CHAPITRE XI

Distribution de la chaleur dans quelques corps, et spécial :ment flans une sphère homogène primitivement échauffée dune manière quelconque.

fi 62). J’appellerai A le corps que nous allons considérer. Soient M un point quelconque de ce corps; x, y z, les trois coordonnées rectangulaires de M ; et u la température qui a lieu en ce point au bout du temps quelconque t, et qui sera une fonction inconnue de t, x , y , s. On comptera le temps t k partir de l’état initial de A, de sorte que la valeur de u qui répond kt — o, sera donnée en fonction de x,j, z. Le corps A sera homogène ; on représentera par c et k, la chaleur spécifique et la conductibilité de la matière dont il est formé; on supposera d’abord que la température u n’est pas assez élevée pour influer sensiblement sur les deux élémens c et A; et l’on négligera également dans toute l’étendue de A, les variations de densité dues à l'inégalité des températures ; variations qui sont en effet très petites dans les corps solides, et dans le cas des températures ordinaires. De cette manière, A etc seront deux quantités constantes, dont les valeurs numériques devront être données. Enfin, on regardera comme insensible l’étendue du rayonnement moléculaire dans l’intérieur de A.

L’équation du mouvement intérieur de la chaleur, que nous avons obtenue dans le n° 49, sera alors

en faisant, pour abréger,

île sorte que a soit uue constante donnée, que nous regarderons comme

positive.

Indépendamment de cette équation , commune à tous les points de A , qui ne font pas partie de la couche superficielle où la température varie très rapidement , il y a une autre équation qui n’a lieu que pour les points situés à la limite intérieure de cette couche, dout nous considérerons l’épaisseur comme insensible. Supposons que M soit un de ces points; abaissons de M une perpendiculaire sur la surface de A , qui la rencontre en un point 0 ; menons par ce point 0 , en dehors de A, une normale à sa surface; et soient «, S, y, les angles • que cette droite fait avec des parallèles aux axes des x , y, 2, menés aussi par le point 0. Représentons par f la température extérieure qui répond à ce point , et par p une quantité positive dépendante de l’état de la surface en ce même point, qui varierait, en outre, avec les températures u et f, si elles étaient très élevées. Si nous faisons, pour abréger.

nous aurons pour la seconde équation dont il s’agit

— Cûsa-f-;^cosÉ + ^ oos>-f-£(« — Ç) = o. (a)

La température u appartient au point M et non au point 0; mais dans son expression relative aux points intérieurs, on pourra, sans erreur sensible, mettre à la place de x , f, z, les coordonnées du point 0, pour en déduire la valeur de u à laquelle convient cette équation (a).

Soit L = o, l’équation dounéc de la surface de A; en faisant, pour abréger,

on aura , d’après les formules connues ,

i dL ^ p î dL i dL

cosa = A^' cose==Â,-F> cos> = â^’ V)

où l’on prendra le sigue du radical que A représente, de manière

que ces cosinus répondent à la partie de la normale compiïsc en dehors de A.

Telles "sont donc les équations différentielles du problème; mais avant de nous occuper de les résoudre, il faut entrer dans quelques détails sur ce qu’on entend par la température extérieure , et sur sa détermination.

(1 65). D’après la manière dont nous avons obtenu l’équation (3), n* (67), si Cii représente l’élément de la surface de A qui comprend le point O, le produit p (u — Ç) exprime la quantité de chaleur perdue par le corps A , à travers l’élément u et pendant l’instant dt. Là température f est la valeur de u qui devrait avoir lieu pour qu’il n’y eût ni perte ni gain de chaleur au point 0; et lorsqu’elle surpassera la température u qui existe réellement au point M, ou qu’elle sera moindre, il y aura gain ou perte de chaleur à travers ce. Si A était renfermé dans une enceinte vide, fermée de toutes parts, et dont la température fût partout la même, £ serait cette température, et p la mesure du pouvoir rayonuant de A au point O; mais en général, il faudra déterminer p et £ par la considération des diverses sources de la chaleur extérieure.

Or, la perte de chaleur p(u — Ç)eedt, positive ou négative, pourra provenir de trois causes distinctes : i°. de l’échange de chaleur rayonnante, soit entre A et d’autres corps voisins ou éloignés, soit entre A et les molécules de l'air ou du gaz dans lequel ce corps est placé; a0, de la chaleur enlevée k A par la couche très mince de ce fluide, en contact avec sa surface ; 5°. de la chaleur rayonnante émanée d’un ou de plusieurs foyers in~ candescens, qui vient tomber sur la surface de A , et est absorbée par ce corps suivant une proportion déterminée. Je représenterai par A (u — Ç) cvdt la partie de p (u — Ç) wdt due à la première cause; v désignant une température qui se déduira de celle des corps rayonnans, y compris l’air dans lequel A est placé, et en ayant égard à l'absorption qui aura lieu dans ce fluide; et le coefficient A étant la mesure du pouvoir rayonnant de À au point 0. La partie due à la seconde cause sera représentée par A,(m— a) udt , en désignant par >1 la température de la couche d’air contiguë à la surface de A eu ce même point 0, et par A, la mesure du pouvoir refroidissant de ce fluide.

