DÉSIGNATION DES DIVERSES COMBINAISONS

i&mal., ~Amat.

t A»oir, 7*ioir.

îA mat., aA soir.

8Amat., SA aoir

3Amot., 3A»oir.

<jA mat., gA soir.

•{Amat., 4Atoir.

ioAmat.,ioAsoir.

5Amat., 5*soir.

t i**oir.

frAmat., raidi, 6*»oir, minuit.

i5 janv. 1828

— o*,to

17 juillet id. . .

— o,ao

i5 janv. 1829.

Moy. pour 3 jo.

Ce tableau suffit pour mettre hors de doute le résultat que M. de Freycinet a conclu de ses propres observations; mais l’auteur a vérifié qu’il se déduit aussi des observations faites au fort de Leith , en Écosse, pendant tout le cours de deux années, et que M. Bretoster a publiées (*).

(206). On connaît la valeur de V dans un grand nombre de lieux , mais sans doute moins exactement qu’à Paris. Elle décroît généralement à mesure que l’on s’éloigne de l’équateur, et quand on s’élève au-dessus du niveau des mers. A ce niveau et à l’équateur, M. de Humboldt l’a trouvée égale à aj‘,5; d'après les observations de M. Scoresbi , elle est de — 8*, 53 à la latitude boréale de 78*, la plus haute à laquelle la valeur de V ait été déterminée. Entre ces limites 27*, 5 et — 8*, 35, cette température climatérique V varie en outre avec la longitude; en sorte que les lignes d’égale chaleur à la surface du globe ne sont pas parallèles à l’équateur (**). Sa valeur décroît aussi daus les deux hémisphères, et avec moins de rapidité daus le nôtre que de l’autre côté de l’équateur.

T. Mayer a essayé le premier d’exprimer la valeur de V par une formule empirique; eu désignant par 6 la latitude, et exprimant la température en degrés du thermomètre de Farenheit, cette formule est

V ss= 58* ■+• 26* cos 28.

A l’équateur, on aurait V = 84°, ou à très peu près 29* centigrades ; ce qui excède d’nn degré et demi la température équatoriale qu’on vient de citer. Au pôle, on aurait V = 3a*; ce qui répond au zéro de notre thermomètre. Partout ailleurs la température V serait au-dessus de ce zéro, ou de celle de la glace fondante; conséquence qui suffit pour rendre la formule de Mayer inadmissible.

M. Brewster a donné, pour' exprimer la valeur de V , plusieurs formules qui se rapportent à différentes régions du globe (***), et dont

("J Transactions philosophiques d' Edimbourg , tome X, 2' partie.

(**) O11 peut consulter sur ce point les ouvrages de M, de Uumboldt , et particulièrement son Mémoire sur les lignes isothermes, insère dan* le tome III de la Société d’Arcueil.

(***) Transactions philosophiques if Édimbourg , tome IX , 2' partie.

chacune contient seulement la latitude 8. L'une de ces formules est

V=(8i°,5o) cosfi,

en employant toujours les degrés du thermomètre de Farenheit. A la latitude 6 = 48'5o'i3* de l’Obseryatoire de Paris, elle donne V = i2*,oaa en degrés centigrades ; ce qui excède de plus d’un degré la véritable valeur io“,833 de V. Néanmoins celte formule s’accorde généralement beaucoup mieux que la précédente avec l’observation, surtout dans les hautes latitudes: pour 8œ 78°, elle ne diffère pas sensiblement de l’observation; si elle s’étendait jusqu’au pôle, on aurait en ce point V =0, et il serait singulier que Farenheit eut pris pour le zéro de l’échelle de son thermomètre, précisément la température la plus basse de notre hémisphère : en degrés de notre thermomètre , la température au pôle boréal serait — 17**78.

(307). 11 parait qu’en chaque lieu, la valeur de V diffère peu de la température moyenne de la surface de la terre. Ainsi , à Genève on a , d’après une longue suite d’observations, Y =* g*, 75; et nous avons trouvé que la température moyenne de la surface du sol devait être un peu moindre que 10*, >4 (n* 189). A Lille, cette température est de 10% 70 (n* 190); la valeur de V en cette ville ne m’est pas connue ; mais sa latitude étant 5o°37', si l’on prend pour cette valeur, celle que donne la formule de M. Brewster, on a V = 1 1\ A Paris , la température des caves de l’Observatoire, à une profondeur de 38 mètres, est de 1 1°,834; l’accroissement de température parait être de o*,oa8( par mètre (n* 187); si donc on retranche 38(0», 0281) de n*,834, le reste ne devra excéder que d’une très petite quantité la température moyenne de la surface (n#i 85); et l’on voit que ce reste ii*,o47 diffère effectivement très peu de V = io°,823.

