CHAPITRE Y

Mouvement de la chaleur à la surface iCun corps de forme quelconque.

(64). Indépendamment de l’équation (7) du n° 49 , commune à tous les points du corps A, solide ou liquide, homogène ou hétérogène, il en existe une autre qui 11’a lieu que pour les points de sa surface, ou, plus exactement, pour les points situés à une profondeur très petite, mais néanmoins plus grande que l’étendue l du rayonnement intérieur, augmentée de l’épaisseur de la couche superficielle d’où émane et où est absorbée la chaleur rayonnante proprement dite (n* »8). On doit distinguer cette épaisseur et cette étendue l’une de l’autre, ainsi qu'on l’a dit à la fin du n“ 4*> parce que la loi des températures, et, par suite, celle de l’absorption de la chaleur, ne sont pas les mêmes dans l’intérieur et pi ès de la surface d'un corps qui s’échauffe ou sc refroidit.

A une distance de la surface moindre que l’épaisseur de la couche superficielle, les variations de chaleur d’une partie matérielle de grandeur insensible, provenant des échanges, soit avec les parties environnantes du même corps, soit avec celles des corps voisins et de l’air environnant , ne sont plus exprimées par des intégrales entières , c’est-à-dire , par des intégrales relatives aux distances , que l’on puisse étendre depuis zéro jusqu’à l’infini, comme dans l’intérieur. Pour cette raison, la température varie très rapidement près de la surface dans le sens normal , et peut être très différente à la surface même et à une très petite profondeur. La loi de cette variation n’est pas déterminée; l’expérience ne nous la fait pas connaître; mais elle confirme la différence indiquée par la théorie, entre cette variation et celle qui a lieu en dehors de la couche superficielle (n* 4 >)* Heureuse-

ment l’équation qu’il s'agit d’obtenir est indépendante des lois inconnues de l'absorption de la chaleur et de la température dans l'épaisseur de cette couche.

. (65). Soit M un point de A 1res voisin de sa surface ; appelons .r , y, z, les trois coordonnées rectangulaires de M; et désignons par u la température de A qui répond à ce point au bout du temps quelconque t. Du point M , abaissons sur la surface de A une perpendiculaire qui la rencontre au point 0 ( fig. 1 3 ) ; et soit h la longueur de MO, que nous supposerons extrêmement petite, mais de grandeur sensible, et dont nous fixerons plus bas la limite. Par le point O , menons un plan tangent à la surface de A , et par le point M, un plan parallèle au premier. Ce plan divisera A en deux parties que nous appellerons B et B'; et la partie B', qui comprend la perpendiculaire MO, sera un très petit segment, ayant pour flèche cette droite MO. Soit en l’élément de ce même plan, de grandeur insensible et qui comprend le point M. Appelons C le .cylindre perpendiculaire à B, contenu dans B', dont la base, la hauteur, le volume, sont a, h, ah, et qui interceptera sur la surface de" A un élément comprenant le point 0, que l’on pourra regarder comme appartenant aussi à ce plan tangent et comme égal à a.

Je représenterai par il adt l’augmentation de chaleur de C pendant l’instant dt , provenant des échanges entre C et les parties de B, et par Aaw* celle qui provient des échanges entre C et les parties de B'. Je désignerai de meme par Tadt, la diminution instantanée de chaleur de C , due au rayonnement extérieur, c’est-à-dire , l’excès de la chaleur que tous les points de C émettent pendant l’instant dt , et qui atteint et traverse la surface de A, sur la chaleur venue du dehors, qui traverse cette surface, atteint ensuite C , et est absorbée par cette partie de B'. L’augmentation de chaleur de C pendant le même instant dt , sera alors

Cladt -f- ùkCùdt — F:, dt .

D’un autre côté, si l’on appelle c la chaleur spécifique moyenne deC, et jet la plus grande valeur de la vitesse B (n’ 44) <lu‘ aura Hea , au bout du temps t, dans toute l’étendue de ce cylindre, son augmentation de chaleur sera moindre que c/jumhdt ; par conséquent, la quan-

DE LA CHALEUR. lai

tité fl -J- A — T, abstraction faite du signe, devra être plus petite que c/J-h. Or, quelles que soient les températures inconnues des points de C , nous admettrons que les vitesses de leurs variations ne sont pas extrêmement grandes, sauf un cas d’exception dont il sera question plus bas. Nous pourrons donc négliger le produit CfJ.li , à cause de l’extrême petitesse de son facteur h ; et nous aurons , en conséquence ,

fl -f A = r; (.)

