrera que l'équation ii(.î)=ro a n racines nulles, si le système (ia4) est régulier. Mais on a ici, en tenant compte des Zi)', qui sont nuls.
SVSTÈJIES D ÉQUATIONS DIFFÉRKKTIELLES LINEAIRES' ET HOMOGlîSiîS. III
On en conclut que le dcf.crminanL
\ H, ■■■ bU I
est nul.
93. CcLtc condilion siihsisic après qu'on a fail une substiUilion de la l'orme
y^ = z ^ nu y.,-\-. . .■^- in„y„
dans les équallons (124)- En effet, on a
Le déterminant iL|u'il faut étudier se réduil, à cause des conditions
I èji — ... — in/ib%y b\^ — . . .— «i;,tj,, -+- «13(6^ I — ... — '«Ai/,]) •-- I b\i bl2-^m^b%, ... \.
Ce déterminant se ramène immédiatement nu déterminant
et, par conséquent, ces deux déterminants sont nuis ensembi Od verrait de même qu'une substitution quelconque
pour une valeur donnée de i, même pour i=^ h -1- i , . , ., ;i, ne change rien à la conclusion précédente.
En conséquence, il n'est pas nécessaire que l'on ait y" ^ o pour que le déterminant | 6", . - ■ bl/^ I soit nul; car, pour arriver ou cas où ts" n'est nul pour aucune valeur de ;', on n'a fait que des substitutions de la forme de celles que l'on vient d'étudier.
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9i. Revenons mainlenant an sysLème dift'érenùel (ia3) mis sons la forme
et supposé régulier. AdmeUons d'abord cjoe, pour aucune valeur de (, ou n'all tous les a"j nuls quel que solly, et posons
Nous aurons les équations
et, puisque le systèa^e (la-^) admet an moins une solution de la forme (t36), le déterminant
<loil ôtre nul.
Posons alors
el déterminons X,, Xr,, . . . , X„ par les conditions
f[-io) ftî/i,-l-.,.-i-<t»yX„=l>
A cause des conditions (i4o), cette équation pourra s'écrire
lù «', , . . ., a„ seront des fonctions holomorphes comme les fonctions «,7.
Les équations (i4o) étant compatibles donnent au moins une valeur, 'k„ pai :xemple, qui n'est pas nnlle, et, de l'équation (rSy), on lire
y" = T:^-Ty^-
xr^"-
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SYSTÈMES d'équations BIFFÉRESTIELLES LINÉAIRES ET H0)10GÈ:<ES, r 1 !j
de sorte qu'on peut éliminer^',, et remplaeer le système (i35) par le svsirmo
^r. dy.-y
=^&/i-l,lJl+.-.-|-6„,,„)J„l+ /-«-,,„ 3,
et, dans ce système, !e déterminant
devra être nul en vertu du théorème du n° 92. Posons maintenant
yt-zi-^]i.iz (("=!,'■.,,..," — [),
nous aurons
dx dx dx
= èï,(^i + Hi3)+--.+-i;,„-i(a„-i+F«-J«)-i-^"'3 — H;j;[*«i(2i+ [ii5)H-..,+ (:>„,„i{3„-i + ti„-,3)-i-/'«„s].
Le coefficient de s sera
|).l6,l-t-. . .H- (t,j l i/,i.,i -H &,■,! — !'(3^(iJ:jS;ii + . . .-H [Ayi-l ''«,/;- 1 -H li tut),
et, si l'on veut qu'il soit nul pour x = o, il l'aiidra poseï'
(i-ia) [i,ftJ'|-i',..+ ,u,,|è5,^^-)-6?,= o (f = T, a, ..,,« — i)
Mais le déterminant de ces équations étant nul, elles pourront n'être pas compatibles.