Ce peu de différence qui existe entre les valeurs moyennes 'de la température marquée par un thermomètre suspendu dans l’air libre et celle de la surface dn sol , est d’autant plus remarquable , que souvent la température variable de la terre, observée aussi près qu’il est possible de sa surface et qu’on peut prendre pour celle de cette surface même, excède de beaucoup la température marquée au même instant par un thermomètre très peu éleyé au-dessus de cette surface , et à

plus forte raison la température que l’oo observe à une hauteur de

quelques mètres, dont V est la valeur moyenne.

Voici des observations qui m’ont été communiquées par M. Arago , qui mettent en évidence cet excès de l’une des températures variables sur l’autre.

Le 10 août 1826, & trois heures et demie de l'après-midi, ciel serein.

Thermomètre légèrement couvert de sable de rivière 4®°

Thermomètre légèrement couvert de terre vége'tale 54

Thermomètre exposé au soleil , à o”,5 de hauteur 3^,5

Le a septembre 1817 , à deux heures de l’après-midi, ciel serein.

Thermomètre enterré de o",ooi 45%3

Thermomètre à l'ombre, è o“,r>4 de hauteur.. 3o

(ao8). Ce qui précède renferme tout ce que nous pouvons dire de général sur la température m , qui est celle de l’air , sur la température U distincte de v et que marque un thermomètre exposé à l’air , et sur la moyenne annuelle V des valeurs de U ; nous allons actuellement considérer l’échange de chaleur rayonnante entre la terre et l’atmosphère, y compris l’enceinte stellaire fermée de toutes parts , où la terre est contenue et dont nous avons déjà examiné l’effet. Le résultat de cet échange de chaleur pourrait se déduire des formules générales du chapitre II ; mais il sera bon de le déterminer spécialement pour le cas dont il s’agit.

Appelons a l’élément de la surface de la terre qui répond au point O (fig. 14). Sur la droite OE menée par ce point et à la distance quelconque rde ce même point, désignons par /> la densité de l’air, par y sa température et par q la mesure de son pouvoir absorbant, qui ont lieu au bout du temps t ; la mesure de son pouvoir émissif sera <yFy, en indiquant par F la même fonction que dans le n* 1 3 ; par conséquent si l’on représente par v le volume d’une partie de l’atmosphère d’une grandeur insensible , située sur cette droite OE et à cette distance r du point O, sa masse sera vp, et la quantité de chaleur quelle émet en tous sens pendant l’instant dt aura pour expression vpqYjdt. Concevons un cône ayant son sommet en un point de v, et qui soit

circonscrit à l'élément u. Son ouverture sera f en désignant par 9

l’angle aigu EOz, compris entre la droite OE et la verticale extérieure Oz; abstraction faite de l’absorption de la chaleur qui a lieu dans l’atmosphère, la portion de la chaleur vpqYjdt qui parviendrait à l’élé—

i cos S

ment a serait donc le produit ~^pr- fydt. Imaginons un second

cône extrêmement aigu comme le premier, qui ait son sommet au point O, pour axe la droite OE, et dont l’ouverture soit représentée par ir; en prenant pour v une tranche extrêmement mince de ce second cône, perpendiculaire à son axe, et désignant par «son épaisseur, on aura f = 45rr*17‘J au moyen de quoi la quantité précédente deviendra

ait* cos Q.fqYydt.

Je représente par le produit tu? cosô.IWt, la quantité de chaleur provenant de l’enceinte stellaire, de la partie du second cône située au-delà de la tranche fv, et de cette tranche même, qui traverserait pendant l’instant dt sa face la plus voisine du point O, et qui atteindrait ensuite l’élément co , si l’on n’avait point égard à l’absorption atmosphérique entre cette même face et a*; de manière que si l’on n’avait pas non plus égard à l'absorption qui a lieu dans l’autre partie du cône, le facteur inconnuR serait égalàla somme des valeurs de ifqYj, étendue à toute cette même partie du cône , et augmentée de la quantité de chaleur stellaire, rapportée aux unités de temps et de surface, qui parvient à l’extrémité de l’atmosphère suivant la directiçu EO. Pour déterminer la vraie valeur de R , je désignerai par R' ce que devient R à la face de la tranche fv la plus éloignée de O. L’excès de R'aiff cos §dt sur Rûxrcosfirfe se composera évidemment de la portion de chaleur absorbée par fv, dont on retranchera la chaleur provenant de cette tranche; mais d’après le n* i3, cette portion de chaleur absorbée sera égale au produit de ptq et de R'ocrcosüdt, on aura donc

RWcosSrft— - RucrcosBdt = Wftqai7co$6dt — pique co&Q.Yjrdt.

Or, en observant que R' est ce que devient R quand on y met r + « au lien de r, développant suivant la puissance de « et négligeant son

carré, on a

si donc on supprime les facteurs communs, l’équation précédente se

réduira à

~ = fqK — fqFy.