équation d'où l’on déduira celle qu'il s’agit d’obtenir, en y substituant les valeurs de fl, A, T.

(66). La première de ces trois quantités a déjà été déterminée ; on prouvera que la deuxième peut être négligée; et quant à la troisième , elle est équivalente , comme on va aussi le démontrer , au flux de chaleur rapporté aux unités de temps et de surface , qui a lieu du dedans au dehors de A , et qui répond au point 0 de sa surface.

t“. D’après ce qu’on a vu dans le n* 57, et en vertu de la formule (i3) du n* 5g, on a

k désignant la conductibilité de la matière de A qui répond au point M , et a, S , y , étant les angles que fait le prolongement extérieur ON de b normale MO avec des parallèles aux axes des x , y , z, menées par le point O. Mais cette formule suppose que dans toute l’étendue des échanges de chaleur entre les parties de C et celles de U , on a pu développer l’expression de la température en série convergente , ordonnée suivant les puissances des coordonnées dont l’origine est au poiut M ; ce qui exige que dans toute cette étendue la température ne varie pas très rapidement ; et pour satisfaire à cette condition, il faudra que la hauteur h de C surpasse la ligne L du u° 45, de toute l’épaisseur de la couche superficielle dans laquelle la température varie très rapidement, et qui a été désignée par e dans le n° 18. Nous admettrons que cela puisse avoir lieu, sans que la distance h ou MO do point M à la surface de A , cesse d’être extrêmement petite, comme nous l’avons supposée.

laa THÉORIE MATHÉMATIQUE

a*. Soient M' et M, des points de B' très voisins l’un de l'autre, et dont le premier appartient à la normale MO. Abaissons de M, la perpendiculaire M(0, sur le plan tangent en O , et faisons

Menons aussi par les points M( et M' des parallèles M,M" et M'M,( à ce plan tangent, qui coupent en M"et M(J les perpendiculaires MO et M(0#. Soient ni, m", mt , mn, des parties matérielles de grandeur insensible, qui répondent à ces quatre points M', M", M, , M/( ; soient u', u", ,

leurs températures au bout du temps t. Les points M' et M() étant très rapprochés l’un de l’autre, et pouvant être considérés comme également éloignés de la surface de A , on aura, à très peu près, u' — w j il en sera de même à l'égard des points M" et M, , pour lesquels on aura aussi u" — u,. Si donc on suppose , de plus , les masses m' et m,( égales, ainsi que m" et mt, tout sera semblable dans le couple m( et ni, et dans le couple mh et m" ; par conséquent, l’échange de chaleur entre ml et ni sera le même qu’entre nt" et mu, soit qu’il ait lieu directement, soit qu’il se fasse par une réflexion intérieure sur la surface de A. Il suit de là que si la chaleur de ni est augmentée par l’écbange avec m,, la chaleur de m/( sera augmentée de la même quantité par l’échange avec m", et t conséquemment, celle de ni' éprouvera en même temps une diminution égale à cette augmentation. Ainsi, les variations de chaleur de ni et ni', provenant des échanges avec m, et mh, étant toujours égales et de signes contraires, la chaleur de C n’en sera point altérée; et comme cette conclusion convient également à tous les couples de parties matérielles de C et R', il en résulte que la quantité A , provenant de tous les échanges entre C et B', sera égale à zéro.

