R = PQ

subsiste. Si, au lieu des lignes, on considère les colonnes, alors R et Q seront associés dans l'ordre de ces colonnes.

Cela posé, considérons un mineur quelconque Ryl' de R. Amenons les lignes et les colonnes qui correspondent aux combinaisons "j" ^t S dans les premiers

Hosted by

rangs. La même opération devra élre faite sur les lignes de P et les colonnes de Q et l'on aura toujours

li =-- PQ.

Il suffira donc de démontrer la formule de Cauchy dans le cas particulier représenté par la formule suivante .

(.9) lî'/ï' - Pl'f Q<A" + . . .+ PÏÏ'Q'.'?'-

Considérons un terme quelconque de R','"'. Il est dérivé du terme principal

pur des permutations effectuées sur les seconds indices. Il sera donc de la forme

Son développement renfermera donc toutes les combinaisons

(A) /■'l[i,-'-/'"-P™?«,ïi-'-?ïn.ï,.,

où ^1 . . . Pnii Yi ■ ■ ■ '(m sont des combinaisons quelconques de m des indices i, a, . . ., n.

Gela posé, E.'"J' est un déterminant, c'est-à-dire une fonction qui changée de signe quand on change !a parité de l'une des suites des indices de ses termes. Il faut donc que toutes les combinaisons A soient précédées d'un signe conforme à la loi de leurs indices. Mais alors, en raisonnant comme pour la règle de Laplace, on pourra démontrer la formule

R\"l> = Sdz S(/>,.^, . . ■Pi„,\i,„)S{q^,r(. ■ ■ ■ ?«™,ï„.),

ou encore, en revenant aux notations adoptées,

H(m) ^ p,mi Qim) -,. ;. ..f, IHm, Qi«;l

139. Il no.us reste à démontrer que le déterminant SJf" est une puissance de P. M. Francke i'a démontré d'abord par une méthode directe. Ensuite, M, Borchardt, dans une Note ajoutée au Mémoire de M. Francke, a obtenu d'une manière presque immédiate ce théorème important en s'appuyant sur la remarque suivante facile à démontrer : l'expression entière el rationnelle

Hosted by

SYSTÈMES 1> ÉQUATIONS BlfFÉISENTlELLES LINÉAIRES ET HOMOGENES. ^-J-)

n'a pour diviseurs entiers et rallonnels que des expressions de la forme

\(A.,x,-i-...-hA.„^„)V- (,u = o, i,a, ..., A);

01- c'esl le cas ciii dcEerminani P'f, où l'on peut appeler a;, ,..., ^„ les éléments d'une même îîgne on d'une même colonne.

Cela posé, la relation

établie parCauciiy, montre que S^"" est un diviseur de ï'" et, déplus, un diviseur entier et rationne!. Il faut done que l'on ait

On trouve l'acilenicnt 1 csposanl [x et la constante X := i , en cîierchant d'u part la dimension de S^"' par rapport à une lettre quelconque du déterminant et, d'autre part, en supposant P réduit à sa diagonale principale.

176 r. SAUVAGE. — SYSTEMES d'ÉQUATIOKS DIFFÉTlENTIEI.l.KS, ETC.