Son intégrale complète est

R = e /w*(D —fe-f”* fqFjdr)-,

D étant la constante arbitraire, e la base des logarithmes népériens, et les deux intégrales /fqdr commençant à une -râleur de r que l’on peut choisir à volonté. Je désignerai par h la longueur de la colonne atmosphérique suivant la direction OE, et je fais commencer ces deux intégrales à r = h; je suppose en outre que la troisième intégrale contenue dans R soit aussi nulle pour r = h, ce qui est permis à cause de la constante arbitraire D. Cette constante sera alors la valeur de R relative à r—h-, or, si l'on représente par s la température de la partie du ciel qui répond à la direction OE , ou plutôt cette température modifiée par l’absorption de la chaleur qui peut avoir eu lieu dans l’éther, la quantité de chaleur stellaire qui parvient^suivant cette direction à l’extrémité de l’atmosphère , et qui atteindrait l’élément ai pen* dant l’instant dt sans l'absorption atmosphérique, aura pour expression le produit macosfo.F sdt ; la fonction Fs sera donc cette valeur de R qui doit être celle de D; et il en résultera

R = ef,qdr (Tï—fe-'^rqFydr) ,

pour une valeur quelconque de r; ce qui s’accorde avec les formules du n* 35.

Maintenant, soit H la valeur de R qui répond àre=o, on aura

H = e^h (f s—J'°e~f*drfqVjrdr),

et le produit tua cos 6.11 dt exprimera la somme des quantités de chaleur atmosphérique et stellaire qui tombent pendant l'instant dt sur l’élément », suivant la direction EO. On peut remplacer l’intégrale

f fqdr, qui commence à r—h, par la différence f fqdr — fqdr,

en supposant que /fqdr commence actuellement à r=o; pourvu que

DE LA CHALEUR. 47r

l'on change les signes des deux autres intégrales, on peut aussi intervertir l’ordre de leurs limites; et de celte manière, la valeur de H prendra la forme

H = F s.e ^ -f- J'y~f>qJriqVjdr. (9)

Cela pose, je désigne, comme dans le n* i63, par a la fraction de la chaleur incidente, suivant la direction EO, qui traverse l’élément o>, et par QoiWt la qaantité totale de chaleur incidente qui traverse cet élément suivant toutes les directions. Pour déterminer Q, je décris du point O comme centre, et d’uu rayon égal à l’unité, une surface hémisphérique au-dessus du plan tangent en O ; sonélément différentiel aura pour expression sin6tftr/4> en appelant 4 l’angle que fait le plan de OE et de Os avec un plan fixe mené par Os; si l’on considère comme infiniment petite l’ouverture conique 17, on aura donc

lin 6dSd<l

et en substituant cette valeur de a dans l’expression aaffcosfi.IIfÙ de la chaleur incidente et absorbée suivant la direction quelconque OE, intégrant ensuite par rapport à 6 et 4 > et étendant l'intégrale à tous les élémens de la surface hémisphérique , c’est-à-dire depuis 8 = 0 et 4 — 0 jusqu’à 8 = ~7r et 4 — 37r > °a aura la valeur de QoirA; d’où il résultera

ali cos 9 sin 8f/8f/4-

Soit aussi, comme dans le numéro cité, jjj la température égale eu tous les points d’une enceinte fermée, et telle que cette enceinte enverrait dans le vide à l’élément o> une quantité de chaleur équivalente à celle qu’il reçoit effectivement; l’équation de ce numéro, qui devra servir à déterminer J- , sera alors

«H cos 8 sin 8<fW4

a cos 6 sin (W6;

et si l’on y substitue la formule (9) au lieu de H, elle deviendra

Fi-/*’ acos8sin8d8 = jjA** Ç** e ' 0 «FfCos6sin8<f6rf4/

-f- iXJffl'e “WÉ/cosflsinÔrfnrÆrf-^.

(aog). La fonction F renferme une quantité C indépendante de la température et que rien ne pourrait déterminer (n° 26) ; mais cette constante disparaît de l'équation (10). En effet, si l’on y met C à la place de chacune des trois quantités FÇ, Fj , Tj, on aura

a. cos 6 sin

— ftqdr

a ?q cosfl sin ÜdrdkI-4

or , en intégrant par partie et observant que / fqdr s’évanouit par hypothèse à la limite r = o , on a

/«A —fqtdr

„ c Mdr = 1

ce qui rend identique l’équation précédente. La partie de cette fonction F, qui varie avec la température, a aussi pour facteur une constante g, que l’on ne pourrait pas non plus déterminer, mais qui disparaît également de l’équation (10), comme étant un facteqr commun à tous les termes, après la suppression de ceux qui dépendent de C. L’équation (10) ne contient donc que l’inconnue Ç, et les quantités p, q, jr, h, s , a, qui sont des fonctions déterminées des trois variables r, 8, •<{,, ou de deux, ou d’une seulement d’entre elles; mais ces fonctions, dont plusieurs, et particulièrement la température^ et la densité p, dépendent aussi de la variable r, ne nous sont aucunement connues; en sorte que l’équation (10), quoiqu’elle renferme la solution complète de la question relative à l’échange de chaleur entre la terre d’une part, et d’une autre part l'atmos-

phère et les étoiles, ne peut pas servir, dans l’état actuel de nos connaissances, à déterminer l’inconnue jjj du problème.