3*. Après avoir tiré la droite Mn0; menons par le point M' une parallèle M'O' à cette ligne, qui rencontre au point 0' la surface de A , et soit ai' l'élément de cette surface qui répond à 0’. La chaleur émise au dehors par la partie m, à travers l'élément ta, correspondant au point 0, sera égale à celle qui émane de ni à travers le second élément u! ; car il est évident que tout est semblable dans les deux cas ; les parties mn et m' étant celles que l’on a considérées tout à l’heure ,

DE LA CHALEUR. ia5

qui sont égales et également éloignées de la surface , et les distances M'O' et M(J0 pouvant être regardées comme égales , vu que le point O' ne s’écarte pas sensiblement du plan tangent en O. La même chose ayant lieu pour toutes les parties de C et dcB', prises deux à deux, ou en conclut que la chaleur émise au dehors par toutes les parties de B', à travers un seul élément te de la surface de A , est équivalente à la chaleur émise à travers tous les élémens de cette surface , par une seule portion C de B'; et comme cette conclusion convient aussi aux quantités de chaleur qui traversent la surface de A , de dehors en dedans , il s’ensuit que le flux total de chaleur qui a lieu à chaque instant à travers l’élément ou , est égal à celui que l’on a désigné plus haut par Tudt\ égalité pareille à celle de deux semblables quantités , à laquelle le calcul nous a conduits dans les n°‘ S-j et 58.

(67). Dans ce flux de chaleur à travers en, on comprend ici, nonseulement la chaleur rayonnante proprement dite , qui traverse cet élément suivant toutes les directions du dedans au dehors et du dehors eu dedans , mais encore la chaleur communiquée ou enlevée à A à travers ce même élément, par la couche <l’air très mince en contact avec ce corps (n* 3g). La valeur complète de T dépendra de diverses circonstances qui auront lieu autour de A, ainsi qu’on l’a vu dans les chapitres II et 111 ; mais on pourra toujours la représenter par

p étant un coefficient positif, et Ç une température positive ou négative, qui sera la valeur de u pour laquelle le flux de chaleur serait nul. Sans la définir autrement , nous l’appellerons, en général , la température extérieure. Elle pourra varier avec la position du point 0 auquel T se rapporte ; elle pourra aussi varier avec le temps; en sorte que Ç sera une fonction de t et des trois coordonnées de ce point 0, qui devra être donnée dans chaque exemple. Il en sera de même à l’égard du coefficient p, qui variera d’un point à un autre avec l’état de la surface, et qui pourra aussi dépendre des températures «et Ç : dans chaque cas, ce coefficient devra être donné en fonction de u, de Ç et des trois coordonnées du point 0 ; mais si les températures u et Ç ne sont pas très élevées, on pourra supposer que la valeur p en est indépendante.

îa4 théorie mathématique

Cela posé , si l’on substitue cette valeur de T et celle de Cl du numéro précédent, dans l’équation ( i ) , et qu’on y fasse à = o, nous aurons

cos“+ÿ co*e+^ cas>)-t-A>(« — Ç) = o, (a)

pour l’équation relative à la surface qu’il s’agissait d’obtenir.

Rigoureusement , elle appartient, d’après la manière dont elle a été formée, au point M de A et non au point 0 de sa surface même ; mais après que l’on aura déterminé la valeur de u en fonction des coordonnées .r, jr, z, et du temps t, qui satisfait à l’équation (7) du n“ 49 > relative aux points intérieurs de A , on pourra en employant cette valeur dans lcquation (a), y mettre pour x, y , z, les coordonnées de O au lieu de celles de M, à cause de l'extrême proximité de ces deux points.

(68). Il faut aussi remarquer que quand on place le corps A dans un milieu dont la température est plus grande ou plus petite que celle des points voisins de sa surface, l'équation (a) n’a pas lieu dans les premiers montons de réchauffement ou du refroidissement de ce corps; car à cette époque, les températures de tous les points sont données tout-à-fait arbitrairement, et par conséquent , la valeur initiale de u, en fonction de x, y, z, ne satisfait pas, en général, à l'équation (a). Cependant la quantité Â est toujours nulle, d'après la démonstration du n*66; ce sont donc les flux de chaleur T et fl, relatifs aux deux extrémités de C.qui 11e sont pas égaux pendant un certain intervalle de temps ; ce qui exige que la vitesse des variations de température soit d’abord extrêmement grande, dans l’étendue de ce cylindre, dont on a supposé la longueur extrêmement petite. Or, on peut admettre qu’en vertu de cette grande vitesse, le cylindre C parvient bientôt h un état où les deux flux extrêmes de chaleur sont égaux et où l’équation (*) commence , par conséquent , à exister. On peut aussi supposer que pendant l'intervalle de temps, sans doute très court, mais nécessaire pour que cette égalité s’établisse , les températures des points intérieurs de A ne changent pas sensiblement; d’où il résulte que si l’on compte le temps t k partir de la fin de cet intervalle , on pourra, sans erreur sensible, prendre pour la valeur de u qui répond