Supposons ces équations non compatibles, et remarquons qvie l'on doit avoir
11 faudra en conclure que l'on a ^^^ =: o, et, dans cette hypothèse, on pourra
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Il4 L. SAïVAGi:;,
poser
Les fiqiialions (142) se vcJniront aux érjualions Mais l'éqiTalion en s Llevlendra
et l'on devra avoir aussi
et il y aura eoinpatibilité, ciu- on doit pouvoii' poser
et de pins, on a identiquement
bl^ = o (,■ = ,, a,. .,,«)■
Alors, si c'est nécessaire, on devra pouvoir calculer des nombres '/,, '■/.,, . . ., •>„__, lels froc l'on ait
et alors l'expression sera égale à
fit sera divisible par x. Nous prendrons alors
ponr inconnue à la place de s'. Soit, par exemple,
Les équations dilTérentielIes prendront la forme générale
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SVSÏEJIES 1) EQUATIONS DirfiûliEJi'lllLl.LES LI.MIAIRIÎS ET HOMOGENES. ri:)
et l'on aura maintenant De pKis, le déterminant
sera nul.
Partons maintenant des dernières équations difTérenliclles obtenues, et employons de nouveau, avec des signitications analogues, mais non identiques, les notations qui nous onl déjà servi.
Posons
et déterminons ),i, À^, . . . , \„f par les conditions
nous aurons, comme précédemment,
Les équations (i44) étant compatibles donnent au moins une valeur, ),„., par exemple, qui n'est pas nulle, et l'on peut poser
de sorte qu'on peut éliminer >'„( et former le nouveau système différentiel
„ rfj-..^'
= ^,1-1,] J:-+- -|-6„i,,i|E-i- b,i-\,iill,
= ^',iljl -I- -i- l'a, 1,-1-^ -T-llrnith
et, dans ce système, le détcrminonl
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ii6
Posons»
aintenaiit
yi=zi^a,z
nous aurons
= Ai
-,^^Ai„
Le coefficient de s sera, pour x = o,
et, si l'on veuL qu'il soit nul, il faudra poser
(Mfi) |iiè?j-i-... S?„, =0 (t = i,ft, ...,«-■>.)■
Cns éqiiyLÎons peuvent ne pas êlre compatibles. Mais, cominc on doit avoir
^i',TÎ + --- + ^?,.-i?î-i = " (i = ,,o.,...,«-a),
on devra poser cd);, ^ o, ce qui conduira à remplacer z par xz'. Les équations (i4f>) se réduiront aux équations compatibles
Alors, si c'est nécessaire, on devra pouvoir calculer des nombres v,, V:,, . . . , v„., tels que l'on ait
et alors l'expression sera égale à
et sera divisible par x. On prendra alors
pour inconnue à la place des', el finalement les équations différentieOes prendront la forme
l'on aura maintenant
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KVSTEJIES H EQUATIOKS DIFrERENTIETJ.ES LINEAIRES ET UOMOGEKES. 11^
De plus, le déteriiiinanl
]1 esL évicierit que le procédé pourra s'appliquer indéfiniment, et, par suit qu'on pourra ramener le sjslèine proposé à la forme
En diminuant a d'autant d'unités qu'il sera nécessaire, ce qu'on sali maintenant réaliser pratiquement, on sera finalement ramené à un système canonique.
Et,
dions
l'eiemple „„
nérique
nt
On
Iro,
ve tl's
bord qu
ilfai
trompl
cery, par »y„
ce q»;
dx \
dx \
La
„fa.
le siil
stitntion
sera
encore
„.ces.ai,=.e.ro
On |)Osera maintenant
= ri — J5i tloii y^-^z-^y^.
dz dy\ dyi dx dx dx
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IIO L. SAUVAGE.
on encore
£-( >'^(ri-h
Enfin, remplaçons 3 par ^x, nous aurons
C'est iiQSj'steine canonique, ce qui prouve que le sj-sLèuie proposé primiliveniein est régnlier.
