o THÉORIE MATHÉMATIQUE
résultat évident, qui peut servir de confirmation à notre analyse , et qui aurait également lieu dans un corps hétérogène de forme quelconque, dont la surface extérieure serait imperméable à la chaleur, comme celle de la sphère dans le cas que nous considérons, ti (.48). Toutefois, ce résultat suppose perméables à la chaleur les surfaces de séparation des différentes parties du corps : si elles étaient imperméables, comme sa surface extérieure, chaque partie conserverait toute sa chaleur primitive; et la température finale changerait, en général, d’une partie à une autre. Dans le calcul du n° 146, nous avons exclu ce cas particulier relativement à la surface de séparation du noyau et de la couche extérieure. S’il avait lieu, on aurait 4 = oet b' = o; l'équation (19) serait remplacée
par deux autres équations, savoir :
y* R/Wr = De-""' , yi+i K'ru'dr = D'c-""1 ;
D et D' étant deux constantes arbitraires, dont la première se déterminerait d’après l’état initial du noyau , et la seconde d’après celui de la couche extérieure. La valeur du coefficient M en fonction de m se déduirait ensuite de celle de D, pour la première formule (16), et de celle de D', pour être employée dans la seconde. Enfin, en faisant b = o et b' — o dans l’équation (i5), elle devient
+ + Z)]sin ÿ
— [I + Ch (A + /)] cos ^ } («in ^ — y cos r) = 0 •
elle se décomposera donc aussi en deux autres, qui seront
mh mh mh Sin — — — COS — .
[^+ 1 - C(A + O] v + Ch (A + 01 > ?= o
La première déterminera les valeurs de m que l’on devta employer dans la première formule (16), et la seconde celles que l’on devra substituer dans la seconde de ces deux formules. -
On voit par là que dans le cas particulier de l'imperméabilité de la surface de séparation des deux parties de la sphère, les lois des températures, à un instant quelconque, se détermineront indépendamment l’une de l’autre dans ces deux parties, ainsi que nous l'avons dit plus haut. En mettant à la place de m, fa dans les formules relatives au noyau , et fa' dans, celles qui répondent à la couche extérieure , il sera facile de voir quelles coïncident avec ceUes que nous avons trouvées précédemment» sait pour le cas. d’une sphère entière, en y supposant agio le Aux de chaleur à la surface extérieure, soit pour le cas d’une couche sphérique qui termine un espaco vide. . -i- y . « ■> > hoquin .1 miah
(149). La surface de séparation des deux parties de la sphère étant supposée perméable à la chaleur, nous allons actuellement considérer, en particulier, le cas où l’épaisseur l de la couche extérieure est très petite. Cependant nous supposerons toujours cette épaisseur beaucoup plus grande que celle de la couche superficielle d’où émaue et où est absorbée la chaleur rayonnante ; ce qui n’empêchera pas que cette autre couche ne puisse avoir une épaisseur appréciable , dont la grandeur, jusqu'à ce quelle ait atteint un certain maximum, influe sur l’intensité du rayonnement extérieur (n° 41).
Si la constante ai n’a pas une valeur très petite, les tenues des formules (16) qui répondent à des valeurs de m pour lesquelles
n’est pas une très petite quantité en même temps que /, s’évanouiront très promptement, et l’on en pourra faire abstraction au bout d’un temps très court. Il suffira donc d’avoir égard aux très petites
valeurs de Alors , en négligeant les termes multipliés par
sin ^ dans l’équation (i5j, remplaçant cos ^ par l’unité et h-+-l
par h, et supprimant le facteur ~ qui sera commun à tous les termes, on aura simplement •
(S + b') côs ^ -f- ( €bh — 6 — b')tin~ = o.
En remettant pour G, b, b", leurs valeurs (n* 144) > «* faisant
3ia THÉORIE MATHÉMATIQUE
m Cb qri
cette équation deviendra
(i — Ch) 8in fh — fh cos fh ;
et en la comparant à l’équation (7), on voit qu'elle sera la même que celle qui aurait lieu dans le cas d’une sphère homogène, d’un rayon A égal à celui du noyau , qui aurait aussi la même conductibilité k, et pour laquelle le coefficient p' relatif à sa surface extérieure serait diminué dans le rapport de q à q -J- p1.