DE LA CHALEUR. ia5

à / = o, l’expression initiale et donnée de u en fonction de1,*, y, z. C’est sur cette supposition qu’est fondée, dans chaque question particulière , la détermination au moyen de l’état initial de A , des constantes ou des fonctions arbitraires contenues dans la valeur de n en fonction de t,x,y,z, qui satisfait à l'équation (7) du n° 4g et à l’équation (2), quoique celle-ci n’ait pas lieu pour cet état même.

Cette équation (2) est encore susceptible d’une autre restriction. A quelque époque que ce soit, elle n’est point applicable à un point U, pour lequel ou près duquel la courbure de la surface de A est extrêmement grande, de sorte qu’entre les points 0 et 0', par exemple, les rayons de courbure soient extrêmement petits, et comparables à la distance MO ; car alors les distances M'O' et M"0 ne seraient plus sensiblement égales, elles points M' etM/(, M( etM", également éloignés du plan tangent en 0 , ne pourraient plus être regardés comme également éloignés de la surface ; ce qui met en défaut la démonstration du n* 66 et ne permet plus d’admettre l’équation (2) qui en était la conséquence. 11 en résulte que si A est un polyèdre, un cylindre, ou un cùne, on ne pourra pas supposer que l’équation (a) ait lieu près de ses arêtes, du contour de sa base, ou de son sommet, et l’on ne devra l’employer qu a des distances de ces parties saillantes , plus grandes que la ligne désiguée précédemment par h.

(69). L’équation générale relative à la surface d’un corps de forme quelconque, c’est-à-dire l’équation (a), sous les restrictions qu’on vient d’expliquer, a été démontrée , pour la première fois , dans mes Mémoires sur la Distribution de la Cbcdeur dans les corps solides. Auparavant, on l’avait donnée pour l’extrémité d’une barre, et pour une surface sphérique dans le cas particulier où la température de la sphère est la même en tout sens, à égale distance du centre ; puis ou l’avait étendue, par induction, à un corps de forme quelconque, échauffé aussi d’une manière quelconque. Les géomètres qui ont ensuite cherché à la démontrer généralement, ont pris pour l’expression du flux de chaleur à travers chaque élément de la surface extérieure, celle que l’on a trouvée pour l’élément d’une surface située dans l’intérieur, et qui dépend de l’accroissement de la température dans le sens normal à celte surface et dans une épaisseur infiniment petite, divisé par cette épaisseur (n* 5a); expression qu’ils ont égalée immc-

ia6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

diatement au flux de chaleur donné par l’expérience et supposé proportionnel à la différence des températures extérieure et intérieure; ce qui les a dispensés d'avoir égard au cylindre normal que j’ai désigné par C. Mais l'expression du flux de chaleur qui dépend du coefficient différentiel de la température ne convient qu’à un élément de surface intérieure, et nullement à la surface extérieure; car elle suppose que ce flux provient des échanges entre deux parties contiguës du corps A, dans une étendue où sa matière et sa température sont très peu variables, tandis que le flux de chaleur à travers un clément de la surface extérieure , résulte des échanges entre les molécules de ce corps et celles du milieu dans lequel il est placé, ou même celles d'autres corps plus ou moins éloignes. Le flux extérieur n'a pas d’autre expression que celle qui dépend de la différence de grandeur finie, entre les deux températures, l’une extérieure et l’autre intérieure ; et pour former l'équation du mouvement de la chaleur à la surface d’un corps de forme quelconque , il faut prouver, comme je l’ai fait par l’intermédiaire du cylindre uormal C, que ce flnx est constamment égal à celui qui a lieu à l’extrémité intérieure de cecylindre, sauf l’exception relative aux températures initiales et aux premiers momens du refroidissement.

