CHAPITRE IX

Distribution de la chaleur dans une barre dont les dimensions transversales sont très petites.

(116). Considérons, généralement, one barre homogène ou hétérogène, dont la section perpendiculaire à sa longueur peut varier d'un point à un autre , pourvu qu’elle soit toujours très petite ; supposons-Ia d’abord échauffée d’une manière quelconque suivant toute sa longueur; et proposons-nous de déterminer, à un instant donné, la température qui re’pond à une section normale aussi donnée.

Soit EE' (fig. i3) l’axe de la barre, compris dans son intérieur, et perpendiculaire en E et E' aux deux sections planes qui la terminent. Sur le prolongement de EE', prenons un point fixe C. Soit aussi M un point quelconque de EE'; et faisons.

CM = x, CE = h, CE ’ — h',

de sorte que h! — h, x — h , A' — x, expriment la longueur de la barre et les distances du point M à ses deux extrémités. Appelons en l’aire de la section normale faite par le point M, et « le contour de cette section. Les dimensions de eu seront supposées très petites par rapport à sa longueur EE'; et, dans cette hypothèse, on pourra regarder la densité, la chaleur spécifique et la température comme étant sensiblement les mêmes en tous les points de chaque section normale. Nous désignerons par p et c la densité et la chaleur spécifique de la matière de la barre qui répondent au point M ou à la section ce-, et, au bout d’un temps quelconque t, nous représenterons par u la température relative à cette même section normale.

a54 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Les quantités eu , < , p , c , seront des constantes données , si la barre est homogène et partout également épaisse; et, en général, ces quantités seront des fonctions données de x. La quantité u sera une fonction inconnue de x et t qu’il s’agira de déterminer. A la rigueur, a>, e, p, c, varieront aussi avec la température; mais, daus les applications qu’on fera des formules suivantes, on pourra faire abstraction de cette variation, et regarder ces quatre quantités comme indépendantes de t.

Cela posé, je divise la barre en tranches normales d’une épaisseur insensible. En appelant » l’épaisseur de la tranche qui répond au point M, son volume, sa masse et sa surface latérale seront eur, paru , cm. Soit M' un point de la droite ME' très voisin de M ; faisons

CM' = cd, MM' = s;

désignons par eu', p', u', ce que deviennent eu, p, u , quand on y change x en x' ou x + s; et appelons m' l’épaisseur de la couche normale qui répondra au point M', et dont la' masse sera p'tu'n'. Si l’on considère l’échange de chaleur entre chaque partie de grandeur insensible, appartenant à la masse par, et toutes les parties semblables comprises dans sa sphère d'activité et appartenant à la masse p'û>Y, il est évident que cet échange sera le même dans toute l’étendue des deux sections eu et eu' , excepté à des distances de leurs contours, moindres que l’étendue sensible du rayonnement moléculaire. En supposant donc que les dimensions de eu, quoique très petites, soient néanmoins extrêmement grandes par rapport à cette étendue, et négligeant, en conséquence, les échanges de chaleur qui ont Heu près de la surface latérale de la barre, on pourra supposer la totalité de la chaleur émanée de la tranche peur et absorbée par la tranche p’eu'r', proportionnelle à l’aire eu de la première ; et comme elle est aussi proportionnelle à leurs épaisseurs et à leurs densités (n* 10), et qu’elle s’évanouit en même temps que la différence de leurs températures, on pourra la représenter, pendant l’instant dt, par un produit

- cupp'rrT (u — u')dt ,

dans lequel P est un coefficient positif, qui n’a de valeurs sensibles

DE LA CHALEUR. a35

que pour des valeurs insensibles de la distance MM'. En même temps, la chaleur émanée de la masse p'mV et absorbée par pem pendant cet instant dt, pourra être représentée par

ai'p'px'xP' (u" — u)dt;

mais cette quantité devant résulter de la précédente, par la simple permutation des lettres relatives au point M et de celles qui répondent au point M', il faudra qu’on ait

Nous exprimerons chacune de ces deux quantités égales par le produit

p étant une fonction de s très rapidement décroissante, et sensiblement nulle à une très petite distance que nous représenterons toujours par l, comme dans le chapitre IV. Cette quantité sera, en outre, une fonction symétrique par rapport à u et u’, ainsi qu’à x et x1 ; elle ne dépendra pas de x et x‘ , lorsqu’il s’agira d’une barre homogène.

