THÉORIE

La Pjrométrie de Lambert contient les premières applications qae l’on a faites du calcul à la théorie de la chaleur; elles ont pour objet la distribution de la chaleur dans une barre^ et la comparaison des quantités de chaleur rayonnante que le sofcil envoie à la terre et au* planètes pendant leurs révolutions entières ou des parties de chaque révolution. L’auteur fait voir que ces quantités sont liées à la première loi de Képler, suivant laquelle les aires décrites autour du soleil, par le rayon vecteur de chaque planète, sont proportionnelles au temps employé à les décrire. Relativement aux températures des points d'une barre soumise à des sources constantes de chalenr, il montre comment elles peuvent être exprimées par des formules qui satisfont aux expériences. Mais Lambert n’a pas cherché à déduire ces formules de l’équation différentielle d’où dépend la température d’un point quelconque, quand la barre est parvenue à un état permanent. La forme de cette équation , et celle de l’équation aux différences partielles qui a lieu pendant que la barre s’échauffe ou se refroidit, ont été indiquées par M. Biot , en 1804 , dans l’extrait d’un mémoire sur la propagation de la chaleur '*). M. Biot les a déduites du principe de Newton, sur la communication de la chaleur entre des corps juxtaposés, qu’il a étendn aux tranches contiguës et infiniment minces de la barre. Il intègre l’équation relative à l’état permanent, puis il véri-

(•) Bibliothèque britannique , tome XXVII.

a THÉORIE MATHEMATIQUE

fie, sur ses propres expériences et sur celles de Kumford, la loi des

températures qui résulte de celte intégrale.

Ces premiers essais, et l'ingénieuse théorie des échanges de chaleur rayonnante qu’on doit à M. Pierre Prévost , de Genève , constituaient toute la théorie mathématique de la chaleur, lorsque Fourier s’en est occupé dans un mémoire envoyé à l’Institut en 1807, et, ensuite, dans la pièce couronnée par ce corps savant au commencement de 181a. (*). Parle nombre et la variété des questions que l’auteur a considérées, celte théorie est devenue alors une branche nouvelle de la Physique mathématique. Fourier a traité de uouveau une partie de ces questions dans sa Théorie analytique de la Chaleur. Les volumes de l’Académie des Sciences et ceux des Annales de Physique et de Chimie , qui ont paru depuis cet ouvrage , contiennent aussi d’autres recherches de l'auteur 'sur le même sujet, relatives principalement à la chaleur rayonnante et à la chaleur de la terre. •

Laplace s’est occupé de la théorie de la chaleur peu de temps après Fourier. Dans une note imprimée en 1810 (**) , il considère la propagation de la chaleur dans l’intérieur des corps comme le résultat d’un rayonnement moléculaire qui s’étend au-delà des molécules les plus voisines, h des distances finies, mais insensibles; et il montre comment cette manière nouvelle d’envisager la question peut conduire à l'équation aux différences partielles d’où dépend la loi des températures dans l’intérieur des corps. Il indique aussi , mais fort incomplètement , un moyen de former l'équation générale relative à leur surface, que Fourier avait précédemment donnée sans démonstration. Dans la Connaissance des Tcms de j8a3, et ensuite dans le livre XI de la Mécanique céleste , Laplace s’est occupé de la résolution de ces deux équations, appliquées au cas d’une sphère homogène et dont la superficie est partout la même , qui a été primitivement échauffée d’une manière quelconque. La solution générale qu'il a donnée de ce problème comprend celle de Fourier, qui se rapporte au cas particulier où la température des points de la

(*) Mémoires de C Académie des Sciences, tomes IV cl V.

(**) Mémoires de la première classe de rinstitul, année 1809, page 33a

sphère ne dépend que de leur dislance à son centre ; elle est fondée sur l’analyse que l’auteur avait employée autrefois dans la question du flux et du reflux de la mer, et présente une nouvelle application de cette analyse, dont le caractère spécial est d’exprimer la valeur générale del’iDCOnnuedc chaque problème, par la somme d’un nombre indéfi ni de valeurs particulières. Je suis parvenu au même résultat , dans mon second mémoire sur la Distribution de la Chaleur dans les corps solides (*) , par une analyse différente et moins simple , mais qui avait cependant quelque avantage, et que Laplace a regardée comme une confirmation de la sienne. En appliquant celte solution générale au globe terrestre , il a été conduit à partager l’opinion de Fourier, qui attribue à la chaleur primitive de la terre l’accroissement de température que l’on observe à partir de sa superficie, et dont la grandeur n’est pas la même dans toutes les localités. Cette hypothèse d’une température provenant de la chaleur d’origine et qui devrait s’élever à des millions de degrés dans les couches centrales du globe, a été généralement adoptée ; mais les difficultés quelle présente m’ont paru la rendre invraisemblable; et j’ai proposé une autre manière d’expliquer la température croissante que l'on a reconnue, depuis long-temps, à toutes les profondeurs où l’on a pu attciudre.

