GA — H®) (G, 'A + H',®') = (G'A + H'®') (G, A — II

équation qui servira à déterminer les valeurs de c. En ajoutant les deux équations précédentes, on aura, en outre, sous une forme

DE LA CHALEUR. a6i

symétrique par rapport aux deux extrémités de la barre,

B = A (G Je + G ,'k — 11,® + H >'),

B'= A (H-sr — I1V — GA — G'k) ;

A étant une constante qui restera indéterminée.

D’aprcs cela, si nous faisons

X = (G/4-G,'*— Il/sr Y — (GA + G’k — ( 1 7)

nous aurons

u = 2AXe^';

et la somme 2 ne devra plus s’étendre qu’aux valeurs de f tirées de lcquation (i 6). Si cette- équation admet plusieurs racines .égales, on n’en emploiera qu’une seule, de sorte que tous les termes de la somme 2 répondent à des valeurs inégales de p, et renferment des exponentielles distinctes. C’est ce que suppose essentiellement le procédé que l’on va suivre pour déterminer le coefficient A en fonction de f d’après l’état initial de la barre.

Pour cela , j’ai recours à la méthode indiquée dans le n* 85. Je multiplie, en conséquence, les deux membres de l’équation (3) par \dx , puis j’intègre dans toute la longueur de la barre, c’est-à-dire depuis x— h jusqu’à x= h'. En faisant, pour abréger,

^ cuXudx a v,

et observant que ct»\ ne dépend pas dè t , de sorte qu’on aura en même temps,

/•*' v du , dv

J h c**7idx=Â>

il en résultera

£=/ -^±\dx-rh(l

dl J t, dx J h 1

pXudx.

Eu intégrant deux fois de suite par partie, il vient

f il*!

dx y / v ; du » dX ■

\(fx = X (DK v* — ueek — r

dx

dx

Cd.uk f

J-^udx.

a6a THÉORIE MATHÉMATIQUE

Mais en vertu de l’équation (i5), qui détermine R dont X est une valeur particulière, on a

d..yf

ipX = fCuX ;

la valeur précédente de g deviendra donc

les quantités comprises entre les parenthèses répondant à ,r — h', et celles qui sont renfermées entre des crochets à x = h. Or, en vertu des équations (4), auxquelles on doit satisfaire en y mettant Xe~t‘, ou simplement X au lieu de «, on a aussi

A' g = «X, quand x = h,

A g = — <w'X, quand j: = h' ;

et de ces équations particulières, jointes aux équations (4), on conclut

ce qui fait disparaître le second membre de l’équation relative à v , et la réduit à

dv

En intégrant et remettant pour v l’intégrale définie que cette lettre représente , on aura donc

Çh ccaXudx = De- '' i

P étant la constante arbitraire. Pour la déterminer , je suppose

qu’on ait

« = Fx, ' •

quand t = o, de sorte que Fx soit une fonction de x, donnée dans toute la longueur de la barre, c’est-à-dire, depuis x = h jusqu’à x = h'. Cette fonction représente la loi des températures initiales de la barre, abstraction faite de l’intervalle de temps pendant lequel cette valeur arbitraire de u ne satisfait pas, en général, aux équations (4) relatives aux extrémités de la barre ; intervalle de temps que l’on suppose assez court pour que les températures de tous les points de la barre, situés à une distance sensible de ses extrémités, ne changent pas sensiblemcut pendant sa dorée. De cette manière , on aura

D=/a ceoXFxdx ,

et , par conséquent ,

f h cuXudx == e~fi rvXFxdx.

Maintenant, si l’on substitue dans le premier membre de cette équation , à la place de a, sa valeur en série d’exponentielles, il faudra que les coefficiens de toutes les exponentielles différentes de e~fl soient zéro dans ce premier membre, et que celui de e~ft soit égal au coefficient de la même exponentielle dans le second membre. Si donc f‘ est une racine de l'équation (i6), distincte delà racine f, et si l’on désigne par X' la valeur de X correspondante à cette racine f' , il faudra qu’on ait

fh cuXX'dx = o ;

équation au moyen de laquelle on démontrera , comme dans le n* go, la réalité des racines de l’équation (16). De plus, dans le cas de f' ss f , il faudra que l’ou ait aussi

A Çh caX'dx = Ç h cuXFxdx ;

a64 THEORIE MATHÉMATIQUE

ce qui détermine la valeur du coefficient A correspondant à une racine quelconque f de cette équation (»6).

