an — 1 ÎVV
3aÿ I *
noos aurons donc
/• * (z co« tx ■+• p »in tx) (z cos é p ain zx)dt o *'+p'
- yi rJL ■•3-y . ■-3.S.P» , \ .
ia\/~t \la'< 4 **<* 5»*? /’
et si nous faisons généralement
Fi-y/a/dx1 =(?-<>,
la formule (aa) deviendra
Or, si l’on excepte le cas où les quantités Q , Q', Q", etc. , deviendraient infinies par la nature de la fonction fx\ ou bien parce qu’on aurait p = o, on voit que le temps t pourra toujours devenir assez grand pour que cette série soit aussi convergente que l’on voudra ; mais comme les numérateurs de ses termes successifs renfermeront les puissances croissantes de la variable x , on voit aussi qu’il faudra, pour cette convergence, que le produit a\/t soit d’autant plus grand que cette distance x sera plus considérable.
Avant de devenir tout-à-fait zéro , comme la température extérieure, par l’effet du rayonnement à la surface, la température u se réduira sensiblement au premier terme de la série précédente ; et en y mettant pour Q sa valeur, on aura
i +px ra
'a?lÿ wl J «
(i + ptf)fx'dx'i
ce qui montre que dans cet état final du corps , les températures de sesdifférens points croîtront proportionnellement à leurs distances à la surface, et varieront, en général , en raison inverse de la puissance £ du temps. Je dis en général; car la série précédente et celte loi finale n’auraient plus lieu si l’intégrale relative à x' était infinie.
Supposons, p3r exemple, que la température initiale soit la même
5a6 THÉORIE MATHÉMATIQUE
et égale à une constante y dans tous les points du corps. Au lieu de
prendre jx — y, faisons d’abord
Jx =» ye~<* ;
g étant une constante positive et infiniment petite. Nous aurons, par les règles ordinaires ,
J' e~tÆ> (2 cos zx1 -+- p sin zx’)dx' = ~~~ ,
et, par conséquent,
»V(P-t-K) r* (* COSIX psinxxjz ,
“= — r— J0 fr+ï-r&+P-) e dz-
Ou pourra réduire à 2' le facteur 2*-)- g* du dénominateur, excepté pour les valeurs infiniment petites de 2; mais, pour ces valeurs, le numérateur étant aussi infiniment petit, et le coefficient de dz sous le signe f ne devenant point infini, on pourra, sans aucune erreur, négliger la partie correspondante de l’intégrale ; en sorte que Ton aura exactement
^ iyp r “ (1 cos zx -p p sin zx) —a’i1! ,
Maintenant, en développant, comme plus haut, suivant les puissances croissantes de 2, le coefficient de l’exponentielle sous le signe /, et intégrant ensuite , on en conclura
a [/ vi
jr
etc
Y, Y', Y", etc., étant des quantités indépendantes de t et faciles à déterminer. La température u sera donc sensiblement nulle, comme précédemment, au bout d’un temps très grand; mais avant d'être égale à zéro , elle se réduira au premier terme de cette série, et. variera seulement en raison inverse de la puissance j de t, au lieu de la puissance | ; ce qui montre que la loi des variations finales de la température u, par rapport au temps, dépendra de la loi des températures initiales. La série précédente, réduite à sou premier
DE LA CHALEUR. 5a7
terme, donnera