Toutefois, cette équation donne lieu à une remarque qui nous sera utile dans la suite; elle nous fait voir que l’influence sur la valeur de £ , des inégalités diurnes et annuelles de la température^ de l’air en chaque point de l'atmosphère, est beaucoup affaiblie par cette circonstance que la fonction Fy est multipliée sous le ‘signe f par cosfl; lequel facteur est très petit pour les colonnes atmosphériques qui s’écartent le moins de l’horizon, c’cst-à-dire pour celles qui sont les plus longues, et dont la densité décroît avec le moins de rapidité. Cette influence sera beaucoup moindre, par exemple, que sur la température désignée par U dans le n° 201, et déterminée par la formule (8); car, dans les intégrales que cette formule renferme, les quantités qui dépendent de la chaleur atmosphérique ne sont pas multipliées par cosô, comme dans l’équation (10); d’où l’on peut conclure que les inégalités de température, dues à celles de cette chaleur, seront bien plus sensibles dans U que dans la valeur de Ç. Si l’on suppose, en conséquence, les variations de £ très petites par rapport à celles de la température >1 de la couche d’air en contact avec la terre, et surtout par rapport à celles de la chaleur solaire , on pourra , dans le calcul des inégalités diurnes et annuelles de la température extérieure f, au moyen de la seconde formule (5) du numéro i65, considérer la température £ comme invariable; ce qui permettra de déterminer les inégalités diurnes et annuelles de £, et par suite celles de la terre près de sa surface, indépendamment des inégalités semblables qui peuvent avoir lieu en tous les points de l’atmosphère. Les lois de celles-ci nous étant inconnues, on sera obligé de recourir à cette hypothèse de la température Ç à très peu près constante; hypothèse que la comparaison des résultats du calcul à l’observation pourra seule justifier complètement.

(310). Maintenant nous allons considérer la partie de la température extérieure f , dont la chaleur solaire est la source ; et , à cette occasion , nous comparerons entre elles les quantités de cette chaleur qui tombent sur la surface de la terre, soit pendant les différentes parties d’une même année, soit pendant des années entières, séparées par un très long intervalle de temps.

Soient O un point de la surface de la terre, et O' un point de celle du soleil (fig. 17), C et C' les centres de ces deux corps , ON et O'N' les normales extérieures à leurs surfaces , ou les prolongetnens de leurs rayons CO et C'O' ; appelons et et et' les élémens de ces surfaces qui comprennent les points 0 et O'; et désignons, au bout d’un temps quelconque t, par r la distance 00', et par 0 et 0' les angles O'ON et OO'N'. Supposons le soleil au-dessus de l’horizon du point 0 , et le point 0' appartenant à sa partie visible ; de sorte que ces deux angles 0 et 0' soient aigus, et qu’il y ait échange de chaleur entre et et et. Par un raisonnement semblable à celui du n* ao, on verra que la quantité de chaleur émise peudant l'instant dt par le soleil , à travers l’élément et de sa surface , et qui viendrait tomber sur l’élément et de la surface de la terre, abstraction faite de l’absorption atmosphérique, aura pour expression

»«' cos f cos l'

S 'dt ;

S' étant une quantité de chaleur rapportée aux unités de surface et de temps, qui pourra varier avec la position du point 0', et pour un même point 0' avec l’angle 0'. Pour conclure de cette expression la quantité totale de chaleur solaire qui tombe à chaque instant sur ai, il faudra remplacer et par l’élément différentiel de la surface du soleil, puis intégrer et étendre l’intégrale à la portion de surface terminée par le cône tangent qui a son sommet au point 0. A cause de la grande distance du soleil à la terre, ce cône sera sensiblement un cylindre, la portion de surface sera la moitié de celle du soleil, et dans l’intégration, on pourra négliger les variations de r et 0. Ensuite, pour avoir égard h l’absorption de la chaleur solaire dans l’atmosphère, il faudra multiplier le résultat de cette intégration par une fraction qui variera avec la longueur et l’état de la colonne atmosphérique suivant la direction de la ligne OCf. Enfin, pour en déduire la portion de chaleur qui pénétrera dans l’intérieur de la terre à travers et, on multipliera encore la chaleur incidente par une autre fraction qui pourra aussi dépendre de la direction de OCf, ou du moins de l’angle 0, et que nous désignerons par e. De cette manière, en représentant par!l»rft cette portion de chaleur solaire, on aura

S étant le produit d’une surface et d'une quantité de chaleur. Si Tou compare ce produit S à la quantité de chaleur désignée par a dans la formule (4) du n° i63, on aura.