Au moyen de cette valeur de A en fonction de /> , celle de u deviendra

ctiXFrdx

~FK' ~

J ^ Cm\*dx

formule qui renferme la solution générale et complète du problème , en supposant, du moins, l’intégration de l’équation (i5), qui ne pourra s’effectuer, exactement ou par approximation , que quand les valeurs de k, p, c , a> , e , en fonctions de x, seront données dans chaque exemple. Nous allons l’appliquer spécialement au cas particulier de la barre cylindrique ou prismatique, homogène, et dont la surface est partout dans le même état, c’est-à-dire , au cas où ces cinq quantités sont des constantes données.

(129). Dans ce cas, je fais, pour abréger,

l’équation (3) devient et en y mettant ué~kt au lieu de u, elle se réduit à

du

dî

d*u dï1 ’

en sorte que l’on pourra supposer la constante p ou b nulle, sauf à multiplier par e~u la valeur de u que l’on obtiendra dans cette hypothèse.

En faisant donc p= o dans l’équation (1 5) , et y mettant, pour plus de commodité , <z*p* au lieu de f , elle deviendra

Des deux valeurs particulières de R que l'on a désignées par Y et Y',

pourront être

Y = sin fx, Y' = cos fx.

Si l’on place le point C, origine des distances x, au milieu de la barre, et que l’on représente sa longueur par il, on aura

h=z — l, H= — sin fl, G = p cosp/ , H(=cospZ, G, = psinpZ, //'=/, H'=sin fl, G'=pcosp/, H',= cospZ, G'( = — psinp/;

au moyen de quoi l’équation (16) deviendra

(«W'sr' — p*)sin2 fl + (<®-' + •&) p cos ifl = o, (20)

toutes réductions faites, et en mettant, pour plus de simplicité, k<ar et kur' au lieu de «r et m' . En même temps , on aura , d’après l’équation (17),

X = (<&' — tr)k cosp / si n fx — [( apcos p / -f-i/sr -f- «•') sinpZ] k cos par, (21)

pour la valeur de X qu’il faudra substituer dans la formule (18 ’.

On y mettra aussi , sous le signe 2 , l’exponentielle au lieu

de e~ ** ; on supprimera au numérateur et au dénomiuateur le facteur constant xet ; puis ou multipliera la somme 2 par e~h.

Toutes les racines de l’équation (16) étant réelles, il en sera de même à lcgard des valeurs de fl que l’on tirera de 1 équation (20). L’une de ses racines sera zéro. De plus, si l’on développe sin 2 p/ et cos a fl dans le premier membre de cette équation (20), et que l’on supprime le facteur p , tous ses termes ne renfermeront que des puissances paires de p , alternativement précédées du signe -fct du signe — ; d’où l’on conclut que les valeurs de p* qui s’en déduiront seront toutes positives. La somme 2 s’étendra à la racine p = o et seulement à toutes "les valeurs positives de p, parce que l’analyse du numéro précédent supposait que les différens termes qui répondent à des valeurs égales de p sont réunis en un seul , et que l’on a ensuite remplacé p par a‘p*. Si l’une de ces valeurs était encore zéro, ce qui aura lieu effectivement dans le cas de nr — o et ■■?' = o , on en ferait abstraction par la même raison ; la racine p = o étant déjà employée.

a 66 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Il résulte de là qu’à moins que b ne soit zéro, tous les termes de la valeur de u décroîtront indéfiniment à mesure que le temps augmentera, et qu’après un temps plus ou moins long, la valeur entière de u ue différera plus sensiblement de la température extérieure qui a été prise pour le zéro de l’échelle thermométrique. Avant de se réduire à zéro , la température de tous les points variera suivant une même progression géométrique ; le temps croissant par des différences égales.

