Posons, en général
les coefficients / étant indépendants de l'indice i. Nous venons de voir que le déterminant R(e) conserve les mêmes diviseurs élémentaires quand on change le système fondamental de solutions. On a vu, d'autre part (Chap. IT, n" 33), qu'on
peut former a priori «n déterminant ajant les mêmes diviseurs élémentaires qu^ le précédent. Ce déterminant R'(e) est
Il résiiUe de là fju'on peut faire une double substitution de la forme
qui ramène à
a foi
lafo
me
Xi,X,i^...-^x^„\i,,
à la forme
3^;-iY';i-h.,.^a7;-„Y;.,„
et la forme
à la forme
Xi\ïii-^--- + ^uy:n
les j'' et les Y' étant les anciennes et les nouvelles valeurs d'éléments qui correspondent au déterminant R'(s).
Or, si l'on considère la forme de ce déterminant par rapport aux coefficients qu'on appelait l d'une manière générale, on voit qu'on a les relations impor-
=ijia
Yi,
^Sj'f'j
SYSTÈMES d'équations DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. i3t
On tire de là le théorème suivant ;
Soient (e) — t)'', ..., (sp — e)*^? les diviseurs élémentaires du déterminant E(e), et il importe peu que les binômes s, — s, ..., Sp — s soient distincts ou non, on peut trouver un ^stème fondamental de solutions dont les éléments se groupent d'après les relations
Yf3= ï/,j;i +r;i,
{z!i — E)^'i étant l'un quelconque des p diviseurs élémentaires de R. (s).
105. On peui arriver aux relations précédentes en partant d'un système fondamental quelconque de solutions, et en substituant à ses éléments d'autres éléments qui leur soient liés par des relations linéaires et homogènes indépendantes et à coefficients constants convenablement choisis.
Le chois de ces coefficients est déterminé par des procédés identiques à ceux qu'on a exposés au Chapitre 111 (n"' 68 et suivants) dans une question absolument analogue.