La fraction t est la même que dans cette formule. Elle différera de la fraction qu’on a représentée par a dans le n* 208, si la terre absorbe en différentes proportions, sous un même angle d'incidence, la chaleur solaire et la chaleur atmosphérique.

■ La quantité S ne pourrait être déterminée directement que par des expériences très nombreuses et très délicates; on verra par la suite comment sa valeur moyenne, ou plutôt celle d’une température qui lui est proportionnelle, peut se déduire de l’observation des inégalités annuelles de température de la terre, à uue petite profondeur. Cette quantité est indépendante de la distance du soleil à la terre; elle peut varier avec les taches du disque solaire; elle varie aussi dans de très grands rapports avec l’état plus ou, moins serein de l’atmosphcre, qui influe sur l’absorption des rayons du soleil. La chaleur solaire éprouve dans l’air parfaitement pur une absorption que l’on suppose beaucoup moindre que celle qui a lieu pour la chaleur rayonnante, émanée de la terre ou des corps non incandescens; toutefois elle n’est pas nulle; et conséquemment, elle doit augmenter ou diminuer avec la longueur du trajet dans l’air suivant la direction 00'. 11 s’ensuit que quand le soleil est à l’horizon de 0, la quantité S doit être moindre, toutes choses d’ailleurs égales, que quand il atteint le méridien; et il en résulte aussi que dans l’année, cette même quantité doit augmenter ou diminuer avec la déclinaison du soleil dans l’hémisphère auquel le point O appartient. Les lois de l’absorption de la chaleur.solaireà travers l’atmosphère netantpas connues, ces variations diurnes et annuelles de la quantités sont également inconnues, et l’on peut seulement supposer qu’elles sont peu considérables. Quant à la loi suivant laquelle la fraction t peut dépendre de l’angle 8, elle est également inconnue. Dans cet

état de choses, on sera donc obligé d’avoir seulement égard aux variations de ret de 0 , en calculant au moyen de la seconde formule (5) du n* i63, la partie de la température extérieure f qui provient de la chaleur solaire. A cause de la grande distance du soleil à la terre, par rapport au" rayon du globe, on pourra prendre pour r le rayon vecteur du soleil dans son mouvement apparent autour du centre de la terre, et pour 9 l’angle que fait ce rayon vecteur avec le rayon CO de la terre aboutissant au point 0 que l'on considère sur sa surface.

Ayant ainsi égard à l’échange de chaleur entre le disque du soleil et l’élément œ, il faudrait, à la rigueur, retrancher de la première intégrale contenue dans le second membre de l’équation (to), sa partie relative à la portion de l’enceinte stellaire, cachée par ce disque; mais cette partie étant très petite par rapport à l’intégrale entière, on peut conserver cette intégrale comme elle est indiquée.

(ai i). Le produit acosG exprime exactement la projection de l’élément ai sur le plan perpendiculaire à la droite 00', ou, à très peu près, sur le plan mené par le point C et perpendiculaire à la droite CC' qui va du centre de la terre à celui du soleil. D’après cela, si l’on appelles" l’aire de la section faite par ce plan dans le sphéroïde terrestre, on

aura ^ S dt pour la quantité de chaleur solaire qui tombe , pendant l’instant dt , sur la terre entière, et qui se déduit de nWt après avoir omis son facteur e. On prendra ici pour S la moyenne des valeurs de cette quantité du numéro précédent, qui onj lieu, au même instant, pour tous les points 0 d’une moitié de la surface du globe, et qui varient d’un point à un autre, quand on a égard à l’absorption atmosphérique. Il est aisé de voir que cette moyenne est indépendante de t; par conséquent, si l’on appelle P la quantité de chaleur reçue par la terre pendant un temps donné, on aura

eu étendant l’intégrale à cetintcrvalie de" temps. D’ailleurs, si l’on représente par v la longitude vraie du soleil , par n et a le demi-grand axe et l’excentricité de son orbite, et que l’on prenne pour unité la somme des masses du soleil et de la terre, ainsi que le pouvoir attractif de la matière, on a, comme on sait.

r*dv = \/a ( i — «*) dt.

Il en résultera donc

P = - ! f tdv.

