C -f- E a{t — A) -f- etc. ss ~dT
D -f- Fa(î — A) "f- etc. s» , etc. j
et la valeur précédente de u coïncidera avec la série (5). Réciproquement on transformera de meme cette série (5) dans la série (4)- En développant la série (6) suivant les puissances de t — A, et remplaçant, pour abréger, \en"h , BedC’A, Ce"*'*, etc., par d’autres constantes arbitraires A7, B1, C’, etc. , on a
u = A'e“ ^ Wé* -f- C'«»' ri- etc.
ri- (A'<x*e*x + B' €•■ eCx 4- C y' e>T -f etc.) a (t — A)
ri- (A'a* é“ ri- B' S4 eCl 4- C' -f etc.) ri- etc.; et si nous faisons
A' -f- B' efc 4- C'e>r 4- etc. = px,
px sera une fonction arbitraire de x : il en résultera A'a*e“ ri- B* 6* e& ri -Çy e>* 4- etc. =p
-f 4- C'^e»' 4. etc. = ^ ,
etc. ;
ce qui fera coïncider la valeur précédente de u avec la série (4). On
fera coïncider semblablement la sérié (6) avec la série (5), en développant la première suivant les paissances de x — h.
11 n’y a pas de doute que l’expression précédente de <px en séries d’exponentielles réelles ou imaginaires ne puisse représenter une fonction quelconque de x. Elle peut représenter, par exemple, la puissance quelconque x"; car, en désignant par e une constante infiniment petite, on a
quantité développable par la formule du binôme en une série d’exponentielles.
(74). Maintenant il s’agit de réduire à des intégrales définies la série (6), et ensuite les séries (4) et (5); transformations qu’on effectuera au moyen de formules connues dont je rappellerai cependant les démonstrations.
e “ de». En changeant successivement a eux et jr , nous aurons
J' dx = k, j' é“r* dy = k,
et, par conséquent,
/JV%x /.le"''"'’ = **•
Or, si l’on considère la surface de révolution dont l'équation est, en coordonnées rectangulaires.
l’intégrale double qui exprime la valeur de A* sera évidemment le volume compris entre cette surface et le plan des x et y prolongé à l’infini en tou» sens. Mais on peut aussi décomposer ce même volume en tranches cylindriques et infiniment minces, dont l’axe commun est celui des z; le rayon d’upe tranche quelconque étant r, son volume sera le produit de sa base V> rrdr et de sa hauteur e-"* ; le
volume total sera donc l'intégrale de ce produit prise depuis r = o
jusqu’à r — co ; en l’égalant à k‘, on aura donc
et il en résultera
k%-=-Y7rÇ e rdr — 7T-,
f~e da> — yV,
pour la valeur de k ou de l’intégrale donnée.
Quelle que soit la constante a, réelle ou imaginaire, les limites de cette intégrale ne changeront pas, si l’on y met a — et \/'at à la place de ai ; on aura donc aussi
d’où l’on tire
Cé~a' + wVa,-"a,dtü^ \Z*~; e''at — yf f" e~"' e^^do. .
On exprimera de même les autres exponentielles relatives à t, qui sont comprises dans l'équation (6); laquelle deviendra, en conséquence,
u — -U= f [Ae‘:(*+”V/°Î5 4- Bef{jr+,*v/‘r,) y/rJ — » *-
+ Cey(r + ~\/«)+ etc ] e—
Mais si l’on désigne par < px une fonction arbitraire de x, et que l’on fasse
Ae“ + Be^ -f- Ceyj -f- etc. = (px, on aura , en même temps ,
Ae*(x-t-i«y/âî) j gec(x + ^«v/Jî)
+ Ce>tr+,*lA’') +etc. = <p (x 4- aa> V Jt),
et il en résultera
u — f r p(x 4- a» V at)e~m' do. (7)
Cette équation est, sous forme finie et la plus simple, l'intégrale complète de l'équation (3). Elle ne renferme, tomme on voit , qu’une seule fonction arbitraire , qui se déterminera immédiatement d’après la valeur de u relative 1 i = o, Toutefois cette forme de l’intégrale complète suppose que cette valeur de u, qui sera celle de ç.r , croisse avec la variable x dans un moindre rapport que e1*, ®t que le produit e~*‘tpx s’évanouisse pour x — dz 00 , sans quoi la quantité comprise sous le signe f croîtrait indéfiniment avec a» pour toutes les valeurs de t différentes de zéro, et l’intégrale définie, dont les limites sont e» = =fc oo , aurait généralement une valeur infinie, ce qui serait inadmissible. Avec cette restriction, il est facile de vérifier que l’équation (7) satisfait à l’équation (3).
En effet, si nous faisons, pour un moment,
tîf —m"x
nous déduirons de leqaation (7)
du a r® // . y — \ — otdm
* = + ™Vat)e Vât’
a <f"(x + 2a»v/ôi) e m du ;
en intégrant par partie, et supposant que le produit de e-*’ et (x -f- su V at ) s’évanouisse aux deux limites, on a
<P’(X + 2" VS) e~m’ -~= = /%''(* + aai \rât) e— ' du ;
ce qui fait coïncider la valeur de ^ avec celle de a—, et satis-
ut dx* 9
fait par conséquent à l’équation (3).
(73). Si l’on désigne par g une constante positive, et que l’on mette Vga et V g du à la place de a et do dans l’intégrale
/aO —
ses limites ne seront pas changées; et en divisant par
Vg» on aura
En différentiant n fois de suite par rapport a g, et faisant ensuite g — j , dn en déduit
dco ==