Il résulte de là, que si le point M est situé à une distance ME de E' qui surpasse I , la quantité de chaleur communiquée par la tranche fa» i pendant l’instant dt , à la partie ME' de la barre, sera la somme des valeurs de

t(» 4* «*') »»>(*, u, u', x, x) (u ~ u')dt,

étendue à toutes les valeurs sensibles de la fonction <p , daus laquelle fonction on a compris le facteur pp', ce qui n’en change pas la nature. De même, si l’on considère un autre point M(, appartenant à la partie ME de la barre et situé à la distance j de M ; que l’on désigne par x t la distance CM, , de sorte qu’on ait xt = x — - s ; et que l’on représente par , ot, , ce que deviennent », a> , u, relativement à ce point M,, la somme de toutes les valeurs sensibles de

"H <“,)’'»',*(•*! «» u,f *,) (« — u,)dt,

exprimera la quantité de chaleur communiquée pendant l’instant dt ,

a3(j THÉORIE MATHÉMATIQUE

par la tranche pati, à la partie EM de la barre. En réunissant cette somme à la precedente , nous aurons donc la perte totale de chaleur de cette tranche , provenant de la communication de la chaleur ; et comme ces deux sommes pourront être remplacées par des intégrales dans lesquelles on mettra ds au lieu des épaisseurs a' et a, (n* 46), il s’ensuit que cette perte de chaleur de pun, pendant l'instant dl, aura pour expression

ï[/o *('>“> “,,x’ *')(•+•')(“-“')* "b fl ?('>">",! x> ' “JA J 1 <*• ■

Mais, en outre, la même tranche éprouve pendant cet instant une autre perte de chaleur provenant du rayonnement extérieur et du contact de l’air, qui sera proportionnelle à la surface latérale at de la tranche, et que l’on pourra représenter par

a tp(u — Ç)dt ;

Ç désignant la température extérieure (n* 67) qui pourra être une fonction donnée de t, ou simplement une constante donnée; et p représentant un coefficient positif, qui pourra dépendre de « et Ç, et varier d’un point à un autre de la barre, quand l’état de sa surface ne sera pas partout le même. U faudra donc ajouter cette dernière quantité à la précédente , pour avoir toute la diminution de chaleur de la tranche (ton correspondante à la variation du de sa température; laquelle diminution a aussi pour valeur — cmndu ( n" 5 ). Donc , en égalant ces deux expressions d’une même quantité, et réunissant en une seule les deux intégrales relatives à s, nous aurons

ca> 3T = ifl l>('» “» u'> x> *0 (» + »') («' — «) ,ts

résultat d’où l’on déduira facilement l’équation aux différences partielles relatives au mouvement de la chaleur , suivant la longueur de la barre.

Le flux de chaleur qui a lieu à travers la section t» correspondante au point M, proviendra des échanges entre toutes les tranches de la partie EM de la barre et toutes celles de la partie ME'; sa valeur

DE LA CHALEUR. a37

sera donnée par une intégrale double, étendue depuis zéro jusqu'à l , de part et d’antre de cette section; et si on le désigne par Tudt pendant l’instant dt, en le considérant de la partie EM dans la partie ME', il est aisé de voir, d’après ce qui précède , que l’on aura

= u<> *'»*») (*'+*•) (ul — u')ds’ds„ (a)

en faisant

MM' = s', MM, = s„ MM' = ,,

et conservant d’ailleurs toutes les autres notations.