On aura aussi , à très peu près,
„ a{b'+Q)fh p „ .
on tire de l’équation précédente , comme dans le n* i3g,
, 1 . , , h[,‘h.' + Ch{Ch— 01
A - «n fh cos fh = 1?A-
et en négligeant , dans l’expression de M , l’intégrale dont les limites sont A et A4- 1, la première formule (16) devient
ï*tt*** + (^- 0*]«n,r m — TV ,'h' + Ch(Ch
rn/r)«— V«.
Dans toute l’épaisseur de la couche extérieure, la distance r est à peu près constante et égale à A 4- /; la valeur de R' se réduit donc à
R' = — fh sin fh ;
et à cause de y 'a seconde équation (16) devient
, a? « D’A’-f- (Ch — 1)*1 sin»A / ph , . ,\
“ = (7+7)* 2 rh>+cbicti=ir ( Je fr sin ' •
L’expression de ru , comparée à la formule (8) , montre que la distribution de la chaleur dans une sphère recouverte par une couche très
mince et d’une matière differente de la sienne, est la même, après un temps très court et jusqu’à son refroidissement total, que si la sphère émettait directement sa chaleur au-dehors, mais que le coefficient p du flux de chaleur à travers la surface extérieure de la couche , fut diminué dans le rapport de q à q-\-p' } la quantité q étant relative au passage de la chaleur à travers la surface intérieure de la couche, et dépendant de la matière de cette couche cl de celle de la sphère.
La valeur de u! nous fait aussi voir que la couche extérieure , quelle que mince qu’on la suppose, ne prend pas, en général, la température de la sphère près de leur surface de séparation ; car si l’on appelle U la valeur de u qui répond à r=A, on aura, à un instant quelconque,
en sorte qu’il faudrait que la quantité q fût extrêmement grande et comme infinie par rapport à p', pour que l’on eut m'=U. Nous avons indiqué dans le n° ia4» un moyen de déterminer la valeur de q qui a lieu dans le contact de deux matières données ; en la comparant à celle de p', on en conclura le rapport des températures u' et U qu’il serait difficile d’observer directement.
(i5o J. Nous appliquerons encore les formules précédentes au cas où l’épaisseur de la couche extérieure et le rayon A du noyau seront des lignes très petites, sans que les constantes a et a' soient aussi très petites. Parmi les racines de l’équation (.5), il y en aura deux pour mh ml
lesquelles les quantités — et -- seront, dans ce cas, de très petites
fractions, et qu’il suffira d’employer, après un temps très court, dans les formules (16), ainsi qu’on va le voir.
Pour déterminer leurs valeurs approchées , je développe le premier membre de l’équation (i5) en une série ordonnée suivant les puissances de m‘; je supprime le facteur m* commun à tous ses termes , puis je néglige le cube et les puissances supérieures de m* ; et dans les coefficiens de chacun des termes restans, je conserve seulement les parties de la moindre dimension par rapport à A et /. En remettant pour a*, a'*, A, b', leurs valeurs, il vient
qp'(h + /)* — ^m'iqch1 + qc'P + Zqc'hl(h + C) + p'ch(h+iy]
+ i m*cc'hl [1‘ + 3A ( h + l) = o.
On tirera de cette équation deux valeurs de m*, que nous représenterons par m'* et m"*, et qui seront de la dimension — i par rapport à h et l; d’où l’on peut aisément conclure que tous les termes du développement de l’équation («5), que nous avons négligés, seraient d’une dimension plus élevée que ceux qui ont été conservés, et qn’ainsi les racines m1’ et m"* sont deux valeurs d’autant plus approchées de m*, que ces lignes h et l seront plus petites. Quant aux autres valeurs de m* que l’on déduirait de l’équation (t5), elles seraient toutes de la dimension — a par rapport à h et l , et, conséquemment, très grandes relativement à m'‘ et m"‘ ; les termes qui leur répondent dans les formules (16) s’évanouiront donc les premiers , et très promptement ; en sorte qu’après un très court intervalle de temps, dont nous ferons abstraction, ces formules se réduiront sensiblement aux termes correspondans à m' et m".
