a dx‘ 1 . a . 3 dx

et, par conséquent,

— au = ** 4- 37^ -t- 3^0 d? + etc.

Si donc on fait d'abord

J'1 s'ipsds = k,

suite

T^fl^ds = ka‘, f‘*'**d* = *«**» etc.',

ation (6) se changera en celle-ci :

mais pour qu’on en puisse faire usage, il faudra que la sérié contenue dans sou second membre soit convergente.

Or, la ligne l étant supposée de grandeur sensible, mais très petite, a, S, etc., seront aussi des lignes très petites; si donc la fonction u ne varie pas très rapidement avec x , la série dont il s’agit sera effectivement très convergente; au contraire, si u varie très ra-

pidement , les coefiiciens différentiels

d*u dx^ 9

etc., formeront une

suite très rapidement croissante, et la série que nous considérons cessera d’être convergente et pourra même devenir très divergente. Mais, en excluant le cas où la température initiale et arbitraire varierait très rapidement dans quelques parties de la barre, la variation de « à un instant quelconque ne peut être très rapide par rapport à x , que dans les parties extrêmes Et* et ft’ E' de la barre auxquelles l’équation (1) ou l’équation (7) que l’on en a déduite ne doit pas s'appliquer. Ainsi , d’une part, la série contenue dans le second membre de cette équation (7) sera toujours très convergente, de sorte qu’on pourra la réduire à un certain nombre de ses premiers termes; et d’un autre côté, dans la valeur de u en fonction de t et de x, qui proviendra de l’intégrale complète de cette équation, on devra supprimer, comme étrangers à la question, les termes de cette expression qui varieraient très rapidement avec x.

C’est d'après cette considération, comme nous l’avons déjà dit (n° 48), que l’on ramènera toujours au même degré de généralité la valeur de u tirée de l’équation (7), quel que soit l'ordre de cette

équation , résultant du nombre de termes que l'on aura conservés dans son second membre. Si la barre est parvenue à un état permanent, de sorte qu’o'n ait ^ = o, l'équation (7) se réduira à une

équation différentielle du 2*, du 4*» du 6"..... ordre, selon que l’on poussera l’approximation jusqu’au i", au 2', au 3e... terme de son second membre; mais, dans tous les cas, après que l'on aura supprimé les parties de sou intégrale étrangères à la question, la valeur de u ne renfermera plus que deux constantes arbitraires, suffisantes pour satisfaire aux conditions relatives aux deux extrémités de la barre: il serait absurde, en effet, qu’un problème fût déterminé ou indéterminé, à volonté, selon le degré d’approximation auquel il nous conviendrait de le résoudre.

(12a). Pour vérifier cette assertion sur un exemple très simple, supposons que la température extérieure Ç soit constante, que les températures des deux extrémités de la baiTe soient aussi invariables, que la barre soit arrivée à son état permanent, et que l’on conserve seulement les deux premiers termes du second membre de l’équation (7). Prenons la température f pour le zéro de l’échelle thermométrique, et faisons, pour abréger,

en faisant aussi = o dans l’équation (7), on aura

dx' ^

pour l’équation différentielle du 4* ordre qu’il s’agira de considérer.

Si la surface latérale de la barre est partout dans le même état, et que la quantité p soit supposée indépendante de la température, aussi bien que la conductibilité k, la quantité g sera une constante; et a. en étant aussi une, on satisfera à cette équation (8) en prenant

e désignant la base des logarithmes népériens, et m une constante

telle que l’on ait d’où l’on tire

a.’ ni1 -f- m' = g*;

m' = ~ dr* (' — v/‘ ■+■ 4*v)-

La ligne que * représente est très petite et comparable à l’étendue / du rayonnement intérieur; elle est donc très petite eu égard aux

dimensions de. la section normale de la barre (n* 116), et — est une petite fraction numérique ; en sera une aussi, en général ; par conséquent, — j- ou a*g* sera une fraction extrêmement petite. Ou aura donc, en série très convergente,

\/i + 4 a* g* = 1 -f- aa*g* — 2 a. ‘g4 + /fa6g5 — etc.;

d où il résulte que si 1 on prend le signe inférieur dans la valeur de m‘> c* *lue 1 °n néglige la quatrième puissance de «g, nous aurons