(1 17). Dans la formule (1), si l’on développe suivant les puissances de s les quantités comprises sous le signe f , excepté celles qui varient très rapidement avec cette variable , les termes indépendans de s et ceux qui dépendent de sa première puissance se détruiront. Si l’on veut traiter comme on la fait dans le n“ /,g , l’étendue du rayonnement moléculaire comme insensible, il faudra donc borner l’approximation aux termes dépendans du carré de s. On aura alors

, «fu , I

ax a

f^U dx' ’

du , 1 d'u ““ ' Tx + ï J &

11 suffira de conserver la première puissance de s dans les développeniens de »' et et dans celui de la fonction <p; ou aura , en conséquence,

, , du

et en observant que la fonction 1 p est symétrique, soit par rapport aux températures, soit par rapport aux distances auxquelles elles répondent , nous aurons aussi

= Q -iOSz + S)'

où l'on a fait, pour abréger,

Au moyen de ces differentes valeurs, et en remplaçant ^

par la différence partielle de Q prise par rapport à x et à tout ce qui en dépend, c’est-à-dire, à x et à la température u considérée comme une fonction de x, la première partie de la formule (i) deviendra

s*ds

Donc en étendant jusqu’à l’infini l'intégrale relative à s , ce qui est permis, et faisant

il en résultera

du dX M yx f-

cudi=—^ — v(“— O» (3;

pour l’équation demandée du mouvement de la chaleur.

Au degré d’approximation où nous nous arrêtons, il suffira de conserver la première puissance de s sous le double signe ff dans la formule (a), et de cette manière, on aura immédiatement

résultat d’où l’on peut aussi déduire l'équation précédente. Il s’ensuit, en effet, que l’excès de chaleur qui va de la partie EM dans la

partie ME’ de la barre pendant l'instant Al , est exprimé par— k^udt; celui qui va pendant le même instant, de la partie EM' dans la partie

iu d.t±.

M'E', aura donc pour expression — k otdt — — sdt , en né-

gligeant le carré de s; par conséquent l’augmentation de chaleur qui en résultera pour la partie correspondante à MM ou s, sera égale à

— -j~— sdt\ en en retranchant la perle de chaleur sep (u — Cjdt ,

qui a lieu pendant l’instant dt, à travers la surface latérale se de cette partie de la harre, on aura donc son augmentation de chaleur caisdu correspondante à la variation du de sa température; et en supprimant le facteur commun sdt, il en résultera l’équation (3).

(i 18). Si l’on désigne par <& et ce que devient la quantité p relativement aux surfaces planes qui terminent la barre en E et E', par e et e' les aires de ces sections normales, et par v et v’ les températures qui répondent à des points p. et p' situés à une distance très petite, mais un peu plus grande que /, de E et E*, les quantités ta- {y — Ç)edt et ea'(y — £) c'dt seront les flux de chaleur qui auront lieu pendant l’instant dt, de dedans en dehors, à travers les surfaces e et e . Appelons aussi y et y' les valeurs de T relatives aux points p et p'. Les flux de chaleur pendant l’instant dt , de E/* dans pE' et de E'p' dans p' E, aurout pour expressions y edt et — yedt. D’ailleurs, si les dimensions de e et e', quoique très petites , sont cependant supposées très grandes par rapport aux longueurs Ep et p' E' des parties extrêmes, on pourra négliger les perles de chaleur résultant du rayonnement à travers leurs surfaces latérales, par rapport aux flux de chaleur à travers leurs sections normales. Les ae- «roissemens de chaleur de ces parties, pendaut l’instanl dt , seroul donc simplement

