S III

Lorsque l’on a deux axes A et A, non situés dans un même plan, et une courbe y qui, en tournant autour de l’axe A, engendre une surface de révolution A, et qui en tournant autour de l’axe A, engendre une

seconde surface de révolution A, , un point x de la courbe y engendre sur la surlace A uu cercle C, et sur la surface A, un second cercle C,. Or ces deux cercles C et G, sc croisent au point x, soit que les deux surfaces A et A, se touchent l’une l'autre, suivant la courbe y, soit que ces deux surfaces A et A, se coupent suivant cette courbe y.

Si Ion trace sur lu surface A une courbe 6, en faisant tourner les deux surfaces A et A, respectivement autour des axes A et A, , on sait que si la courbe y appartient à la surface 2, lieu des points de l’espace dont les distances aux axes A et A, sont dans un rapport constant ; on sait (t), dis-je, que la courbe S laissera pour empreinte sur la surface A, une courbe Ê, telle que les deux courbes ë et S, rouleront l’une sur I autre pendant le mouvement de rotation : mais ces deux courbes 6 et ë, auront en chacun des points successifs par lesquels elles se mettent en contact, des tangentes distinctes; et cela aura lieu, que la courbe y soit une ligne de coutact, ou une ligne d’intersection par rapport aux surfaces A et A, ; cela aura lieu parce que les cercles C et C, se croisent. Mais si les cercles C et C, se touchaient et avaient une tangente commune au lieu d’avoir deux tangentes distinctes, les courbes ê et ë, auraient aussi en chacun de leurs points successifs de contact une tangente commune.

Si pour chacun des points de la courbe y les cercles C et C, ont une tangente commune, la courbe y sera évidemment une ligne de eontact entre les surfaces A et A,, mais alors il faudra que la courbe y soit telle que si l’on fait mouvoir une droite G sur les axes A et A, et sur cette courbe y, chacune des génératrices G soit normale à cette même courbe y.

Et comme, lorsque les axes A et A, ne sont pas situés dans un meme plan , les cercles C et G, se croisent toujours ; ce ne sera, donc , que pour des positions spéciales des axes A et A, que ces cercles G et C, pourront être tangents l’un à l’autre. Or, lorsque les axes A et A, sont situés dans un même plan Y, et que la courbe y est tracée dans ce plan Y, toutes les normales de y s'appuient sur les deux droites A et A, , et la condition énoncée ci-dessus se trouve remplie.

(i) Voir mes Mémoires sur les Engrenages de Withe publies dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées , t* IV et V.

Il suffit donc de prendre pour y une courbe telle que les distances de chacun de ses points aux axes A et A, soient dans un rapport constant, pour que les courbes ë et ë, roulent l’une sur l'autre : or, d’après ce qui a été dit ci-dessus, la surface 2 étant un cylindre elliptique dans le cas des axes parallèles, et un cône non de révolution dans le cas où les axes se coupent ; la ligne y sera une droite parallèle aux axes A et A, dans le premier cas, et une droite passant par le point en lequel se coupent les axes A et A, dans le second cas; et dès lors dans le premier cas les surfaces A et A, seront deux cylindres de révolution tangents l'un à l’autre suivant la droite y, et dans le second cas les surfaces A et A, seront deux cônes de révolution tangents l’un à l’autre suivant la droite y.

Ainsi les courbes ë et ê, ne pourront avoir même tangente en leurs points successifs de contact que;, t° lorsque les axes A et A, seront dans un même plan Y ; et 2 “ lorsque les surfaces A et A, seront engendrées par la droite y, intersection du plan Y et de la surface 2.

Ainsi le frottement de roulement ilircct n’existera que dans ces deux cas, et dans tous les autres le frottement sera de roulement nnjulnirc.

Lorsque les courbes é et ë, ont même tangente 0 en chacun de leurs pointsdes contacts successifs, la construction des surfaces-canaux R et B, peut varier à l'infini, parce que l’on peut mener par la droite 6 un plan quelconque T, et par le point x, contact des courbes ë et ê,, mener une droite N perpendiculaire au plan T, et construire deux courbes <J et ayant le point x pour point commun et la droite N pour normale commune; dès lors d et d, engendreront deux surfaces B et B, qui auront bien an point .r le plan T pour plan tangent commun. Mai* lorsque les courbes ë et ë, ont des tangentes différentes 5 et 5, en ce point jr, alors le plan T est invariablement déterminé, car il doit passer par les tangentes 5 et 0 , , et dès lors la droite N est aussi invariablement déterminée.