Pour obtenir la valeur de cette intégrale, en tenant compte de la non sphéricité de la terre, je supposerai que l’intervalle auquel répond la quantité P soit un nombre exact de jours sidéraux; ce qui rendra la valeur de P indépendante de l’inégalité des méridiens et de la rotation de la terre. Je regarderai donc la terre comme un solide de révolution; et alors en désignant par y le rayon du sphéroïde qui aboutit au parallèle dont la latitude sera représentée par y , on aura

jr = / ( + A Y. + A' Y, + A" Y4 + etc.) ;

I désignant le rayon d’une sphère équivalente en volume à la terre ; Y,, Ys, Y4) etc., représentant des fonctions connues de y, savoir :

Y, = sin*/* — i,

Y, = sinV — f sin/tt, etc.

et A, A', A", étant 'des constantes données. Si la terre était un ellipsoïde, toutes ces constantes seraient nulles, excepté la première qui exprimerait son aplatissement ; les observations du pendule montrent que les constantes A', A*, etc., sont très petites par rapport à A; mais pour savoir si la dissimilitude des deux hémisphères , boréal et austral , influerait sur la valeur de P, je conserverai A' avec A, et je négligerai toutes les autres constantes.

Cela étant , supposons que le rayon j appartienne à la section s\ soient S l’inclinaison du plan de cette section sur celui de l’équateur, et a: l’angle que fait le rayon y avec l’intersection de ces deux plans ; nous aurons

sin y = sin € sin a? , ds = \y'dx ;

et en négligeant les carrés et le produit de A et A', il en résultera-

f = i f™jr'dx = W’ [i -f- A( sin* S — §)J;

en sorte que cette valeur de s étant indépendante de h', celle de P ne dépendra pas non plus de la différence d'aplatissement des deux hémisphères.

I/angle G est évidemment le complément de la déclinaison du soleil correspondante à la longitude i>; en appelant y l’obliquité de l’écliptique , on aura donc

cos G — sin y sin v ,

et, par conséquent,

s = 7r/*[ i +A(5 — sin* y sin* v)].

Donc, en substituant cette valeur de s dans celle de P, et effectuant l’intégration , nous aurons finalement

p — + Kl sin‘>)]t,+4 hsia’y »

pour la quantité de chaleur envoyée à la terre par le soleil, pendant que son rayon vecteur décrit un angle quelconque v.

On voit par là qu’à raison de l’aplatissement de la terre, cette quantité de chaleur n’est pas exactement proportionnelle à l’angle v; mais comme sin au est nul pour toutes les valeurs de v multiples de yir, il s’ensuit que la valeur de P est la même pour la durée totale de chacune des quatre saisons. On voit aussi que la quantité de chaleur solaire reçue par la terre pendant chaque année variera de siècle en siècle , avec l’excentricité * de. l’orbite du soleil et l’obliquité y de l’écliptique; mais les variations de a et de y étant très limitées, celles de P seront toujours très petites; et il ne parait pas qu’on puisse leur attribuer aucun effet sensible sur la température moyenne du globe. .

Si l’on considérait la quantité de chaleur solaire absorbée par la terre , et non pas seulement celle qui tombe sur sa surface et qui est en partie réfléchie, il faudrait avoir égard à la variation du facteur s de la quantité [1 du numéro précédent, soit avec l’angle d’incidence 8, soit aussi avec la position du point 0, à raison de l’état de la surface en chaque point; et comme le pouvoir absorbant est différent, surtout dans les parties couvertes d’eau et dans les parties de terre ferme , il en résulterait que la portion de chaleur solaire reçue et ab-

sorbée par la terre , ne serait plus la même dans les différentes saisons. Nous avons déjà remarqué (a° aoo) que les hémisphères, boréal et austral, absorbent en proportion différente, la chaleur solaire qui tombe pendant l’année entière sur leurs surfaces.

Dans le calcul de la quantité P relative à la terre , ou à une autre planète , si l’on ne tient pas compte de l’absorption atmosphérique, la quantité S sera la même pour toutes les planètes. D’ailleurs , en négligeant l’aplatissement h, on aura

pour v=37r; il s’ensuit donc que les quantités de chaleur solaire qui parviennent aux limites des atmosphères des différentes planètes , pendant les durées entières de leurs révolutions, ne dépendent pas de ces durées, et que pour deux planètes quelconques, elles sont entre elles en raison directe des carrés de leurs rayons l , et en raison inverse des racines carrées des paramètres a(i — a.') de leurs orbites elliptiques; ce qui est un théorème dû à Lambert. Mais on n’en fient rien conclure relativement à leurs températures respectives , faute de connaître la partie de la chaleur solaire qui est absorbée par l'atmosphère de chaque planète , et ensuite la portion de la chaleur non absorbée, qui pénétrera dans l'intérieur de la planète même, d’après l'état de sa surface.

(ata). Au bout du temps t , désignons par tp la déclinaison du soleil, et par l’angle que fait le méridien où il se trouve, avec le méridien du point O; soit toujours fi la latitude de ce point; 6 étant, ainsi qu'on l’a dit plus haut, la distance angulaire C'CN du soleil au zénith de ce même point 0, on aura

cos 9 — sin^sinp -j- cos p cos p cos 4 ,

où l’on regardera la latitude n et la déclinaison tp comme positives ou négatives , selon qu’elles seront boréales ou australes. En désignant, comme dans le numéro précédent, par y et v l’obliquité de l’écliptique et la longitude vraie du soleil , on aura aussi

sin ® = sin y sia v ,

48o ' THÉORIE MATHÉMATIQUE

et, par conséquent,

cos S = sin^4 sin y sin v -f- cos fi cos 4 >/ 1 — sin*}. sin V ,

où l’on devra considérer le radical comme une quantité positive.