[>' — «■' (/ — £)] e'dt , — [> -f- ta (v — f)] edt ;

par conséquent, les coefficiens de e'dt et edt, dans ces expressions , devront être des quantités extrêmement petites, comme leslongueuis E p et p' E1, sans quoi la température varierait avec une extrême rapidité , d’un instant à l’autre, dans les parties extrêmes de la barre. Nous admettrons qu’une telle variation de température n’a plus Ken dans aucune partie de la barre , après les premiers momens de son échauffem.ent ou de son refroidissement (n* 68). Nous continuerons aussi de regarder comme insensible l’étendue l du rayonnement moléculaire; les longueurs Ep et p' E' des parties de la barre que nous considérons seront également insensibles; et, par suite, les coeffi-

a4o THÉORIE MATHÉMATIQUE

riens de edt et e'dt seront sensiblement nuis; en sorte que l’on

aura

On pourra aussi , sans erreur sensible, faire successivement x = h et x — h', dans les expressions de T et u, pour en déduire les valeurs des quantités y et v, y' et d, que ces éqnations renferment. Donc, abstraction faite des premiers momens qui suivent l’état initial de la barre, et en supposant insensible l’étendue du rayonnement intérieur, nous aurons

k ^ — «t(m — Ç) = o, pour x = h ,

k jjg H- <a,(u — Ç) = o, pour x = h'}

équations qui se déduisent aussi immédiatement de l’équation (3) du n* 67, relative à la surface d’un corps de forme quelconque.

Lorsque les sections extrêmes e et e' de la barre seront dans le même état que sa surface latérale , ce qui suppose que cette surface soit aussi partout la même , on fera <w = <sr' = p. Si la barre est placée dans le vide et que l’une de ses extrémités soit imperméable à la

chaleur, on aura <ar = o ou ar'=o; ce qui réduira à ^ = o l’équation relative à cette extrémité. Si la température qui répond à l’une des extrémités est entretenue, par un moyen quelconque, dans un état constant ou variable suivant une loi donnée, on remplacera par u = U celle des deux équations (4) qui s’y rapporte ; U étant la température constante ou donnée en fonction du temps.

Observons aussi que les sections normales de la barre étant supposées très petites, les équations (3) et (4) subsisteront encore lorsque l’axe EE', auquel ces sections sont toutes perpendiculaires, sera une ligne courbe quelconque, pourvu que les distances x soient comptées sur cette courbe, à partir d’un point fixe C choisi arbitrairement. Il pourra arriver que cet axe soit une courbe rentrante sur elle-même, et que la barre se change en un anneau. Les points E et E' étant alors un seul point, il faudra que les températures désignées par v et / soient égales , et que les flux de chaleur y et

UE LA CHALEUR. a4«

y' soient aussi égaux ; ou , autrement dit , il faudra que les valeurs de u qui répondent à x — h et x = h', soient égales, ainsi que les valeurs

de T, ou celles de ~ ; et les deux équations qui en résulteront devront remplacer les équations (4). Dans le cas dune barre changée en un auneau, on pourra prendre tel point que l’on voudra sur l’axe curviligne, pour le point où se réunissent les deux extrémités E *et E'; d’où il résulte que la fonction «et son coefficient différentiel

l~ devront avoir cette propriété de ne pas changer de valeurs, lors-

qu’on y augmentera la variable a: d'une quantité égale à la longueur entière de l’axe curviligne : c’est, en effet, ce que l’on vérifiera par la suite.

Ces diverses équations particulières, relatives aux différens cas qui pourront se présenter, jointes à l’équation (3) commune à tous les points de la barre, et à la loi de ses températures initiales, suffiront toujours pour déterminer complètement la valeur de u en fonction de x et t.

Quand la température extérieure Ç sera constante, et que les températures des extrémités de la barre seront entretenues à un degré constant, la barre parviendra, après un temps plus ou moins long, à un état permanent dans lequel u ne sera plus qu’une fonction de x. D’après l’équation (3), on aura donc, pour déterminer cette inconnue ,

équation différentielle du second ordre dont l’intégrale contiendra deux constantes arbitraires , que l’on déterminera an moyen des valeurs données de « qui répondent à x — h et x = h'. Comme elle ne contient pas la chaleur spécifique c, la loi des températures permanentes de la barre sera aussi indépendante de cet élément , qui influera seulement sur la loi du refroidissement de la barre avant de parvenir à son état final.