En conservant la lettre m pour représenter l’une ou l’autre des quantités m' et m", les valeurs approchées de P, Q , R , R', seront
Q = â rH — w 3
mVf, . (h+l)'S m'lP+3M(h + l)] R =£7r — bb- 3 ’ïü/h
on aura, en même temps,
mh
. mh sin — :
, a . mh mh
h — — sm — cos — ma a
am'h1
d’où il résultera, en remettant toujours pour a*, a'\ b, b\ S, leurs valeurs
m-AM
ad
fc{riJiÿ»f-sa£sga±aj [/>**£*w
où l’on a aussi substitué rïr et r¥'r à J'r et f'r. Doue, en désignant par l*',et p." ce que devient cette dernière quantité quand on y .met successivement m' et ni' à la place de m, et réduisant les seconds membres des équations (16) aux termes corresponds us à ces racines de l'équation (>5), nous aurons , , it .
u g- __ my.[p | «-’»■«
i ..ni . (A +l)'p m’'c [/3 -f- 3A/ (A -+- /j] )
-ff* l1 -1 ÿtf 3^/7 J e >
u’= fJL,e-m'“ + ft"e-n'“ ,
où l’on voit que la température sera la même dans toute 1 etendoe de chaque partie de la sphère, et indépendante des conductibilité* k et k', mais différente, en général, pour ses deux parties, quelle que petites qu’elles soient. Four quelle fut la même pour la sphère entière , il faudrait que la quantité q relative à la surface de séparation des deux parties , fut infinie.
(i5i). L’hypothèse du n° S7, relative aux corps d'un très petit volume, ne convient donc au cas de la non homogénéité que quand la matière varie par degrés insensibles dans leur intérieur; et pour pouvoir l’étendre, comme le font généralement les physiciens, à des corps composés de denx ou d'un plus grand nombre de parties contiguës, de matières différentes , il serait nécessaire que le coefficient de la différence des températures, dans le flux de chaleur qui a lieu au passage d’une partie à une antre, eut une valeur infinie, ou extrêmement grande, ce que l’expérience pourrait seule nous apprendre.
Au reste , on peut aussi parvenir d’une manière directe au résultat que nous venons d’obtenir, en admettant seulement que la température est la même dans toute l’étendue de chacune des deux parties de la sphère, du moins après un intervalle de temps assez court pour qu’on en puisse foire abstraction.
5i6 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Pour le faire voir, je conserverai tontes les notations précédentes, de manière que «' et u soient , au bout du temps t , les températures de la couche extérieure et de la sphère quelle recouvre; c' et c leurs chaleurs spécifiques; Z l’épaisseur de la couche, et h le rayon de l’autre partie; p'u' et q[u — «') les flux de chaleur rapportés aux unités de surface et de temps , qui ont lieu , de dedans en dehors, à la surface de la sphère entière et à celle de la sphère intérieure. Cette dernière surface étant égale à ^xh', la perte de chaleur de la sphère intérieure, pendant l’instant dt, sera 4 Trh'q(u — u!) ; prise avec un signe contraire , cette quantité exprimera donc l’augmentation de chaleur correspondante à l’accroissement du de la température ; et cette augmentation étant aussi égale au produit de edu et du volume -j— de cette sphère, il s’ensuit qu’on aura
cà ^ -f- 5ç — u') — o.
De même, l’augmentation de chaleur de la couche extérieure pendant le même instant, sera égale à l’excès de la quantité de chaleur tpnh'q(u — u')dt qui lui est communiquée par la sphère intérieure sur celle que la couche émet au dehors, et qui est exprimée par 4 w(è-f- Z Yp'u'dt ; par conséquent, cet excès devra être égal à l’augmentation de chaleur correspondante à l’accroissement di/ de la température , c’est - à - dire , au produit de c'di/ et du volume
y [Z3 -f- 3 hl(h Z)] de la couche extérieure; nous aurons donc aussi
[Z 3 -f- 3hl(h +■ Z)] c'^+3(A + l)‘pu ■+■ 5qh‘ («' — «)= o.
On intégrera ces deux équations, en prenant
u — , «' = p!e~mUi
fi, p.1, m, étant des constantes indéterminées. En y substituant ces
valeurs de u et u!, il vient • .1 i.. .
(3? — chm‘)p = 3 qp’, • , =
{ 3 p' ( h -f Z)* ri- 3çè* — c' [Z3 + 3 hl (h -f- Z)] m') p! =
DE LA CHALEUR. 3i7
et si l’on multiplie celles-ci membre à membre , et que ,1’on supprime ensuite le facteur commun fxf*', on aura
(3 q — chm') {Zj}’ (h -{- /)* — f- 3 qh'-— c‘ [l* + Zhl(h -j- =z çyph' ;
équation qui servira à déterminer m , et qui coïncide avec l’équation (20) que l’on a trouvée d’une autre manière. Il s’ensuit que l'on pourra désigner, comme plus haut, par m‘ et m"' les deux valeurs de m* que l’on en déduit; et il est visible que ces quantités seront réelles et positives : l’une d’elles sera comprise entre zéro et la plus
petite des deux quantités ^ et 3^ + > et lautre Surpas-
sera la plus grande de ces deux quantités ; lesquelles sont les valeurs de m* qui rendraient nul le premier membre de l’équation précédente.