que noos regarderons comme indépendant de net de a, et qui ne variera pas non pins avec 1 état de cette surface, en sorte que a sera une fonction donnée de t,x,y, s, et A, une constante donnée. Enfin pour exprimer la partie due à la troisième cause , je supposerai qu’il n’existe qu'un seul foyer qui envoie de la chaleur au corps A , et que ce foyer soit le soleil , par exemple , si A est exposé à l’air libre. Soit alors <r la quantité de chaleur solaire qui vient tomber pendant l’unité de temps, sur une surface prise aussi pour unité, perpendiculaire à la direction de cette chaleur, et passant par le point 0; celle qui tombera sur l’élément cj pendant l’instant dt, aura pour valeur ff«cos8rf/, où l’on désigne par 8 l’angle aigu que fait cette direction avec la normale menée par le point 0 à la surface de A, c'est-à-dire avec la droite déterminée par les angles a, S, y, par conséquent , la portion de cette chaleur qui traverse a>, pourra être représentée par trot cos 6di; le facteur « étant une fraction qui dépendra de l’état de la surface au pointO, et qui pourra, en outre, varier avec l’angle d'incidence 9. Nous regarderons s comme une fonction donnée de 0, et cet angle 0 sera aussi une fonction connue de t, x, y, a, ainsi que la quantité a.

Cela posé, si l’on fait la somme des deux premières quantités de chaleur A(«— et A, (u — *)««&, et si l’on en retranche la troisième i<ra> cos Wt, on aura la valeur complète de p{u—Ç)adt, et en supprimant le facteur commun udt, il en résultera

p(u — 0 = A(« — 0 + A,(n — > t) — «x cos 0; (4)

équation dans laquelle il ne restera plus qu’à substituer l’expression du flux de chaleur rayonnante A(n — 0.

Si le corps A était placé dans une enceinte vide, fermée de toutes parts, et dont la température fût partout la même, ce flux de chaleur, rapporté aux unités de temps et de surface , aurait pour valeur (n° a4)

A(«— 0 = n(Fu— F0;

c étant alors la température de l'enceinte , F indiquant une fonction qui est la même pour tous les corps , et n un coefficient dépendant de leur matière et de l’état de leur surface. Mais soit que la quantité déterminée de chaleur, qui traverse la surface de dehors en dedans, provienne d’une enceinte fermée, ou qu’elle ait toute autre origine,

le flux de chaleur devra évidemment avoir la même expression, sauf à déterminer convenablement la température Ç, d’après la quantité de chaleur incidente et l’état de la surface. Or, si l’on met dans l’équation précédente, à la place de n sa valeur trouvée dans le n* a/(, on aura

A(u — g) = iF«/,T*cos8sin(W6+ j(F£ — Fn) f"' a<p cos 8 siu 6cf8

— j Fjj- - f* a cos 8 sin (jdQ ;

a étant une fraction qui mesure le pouvoir absorbant à travers l'élément co et sous l’angle d’incidence 8 ; et <p désignant une quantité qui provient de la variation rapide de température dans la couche superficielle de A. De plus, le dernier terme de cette expression du flux de chaleur, pris avec le signe -f- et multiplié par codt exprimera la quantité de chaleur rayonnante venue du dehors, et qui traverse l'élément co suivant toutes les directions pendant l’instant dt; si donc on détermine dans chaque cas cette quantité , et qu’on la représente par Qcodt, il en résultera

Q= a cos ôsin 0rf6,

pour l'équation qui servira à déterminer la valeur de £. Les deux premiers termes de la valeur de — g), multipliés aussi par codt, exprimeront la quantité de chaleur qui traversera de dedans en dehors et suivant toutes les directions, l’élément co pendant l’instant dt; en sorte que cette quantité dépend à la fois des températures intérieure et extérieure u et On ne doit pas perdre de vue, en effet, que Je corps A s’échauffant ou se refroidissant , il s’établit dans sa couche superficielle, d’où émane cette quantité de chaleur, une loi de température inconnue, mais qui résulte de la chaleur que cette couche reçoit du dedans , et de celle qui lui vient du dehors ; et c’est cette circonstance qui donne lieu à une émission de chaleur dépendante en même temps de u et de

D’après l’expérience , on a (n° 26)

F« = g(* + C, FÇs=g«{ + C;

55a THÉORIE MATHÉMATIQUE

g et Ç étant des quantités de chaleur qui sont les mêmes pour tous les corps, et /a désignant le nombre 1,0077, P®0 différent de l’unité.