Mais si l’on peut donner au plan T une infinité de positions (forsque les courbes ë et ë, ont même tangente 6), on doit faire remarquer, cependant, qu'il existe une position que l'on ne peut attribuer au plan T, parce que l’engrenage ne pourrait exister.

Cette position est celle où le plan T serait perpendiculaire à la droite G„ qui , passant par le point .r et s’appuyant sur les deux axes A cl A, ,

serait normale à la limite de contact y; car il est évident que dans ce cas les surfaces-canaux B et B, échapperaient l'une à l’autre, pendant le mouvement de rotation des axes A et A,, et à la façon de deux cercles tangents l'un à l'autre.

C’est par cette même raison que, lorsque les axes A et A, ne sont pas situés dans un même plan, ou ne doit pas prendre pour la ligne y une ligne telle que les deux surfaces A et A, soient tangentes l'une à l'autre suivant cette ligne y,, car alors le plan T, déterminé par les tangentes 0 et 0, des courbes ë et 6,, serait tangent en même temps aux deux surfaces A et A,, et serait dès lors perpendiculaire à la droite G qui est normale à la ligne y et s'appuie sur les axes A et A, ; et alors l'engrenage ne pourrait subsister, en ce sens que les surfaces-canaux B et B, échapperaient l’une à l'autre pendant le mouvement de rotation.

Cette flücussion nous démontre donc que, pour la théorie des engrenages à frottement de roulement , la solution du problème suivant est sans intérêt.

Déterminer Li courbe y qui , tracée sur la surface 2 lieu des points de I espace dont les distances à deux axes A et A, sont dans un rapftort constant , engendrera deux surfaces de révolution A et A, ayant respectivement futur axes les droites A et A,, et telles quelles soient en contact parcelle courbe génératrice y.

Puisqu'on ne devra jamais employer cette courbe y toute particulière de la surface 2, lorsqu'il s'agira de construire un engrenage destiné à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes non situés dans un même plan.

Il y a longtemps, eu iNiij, lorsque jetais a l'iieole d Application de Metz, j’ai résolu le problème que je viens d'énoncer, pour les sept cas que nous avons examinés ci-dessus, § 11. Dans ces sept cas, j'ai pu intégrer 1 équation différentielle à laquelle ou arrive et qui est du premier ordre et du quatrième degré, mais dans le cas où l’on suppose que les quantités n, a et b sont quelconques, je n'ai pu parvenir à intégrer cette équation.

( n5 ) § IV.

A la fin du chapitre III j'ai dit que j'examinerais en détail, dans le chapitre IV, § IV, ce qui était relatif au frottement de mes uouveaux engrenages (obtenus en taillant l’une des roues par une vis, et I autre roue par l’écrou de cette vis), et que je compléterais, alors, ce que je venais d’exposer sur ce sujet.

Et en effet, je ne pouvais complètement traiter la question du frottement pour ces nouveaux engrenages, qn après avoir établi les différences géométriques qui existent entre les frottements de roulement et de gtis.-rment, soit direct, soit angulaire.

Lorsque Y enveloppée est un plan P, les deux surfaces enveloppes 'è et 4\ qui forment les surfaces de deux dents en contact, viennent se mettre successivement en contact par des points qui déterminent une droite §, telle, ai-je dit, quelle n’était point située sur l’hyperholoïde lieu des poiuts de l’espace dont les distances aux deux axes A et A, de l’engrenage, sont dans un rapport constant et inverse de celui des vitesses décès axes.

Nous pouvons maintenant résoudre complètement cette question.

Les équations de la droite | sont fonction des coefficients A et II qui déterminent la direction de l 'enveloppée P dans l’espace, puisque l’équation de cette enveloppée est

z — A.» + Rv •+• C;

I équation de l’hyperboloide est du second degré.

