TT
résultat qui subsistera, quelle que soit la fonction arbitraire fx , pour toutes les valeurs de x > o et < l, mais qui n’aura lieu pour x = l, que quand on aura/7 = o, et pour x=o, que si l’on a
r~ -f- mrjx — o pour eette seconde valeur de x.
(î 3i). Lorsque la longueur l de la barre sera très grande, on résoudra facilement l’équation (a3) par la méthode des approximations successives. En lecrivaut ainsi :
sin pl —
fl COJ fl
wl •
on déterminera d’abord la valeur de fl, en négligeant le second membre ; en sorte que l’on aura, dans cette première approximation ,
fl = rnr;
n étant un nombre entier quelconque. On fera ensuite pl = mr + J'-,
et en négligeant J' dans le secoud membre de l’équation donnée, et
son carré dans le premier membre , on en déduira
En continuant ainsi , on obtiendra une valeur de fl en série très convergente, ordonnée suivant les puissances négatives de /, et la somme 2 s’étendra à toutes les valeurs positives du nombre n, depuis n= 1 jusqu’à n=ao.
Si cette longueur l devient infinie, la valeur de / se réduira à Y", elle croîtra donc avec n par des degrés infiniment petits; et si nous faisons
P = T = *. 7 = da>
la somme relative à p se changera en une intégrale relative à a, qui devra s'étendre depuis «t=o jusqu’à a.— ao . La formule (22) deviendra alors
u = Ze JJ„ 7^ c
en réduisant à l (<or,-f-«.*) le dénominateur <a r + / (<sr* + f*) et remplaçant ^ par Si l’on fait t = o dans cette dernière formule, on
obtiendra une expression de fx qui subsistera pour toutes les valeurs positives de la variable, et qui aura aussi lieu pour x=o, quand
cette valeur particulière fera évanouir la quantité
(i3a). L’expression de u se simplifie encore davantage, et la formule (a4) peut être vérifiée , dans les deux cas particuliers où l’on a <r = oon n s- = 00 .
Le premier cas est celui où le rayonnement est nul à l’extrémité E. L’équation (a3) se réduit à f cos fl = o; en faisant abstraction de sa racine zéro et de ses racines négatives, et désignant par n un nombre entier et positif, on aura donc
, — fo"— 'V.
27o THÉORIE MATHÉMATIQUE
et la formule (aa) se changera en celle-ci :
(an— ijix («-OT-aw
dans laquelle la somme 2 s’étendra depuis n= i jusqu’à «= oo . La formule
^ a—/ rl C»" — • )»■*' //j A (an— i)*r
/* = i 2 {J o cos -ïf-Jxdx) cos ^T— .
qu’on en déduit en y faisant <=o, coïncide avec la formule (la) du n° 96, quand on suppose dans celle-ci Elle a évidemment
lieu à la limite x = l, quand on a fl=o, et à l’autre limite x = o,
lorsque l’on a ^ = o pour cçtte seconde valeur de x.
Dans le cas de nsr—oo, la température de la barre est entretenue constamment à zéro, à la seconde extrémité E, comme à la première E'. En vertu de l’équation (a3), on a sin f>l = o; d’où l’on tire
nr
et la formule (aa) devient
. / rl n WX r , , A . nwx -
; sin — Jx dx j sin -j- e
la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs du nombre entier et positif n, depuis n — 1 jusqu'à n=oo. En y faisant < = o, on en déduit
fx = j 2 Ç Ç siu Jx'dx sin n—* ;
résultat qui coïncide avec la formule (10) du n°g6, et qui n’a lieu pour x = o et pour .r = /, que quand fx s’évauouit à ces deux limites.
Observons que si, dans le second cas, les températures des points extrêmes E et E' de la barre, au lieu d’être zéro comme la température extérieure f, étaient des températures invariables et données ô et G", il serait facile détendre la formule (a5) à cette hypothèse.
Pour cela, je partage la valeur de u en deux parties px et u ,
ilout la première soit une fonction de x seulement, et la seconde une fonction de x et de t. Je suppose cette première partie (par déterminée par l’équation
d'çx . ,
(l ^ — — - utyjC ■ — O y
et telle que l’on ait px=6 pour x=o, çx = Ô' pour x = /. En intégrant cette équation, et déterminant les deux constantes arbitraires, d’après ces valeurs particulières de 1 px, on trouvera, sans difficulté,
<px = A t*’ -+- Be-*1, où l’on a fait, pour abréger,
V/ b * ir~t‘ D «<■*'— 1'
& — T ’ A — ctt—e-H’ D — et'—e-f
La valeur complète çx-f-u' de « devant satisfaire à l’équation (19) du mouvement de la chaleur, et la partie Çx remplissant déjà cette condition, il faudra qu’on ait
du'
~dï
de plus, il faudra que l’inconnue u' s’évanouisse pour x = o et pour x—l, puisque déjà, à ces deux limites, ipx a pour valeurs 0 et (f, qui doivent être celles de u; par conséquent, l’expression de u' sera donnée par la formule (a5), en y mettant à la place de fx la valeur initiale et inconnue de u , que je représenterai par fx , et qui sera nulle comme u! aux deux limites x = o et x — l. De cette manière, nous aurons d’abord
M=Ae*r+Be— **+ je*'2^y' sin-^^ fx'dx'^siu"^ e T< .
Cela posé, désignons toujours par fx la valeur initiale de u; en sorte que fx soit une fonction de x donnée arbitrairement, depuis x = o jusqu’à x—l, mais dont les valeurs doivent être fletô' pour les deux valeurs extrêmes zéro et l de x. En faisant t — o dans l’équation précédente, et observant que la somme 2 comprise dans le
second membre a alors
fx pour râleur, il en résultera
fx = fx — A — Be-'*.
D’ailleurs, en effectuant les intégrations, on a
e1*' sin -w~ dx' = e—,x's\n—* dx' —
nxl ( i — c*1 cos nw)
n*7(i— cos ht)
nv* +gTr* ;
et, d’après ces valeurs et celles de A et B, nous aurons finalement
*' (e*' — <r* *) + # (ertf~*> — ç-tV-*))