Du reste, on peut le vérifier autrement, en remarquant que le sjslème qu'on vient (l'étudier dérive du système numérique do n" 88 par le moyen des subslitulions
90. Le cas le plus important des systèmes réguliers est cchii qui jirovlcnt de l'èqualion d'ordre n
supposée régulière. On peut !e traiter facilement d'une manière directe. En elTet, remplaçons l'équation {"{']) par le système équivalent
/ I^Xl P2 P' Pn
\ dx x'^i ■' x^i ' .r'^.i '
\ii = r,-. (j -■--,!■
les p étant des fonctions holomorplies non nulles pour x =^o. Faisons le changement de variables suivant
re que les dernières équations (r4^) prt
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SYSTEMES D [iQU.vTIONS DIITÉRF.NTIFXLES LIKÉAIRES ET MOMOGEKES,
donnera
On remarquera en passant que
et Lotis ies ta" seront dilTerents de zéro, si p est quelconque. La première équation (i48) deviendra
+<?-»+■»'-?- ïï^iî=î ?■-
Les éqiuitions prcccdcntes forment donc un système qu'on peut écrire
et où toutes les qnantilés P ne seront pas milles à h fois pour x =^ o.
earalorsonaura/i<i.
Je dis que ces conditions suffisantes sont nécessaires. Pour le démontrer, admettons la proposition pour une équation de la forme (147) ^t d'ordre {n — t) et démontrons qu'elle est vraie pour une équation d'ordre n. Comme elle est vraie pour K = I, elle sera aiDsi démontrée en général.
Au n" 24 du Chapitre I nous avons montré que, pour ramener un système de la forme (i 48) à un système non seulement linéaire, mais encore de la même forme, on devait poser
a étant une intégrale donnée de l'équation différentielle (i'i7)- Dans les conditions actuelles, nous supposerons h„ régulier et de la forme ir''f„(œ) el, en nous reportant aux notations de ce n''24, nous ramènerons le système (148) au système
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alcmcnt régulier
i(«-i)...3.i d'^-Ut , ^ n («-i)...3.a d-^ i .2, . .(«. — i) (&"-' "^ «sji I .a. . .(/î — 3) dx"-
Noiis supposons iL|iie P, ,P2, . . ., ?„, peuvent se mettre sous les forir ~~^s où n,, n^, . . . , iï,i\ soni des fondions liolomorplies. On remarquera alors que Ton a
dx dx ''
X^ dk~la /d«'f \
el, par suite,
I €F-ii 'çi j^ I d^-'^if
II dx'' ~ Zd^^'^ ç dx't-\ '
Cliacun de ces produits esl donc infini d'ordre infini d'ordre k un plu*.
En conséquenee, si des expressions de P, , Pa, . . . , Ph i on tire — > -i^, - ^~' I on obtiendra des expressions infinies d'ordres finis i, a, ..., « — 1 1 pectivement comme P|, P3, . . ., P„, eux-mêmes. On devra done avoir ra, —
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SYSTÈMES DÉQUATIOSS DIFFÉHEfiïlEi.LES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. 131
linfio, de la première équalion {i4'^} on Lii'cra
jO,j 1 jd"U pi d"-'U P:i-\ i'!u\
ajCT,, u,\dx" œ dx"--^ -■- ■ ^n-i d^ j
et, en développant le calcul, on verra que l'on a aussi iB„ = n ('). On retrouve ainsi le beau théorème de M. Fiichs :
Les équations différentielles linéaires et homogènes, d'ordre n et à coefficients uniformes, dont les intégrales n'ont qu'un nombre fini de points singuliers a,, a^, . . ., «p, co, et restent régulières dans (es domaines de ces points, sont de la forme
dx" l'ix)' d:^"-^ [1^1,a;)J« dx"-^ [T(3^)]" ■^'
et où les P(a.') désignent des polynômes en x de degrés marqués par les indices ou de degrés moindres.
Celle belle conclusion de l'étude des systèmes i'ég;uliers monuc que le seul cas général possédant un caractère de simplicilé est celui du sj-stème (i48) qi" provient de l'éqnatîon (147) différentielle d'ordre ji.
d'ordre n sous la forme
t déterminés par l'éqnalion
qtii est alg'ébrit[ne cl de degré n en /■.
Celle équation s'appelle, soil l'équation fondamentale délerminanle, soil Véquation caractéristique de l'équation difi'érentielle.
II est utile de connaître les principales propriétés de cette équation algébrique.
D'abord, pour former l'équalîon D(/') = o, on pourra procéder de la manière suivante. On posera y ^^ x" dans le premier membre de i'équation différeutielle, ce qui donnera l'expression