Si donc la droite | peut être située sur l’hypcrboloïde, il faudra qu en éliminant x et y entre les équations de f et l’équation de l’hyperbololde , on trouve une équation en 2 qui soit satisfaite quel que soit i.

Or cette équation finale sera du second degré en z et de la forme

K , , K , , K 0 étant des fonctions des coefficients A et B.

On devra donc poser les trois équations de condition

On a donc trois équations de condition pour déterminer les coefficients A et B; ces coefficients ne pourraient donc avoir que des valeurs particulières. Et dés lors le plan P ne pourrait avoir dans l’espace que certaines directions P„ P a ,P., -., et en nombre fini.

Si donc ou suppose que Yenueloppée, au lieu d'être un plan, est une surface (comine la surface d’un filet de vis ou d'écrou), on devra mener à cette surface des plans tangents parallèles aux directions P,, P, , P„... Mais on sait que l’on ne peut mener à une surface qu'un certain nombre de plan tangents parallèles à un plan donné de direction dans l’espace. Dès lors on aura

Les plans tangents

et ainsi de suite.

T), ...(en nombre fini) parallèles au plan P lt

Les points de contact de ces plans tangents et de la surface enveloppée devront, pendant le mouvement de cette enveloppée en ligne droite, venir passer sur la courbe | , lieu des points des contacts successifs des surfaces enveloppes ‘1> et <l>, ; et comme ces points sont eu nombre fini , on voit qu'il n’y aura qu'un certain nombre de points de la courbe é, qui se trouveront situés sur l'hyperboloïdc, lieu des points de l’espace dont les distances aux axes A et A, sont dans nu rapport constant.

Ainsi , il est bien démontré que le frottement est de i/lissement dans mes •nouveaux engrenages, et qu’il ne peut y avoir tendance au frottement de roulement que pour certaines positions des dents en contact.

Nous pouvons donc affirmer que si l’on a construit la courbe |, lieu des contacts successifs de deux dents en prise, la tendance au frottement de roulement n’existera que pour les points en lesquels cette courbe | percera l'hypcrboloïde, lieu des points de l’espace dont les distances aux axes A et A, sont daus un rapport constant Et alors il arrivera que si avant un de ces points les surfaces <P et <I>, sont telles que 't> glisse sur <J> ( , apres ce point, ce sera 4', qui glissera sur 4>.

J’ai dit, ci- dessus, que, eu vertu des équations K, = o, K, =o, K„ =o, on aurait un nombre fini de directions F,, P,, P,, pour l'enveloppée P, et je u ai point cherché le nombre des directions possibles. Pour obtenir

ce nombre, il aurait fallu résoudre les équations; mais il est facile de démontrer, par des considérations géométriques, que jamais la droite £ ne pourra être située sur l'Iiyperboloïde, lieu des points de l'espace dont les distances aux axes A et A, sont dans un rapport constant.

Et en effet, supposons que la droite £ est située sur l byperboloïde; on sait que l 'enveloppée plane P sera perpendiculaire à la droite £. En faisant tourner la droite £ autour de l'axe A, ou aura un byperboloide tle révolution A, et la courbe S qui, tracée sur A, viendra successivement passer par les divers points de £, sera une développante hyperboloïdique.

Or, l’enveloppe du plan P est une héliçoide développable <l>, dont l'arête de rebroussement est tracée sur un cylindre de révolution H ayant pour axe l’axe A; il faudra donc, si en effet la droite £ peut être située sur l’hyperboloïde, que la surface <t> contienne la courbe ê, et c’est ce qui ne peut avoir lieu.

Et en effet, pour que cela fût, il faudrait que l’on pût mener par des points équidistants et situés sur la droite £ des plans tangents au cylindre H comprenant entre eux des angles égaux, et il est évident que cela est impossible.

Ainsi, il est bien démontré que le frottement est de glissement dans mes nouveaux engrenages, dont la théorie a été exposée dans le chapitre 111 , et que le frottement ne peut avoir une tendance au roulement qu'en les points où la courbe £ perce l'hyperboloide , lieu des points de l'espace dont les distances aux axes A et A, de l'engrenage sont dans un rapport constant et inverse de celui des vitesses de ces axes.