Le rayon vecteur r du soleil a pour valeur

I 4- «cos (y — >r) '

fl et a étant toujours le demi-grand axe et l’excentricité de son orbite, et <nr désignant la longitude du périgée. Si donc on appelle T le dernier terme de la seconde formule (5) du n° i63, de sorte • que l’on ait

fp ____ ircosO

et si l’on a égard à la valeur de o- du n" aïo, il en résultera

T=A[r +aacos(v— ®-)](sin/tsinysint'-fcosftcos>\/ 1 — sin'ysinV), (i i)

en négligeant le carré de a et faisant, pour abréger,

Ainsi qu’on l’a expliqué plus haut, on regardera cette quantité h comme indépendante de l’angle 8; ce sera donc une température constante, proportionnelle à l’intensité de la chaleur solaire, telle quelle est à la distance moyenne a de la terre au soleil , et après avoir traversé l’atmosphère pour arriver au point O.

De cette manière, la valeur de T se trouve exprimée en fonction de deux angles variables ^et r, dont l’un est relatif au mouvement apparent du soleil parallèlement à l’équateur, et l’autre à son mouvement apparent sur l’écliptique. L’angle 41 ne s’étendra jamais à plus d’un jour entier; pendant cette durée, on peut le supposer proportionnel au temps; on aura , en conséquence ,

r étant la valeur de t qui répond au midi du point O, et « désignant la valeur angulaire du mouvement diurne du soleil; de

sorte qu'on ait

n — ait (365, a5),

en prenant l’année julienne pour unité de temps. De pins, si l'on compte le temps t à partir de l’cquinoxe du printemps boréal, le plus rapproché de l’époque à laquelle ce temps correspond , on aura aussi

v = a itt -f- sin (a wt — <w) ,

en négligeant toujours le carré de (ai 3). Cette valeur de T n’a lieu que quand le soleil est au-dessus de l’horizon du point 0, c’est-à-dire, lorsque l’angle fl n’excède pas ±90*; quand le soleil sera au-dessous de l’horizon, on aura T sa o; si donc on désigne par ±4/» les valeurs de 4 qui répondent à cos fl = o, et qui sont données par l’équation

sin>* sin y sin v -f- cos/U. cos 4, \/ 1 — sin* y sin‘p =0, (13)

la quantité T sera une fonction discontinue de 4 > dont les valeurs seront données par la formule (11), depuis 4=° jusqu’à 4— ~^4/» et nulles depuis 4 = 4/ jusqu’à 4 = dfc w. D'ailleurs , en con-

sidérant cette fonction de 4 et de v par rapport à la seule variable 4» il est évident, par sa nature, quelle redevient la même, zéro ou non, toutes les fois que cet angle 4 augmente de 36o*; par conséquent , son expression en série de sinus et de cosinus des multiples de 4 s®*13 donnée par la formule (6), en y prenant air pour l’intervalle S des valeurs égales de la fonction.

Cette formule devient alors

q>t = jJ’Vw + '-Z [/0Wcosi(* — tjffdrji (i3)

i étant un nombre entier et positif, et la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs de f , depuis i — O jusqu’à / = 00 . Si l’on y fait

elle prendra la forme

/+ = rJL,f W+ ; 2 [ fL** i (4 — 4' )/4,<#4'] ;

mais T «tant zéro depuis 4 = 4; jusqu’à 4—-^:w‘> si l’on prend

T pour la fonction f-\, , les intégrales ne devront plus s’étendre que

48a THÉORIE MATHÉMATIQUE

depuis 4,= — 4/ juscIu’® 4' = 4<; en sorte que l’on aura

/4 +î[/4,00,<w" +VW}

Or, si l’on met dans cette formule, à la place de f-\' la formule (i i), dans laquelle on fera 4 = 4*» on trouve que Ie* intégrations relatives à 4' s’effectuent immédiatement , et il en résulte

/4 = -[ 1 -f- aa cos(i1-'»)] 1 4 ,s' nH- s' n> 81 n v~i~ sin4,cos/i \/j— siu'ysin'i'

-f* asin fi gin y sin v 2 4 sin i‘4, cos i'4

-+-C0SfVi— -sin»> sin* v 2 -f- ~ 7 Z.'^Qcos^ j.

