a dt

dt'

d'irt

de

• etc.

— |— etc. ; I

ce qui sera la valeur la plus générale de u, que l’on pourrait aussi déduire de la série (1).

Désignons par e la base des logarithmes népériens , et1 faisons enfin

Ô = e*. En considérant les coelîiciens de la série (a) comme des fonctions de /, et la substituant dans l’équation (3), on aura

dQ Cx.dR dt e dt

etc. =

rt<t’Pe*x + aG‘ Qefx -J- ny' Re71 + e!c*

Or, pour que les deux membres de cette équation soient identiques, il est nécessaire et il suffit qu’on ait

Tt = a<t'Ÿ, § = «e*Q, ÿ=«y’R, etc.;

en sorte que tous les termes de la série (a) se détermineront indépendamment les uns des autres et formeront autant de valeurs particulières de u, qui satisferont isolément à l'e'quation (3), ainsi qu’on l’a dit plus haut. Les exposans a , G, y , etc., resteront indéterminés; en désignant par A, B, C, etc., des constantes arbitraires, on aura

P = Ae0*’' , Qt=BeoC’‘ , R = Ce"7’' , etc.; et la valeur générale de u sera

u = Aea *” -+• Ben c" eCx + Ce"7’'e71 + etc. (6)

On obtiendrait la même expression de u en prenant 6 = e< dans la série (a), considérant alors ses coelîiciens comme des fonctions de JC, et changeant dans le résultat les constantes arbitraires a, G, y , etc., en aa.%, aG‘, ay‘, etc. Ces constantes pourront être réelles ou imaginaires, aussi bien que les coelîiciens A, B, C, etc., de sorte que la formule (6) est une série d’exponentielles, de sinus et de cosinus. Si l’on veut, on peut aussi écrire la valeur de u sous cette forme :

u = Ae~a"t cos ax 4- sin a'x

-f- Be-oC*' cos Gx -f- B'e— °e'‘ sin G’x 4- etc.,

dans laquelle les coelîiciens A, A', B, B', etc., et les exposans «,

G, G', etc., sont des constantes réelles ou imaginaires, ce qui fait que

cette expression de u ne diffère pas essentiellement de la précédente. Dans tous les cas, chaque terme de la valeur de u est une intégrale particulière de l'équation (3) , et son intégrale complète est la somme d’un nombre infini de ces intégrales particulières.

(73) Voilà donc les trois séries (4), (5), (6), qui expriment également, mais sous des formes différentes, l'intégrale complète de l’équation (3). La première contient une seule fonction arbitraire (par, la seconde en contient deux et 'i't , et la troisième ne renferme que des constautes arbitraires en nombre infini et formant deux suites différentes A, B, C, etc., et et, €, y, etc. Puisque ces valeurs de u ont toutes trois le même degré de généralité, il s’ensuit quelles doivent être équivalentes, et que chacune d'elles doit pouvoir se transformer dans les deux autres ; ce qu’on peut en effet vérifier de la manière suivante.

Quelle que soit la fonction arbitraire $x, on peut la développer suivant les puissances entières et positives de x — h. Soit donc

<px = A + B (x — fi)

c (x — ky D ;.r — h)

■ etc. ;

A, B, C, D, etc., désignant des constantes arbitraires. Nous aurons

îg=c+ D(^-J) + Üf=s + «.C.,

g = E + + elc, , .

etc.;

au moyen de quoi la série (4) deviendra

u = A + C a (t — A) -f- ^ °*[^2 f>i -+- etc.