OU

La fonction F« étant la même pour tous les corps, ce ne sera donc qu’à raison du facteur ou c, que la conductibilité k pourra

varier d’un corps à un autre pour une même température. Si f ,, q„ k„ sont la densité, le pouvoir absorbant et la conductibilité d’un second corps, différent de A, on ajira , à égalité de température,

équation qui fera connaître le rapport ^ des pouvoirs absorbans ,

lorsque celui des conductibilités aura été déterminé par l’expérience , et que le rapport des densités sera donné.

(56). D’après la valeur de F« qu’on a trouvée dans le n° a6,

on a

f/F u d.fiu

du & du *

g étant une quantité de chaleur inconnue et commune à tous les corps, et p le nombre constant 1,0077. Éa valeur précédente de k deviendra donc

io3

au moyeu de quoi celle de T qui est donnée par l'équation ( i a) , prendra la forme :

Dans un corps solide ou liquide , la ligne t est très petite (n° il); en désignant par v la température qui a lieu sur la normale MiN', à la distance ^ c de M , on pourra donc remplacer, avec une approximation suffisante , cette valeur de T par celle-ci :

afin de la rendre plus facilement comparable à celle du flux de chaleur qui a lieu à la surface de A. Pour des températures u et £ du corps et de l’enceinte où il est place, l’expression de cet autre flux de chaleur est, en effet (n° 26),

r = ng(nu -

n étant un nombre abstrait déterminé par la formule n = - I ' st (1 — <p) cos 0 sin 0t/0.

Ol J a

Si donc on représente par X Ie rapport de la première valeur de T à la seconde, on aura

Or, la température t> différant extrêmement peu de u, tandis que u peut différer beaucoup de Ç, il faut donc que n soit une fraction extrêmement petite, sans quoi le flux intérieur serait toujours incomparablement moindre que le flux extérieur, ce qui n’a certainement pas lieu.

Pour satisfaire à cette condition, il est nécessaire et il suffit que l’inconnue p, contenue dans la valeur de n, et qui tient à la variation rapide de la température dans la couche superficielle de A (n* 2 1 ), soit très peu différente de l'unité ; ce qui montre de nouveau la nécessité d’avoir égard à cette variation rapide de température, près de la surface des corps qui s’échauffent ou se refroidissent. Dans la très

io4 THÉORIE MATHÉMATIQUE

petite épaisseur de la couche superficielle qui émet et absorbe la chaleur rayonnante, si la température variait très peu, comme à l'intérieur dans une égale épaisseur, on aurait <p — o; la surface étant supposée entièrement perméable à la chaleur ou dépourvue de réflexibilitc, le facteur a serait l’unité; la plus grande valeur de.n serait donc

« = -/** cos 0 sin bit — ; a / o 4’

ce qui rendrait celle de X tout-à-fait inadmissible.

La quantité n étant donc une très petite fraction, à cause du facteur i — <p très peu différent de l’unité, il faut cependant que le (Jux extérieur dont n est un facteur, ne devienne pas aussi extrêmement petit; et pour cela, il est nécessaire et il suffit que son autre facteur constant g soit une très grande quantité de chaleur. Ainsi, la considération des deux quantités <p et g est indispensable pour accorder entre elles les expressions des deux flux de chaleur qui ont lieu dans l’intérieur et à la surface d’un corps, dont l’un résulte d’une très petite différence « — v de température, l’autre d’une différence u — Ç, incomparablement plu* grande en général, et qui doivent avoir néanmoins des valeurs du même ordre de grandeur.

L’expérience ne détermine pas séparément les deux facteurs n et g du pouvoir rayonnant ng ou A (n° ad): n est très petit et variable, g est constant et tris grand, et leur produit peut être en conséquence tout ce que l’expérience donnera dans chaque cas pour la valeur de A.

( 57 ). Nous pouvons encore considérer sous un point de vue différent de celui qui nous a conduit à l’équation (13), la communication de la chaleur entres les deux parties contiguës B et B' du corps A.