Cette expression de f-\> sera donc celle de T , en série de cosinus des multiples de 4> que l’on pourra écrire de cette autre manière :

T = à[i -t-aacosfv — iw)](V + V,cœ44-V,,cosa4-{-etc.), (t4)

en comprenant le diviseur t dans la constante k, et faisant, pour abréger,

V = 4, sin>t s'n> s'n ‘"f-sin 4, cos/x y/ 1 — sin* 5. sin'e,

V, = asin4/sin^s'n5's*n‘’

+ (4/ + s*n 4/ cos4#) cobpVi — sin* y sin* v,

V„ss= a sin 4, cos 4, sin sin y sin v

-f-î(acos*4, 4- 1 ) si n 4, cos/* V^T-—wn*> si n* v, etc.

(ai4-) Ayant fait usage de la double valeur =t=4< pour parvenir à cette expression de T, on y devra actuellement considérer 4, comme une quantité positive. Cet angle ne devra pas non plus excéder i8o\ Pour v = o , =1 80°, = 36o*, il sera égal à 90“, quelle que soit la latitude /x. Depuis v = o jusqu’à v= 180*, il surpassera 90“ ou sera moindre, selon que cette latitude sera boréale ou australe ; le contraire aura lieu depuis t> = i8o* jusqu’à v 3=360°.

En faisant successivement, dans l’équation (13), 4,= 0 et 4Z— ,8°% • c’est-à-dire, cos 4, asi 1 , on en déduit

. . COS u

smvsszb -r~, 9în y

pour les valeurs de sin v qui répondent à ces deux valeurs extrêmes de 4,* H s’ensuit que si l’on a cos,u.>siay, ou ju<go* — y, abstraction faite du signe, ces valeurs de sin v surpasseront l’unité, et celles de v seront imaginaires. Dans ce cas , l’angle 4, n’atteindra donc pas les limites zéro et t8o*. D’après l’éqnation (î a), ses plus grandes valeurs répondront à i» = go“ et v= 5. go*, et elles seront déterminées par l’équation

cos 4, =q= tang y tang

qui donnera effectivement, dans le cas dont il s’agit, deux valeurs de 4„ l’une plus grande et l’antre plus petite que go*. Quand on aura jt=rfc(go* — y), l’angle 4, atteindra les limites zéro et i8o*; et ce sera pour t> = go° et v = 5. go*. Enfin dans les hautes latitudes boréales ou australes, où l’on aura /A>±(go“ — y), l’angle 4, atteindra aussi ces mêmes limites, mais pour des valeurs de v moindres que go* et 3 .go*; et de plus, il y aura alors un intervalle dans oes valeurs de la longitude du soleil, pour lequel cet astre sera constamment au-dessus ou au-dessous de l'horizon du point 0.

A raison de cet intervalle, l'angle 4, sera , daus ce dernier cas , une fonction discontinue de la variable v. Four fixer les idées, supposons que la latitude n soit boréale, de sorte qu’on ait fi > go* — y. Soit v, le plus petit angle positif, déterminé par cette équation

cos v(

sin y '

depuis vz=o jusqu'à ufc=go*«— la valeur de 4, en fonction de v sera donnée par l’équation (i a), et pour v*=go*— v, , elle atteindra 180*; depuis v=go* — v, jusqu’à v = go*+<'/, le soleil sera constamment au-dessus de l’horizon du point 0 , et l’on aura 4, = 180° ; depuis v=go*-j-t>y jusqu’à u=3\go° — 1>(, cet angle 4, sera de nouveau déterminé par l’équation (la), et en particulier pour*'=3.go‘— - »>,, sa valeur sera zéro; depuis v>=3.go° — vt jusqu’à v= 3.go”-f- v„ le soleil sera toujours au-dessous de Thorizoa du point 0, et l’angle 4, aura constamment zéro pour valeur; enfin, depuis v s= 3 . go" -f- i>y jusqu'à ve=36o% l’ongle 4, sera déterminé par l’équation (la).

En substituant l’expression de 4, en fonction de v dans les valeurs de V, V„ V„, etc. , on voit que chacune de ces quantités sera en

même lenips que 4,> une fonction continue ou discontinue de v ; mais dans tous les cas, chacune de ces quantités reprendra la même valeur toutes les fois que l’angle v augmentera de 36o°; par conséquent, ces fonctions de v pourront s’exprimer en séries de sinus et de cosinus de ses multiples, au moyen de la formule dont on vient de faire usage. Nous allons effectuer cette transformation sur la première de ces quantités; on opérerait de même sur toutes les autres V/f V<(, etc.; mais dans la suite nous aurons seulement besoin de l’expression de V en série.

(a 1 5.) Soit •'{/, ce que 4-, devient quand on y change v en une autre variable / ; en appliquant la formule (i3) à la fonction V, nous aurons , d’après la valeur précédente de cette quantité ,

v= “£“2 pTj,;8in vw

air J o T'

-f- (**’ \A — sin‘y sin V sin 'l'dv'

aw Jo (i5)

-h *‘n^Sln- 2 [/" 4/ COsi(y — v ') sinv'rft'Q