(70). Si le corps A est formé de deux parties juxtaposées, solides ou liquides, le flux de chaleur à travers chaque élément de leur surface de séparation, proviendra des échanges entre leurs molécules très voisines de cet élément ; et il en résultera , pour le mouvement de la chaleur, de chaque partie dans l’autre, une équation analogue à la précédente; ce qui fournira deux équations relatives à cette surface, que l’on obtiendra de la manière suivante.

Appelons B et B' ces deux parties de A ; appelons aussi M un point de B, M' un point de B', 0 un point de la surface de séparation, situés, tous les trois, sur une normale en 0 à cette surface. Supposons chacune des distances MO et M'O plus grande que l'étendue du rayonnement intérieur dans la partie de A à laquelle elle appartient, augmentée de l’épaisseur de la couche superficielle de la même partie , ou la température peut varier très rapidement. Au bout du temps l , soient u et u' les températures qui répondent aux points M et M'. Nous pourrons représenter le flux de chaleur qui a lieu pendant l’ins-

tant dl, à travers 1 clément a> de la surface de séparation de B et B', correspondant au point 0, par q(u — u') adt, de B dans B', et conséquemment, par — q(u — u')t»dt, de B' dans B; le coefficient q étant une quantité positive, dépendante de la matière de B et de celle de B', qui pourra aussi être une fonction symétrique de u et u'.

Cela posé, l’équation (1) et les démonstrations du n° (56 s’appliqueront, d’une part, à B et au cylindre normal dont la base est ai et la hauteur MO, et d’une autre part, à B' et an cylindre normal, qui a la même base a > et M'O pour hauteur; et l’on en conclura ces deux équations :

* (Êcosa + tc°S Ç + S cos >) ' + « = °'j. 3)

*'(ècos“ +Scos & + ms y) +<}(.“— «0=°* j

qui sont celles qu’il s'agissait d'obtenir. Les quantités k et k' sont ici les mesures de la conductibilité des matières de B et de B' aux points M et M'; les angles ci, 6, y, sont ceux que fait la partie M'O de la normale MOM', avec des parallèles aux axes des-r,^-, z, menées par le point 0 : les valeurs de « et u! en fonctions de t et des coordonnées d’un point quelconque, se déduiront de l’équation (7) du n* 4g, appliquée successivement à B et à B', et l’on y mettra ensuite pour ces coordonnées x, y, z, celles du point 0 de la surface de séparation.

Ces équations (3)se déduisent l’une de l’autre, comme cela doitétre, par la permutation des lettres u et u', k et k1 , et en changeant les angles a. S, y, dans leurs supplémens. Quand les parties B et B' auxquelles elles se rapportent, sont de la même matière, on aura k ’ — k; on fera aussi u’ — u, dans la partie multipliée par k ou k1 ; et l’on prendra toujours, pour la partie q (u — u'), le flux de chaleur rapporté aux unités de temps et de surface, à travers l’élément ut de la surface de B; ce qui réduira ces deux équations à une seule, qui coïncidera, comme cela devait aussi arriver, avec l’équation (i3) du n* 5g, relative à un point intérieur de A. Si ce corps se réduit à sa partie B, et qu’on remplace B' parle milieu extérieur dans lequel A est placé, on Supprimera la seconde équation (3), et l’on mettra dans la première p et J à la place de q et u’ , ce qui

la fera coïncider avec l’équation (2) qui répond à la surface extérieure.

Dans tous les cas, on se souviendra que ces équations (3) n’ont pas lieu pour les températures initiales et données arbitrairement, de R et B' ; elles n’existent qu’après un intervalle de temps qu’on suppose très court, et dont 011 pourra faire abstraction dans les usages auxquels on les emploiera. On n’oubliera pas non plus quelles ne sont point applicables aux points de la surface de séparation de B et W , s’il en existe, pour lesquels ou près desquels la courbure est extrêmement petite, de sorte que les rayons de courbure y soient très petits et comparables à l’étendue du rayonnement intérieur; elles n’ont lieu qu’à des distances de ces points particuliers, plus grandes que cette même étendue.