Pour cela , élevons en dehors de B un cylindre perpendiculaire à la surface commune de ces deux parties, et ayant pour base l’élément co de cette sjirface, qui répond au point M situé, comme précédemment, à une distance de la surface de A plus grande que l. On pou na représenter, pendant l’instant dt, par Ornât l’excès de b chaleur émanée de B et absorbée parce cylindre, sur la chaleur émanée de ce même cylindre et absorbée par B. La question qu’il s'agit maintenant de résoudre consiste à déterminer le coefficient £1, dont la va?

. DE LA CHALEUR. ,o5

leur coïncidera, comme on va le voir, avec celle de T qu’ou a trouvée plus haut. '

Désignons toujours au bout du temps t, par u, et u! , les températures des parties ni, et /n.' qui répondent au point M, et M' de B et B', et par u celle qui répond au point M de la surface de séparation ; supposons actuellement que M' (lig. 1 1) soit situé sur la normale MN', et que la partie m' appartienne au cylindre que nous considérons; du point M, abaissons une perpendiculaire M,P sur le plan tangent en M à la surface de B; et cela étaut, faisous

M.Y1' = r' , MP = r, M.P = 0, MM, = r,;

nous, aurons

Les coordonnées de M étant x, y, a, et l’axe des x étant dirigé, comme plus haut, dans le sens de la normale MN', les coordonnées du point M' seront x d , y , s, et celles du point M, pourront être représentées par x — Ç , j — r cos a — r sin 4 , en désignant par •\f. un angle susceptible de croître depuis 4 = o jusqu’à 4 = xjr. En vertu du théorème de Taylor, ou aura donc

L’expression de $■ du n* 5i sera l’augmentation de chaleur de m', provenant de l’échange entre ni et m, pendant l’instant dt. On en déduira la valeur de Clmilt par l’application immédiate des règles du calcul intégral (n* 46). Ainsi, en mettant dans celte expression de«f, à la place de v' , le volume udd d’une tranche infiniment mince du cylindre normal, et intégrant ensuite depuis r' — o jusqu’à d z=s l, on obtiendra d’abord l'augmentation de chaleur du cylindre entier provenant de l’échange avec une seule partie m, de B. Cela fait, on en déduira la valeur totale de Cloidt par une intégrale triple, relative aux variables r, 4» dans laquelle on prendra pour le facteur v, de S', l’élément différentiel du volume de B, exprimé au

au y. au , au . ,

= u~tA — ÿrcos4 — s r sin 4 + etc. , = « •+■ ^ r1 -f- etc.

moyen des différentielles de ces trois variables, lequel est rdrd%d-\i. L’intégrale relative à 0 devra s’étendre depuis la valeur de cette variable en fonction de r et 4> qu> a lieu à la surface de B, jusqu'à 0 = l ; on intégrera ensuite depuis 4 — ° jusqu’à 4 = , et de-

puis r=o jusqu’à r=f.

De cette manière on obtiendrait la valeur rigoureuse de Clctdt; mais si l’on néglige dans ces calculs les puissances de 0, r, r1, supérieures à la première, on pourra étendre l’intégrale relative à 0. depuis 0 = o jusqu'à 0 = f; on aura simplement

1 du , « du , du . ,

U,— U =-^(0-f-/O— ^rcos4 — Srsm4,

et l’on réduira l’autre facteur R, de J' à une fonction de r,, u, x , gr,z, qui sera la fonction V, du n° 5a, que nous désignerons par frx, attendu que nous aurons seulement besoin d’y considérer la variable r,. L’intégrale relative à 4 s'effectuera immédiatement : elle fera dis-

paraître ^ et et en supprimant le facteur commun udl , il

eu résultera

n = - fr^dldr.

Il ne reste plus maintenant qu'à réduire cette intégrale triple à une intégrale simple; ce que nous ferons dans le numéro suivant.