L’une des deux équations d’où elle a été déduite, la seconde, par exemple, déterminera le coefficient /jl au moyeu de f/ ; et en employant les deux valeurs m’‘ et m1'* de m*, les formules (21) seront les deux intégrales complètes qu’il s’agissait d’obtenir; f*' et (a." désignant les deux constantes arbitraires.
Il ne restera donc plus qu’à déterminer ces constantes; ce que l’on fera en représentant par /fnc£ et ^itc' S' les quantités de chaleur initiales de la sphère intérieure et de la couche qui la recouvre , c’est-à-
dire, les valeurs de c“ et ^ [/’ -j- Zhl{h -f- /)] c'u , qui répondent à t = o, de sorte que l’on ait , en vertu des équations (ai),
'5/ = {1 + - mV[/HW(HJ)1}Ay
. f. , (M-QV mV[I’+3W(t+D])i,.„
3<r = [Z«+ Zhi(h-hi)] (y +n").
Pour comparer les valeurs de ^ et ft” qui en résulteront à celles du numéro précédent , il est nécessaire que la valeur de /*' soit exprimée au moyen de la seule racine m\ et que celle de f*" contienne seulement m"; or, d’après l’équation (20), on a
5i8 THÉORIE MATHÉMATIQUE
cc'A/[/’+3(A-W)*] (m'*+/n"‘) ssSppQ +
+ 3îc7[Z‘ + 3A(A + /)], cc'hl[l'+ 5 (A 4- /)*] = gqp\h + /)•;
d’où l’on conclut
au moyen de quoi la valeur de jjf pourra être exprimée ainsi :
et celle de ju" s’en déduira par le changement de m' en m".
Ces expressions de fi! et ju" coïncident, comme on voit , avec celles du numéro précédent , en observant que les intégrales
J'h r*Frrfr et +i r’F'rdr sont les valeurs de et J1'. Il s'ensuit
donc que les expressions de « et m* en fonctions de t, que l’on obtient directement pour le cas où les lignes h et l sont supposées très petites, ne diffèrent pas de celles que nous avions d’abord déduites des formules générales ; ce qui fournit une confirmation remarquable de ces formules.
Si le£ deux parties de la petite sphère sont de la même matière et forment un corps homogène, il faudra qne les valeurs de u et u! soient égales pour r = h , ce qui exige que l’on ait q = oo . L’une des deux racines de l'équation (ao) sera infinie; et l’on devra, en conséquence, supprimer le terme contenant l’exponentielle qui lui correspond dans les formules (ai). Nous supposerons que m"* soit cette racine; les deux quantités c etc' étant égales, l’équation (ao) donnera, pour la valeur de l’autre racine ,
on aura donc
et comme la valeur précédente de (à! se réduira à
c'est-à-dire, à la moyenne des températures, il s’ensuit que la valeur commune de u et u' coïncidera avec le résultat du n° 141 .
(i5a). Les lignes h et l étant toujours très petites, supposons de plus que l 'épaisseur l de la couche extérieure soit très petite , même par rapport au rayon h de la sphère qu’elle recouvre, de sorte que le
rapport ^ soit une très petite fraction. L’une des deux racines de
l’équation (ao) , par exemple m"‘, sera très grande et en raison inverse de Z ; par conséquent , après un très court intervalle de temps , il faudra supprimer le terme qui contient l’exponentielle correspondante à cette racine dans chacune des formules (31).. La valeur approchée de l’autre racine m'* s’obtiendra en négligeant l dans l’équation (ao) ; et l’on aura , de cette manière ,
(7 + /OcS*
La valeur correspondante de fi' sera aussi , à très peu près ,
-3? fh r‘Frdr —
+7TSVo r trar —
en désignant par y la moyenne des températures de la sphère intérieure.
Cela posé , les expressions de u et xi données par les formules (ai), se réduiront à
u — ye
îw'ï
,/ — gy „ + .
ce qui montre que les températures u et vl des deux parties de la sphère conserveront constamment entre elles le rapport que nous
3a0 THÉORIE MATHÉMATIQUE
avons déjà trouvé entre ces quantités ( n° 149 ) » en sorte que ce rapport constant subsistera encore malgré la petitesse de l’une des parties relativement à l’autre.