(119). Si l’on fait abstraction du rayonnement latéral, et que l’on suppose constante la section normale ai , l’équation (3) se ré-

duira à

du dx C dt dx'

Pour qu’elle coïncide avec celle que nous avons déduite , dans le n* 65, de 1 équation (7) du n° 49» relative à un corps de forme quelconque, il faut que l’intégrale désignée par k dans le n° 117 t

soit la même que celle qui avait été représentée par cette lettre dans le n“ 49- Ces intégrales sont, d’après les notations employées dans ces deux numéros ,

k — J' Qs'd.s , k — y J'1 Xr’dr ;

et, par la nature des quantités Q et V, ou peut inditréremment les étendre à la limite /, comme nous le faisons ici , ou jusqu’à l'infini , comme dans les numéros cités. Ce sont donc ces deux valeurs de k dont il s’agit de vérifier l’identité.

Puisque, dans le calcul des échanges de chaleur, on peut décomposer les corps immédiatement en éléniens différentiels', et remplacer les sommes par des intégrales ( n* 46 ) > je prends dx pour l'épaisseur de la tranche normale qui répond au point M , et ds pour celle de la tranche correspondante au point M’; je désigne aussi par dx un élément quelconque de la section eo, et par dt1 un élément aussi quelconque de la section et' ; en sorte que les élémens différentiels des volumes de ces deux tranches soient exprimés par d.rdr et ds<h' .

Soit r la distance de l’un à l’autre. L’échange de chaleur, pendant l’instant dt , entre les parties matérielles qui leur correspondent , aura pour expression , d’après le n° 45 ,

R(« — lé) dt;

R étant une fonction de r et d’autres variables, qui 11’a de valeurs sensibles que pour de très petites valeurs de r. Par conséquent , la quantité de chaleur émanée de la tranche correspondante au point M, et absorbée par celle qui répond an point M', pendant le même instant , sera l'intégrale de cette quantité , étendue à tous les élémens

de et do' des deux sections normales e» et et', relatives à ces points M et M'; laquelle quantité a été représentée plus haut (n* 1 16) par

j (et et') dxds . $ (r , u, u‘, x, x') ( u — u^dt ,

en remplaçant par dx et ds les épaisseurs a et a' des deux tranches. Si donc on supprime le facteur ( u — u! )dx dsdt , constant dans cette intégration et commun à ces deux dernières formules ; que l’on réduise R et <p(s, u, u ', x, x ') aux premiers termes V et Q de leurs développemens (n“ 49 et 117), et que l’on mette a» à la place du facteur f (a> + et') , nous aurons

équation dans laquelle V est une fonction de r, u, x , et Q une fonction de r, u, x , qui s’évanouissent dès que r ou s surpasse l.

Maintenant, pour effectuer l’intégration relative à la section et’, j’abaisse de l’élément des de la section et une perpendiculaire sur et1, qui rencontre cette section et' en un point O ; j’appelle s' la distance de l’élément da' de et1 au pied O de cette perpendiculaire , et 4- l’angle que fait cette droite d avec une ligne fixe menée par le point 0 dans le plan de et' ; de cette manière, on aura

r* = r* -f- y*, ded — s'ds'dy J,;

et si le point O est situé à une distance sensible du contour de a, c’est-à-dire, à une distance pins grande que l, on devra étendre l’intégrale dont il s’agit depuis 4 = 0 jusqu’à 4 = avr, et depuis d = o jusqu’à d = l, ou, si l’on veut , jusqu’à d = co • En observant d’ailleurs que la quantité V est indépendante de l’angle 4 > on aura alors

rvdd rx r ™ vsdJity r™ vt ds'