(58). La fonction fr,, facteur de la quantité soumise à l’intégration, est nulle pour toute valeur de r, , plus grande que l , et l’on a r, > f, dès que l’une des trois variables r , 0, iJ , surpasse /; il s'ensuit donc que l’on peut étendre l’intégrale relative à chacune de ces variables au-delà de la limite l, et, si l’on veut, jusqu’à l’infini. Alors, si l’on met r0 et rd , à la place des variables 0 et d , et conséquemment, nrf0 et rdr' au lieu de leurs différentielles, les limites des intégrales relatives à r, 0 , r’, seront encore zéro et l’infini ; la valeur de r, deviendra

d, = r \ i +'(0 +>)•; et celle de fl prendra la forme

Changeons actuellement la variable r et sa différentielle, et remplaçons-les par

r dr

les limites des intégrales demeureront encore les mêmes; on aura r, = r, et, par conséquent,

r\ du

il = — a ir -r dx

q + r') djdr' [1 + ({+/)■]'

i/r frrAdr-

Dans l’expression île k du n° 49 , on peut aussi étendre l’intégrale jusqu’à r =00 ; la quantité V quelle renferme est la même que /r; on a donc

En effectuant les intégrations, on a aussi S + i-Vi

rx q+o«g 1

/’» dd

et , par conséquent ,

;S 4- r') dfrfr'

On aura donc finalement,

en sorte que la valeur de fl coïncide , comme on l’a dit pins haut , avec celle de T qui est donnée pour la formule (ia).

(5g). Cette expression commune de fl et T suppose les coordonnées du point M rapportées à des axes parallèles à la normale et au plan tangent en ce point à la surface de B ; ce qui était propre , en effet, à simplifier les calculs; mais maintenant il est bon de transformer la formule (1 a) en une autre , dans laquelle les axes des coordonnées soient indépendans de la direction de l’élément a». Si x,jr, z,

io8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

représentent les coordonnées du point M , rapportées à des axes rectangulaires quelconques, et que a, £, y, soient les angles que la normale MN', extérieure à B, fait avec des parallèles à ces axes menées par ce point, on aura alors

T = — cos* + ÿCOsC+^ cos , (i3)

formule qui sera aussi l’expression générale de fl.

En effet, soient x,, yt, s(, les trois coordonnées de M, ayant même origine que x ,y, z, et rapportées, la première x, à un axe qui a la même direction que MN', les deux antres y; et -, à des axes perpendiculaires entre eux et à l’axe des x, , nous aurons

x = x, cos a -J- yt cos a! -f- z, cos a", y = x, cos C+7. cos (T -f- Z, cos S",

z = x, cos y + y, cos y' -f- z, cos y";

a', £', y', et a", 6", y", étant les angles que font les axes des j", et z, • avec ceux des x, y, z. Or, si l’on considère u comme une fonction de x,, y,, a,, on aura, en vertu de la formule (12),

Si, au contraire, on regarde 11 comme une fonction de x,y, z, on aura, d’aprçs les équations précédentes ,

Jx,

du .du * . du

^ ^ COS e + Ti cos J- ;

et de ces deux dernières équations, on conclut immédiatement la formule.(1 3) qu’il s’agissait «l’obtenir.

(60). En prenant pour u> l’élément différentiel de la surface de séparation de B et B' qui répond au point M, l’intégrale de IV«j étendue k une portion quelconque de cette surface et multipliée par dt , exprimera le flux instantané de chaleur à travers cette même portion de surface. Si B entoure B' de toutes parts (fig. 12), et que l’on étende l’intégrale à la surface entière de B', ce flux de chaleur sera l'augmentation totale de la chaleur de B' pendant l'instant dt; ce qui sup-

pose, toutefois, qu'aucun point de la surface de B' ne soit à une distance de celle de A, moindre que l, et que les dimensions de B', aussi petites que l’on voudra d’ailleurs, surpassent toujours cette limite / du rayonnement intérieur : la première condition est nécessaire pour que * l’on puisse Lire usage de la formule ^i3) dans toute l’étendue de la surface de B'; la seconde doit être remplie pour que la chaleur émise par B a travers cette surface soit absorbée en entier par B'.