Il n'y aurait aucun moyen de connaître ces constantes g et C; mais dans les applications que nous ferons de l'équation précédente, on verra qu’elles entrent aussi dans la valeur de Q, et qu’elles disparaissent toujours de cette équation ; de sorte que la température £ sera, dans tous les cas, complètement déterminée. En développant ces valeurs de Ftt et F£ suivant les puissances de u et de £ , celle de A(u — £) deviendra

ng log ix. («—?)£ î -h ~ («+Ç)l°K^'+-i73(“‘+M?+?,)Iog>+etc; J

Si les températures « et Ç ne sont pas très élevées, on pourra, à raison de la petitesse de log ai, réduire à l’unité le dernier facteur de ceite formule; on aura alors

A = gn log fx,

en sorte que la quantité A sera constante par rapport aux températures, et ne variera qu’à raison de l’état de la surface. Après avoir calculé la valeur de u dans celte hypothèse , on pourra , si l’on veut , dans une seconde approximation, augmenter A dans le rapport de 1 -4- ‘ (u-f* £) log fx. à l’unité, en négligeant seulement le carré de log fx. Dans tous les cas la première valeur de A devra être donnée en fonction d ex,/, 2, si l’état de la surface de A varie d’un point à nu autre.

Maintenant on déduit de l’équation (4)

P = A + A„ Ç — ^ +x‘VVrCO** ; (5J

ce qui fera connaître la quantité p et la température £, au moyen de quantités qui seront toutes données dans chaque cas, ou qui auront été préalablement déterminées d’après d’autres quantités données.

(164). Ce sera principalement dans le chapitre suivant que nous aurons recours à cette manière de déterminer la température extérieure,

au moyen des diverses données de la question. Dans celui-ci , nous supposerons que la valeur de £ soit donnée immédiatement en fonction de JCf y y z ; nous supposerons aussi que l'état de la surface de A soit partout le même; et nous négligerons, en général, l’influence des températures sur la valeur de A, qui sera alors une quantité constante, ainsi que A,. La quantité p sera donc aussi une constante donnée; et il en sera de même à l’égard du coefficient b de l’équation (a). Toutefois, lorsque A sera un polyèdre, on pourra, pour plus de généralité, supposer que ce coefficient ail des valeurs inégales pour les différentes faces de A , mais dont chacune sera toujours la même dans toute l’ctendue de la face à laquelle elle répond.

On résout toujours aisément l’équation (i) relative aux corps homogènes ; la difficulté du problème est de tenir compte de la forme du corps, et de satisfaire à l’équation (a), abstraction faite de la température extérieure Ç, à laquelle il est facile ensuite d’avoir égard. Il n’y a qu’un petit nombre de corps dans lesquels on soit parvenu jusqu’à présenta déterminer la distribution de la chaleur; c’est-à-dire la valeur de u en fonction de t, x,y, z; cependant leur nombre est encore trop grand , et les solutions des problèmes qui s’y rapportent exigent trop de développement, pour que nous puissions les exposer toutes, sans donner beaucoup trop d’étendue à ce chapitre ; c’est pourquoi nous nous bornerons à énoncer les différens cas que l’on a considérés jusqu’ici, en renvoyant aux Mémoires où ces questions particulières ont été résolues.

Ces cas sont ceux de la sphère primitivement échauffée d'une manière quelconque, qui sera l’objet principal de ce chapitre ; du cylindre à base circulaire, pour lequel je renverrai à mon premier Mémoire sur la Distribution de la Chaleur dans les corps solides (*) , où l’on trouve la solution du problème, soit que le cylindre se prolonge indéfiniment, soit qu’il ait une longueur déterminée , et quelle que soit la loi des températures initiales; du parallélépipède rectangle, que nous allons considérer tout à l'heure dans toute sa généralité; de différens prismes triangulaires; de l’ellipsoïde parvenu à son état perma-

(*) Journal de f École Polytechnique , ig* cahier.

lient, qui a déjà été indiqué dans le préambule de cet Ouvrage ; et pour ces deux derniers cas, je renverrai aux Mémoires de M. Lamé, qui les a considérés (*).

(i6j)- Supposons que A soit un parallélépipède rectangle, et que la température extérieure soit constante et égale à zéro; prenons l'un de ses sommets pour origine des coordonnées x, y, a; et faisons coïncider leur direction avec celles des côtés adjacens. Désignons par l, V, f, les longueurs des trois côtés qui tombentrespectivementsurles axes des x, y, z. La constante b appartiendra à la face Vf, perpendiculaire à / et passant par l’origine des coordonnées; elle deviendra b' et b" pour les faces If et IV, passant par le même point et respectivement perpendiculaires à V et f ; les trois quantités b, b', b', se changeront en b„ b', b', pour les trois autres faces de A. En vertu de l’équation (a) et à cause de Ç = o, on aura , d’après ces notations ,

— = bu, quand x = o, dx

y = — bju, quand x = l,

du = b'u, quand y — o,

dd“ = — b'u, quand y = V,

y s b'u, quand z = s o,

y ~ — b'\u, quand a = V'.

Si l’on désigne par A, A', trois constantes arbitraires , et que l’on fasse, pour abréger,

l’intégrale complète de l’équation (i) que l’on a trouvée dans le n° 76, pourra être représentée par

(*) Mémoires présentés à l’Académie des Sciences, tome V; Journal de C École Polytechnique , aa* cahier.

cos Ax cos A ’y cos A*s

sin Ax cos Ay cos A “t

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cos Ax sin A'y cos A's

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sin Ax sin A 'y cos A 'z

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cos Ax cosA'y sin A "z