Posons

les fonctions ra satisfaisant aux relatio

lorsque dans ces fonctions X varie âe w à x + i<i. On dit dans ces conditions que chaque fonction uniforme m{x) esl périodique de seconde espèce à la période oj et au multiplicateur s. Si e = i, on dit simplement que tjs^x) est périodique. On peut dire aussi que m(x) est périodique de première espèce. Toute fonction uniforme satisfaisant à la relation

peut être représentée par l'expression

où l'on a E = e'"", et où p{œ) est une fonction périodique de pre En effet, le produit e~'''-'^Ts(x) est périodique de première espèce.

l33 L. SAUVAGE.

107. Pour chaque groupe de solulions satisfalsanL aux relatio

on jjoiirra poser

absolument comme dans les n°' 80 et 81 du Chapitre IV, les différences A étant prises par rapport à l'accroissement w de x. Vérifions, en effet, que ces formules sont vraies. Nous aurons

Mais, dans le calcul de A./{œ), il faut bien remarquer que l'on a

de sorte que l'on a OU

/(^ + ^) = e[nv,(^) + (a. + a,)n„(.r) +. , .].

et, par suite, dans le calcul des i successifs de /(x), il faut changer x en x-f- m seulement en dehors des coefficients t^{x), ces coefficients étant considérés comme des constantes, et ensuite multiplier par e à chaque nouvel accroissement A.

On peut encore dire que chaque groupe de solutions peut être représenté par des expressions de la forme

rù>.

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SYSTÈMES d'iiC HATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES ET HOMOGÈNES. I 33

les fondions cp Jes seconds membres étani périodiques de première espèce, et liées entre elles par des relations qu'on déduit facilement des équations (i5a).