"i* = 8‘ (« — **#*)» "» = ± gr(t — i «‘g*)»

et , au contraire, si l’on prend le signe supérieur, et que l’on réduise la valeur de rn‘ à son premier terme , ce qui suffira pour l’objet que nous nous proposons, il en résultera

m = — m = =fc ^ V — t-

Donc, en employant ces quatre valeurs de m, et remplaçant les exponentielles imaginaires par des sinus et cosinus d’arcs réels, nous aurons

u = Ae—*' -f- Be*" -f- C sin - -f- D cos -,

pour l’intégrale complète de l’équation (8); A, B, C, D, étant les quatre constantes arbitraires, et n désignant un nombre positif et très peu différent de l’unité, savoir :

Or, la ligne * étant très petite, on voit que les deux derniers termes de cette valeur de n varieront très rapidement avec or; d’après ce qu’on

i5o THÉORIE MATHÉMATIQUE

vient de dire, il faudra donc les supprimer comme étrangers à la

question, et l’on aura simplement

u = Àe— ** Be"»' ; (9)

expression qui ne contient plus que deux constantes arbitraires, ainsi qu’il s'agissait de le vérifier. Quoique celte valeur de u ait la même forme que si l’on eût considéré l’étendue du rayonnement moléculaire comme insensible, on voit néanmoins que cette étendue, quand elle a une grandeur sensible, influe sur la loi des températures permanentes de la barre, à raison du nombre n qui contient la constante a.

(ia5). On déterminera les constantes arbitraires A et B en désignant par 6 et 9' les valeurs constantes et données des températures qui ont lieu aux points E et E', c'est-à-dire, les valeurs de u qui répondront à x= h et x= h'. On aura alors

d’où l’on tire

ô = Ae— -J- Be"»', 9'= Ae~ ■**' + Be**‘';

benSk' — fiV*'1 e"S>- - e-"*» '

en désignant par A la longueur donnée de la barre, de sorte qu'on ait h! — h z= A.-

Si l’axe de la barre est une courbe fermée, les deux points E et E' n’en formant plus qu’un seul, on aura 9' = 9. En prenant ce point pour celui d’où l’on compte les distances x , c’est-à-dire pour le point fixe C, on aura aussi A=o et A' = A; et si l’on substitue les valeurs de A et B dans la formule (9), il en résultera

pour la loi des températures permanentes dans un anneau dont une

DE LA CHALEUR. a5i

.section normale est entretenue, par un moyen quelconque, à une température invariable.

Le cas le plus simple a lieu lorsque la barre se prolonge indéfiniment à partir de l’un des deux points E et E*, à partir du premier, par exemple. En prenant E pour le point fixe C, de sorte qu’on ait A = o et A' = A, et faisant la longueur A infinie, ou du moins très grande, les valeurs de A et B se réduiront à A = 6 et B = o, et l’on aura simplement

u — de-"*1;

ce qui montre que les températures permanentes de la barre décroissent en progression géométrique, lorsque les distances croissent par des différences égales; résultat conforme à l’expérience, dans les limites des erreurs dont ce genre d’observations est susceptible (*). En ayant égard à la valeur de n, on voit que, toutes choses d’ailleurs égales, l’influence de l’étendue sensible du rayonnement intérieur a pour effet de rendre un peu moins rapide le décroissement des températures, sans en changer la loi.

Si l’on désigne par y une longueur déterminée , prise quelque part que ce soit sur la longueur de la barre , et que l’on appelle p le rapport de la plus petite à la plus grande température qui ont lieu aux extrémités de f, on aura

P = log p — — g/,

en négligeant le second terme de la valeur de n. Pour une autre barre, parvenue également à son état permanent, si les quantités p et g deviennent p' et g', ou aura de même

p1 = e-*, log f' = — g’/;

d’où l’on -conclut

lt»B f £

En supposant que la section normale u et son contour « soient les

<*) Traité de Physique de M. Biot , lonic IV, payes fi66 el suÎTauie;

a5a THÉORIE MATHÉMATIQUE

mêmes dans les deux barres; en supposant, de plus, que leurs surfaces soient dans un même état, où elles ont été amenées, si cela est nécessaire, au moyen d’une couche additive (n* 4')> SOI"te que quantité p soit aussi la même pour les deux barres; enfin, en désignant par k' la conductibilité de la matière de la seconde barre, qui est k pour la première, le rapport de g‘‘ à g‘ sera celui de A à k', et l'on aura, en conséquence,

f — v io6 , ; »

équation très simple dont les physiciens se sont servis pour comparer les conductibilités de deux matières différentes, mais qui exige une très grande précision dans les valeurs de p et p' que l’on y substitue.