On trouvera encore l’augmentation instantanée de la chaleur de B', en prenant la somme des augmentations qui résultent des échanges entre B et les cylindres élevés dans l’intérieur de B', perpendiculairement sur tous les éléinens de sa surface ; laquelle somme sera donnée par. l’intégrale de Aa> étendue à la surface entière et multipliée par dt ; ce qui coïncidera avec le résultat déduit de la considération du flux de chaleur T, cii exprimant les valeurs de T et fl par la même formule (1 3). A la vérité, les cylindres normaux, pour remplir entièrement et sans double emploi le volume de B', devraient être remplacés par des filets qui se rétrécissent ou s'élargissent à raison de la convexité ou de la concavité de cette partie de A ; mais il faut observer qu’en déterminant la valeur de fl, on a déjà négligé l’influence de la courbure de B', et que l’on doit , conséquemment , en faire encore abstraction dans les usages que l’on fera de cette valeur.

La considération de l’accroissement instantané de chaleur de B* peut aussi conduire à l’équation générale du mouvement de la chaleur dans l’intérieur de A , par une méthode qu’il est bon de connaître,- et qui diffère essentiellement de celle que nous avons suivie d’abord , en ce que la partie m dé A dont on considérait l'augmentation instantanée de chaleur devait avoir des dimensions de grandeur insensible par rapport à l , tandis que maintenant les dimensions de B' devront encore être très petites , mais plus grandes que l.

(6t)- Les intégrales des trois termes de la formule (i3) multipliée par u, pourront se déduire de l’une d’elles par des changemens de lettres: il suffira, par exemple, de considérer l’intégrale correspondante au premier termé’. Je supposerai , pour fixer les idées , l’axe des x vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et la partie B' de A situéè en entier au-dessous du plan des y et s. Si l’on conçoit un.

no THÉORIE MATHÉMATIQUE

cylindre vertical , tangent à la surface du B*, la ligne de contact divisera celte surface on deux parties qui auront une même projection horizontale : j’appellerai S' la partie supérieure. S, la partie inférieure, et S leur projection commune; d’après la direction de l’axe des a: et la position de B', l’angle a sera aigu dans toute l’étendue de S', et ' obtus en tous les points de Sr Or, l’élément eo et sa projection horizontale djrdz étant des quantités positives, liées entre elles par l’équation

(tydz = =fc eo cos *,

oii devra donc prendre le signe supérieur ou inférieur selon que « appartiendra à S' ou à S, , afin que zfc cos a soit toujours positif ; par

conséquent, l’intégrale de — k « cos a , étendue à la surface -entière de B', sera la différence de deux autres intégrales doubles, savoir :

qui s’étendront l’une et l’autre à tous les élémens dydz de S, mais dans lesquelles (k sc rapporte à un point quelconque de S,, et

à un point quelconque de S'.

Cela posé, soient M, M', M,, trois points situés sur une même verticale, dont le premier appartient à l’intérieur de B', le second à S' et le troisième à S,. Ces trois points auront les mêmes coordonnées horizontales y et s ; et si x est l’ordonnée verticale de M, on pourra représenter celles de M' et M, par x — Ç' et x -f- g,. En développant suivant les puissances de et on aura alors

.v . d.kÿ (*£)-*£+-*-* + • *■’ . d.kt

[*a-*S--sr'F + «*=-

Or, si l’on suppose que les dimensions de B', toujours pins grandes que l, soient néanmoins très petites, les variables et le seront aussi; et si l’on néglige, en conséquence, leurs puissances supérieures à la

première , on aura

en désignant par £ la longueur de la droite M'M, , de sorte qu’on ait Ç'4-Ç, = Ç. De cette manière, la différence des deux intégrales précédentes deviendra

A raison de la petitesse des dimensions de la surface S à laquelle cette

intégrale double doit s’étendre, on y pourra considérer — — —

comme une constante. De plus, si l’on appelle H le volume de B', on aura

f f%dydz = H

L’intégrale précédente , on la valeur approchée de — fk^ u cos a,

j du M. ^

sera donc enfin H — j--. On trouvera de même dx

pour l’intégrale des trois termes de la formule (i3>), multipliés par a>; en sorte que cette expression multipliée par dt sera l’accroissement de chaleur de B' pendant cet instant. D’un autre côté , si l’on appelle ç la chaleur spécifique de A, qui répond au point M , on pourra, à cause des petites dimensions de B', regarder c, aussi bien que la température u relative au même point, comme des quantités constantes dans toute l’étendue de cette partie B' de A. Son accroissement de chaleur correspondant à la variation du de sa température, sera doue aussi H edu; et en l’égalant à la quantité précédente, multipliée par dt, nous aurons

Hcdtt —

, , du d.k -r dx

1 Mi,

pour l'équation générale du mouvement de la chaleur dans l’intérieur de A, qui coïncide, en effet, avec l’équation (7), qu’011 a trouvée d’une autre manière.