Après avoir formé la valeur de u en fonction de t et x , et en y faisant / = o, on aura une expression en série de la fonction arbitraire F.r (n* 86), qui subsistera pour toutes les valeurs de x > — l et < /, et qui aura lieu aux limites mêmes x — =b /, lorsque cette, fonction satisfera aux équations (4) pour ces valeurs extrêmes de la variable.

(i3o). L’expression de u devient plus simple lorsque la barre ne rayonne que par une seule de ses deux extrémités.

Supposons que la température de l’extrémité E' de la barre soit constamment entretenue à zéro. Il faudra alors que la seconde équation (4) , qui s’y rapporte , se réduise à u = o; ce qui exige que l’on ait tb' — 00 , puisqu’on a f = o. L’équation (ao), d’où dépendent les valeurs de p , se réduira donc à

■tb sin a fl -f- p cos af/ = o ,

en la divisant par <©■', et supprimant ensuite les termes qui ont cette quantité pour dénominateur. D’après la formule (ai), on aura, en même temps,

X = k<ar' sin p (x — Z) ,

f t ^ (4 fl — 4t>l) ,

en négligeant les termes de X indépendans de tb'-, par rapport à ceux qui out tb' pour facteur. La valeur de u, formée comme on vient de le dire, sera , par conséquent.

4f siu r (1

sin /{x' — l) F T^dx

4 il — wu 4 fi

DE LA CHALEUR. ar,7

ou l’on a emploie, pour plus de clarté , la lettre x' au lieu de x sous les intégrales définies.

On pourra présenter cette valeur sous une autre forme, en transportant l’origine des distances x au point E. Pour cela, il faudra mettre x — l et x' — la la place de x et x' ; les intégrales relatives à x’ s’étendront alors depuis x' = o jusqu’à x' = il; on aura

sin p (x — a/) = sin px cos a pl — cos px sin ipl ;

et comme l’équation d’où l’on doit tirer les valeurs de p donne

cos ici = — , sin a pl — — — ■ ■ — ,

il en résultera

sin p (x - a/) = tfgg

4 pi - -n 4p' =

Par conséquent, en mettant aussi j / au lieu de l, dans la valeur précédente de « , et faisant F (a:' — jl) = jx , nous aurons

(» sin fX + f cos fX ) f (w sin fX + f cos fX ) Jx! dx tt=ac-,.2 ~ + c“oV'. (»)

pour la loi des températures dans une barre dont la longueur est l, qui rayonne par son extrémité E d’où l’on compte les distances x, et qui a une température constamment nulle à son autre extrémité E’ correspondante à x = l.

Le terme de la somme 2 qui répond à p = o s’évanouit, comme on voit, excepté dans le cas de «■ = o. Dans ce cas, ce terme est zéro ou ne l’est pas, selon qu’on fait d’abord p = o et ensuite æ = o, ou d’abord <w = o et ensuite p == o ; mais la valeur de sin a pl dont on a fait nsage, et qui doit s’évanouir en même temps que p, exige que l’on fasse p = o avant de donner à la constante '& la valeur particulière 'B- = o ; en sorte qu’il faudra toujours faire abstraction du terme de la somme 2 qui répondrait à p — o. Cette somme s’éten-

a68 THÉORIE MATHÉMATIQUE

dra à toutes les autres valeurs positives de p, tirées de l’équation

-arsinpZ + p cos pl = o. (a3)

Il est évident , d’après cette équation , que chaque terme de la somme 2 sera séparément nul au point E' qui répond à x = /. En mettant \l — xk et 'ar au lieu de x et <w dans la première équation (4) relative au point E , elle devient

du

— 4. <tru = o;

condition évidemment remplie, pour jc = o , par chacun des termes de la somme 2.

En faisant t = o dans l’équation (aa), il vient

(nin [X -f- , cos fX) C («in fx' +fcaifx')f x'dx