Dans cette nouvelle explication, le phénomène dépend de l'inégalité de température des régions de l’espace que la terre traverse successivement par suite du mouvement de translation commun au soleil et à toutes les planètes. Il serait, en effet, hors de toute vraisemblance que la température de l’espace fût partout la meme; les variations qu’elle éprouve, d’un point à un autre, séparés par de très grandes distances, peuvent être fort considérables ; et elles doivent produire des variations correspondantes dans la température de la terrt: , qui s’étendent jusqu’à des profondeurs dépendantes de leurs * durées et de leurs amplitudes. Si l’on suppose, par exemple, qu’un bloc de pierre soit transporté de l'équateur à notre latitude, son refroidissement aura commencé à la surface, et se sera propagé dans son intérieur; et s’il ne s’est pas étendu à la masse entière, parce que le

(*) Journal de T École Polytechnique , ig* cahier.

temps du transport aura été trop court, ce corps, parvenu dans nos climats, présentera le phénomène d’une température croissante à partir de sa superficie. La terre est dans Je cas de ce bloc de pierre ; c’est un corps qui vient d’une région dont la température était plus élevée que celle du lieu où il se trouve actuellement; ou, si l’on veut, c’est un thermomètre mobile dans l’espace, qui n’a pas le temps, à cause de ses grandes dimensions et d’après son degré de conductibilité, de prendre, dans toute sa masse, les températures des diverses régions qu’il traverse. Aujourd’hui la température du globe est croissante audessous de sa superficie; le contraire a eu et aura lieu dans d’autres temps; en outre, à des épo'ques séparées par de longues suites de siècles, cette température a dû être, et sera par la suite, beaucoup plus haute ou beaucoup plus basse qu’elle ne l’est maintenant; ce qui empêche que la te ire soit toujours habitable par l’espèce humaine, et a^ieut-être contribué aux révolutions successives dont sa couche extérieure conserve les traces. Il faut remarquer que ces alternatives de la température de l’espace , sont des causes certaines , qui influent sans cesse sur la chaleur du globe , du moins près de sa surface ; tandis que la chaleur d’origine de la terre, quelque lente quelle soit à se dissiper , n’est cependant qu’une circonstance transitoire dont on ne pourrait démontrer l’existence à l’époque actuelle, et à laquelle on ne serait forcé de recourir, comme une hypothèse, que si les causes permanentes et nécessaires ne suffisaient pas à l’explication des phénomènes.

Dans cette indication succincte des principales recherches des géomètres sur la théorie de la chaleur, je ne dois pas oublier de faire mention d'un mémoire présenté récemment à l’Institut par M. Lamé, professeur de physique à l’École Polytechnique. L’auteur a déterminé, dans ce mémoire (*), la loi des températures de tous les points d’un ellipsoïde homogène parvenu à un état permanent; et il a trouvé que l’expression de celte loi dépend des fonctions elliptiques; ce qui ne s’était présenté jusque là dans aucun problème relatif à la distribution de la chaleur dans un corps de forme donnée.

Je me bornerai, dans ce préambule, à ces citations; elles suffiront

(*) Toiyc V des Mémoires présentés à I Académie des Science*.

pour qu’on puisse connaître la première origine de la partie de la science que je vais traiter, l'extension et l’importance quelle a acquises dans ces derniers temps, et son état actuel. Je laisserai au lecteur à comparer les principes d’où l'on était parti jusqu’à présent et les résultats qu’on avait obtenus, aux principes et aux résultats qui seront exposés dans cet ouvrage. En lui donnant le titre de Théorie mathématique de la chaleur , j’ai voulu indiquer qu’il s’agira de déduire, par un calcul rigoureux, toutes les conséquences d’une hypothèse générale sur la communication de la chaleur, fondée sur l’expérience et l’analogie. Ces conséquences seront alors une transformation de l’hypothèse même, à laquelle le calcul n’ôle et n’ajoute rien ; et leur parfaite conformité avec les phénomènes observés ne pourra laisser aucun doute sur la vérité de la théorie. Toutefois, pour que cette théorie fût complète, il faudrait qu’elle comprit la détermination des mouvemens produits par la chaleu» dans les fluides aériformes, dans les liquides, et même dans les corps solides; mais les géomètres n’ont point encore abordé cet ordre de questions, d’une grande difficulté, auquel se rattacheut le phénomène des vents alises , celui de certains courans qu’on observe dans la mer, et les variatious diurnes du baromètre. Dans l’état actuel de la science , la théorie mathématique de la chaleur a seulement pour objet la communication de la chaleur, de proche en proche dans l’intérieur des corps solides et des liquides, et à distance entre des corps différera : sous ce double rapport, je n’ai rien négligé pour que cet ouvrage fût aussi complet qu’on pourra le désirer.

Les données nécessaires pour réduire, dans chaque cas, les formules en nombre , sont la chaleur spécifique, la mesure de la conductibilité dans l'intérieur des corps, et celle du pouvoir rayonnant à leur surface. La chaleur spécifique a été déterminée pour un grand nombre de corps solides, liqnides ou gazeux, par diflërens procédés qui sont exposés dans les traités de Physique ; les notions qu’on a jusqu'à présent sur la conductibilité et sur le pouvoir rayonnant sont beaucoup moins précises. Indépendamment de ces données physiques, relatives à chaque corps en particulier, la théorie emprunte encore à l’expérience la loi de l’émission de la chaleur à travers les surfaces des