A raison des différentes quantités que l’on a négligées, cette équation fi 4) n’est qu’approchée; mais il est bon d’observer que l’approximation ne porte que sur la valeur de T dont on a fait usage ; cette valeur étant donnée, les deux membres de l’équation (i4; peuvent être regardés comme les première termes de deux dévcloppcmens d’une même quantité de chaleur, ordonnés suivant les puissances et les produits des dimensions de B'; et les deux dévcloppcmens devant être égaux, quelles que soient ces dimensions, pourvu qu’elles surpassent l , il faut que le premier terme de l’un soit rigoureusement égal au premier terme de l’autre.

. (62). On parvient encore à l’équation (14), en prenant pour B', un parallélépipède rectangle dont les côtés sont très petits et néanmoins plus grands que l.

Pour simplifier le calcul , je prendrai les axes des coordonnées parallèles aux côtés de ce parallélépipède, adjaceus à un même sommet qui sera le point M. Ces coordonnées de M étant ar, y, 2, les trois côtés adjacens seront leurs prolongctnens , et j'en représenterai les longueurs par h , h', h". Je supposerai, comme plus haut , l’axe des x vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et la partie B' de A située en entier au-dessous du plan des/ et 2 ; la hauteur de ce parallélépipède sera h , chacune de scs deux bases horizontales aura h' h" pour valeur, et H étant sou volume , on aura

H = hh'h".

La normale à sa base supérieure, comprise dans son intérieur, fera un angle zéro avec l’axe des .r,et des anglt-s droits avec ceux des / et ij par conséquent, en vertu de l’équation (i3), le flux

de chaleur correspondant au point M aura pour expression — k

DE LA CHALEUR. n3

et , à raison de la petitesse de h et h", on pourra regarder cette quantité comme constante dans toute l’étendue h' h" de cette base. Mais une portion de la chaleur qui traverse les élémens de ce rectangle , dont les distances à ses côtés sont moindres que / , n est pas absorbée par le parallélépipède B', et sort par ses faces latérales. Pour que le produit de — k et de h'h'dt puisse exprimer

l’augmentation de chaleur de B' pendant l’instant dt , due au flux de chaleur à travers sa base supérieure, il faudra donc que l’on néglige la partie de ce flux correspondante aux élcmens dont il s’agit, par rapport au flux entier; ce qui exige que les côtés b! et h", quoique très petits , soient néanmoins de très grands multiples de /.

Dans cette hypothèse , l’augmentation instantanée de chaleur de B', provenant du flux à travers sa base supérieure , étaut

— k ~ h'h’dt,

on en déduira évidemment son augmentation de chaleur provenant du flux à travers sa base inférieure, en y mettant x-f- h au lieu de x, et changeant ensuite le signe du résultat, parce que la normale intérieure à laquelle répondent les angles a, S, y, dans la formule (i3), change de direction en passant d’une base à l’autre. Si l’on néglige le carré de h, cette seconde augmentation de chaleur sera donc

kÿxhh"dt +

d.kd4

— hhh'dl.

Donc aussi , en l’ajoutant hh'h", on aura

à la première, et mettant H au lieu de

djd£

Udt,

pour l’augmentation de chaleur de B' pendant l’instant dt , due aux flux qui ont lieu à travers ses deux bases horizontales.

En changeant, dans ce résultat, x en y et en z successivement, on aura les augmentations de chaleur de ce parallélépipède, dues aux

•, THÉORIE MATHÉMATIQUE flnx qui ont lieu à travers ses autres faces parallèles; par conséquent, son accroissement total de chaleur pendant l’instant dt sera , comme plus haut,

H dt.