(124). Pour donner un exemple de la distribution de la chaleur dans une barre hétérogène, supposons que l’on juxtapose exactement l’une à la suite de l’autre deux barres homogènes qui ont la même section normale, et qui peuvent différer parleurs conductibilités et par l’état de leurs surfaces, qu’on suppose le même dans toute l’étendue de chaque surface.

Les points E et E' étant toujours les deux extrémités de la barre totale, appelons E, le point de jonction de ses deux parties. Soient A et A' leurs longueurs EEt et E(E'; prenons l’extrémité E pour le point d’où l’on compte les distances x ; supposons la barre entière parvenue à son état permanent; et, dans cet état, désignons, relativement à la distance quelconque x, par u la température qui a lieu dans la partie EE, , et par u' celle qui a lieu dans l’autre partie E,E'. Eri considérant l’étendue du rayonnement comme insensible , nous aurons, d’après l’équation (9), appliquée successivement à ces deux parties,

u — \e~‘* -f- Be*' , u' = A'e-*'* + B'e*'* ;

g et g' désignant les mêmes constantes que dans le numéro précédent, et A, B, A', B', étant quatre constantes arbitraires que l'on déterminera de la manière suivante.

La valeur de u subsistera depuis x = o jusqu’à x = A, cl celle de

DE LA CHALEUR. a55

#' depuis x = A jusqu'à x = A A'. Pour x = o, la première devra coïncider avec la température du point E, que nous représenterons par 8, et pour x = A-f- A', la seconde devra être égale a la température aussi donnée du point E', qui sera représentée par 8'j on aura donc, en premier lieu ,

De plus, en vertu des équations (5) du n° 70, ou aura au point de jonction E, les deux autres équations

dans lesquelles q est une quantité positive, dépendante des matières dont les deux parties de la barre sont formées. En y substituant les expressions précédentes de u et u, et donnant ensuite à x la valeur particulière x = A, qui répond au point E(, on aura

iq— gA)Aé-*‘+(<?+ gk)B^ = q\'e-*' 4- fB'e*\ 1 ((? + g'A-')A'e-«'‘+(î — S'k)VÜe*x=z qAe~^ + ; j

et ces deux équations, jointes aux valeurs précédentes de 8 et 6', feront connaître les valeurs demandées de A, B, A', B'.

Si la partie EyE' de la barre se prolonge indéfiniment , de sorte qu’on ait A' = ce , la valeur de B' sera nulle , sans quoi la valeur précédente de 8' serait infinie; on aura donc simplement

ce qui montre que la température «' de cette partie E,E' décroîtra en progression géométrique pour des valeurs de x croissantes par des différences égales ; et cela doit être , en effet , puisque E(E' est alors une barre dont l’extrémité E, est entretenue à une température invariable, et qui se prolonge indéfiniment à partir de ce

a54 THÉORIE MATHÉMATIQUE

point E,. En désignant par p' le rapport des températures qui répondent aux deux extrémités d’une partie f prise quelque part que ce soit sur E,E', nous Burons, comme plus haut,

r' = e-f,/, logj.

On ne doit pas perdre de vue que les formules précédentes n’ont pas lieu au point même E/; elles ne subsistent qu’à une distance un peu plus grande que l’étendue du rayonnement moléculaire, de part et d’autre de ce point de jonction : à des distances moindres la température varie très rapidement; en sorte qu’à cette distance même, quoiqu’elle soit très petite et que nous l’ayons supposée insensible , la température peut avoir des valeurs très différentes pour les deux parties de la barre. Je désignerai pary' et y' les températures de ces deux parties, qui ont lieu à cette distance de E, un p>eu plus grande que l ; les valeurs de y et y’ se déduiront de celles de u et u', en y mettant pour x des quantités très peu différentes de A, ou bien, avec une approximation suffisante , en y faisant x = A ; par conséquent , dans le cas où la partie est infinie, nous aurons

Le second membre de la seconde équation (i i) sera la valeur de qy ; et en faisant B' = o dans son premier membre , nous aurons aussi

On conclut de là

et comme la quantité g’k1 est toujours piositive, il s’ensuit qu’on a aussi toujours y >y .