Dans cette dernière intégrale, je remplace s' par la variable r; on aura s'ds’ = rdr, et les limites relatives à r seront r—s et r= « ; on aura donc 1 n

Les dimensions de a étant extrêmement grandes par rapport à l, on peut, dans l’intégration relative à 01, négliger lesélérnens pour lesquels le point O est situé à une distance de la surface latérale de la barre, moindre que l, et prendre, en conséquence, cette dernière

valeur de pour celle de cette quantité dans toute l’étendue

de cette intégration; et comme cette valeur est la même dans toute cette étendue, il s’ensuit que l’on aura alors

\drdr'

d’où l’on conclut

.Cela posé, en intégrant par partie, on a

r<yj, = jqe- ifÿM,

le terme compris hors du signe / s’évanouit aux deux limites s = o et s = l; de plus , en différentiant la valeur précédente de Q par rapport à s, il vient

ds t ’

en désignant par V' ce que devient V quand on y met s au lieu de r ; on aura donc

ou bien, en employant la variable r au lieu de s dans la dernière intégrale,

fl ^ds = T J! Wddr;

ce qu’il s'agissait de vérifier.

(120). La quantité À' qui entre dans l’équation (3) étant* ainsi la même que celle qui est désignée par la même lettre dans l’équation (7) du n* 49 , on peut encore vérifier que ces deux équations

coïncident, non-seulement dans le cas d’une barre cylindrique ou prismatique, comme dans le n° précédent, mais aussi dans le cas d’une barre conique, en supposant toujours que l’on fasse abstraction du rayonnement latéral de la barre.

En effet, prenons le sommet du cône pour le point C; appelons r la distance CM qni était précédemment désignée par x; la section correspondante ea se déduira de la section e qui répond au point E ou à la distance CE = h, de sorte que l'on aura

er*

En supprimant le terme de l’équation (3) qui dépend du rayonnement extérieur, on aura donc

cr*

dr #

Mais, si le point C est le centre d’une splicre, et si, dans ce corps, la conductibilité k et la température u sont les mêmes en tous les points également éloignés de C, de manière que ces deux quantités ne soient fonctions que de r et t, il est évident que la distribution de la chaleur dans chaque cône appartenant à cette sphère, et qui a son sommet au point C, sera la même que dans le cône isolé auquel se rapporte l’équation précédente; par conséquent, cette équation devra coïncider avec l’équation (7) du «*49, appliquée à la sphère dont il s’agit.

Or, en plaçant au point C l’origine des coordonnées rectangulaires x, y , z, du point quelconque M, on aura

la température u n’étant fonction que de t et du rayon vecteur r, on en conclura

du du x du du jr du du %

dx ~~~ dr r 9 djr ~~~ dr r * dz dr r 5

et parce qu’il en est de même à l’égard de k, il en résultera

, , du du

' dx dr , du / +

dx «Ir * r* ' dr r* *

d?* dr jr> du x* -f x*

djr dr r° ' dr * r3 *

. , du du

dz dr ** , du x'+j'

dz “ dr ’ r* ' </r " r* 1

au moyen de quoi l’équation (7) se changera en celle-ci :

rfu ~di ~

ik du T dr *

qui coïncide avec la précédente, après qu’on a multiplié ses deux membres par r*.

(rai). Examinons actuellement le cas où l'étendue du rayonnement intérieur n'est pas regardée comme insensible; et pour simplifier la question, supposons la barre cylindrique et homogène, et la conductibilité indépendante de la température ; en sorte que la section a soit constante, et que la fonction <p comprise dans l’équation (1) ne soit fonction que de la variable s-, ce qui réduira cette équation à

c ^ ^ (u' + u, — a u) <p sds — ^(u — f). (6)

En observant que li et u, sont ce que devient w, lorsqu’on y change x successivement en x-f-r et x — r, on aura, d’après le théorème de Taylor,

s3 d'u l.t 3 dx'

-+• etc.,

— -jn — s tt 4- etc.