Mais maintenant, si l’on considère comme constantes, dans toute l’étendue de B', la température et la chaleur spécilique, et celle-ci étant c au point M, ce même accroissement de chaleur devra être égal à Wcdu ; ce qui donne de nouveau l’équation (14).

Cette manière de parvenir à l’équation générale du mouvement de la chaleur laisse quelque obscurité sur son degré d’approximation, à raison des quantités qu’on a été obligé de négliger près des côtés du parallélépipède. Elle n’aurait aucun sens, si l’on supposait cette partie B' de A inlitiiment petite; et même on a vu qu’il faut que ses trois dimensions A* h'. A", soient très grandes par rapport à l.

Les quantités désignées précédemment par T et fl étant égales, cette même méthode peut aussi être présentée d’une autre manière. En décomposant le parallélépipède B' en prismes verticaux qui auront pour bases les élémeus du rectangle h'h" , le produit

k — h’U'dt exprimera , pendant l’instant dt, le résultat des échanges

de chaleur entre tous ces priâmes et la partie de A située au-dessus du plan de la base s/ipérioure de B' : , pour cela, il suffira que l’on

regarde A ^ comme invariable daus toute l’étendue de cette base ,

•11® i. 11 d*ll ,1 i.-, 1:5 . 1, . . .t -U ■ ■ - 1 t - -1 ■

et l’on n’aura pas besoin de rien négliger près de ses côtés. En né-

gligeant le carré de h, on en côdèhit que ■ H dt exprimera de

même raçwoiwtllKWf instantané d«, la, chaleur dp R', provenu ut des échanges entre ce parallélépipède et les parties de A situées , soit au- dessous, du pjlan .de la, Ijase iufcrieure dp, B', soit au-dessus du p|pn dtf, sa twii -Supçrieure. Lee quantités analogues qui répondent

DE LA CHALEUR. Ïi5

d * J? 1 " df:* ÿ

aux faces verticales de B' seront aussi — , J H dt et - — -7 — - Hf lt Mais

ir ... *

il taut observer que près des eûtes du parallélépipède, une portion des parties environnantes de A influe à la fois sur deux de ces trois quantités de chaleur, et même sur toutes les trois près des sommets. 11 y a donc double ou triple emploi à l’égard de ces portions extérieures ; et pour que la somme des trois quantités précédentes exprime l’augmentation totale de la chaleur de B7 pendant l’instant dt , il faut qu’on puisse négliger l'effet des portions extérieures dont il s’agit par rapport à l’effet total; ce qui exige encore, comme tout à l’heure, que les dimensions du parallélépipède soient de très grands multiples de l'étendue l dans laquelle s’exerce l’influence de ces mêmes portions extérieures sur B'.

On retrouve également la nécessité de celte même condition, lorsque l’on applique l'analyse du numéro précédent à la surface entière de ce parallélépipède, en considérant les arêtes vives comme des por1 rions de surfaces cylindriques, tangentes aux faces adjacentes, et d’un rayon extrêmement petit. A cause de la petitesse de ce rayon de courbure ,• l’analyse du n* 5a et l’expression de T qu’on en a déduite ne sont point applicables, dans l’étendue /, de part et 'd’autre de chaque arête ; et pour pouvoir se servir de la formule (1 3), comme on l’a1 fait dans le n* 61 , il faut encore qu'on puisse négliger cette étendue par rapport aux dimensions h , h', h", de B'.

((35). Si le corps A est une barre homogène , cylindrique ou prismatique, qui ne rayonne pas au dehors à travers sa surface latérale, et dans laquelle les points de chaque section perpendiculaire à sa longueur aient une même température, variable d’un instant à un autre, cette température u ne sera fonction que de t et de x, en prenant l’axe des x dans le sens de la longueur de A; par conséquent, les équations (7) et (i3) se réduiront à

cos a.

Les flux de chaleur à travers différentes sections planes de la trai re , faites par un meme point, seront donc entre eux , d’après la dernière

u6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

de ces équations, comme les cosinus des angles compris entre la direction de la barre et les normales à ces sectious. Relativement à la section perpendiculaire à cette section , on aura

d'où l'on conclut, ce qui est d’ailleurs évident, que le flux de chaleur aura lieu dans le sens où la température est décroissante.