Je représente par pt le rapport de y' ky; en substituant dans cette dernière équation, à la place de g', sa valeur précédente, elle deviendra

■»/=(»/ + *' log J) ff

Lors donc que la conductibilité kt relative à la matière de la par-

DE LA CHALEUR. a55

lie E,E' de la barre sera connue , que l’on aura pris pour J une longueur déterminée, et que l’on aura déterminé, par l’expérience, les deux fractions f' et f(, cette dernière équation fera connaître la valeur de la quantité q relative au passage de la chaleur d’une matière dans une autre.. Nous n’avons aucune donnée sur sa grandeur, qui peut varier avec la matière de chacun des deux corps ; il serait à désirer que les physiciens l’eussent déterminée : ce serait un quatrième élément à ajouter à la chaleur spécifique, à la conductibilité et au pouvoir rayonnant des corps, dont l’expérience seule peut nous faire connaître les valeurs numériques.

(ia5). Lorsque l’on considérera les quantités k et p comme variables avec la température, l’équation du mouvement de la chaleur ne sera plus linéaire par rapport à a, et dans le cas même d’une barre cylindrique et homogène parvenue à un état permanent , ‘on ne pourra plus intégrer cette équation sous forme finie; mais si les températures de ses différons points ne sont pas très élevées, on obtiendra sans peine la valeur de u par la méthode des approximations successives.

Pour le faire voir, je suppose que les valeurs de k et p soient développées suivant les puissances de u, seulement jusqu’à la seconde puissance exclusivement ; je mets , en conséquence , k -f- krnu et P ri" PVU ® placc de A et p dans l’équation (5); j’y fais aussi Ç = o, et j’y regarde a comme une quantité constante ; il vient

dx'

— g'u =g‘ yu'

La constante g* est, comme précédemment, égale à Dans le vide,

la constante y serait le logarithme népérien du nombre constant 1,0077 ( n° 26) ; dans l’air, sa valeur est modifiée par le contact du fluide, et n’a pas été déterminée par l’expérience (n° 39). Quant à la constante m, elle dépend de la manière dont la conductibilité varie avec la température, et sa valeur n’est pas non plus connue. Je supposerai la barre indéfiniment prolongée au-delà du point E , à partir duquel je compterai les distances x , et dont la température donnée sera 8, comme plus haut.

a56 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Cela posé, en négligeant d’abord le second membre de l’équation (12), on aura

D'après la méthode des approximations successives, on fera donc u — ôe-*' -I- v;

et en substituant cette valeur de u dans l’équation (ta), on négligera la nouvelle inconnue v dans son second membre; en sorte que l’on aura

^ — gV = g'6‘ (y — a m)e— ".

De plus, cette inconnue v devra s’évanouir pour A = o et pour x =.» , puisque déjà le premier terme de la valeur de u est égal à 6 et à zéro pour ces deux valeurs extrêmes de x. D’après cela, nous aurons

v — j {y — i m) (e-*" — e“") , et, par conséquent,

k = [j — | — Jffi)] Se"" + ^ (> — am) e~*

ce qui montre que, dans le cas que nous examinons, la température ne décroît plus exactement en progression géométrique pour des distances croissantes par des différences égales.

Par des expériences précises , faites sur des barres de différentes matières, si l’on parvenait à mesurer les quantités dont la loi des températures s’écarte delà progression géométrique, on en pourrait conclure la valeur de la quantité m, en supposant connue celle de y, ou du moins, on en conclurait les différences des valeurs de m relatives à des barres dont la surface est dans le même état.

(126). Dans le cas où l’étendue du rayonnement intérieur n’est pas supposée insensible, et auquel se rapporte la valeur de u déterminée par l’équation (7), il est bon de donner aussi l’expression correspondante du flux de chaleur T.

Je suppose, comme dans l’équation (7), la barre cylindrique et

DE LA CHALEUR. aüy

homogène, ce qui réduit la formule (a) à celle-ci :

T = J'1 ^ (M, — «') Qsds'ds, j

dans laquelle «' et ut sont les valeurs de u qui répondent à x-\~s' et x — s,, et où l’on a

Par le théorème de Taylor, on aura donc

- -'--èk + o + iEcv-'*).

- nh Ê (V + O + 7X31 S W - ^ «‘c.

Or, quel que soit le nombre n, on a évidemment,

/x v *sds><h' = /:/: (,5>

ce qui .fera d’abord disparaître les différentielles paires de u dans la valeur de T. De plus, en étendant l’intégrale relative à s' depuis s' — o jusqu’à s' — co, ce qui est permis, et remplaçant ensuite f par la variable s, les limites relatives à s seront s=s, et r = oo, et l’on aura

/ <psd/ = Ç * Qtds.