Quelle que mince que soit l’enveloppe de la boule d’un thermomètre, il n’est donc pas certain quelle prenne la température du fluide intérieur, pendant que l’instrument s'échauffe ou se refroidit, avant de parvenir, dans toute sa masse, à la température extérieure. Pour que l’enveloppe et le fluide aient , à chaque instant , des températures égales , ainsi qu’on le suppose ordinairement , il faut que la quantité p' relative au flux de chaleur à travers la surface extérieure de l’enveloppe, soit très petite et puisse être négligée par rapport à la quantité q correspondante à son autre surface en contact avec le fluide intérieur. Sur ce point, l’extension que nous avons donnée à l’hypothèse du n° doit être restreinte à ce cas particulier. La quantité q peut dépendre de la nature du fluide intérieur et de celle de l’enveloppe, et variera, par exemple , selon que ce liquide sera le mercure ou l’alcool ; mais il y a lieu de croire quelle ne dépendra pas de l’état de la surface intérieure de l’enveloppe, c’est-àdire, de son degré de poli et de sa coloration; car on peut comparer la chaleur qui passe de l’enveloppe dans le liquide, à celle qui est enlevée à un corps solide par l’air en contact avec sa surface, et qui ne varie pas, comme on sait (n° 5g) , avec l’état de sa superficie. Toutefois, cette conjecture aurait besoin d’être vérifiée par l’expérience; et, pour cela, il faudrait observer, avec une grande précision , les vitesses du refroidissement d’un même liquide, contenu dans une même enveloppe, dont la surface intérieure serait successivement dans différens états de coloration et de poli. Si l’on trouvait des valeurs inégales pour ces vitesses, on en conclurait que la quantité q varie avec l’état de cette surface ; si, au contraire, ces valeurs étaient égales, cela prouverait que la quantité q est indépendante de l’état de la surface en contact avpc le liquide , à moins quelle ne soit très grande par rapport à la quantité p' relative à la surface extérieure
de l’enveloppe, de telle sorte que la fraction — +~p toujours sensiblement égale à l'unité.
L’expression que nous venons de trouver pour la température u à
DE LA CHALEUR. 3a t
un instant quelconque, montre aussi que le procédé suivi par les physiciens pour comparer les chaleurs spécifiques des corps d'après les temps de leur refroidissement, n’est pas aussi propre qu’on l’a pensé à cette comparaison. En effet , ce procédé exige que l’on amène les surfaces des deux corps à un même état , en les recouvrant l’une et l’autre d’une couche formée de la même matière, d’une très petite épaisseur, mais assez grande pour que le flux de chaleur extérieure atteigne son maximum ( n* 4')- O*-» dans cet état, supposons que la sphère du rayon h que nous venons de considérer, emploie un temps 6 à passer de sa température initiale y à une autre température y'; d’après la valeur précédente de u\ nous aurons
3 qp'i , y
(î + p7 )ch~ *7*
Pour une autre sphère d’un rayon h comme la première, enduite d’une couche très mince de la même matière que celle qui recouvrait cette première sphère , si l’on appelle 6, le temps que la température emploie aussi à passer de y à y', on aura de même
(7+fe og7!
c, étant la chaleur spécifique de cette seconde sphère, et qt la quantité relative au passage de la chaleur de cette sphère dans la couche extérieure qui la recouvre. De ces deux équations, on déduit
(9, 4- p')qi ç .
équation qui ne peut s’accorder avec celle du n* 4«, et servir à déterminer le rapport des chaleurs spécifiques c et ct, d’après celui des temps ô ct 0,, qu’autant que les quantités q et qt sont très -grandes , l’une et l’autre, par rapport à p', ou quelles sont indépendantes des matières des deux sphères, et par conséquent égales.
Réciproquement, si le rapport ~ est connu, cette dernière équation fera connaître celui des deux quantités et % , d’après les temps 6 et 6, observés. L’intensité du flux de chaleur à travers la surface de
contact de deux matières différentes , sur laquelle nous n’avons jusqu'à présent aucune notiou, est cependant indispensable à connaître dans un grand nombre de questions ; et il serait à désirer qu’on s'occupât d’en déterminer la grandeur, comparée à celle qui a lieu à la surface extérieure des corps , soit au moyen de l'équation précédente, soit autrement (n° 124).