Si , de plus, les deux extrémités de cette barre sont entretenues à des températures constantes, tous ses points parviendront aussi , après un temps plus ou moins long, à des températures permanentes. A cette époque, l'inconnue u ne dépendant plus que de x, on aura

dkT /

C étant une constante arbitraire. Dans cet état , le flux de chaleur à travers chaque section normale de la barre sera donc constant, le même dans toute sa longueur, et égal à bC , en appelant b l’aire constante de la section normale.

La température permanente, déterminée par la seconde équation (i5) , sera une fonction de x qui dépendra de la valeur de k en fonction de u. Ce n’est que dans le cas particulier où la conductibilité est indépendante de la température, que celle-ci croîtra ou décroîtra uniformément suivant la longueur de la barre. Dans ce cas, on aura

ku -1- Gr -f- C' = o,

C' étant une seconde constante arbitraire. Supposons que la variable x soit comptée à partir de l'une des extrémités de la barre ; appelons J' la température donnée qui répond à x = o; prenons pour le zéro de l'échelle thermométrique la température, aussi donnée, qui a lieu à l’autre extrémité, *et qui répondra à x=h, en désignant par A la longueur de la barre. Nous aurons, d’après l’équation précédente,

pour déterminer les valeurs de C et C'; et il en résultera, en un

point quelconque de la barre parvenue à l’état permanent,

««(, -jy. hC = ir (,6)

Ainsi, dans le cas particulier où l’on suppose la conductibilité indépendante de la température, et dépendante seulement de la matière de la barre, cette matière, la Sfection normale de la barre et la différence des températures extrêmes restant les mêmes, le flux constant de chaleur, d’après la dernière équation (16), est en raison inverse des longueurs dans deux barres differentes.

En partant des équations (16), et en étendant la seconde, c’est-àdire, la loi du flux de chaleur en raison inverse de l'épaisseur de chaque tranche d’un corps, au cas où cette épaisseur est infiniment petite, ainsi que la différence des températures relatives aux deux faces de la tranche, on en déduit lcquation du mouvemeut de la chaleur dans l’intérieur d’un corps échauffé d’une manière quelconque. D’après cette considération, on a cru pouvoir présenter cette équation générale comme indépendante d’aucune hypothèse sur le mode de communication de la chaleur entre les molécules voisines, et l’égalité de ses deux membres comme une proposition rigoureuse que l’on a comparée aux théorèmes de la Statique et de la Dynamique. Mais on voit , par ce qui précède, que les équations (16), quelque simples quelles paraissent , n’ont réellement lieu que dans deux suppositions particulières : l’une qui consiste à regarder l’échange de chaleur entre deux molécules comme indépendant de la température absolue, et simplement proportionnel à leur température relative; l’autre concernant l’étendue du rayonnement intérieur, que l’on suppose de grandeur finie , mais tout-à-fait insensible. En admettant la première hypothèse, on pourrait démontrer, à priori , que dans une barre parvenue à l’état permanent, la température varie uniformément suivant sa longueur, et que le flux constant de chaleur qui en résulte est en raison directe de la différence des températures extrêmes et en raison inverse de la longueur totale, quelles que sdient la loi et l'étendue du rayonnement intérieur; mais le flux de chaleur étant ainsi proportionnel au premier coefficient différentiel de la température , lorsque celui-ci ne varie pas, on n'en peut pas conclure que cela

i.8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

ait encore lieu quand ce coefficient varie d’un point à un autre; et , au contraire , le flux de chaleur suit une autre loi , bien plus compliquée, si l’on a égard à l’étendue sensible du rayonnement.

. I,es méthodes que j’ai suivies dans ce chapitre, pour parvenir à l’équation générale du mouvement de la chaleur, étant, sans aucun doute , moins simples que celles dont on avait d’abord fait usage , et qui semblaient donner à cette équation plus d’étendue quelle n’en a réellement, j’ai dû présenter ici quelques observations pour montrer la nécessité de mes calculs, et pour fixer les idées sur la nature véritable de cette équation fondamentale.