Cette dernière intégrale sera une fonction de s, qui s’évanouira pour r,= /, et au-delà; je la désignerai par et en la difTérentiant par rapport à st, nous aurons

d'il,

par la règle de la différentiation sous le signe f. En intégrant par partie, on aura donc

/v4'A = 4^ ^ fsr'v,ds.

Le terme compris hors du signe f s’évanouit aux deux limites sl — o

a 58 THÉORIE MATHÉMATIQUE

et $, = / ; si donc on remet dans le premier membre de cette équation f tpsds' à la place de 4-*,» et que l’on emploie la lettre s au lieu de sé dans l’intégrale que renferme le second membre, on en con-

clura

SX s; *sds>ds> = W'f° s~' *sds’

et , par conséquent ,

• SX k" + s'm) ÏT, SX1 vsds- ('4)

Au moyen du développement de «, — «' et des équations (i3) et ( 1 4) » nous aurons, pour la valeur de T en série.

k, «, £, etc., étant les mêmes constantes que dans le n° lai.

(137). Cette expression de T montre qu’en général le flux de chaleur n’est pas proportionnel à l’accroissement de température daus une épaisseur infiniment petite de la barre, divisé par cette épaisseur. Cette proportionnalité, qu’on avait admise pour démontrer les équations du mouvement de la chaleur, d’une manière indépendante d’aucune hypothèse sur le mode de sa propagation (n°63), n’a réellement lieu que dans deux cas particuliers : lorsque l’étendue du rayonnement moléculaire est insensible, ce qui réduit la valeur précédente de T à son premier terme, en rendant les termes suivant insensibles par rapport à. celui-là; et quand la température varie uniformément, quelle que soit alorss. l’étendue de ce rayonnement. Dans ce dernier cas, le flux de chaleur est proportionnel, comme on va le voir, au rapport constant de l’augmentation de température dans une épaisseur quelconque à cette épaisseur.

En effet, pour appliquer cette formule au cas des températures permanentes de la^ barre, il suffira d'y substituer à la place de u sa valeur donnée par la formule (9). Dans le cas où le rayonnement latéral esi.ppl, .on: 3. ÿ ;=*,?; uipis eyi supposant d’abord cette cons-

tante infiniment petite, la formule (g) devient

« = A + B -f (B — A )ngx.

En vertu des équations (io), on a, en général,

ç'ig* . - — tie\ 9

quantités qui se réduisent à

Ou aura donc alors

- ty — L'h . (LziiLî.

A "* ng’A ’

eu sorte que la température croîtra uniformément dans toute la longueur de la barre. Or, en substituant cette valeur de u dans celle de T, il vient

c'est-à-dire, une quantité proportionnelle à la différence 0 — 0', des températures extrêmes de la barre, divisée par sa longueur A; ce qu’il s’agissait de vérifier. On voit que dans ce cas d’une température croissante uniformément, le flux de chaleur est indépendant de la grandeur sensible du rayonnement moléculaire, et ne dépend,

outre le rapport — ^ — , que de la conductibilité k, qui aurait lieu si cette grandeur était insensible.

(128). Occupons-nous maintenant du mouvement de la chaleur daus l’état variable de la barre, ou de la valeur de u en fonction de t et de x. Mais supposons, pour simplifier la question, l’étendue du rayonnement moléculaire insensible, ce qui permettra d’employer l’équation (3); les quantités k dp indépendantes de u, ce qui rendra

a6o THÉORIE MATHÉMATIQUE

cette équation linéaire; et enGn la température Ç constante et égale à zéro. Les quantités co, k, p, seront des constantes ou des fonctions quelconques de x, données dans chaque exemple.

Quelle que soit h» valeur inconnue de u, on pourra la représenter (n* 84) par

u = 2 Re“>‘;

f étant une constante quelconque, R une fonction inconnue de a-, qui pourra contenir p et d’autres constantes indéterminées, et la somme 2. s’étendant à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires,-de p et de ces autres constantes.

Je substitue celte valeur de u dans l’équation (5); en égalant le coelGcieut de la même exponentielle e~r‘ dans scs deux membres, il vient

-.di"

De cette équation différentielle du second ordre, on tirera pour R une valeur de cette forme :