( 1 53). Revenons maintenant au cas de la sphère homogène d’un rayon quelconque l, auquel se rapporte la formule (8). Mettons dans cette équation L — x au lieu de r, puis x‘ à la place de x sous le signe f ; l’intégrale relative à x'' devra s'étendre depuis x1 — l jusqu’à x' = o; mais en intervertissant l’ordre de ces limites, et changeant le signe du résultat, nous aurons
U ~ l{l-x)X,'r+plP{pl -\) {./0 fcos x )
— cos p(a/ — x — x')] (/ — — x')dx'J e * '
D’après les valeurs de sin pl et cos pi, que l’on tire de l’équation (7), on aura aussi
cospÇaf — x — x') = Ot™"****').
La quantité u sera la température qui a lieu , au bout du temps t , a la distance x de la surface ; en appelant fx sa valeur initiale, il faudra mettre fx' au lieu de F(/ — x'); et cela étant, la valeur de « prendra la forme :
ipas^Z
Supposons actuellement que le rayon l devienne infini , on verra, comme dans le n° 142 , que les valeurs de p crottront par degrés infiniment petits , de telle sorte qu’en désignant par n un nombre entier et positif, et faisant
la somme 2 se changera eu une intégrale relative à a, qui seteu-
DE LA CHALEUR. 3a5
tira depuis z = o jusqu’à a = oo . De plus, on pourra réduire le facteur ^ ^ à l'unité, et la quantité pl — i à pl. Il en résultera donc
(z coj zx -f- p sin zx) (» co» %x 4-p tin zx') z' + p-
e-a's"fSdx'dz.{ aa)
Cette formule représentera la loi des températures dans un corps homogène, terminé par un plan indéfini , rayonnant à travers cette surface dans un milieu dont la température est zéro, et s’étendant indéfiniment de l’autre côté de ce plan, qui est partout dans le même état. On suppose la température égale, à chaque instant, en tous les points de chaque section parallèle au plan ; et, pour cela, il suffit que cette condition 'ait été remplie à l’époque d’où l'on compte le temps t. A cette époque, la température à la profondeur x étant fx , il faut qu’on ait , quelle que soit cette fonction ,
• A-l/IT2- cos zx -H p sin zx) (s cos zx? -f» p sin zx') ^
pour toutes les valeurs de x plus grandes que zéro.
Pour vérifier cette équation, j’observe que d’après la formule (14) du n’ 10a, on a
fx = - / / cos zx cos zx'Jx'dx'dz ,
• J — xJ O
sin zx sin zx'Jx'dx'dz ;
je suppose que dans cette formule la fonction arbitraire fx' soit telle que l’on ait f{ — x’) = fx' ; la seçoude intégrale double s'évanouira, et dans la première on pourra intégrer seulement depuis x'—o -jusqu’à x’ = oo , en doublant le résultat ; de sorte que l’on aura
a cos zx cos zx'Jx'dx'dz.
Ejp retranchant cette équation de celle qu’il s’agit de vérifier, il en résultera
— (-+ x‘X^0'- {X ■+— cb]jx?dx>=z o.
3a/, THÉORIE MATHÉMATIQUE
Or, x et g étant des quantités positives quelconques, on a (n* 1 35)
/'x x *in xzdz a cosxzdt w
— . p — t* / _______ p — ta •
si donc on remplace dans ces équations g et a: par p et x-f-x7, on en conclura
* lin x (x •+•
p COS X (X -p y ) J
ce qui rend effectivement nulle l’intégrale double précédente.
On peut remarquer que l’équation (aa) coïncide, comme cela devrait être, avec celle que nous avons trouvée dans le n* i5i, pour le cas d’une barre dont la longueur est infinie, quand on n’a point égard au rayonnement latéral, et que l’on fait, en conséquence, b = o dans cette autre formule. Au moyen de la formule employée dans le n° 74, l’intégration relative à z s’effectue sous forme finie dans les deux cas particuliers de p = o et p — co , et la valeur de u s’exprime alors par une intégrale simple, relative à x'.
(1 54)- Lorsque le temps t est devenu très grand, on peut développer la formule (aa) en une série convergente, ordonnée suivant les puissances descendantes de t.
En effet, en développant suivant les puissances croissantes de z, on a *
(x cotzx+p »in tx) (x co» tx’+p sin xx') p,, | p.4 p„je j elc .
P, P', P", etc. , étant des coefficiens indépendans de z , dont il sera facile de former les valeurs , et dont le premier, par exemple , sera
P=7*(,4-/JX) 0 +p*')-
D’ailleurs , en désignant par n un nombre entier et positif, on aura ( n* ^5 )
zndz =
