V 1 — sin*> sin*/ cos j (y — v*) sin \'d\f ^J

Supposons que la latitude y. du point 0 soit boréale; et considérons d’abord le cas où l’on a ft < go* — y, de sorte que 4* soit une fonction continue de </.

En intégrant par partie, et observant que les valeurs de 4, qui répondent aux deux limites v1 = o et s/ = aw, sont égales, on aura

on aura de même

r'+; cos/(*-V) sin ^ ° 7 V « L * -f- * * — i J <1/ *

pour toutes les valeurs de i différentes de l’unité ; et pour i = i , on trouve, aussi

J' **4'eo*(M' — u')sinv'</p'==Sr’siuv-f-j J' **£^cos(v- ai/)-v'sin (W\

le terme compris hors ëu signe f provenant ëe ce que l’on a 4', = f ir à la limite sf = sur, D’ailleurs, on, tire de l'équation ( t a)

bid^m sin y cos /

sin 4,' -g? >

sin4,':

cof^t (i— ■ •in’^sinV')* Ÿ cos> — sin^sinV'

cos f* ( i — sin’y sinV)* sinp sin y cos/

et, par conséquent,

^ (l— -jitt’y 5inV) Ÿ eoa> — ain’j- sin i'- ’

au moyen de quoi, nous aurons

/** ■ / • jj , . . /•» COtfv'dv

q/, smvw sa sin>t siny J — ,

/~4; cos(y — /)sin^«iu'= ^7r*sin ç>+ ^sin^sinyjf cçsfw — a*'')

— ✓ Sin «’«"»'■

77 4/cos»(v — /) sin i/rfv' = 1 sin^t sin yj'tr^0s v ^ t

cot(iv — «/ 4- /)“1 cosv’dv

où l’on a fait, pour abréger,

A = (i — &in*y sin*/) \Zcos‘/i — sin*y- sinV.

Je substitue ces valeurs et celle sin 4' dans la formule (i5). Les intégrales relatives à v’ des quantité* qui ont poor facteur le sinus d’un multiple pair ou impair, ou le cosinus d’un multiple impair de cet angle, se détruisent comme étant composées, entre les limites p's=o et v‘ sa jT, d’élémens égaux deux à deux et de signes contraires. Relativement à l’intégrale qui renferme v* sous le signe /, en dehors des sinus et cosinus, on a

/•»» /co»/<i/ /■*

» /cos v dv f' »(/+») cos v dv

* cosv'dv'

à cause de coa(ié + w) := — cos v1 ; et cette dernière intégrale est nulle, comme étant aussi composée d élément qui se détruisent deux à

deux. Quant aux intégrales des quantités qui ont pour facteur le cosinus d’un multiple pair de J , oa pourra réduire leurs limites à v’= o et v'=z A 7r, en quadruplant leurs valeur». Cela posé, on trouve

V= 4 ir sinwsin j-sin c-f-Q+Q,co$ af-J-Q^ C6$ 4‘H-Q,,, coS&>-f- etc.) ( i G)

Q, Q/> Q„» Q«/« *tc-> étant des quantités indépendantes de v. On a en particulier

Q = ? /V(vW — siti*j/ sin'T^-f- *ilp'C0!> dv',

et pour un indice quelconque i, différent de zéro,

Q, = - /»'[ V7cosVs — sin*^ si nV cosatV

— (cosaiv cost/ -f- a/ «aai/sinr) ■ ^ ^ Jdv •

(ai6). Toutes ce» intégrales Q, Q,> Q*. etc., s’exprimeront en fonctions elliptiques ; de qoi permettra ensuiie d’en calculer facilement les valeurs numériques.

Pour la première , on a

1 / r 1 w J | r ‘ & r -rr mil (t a\>

Q=;(/; Vw p*- w'ïmR m +f;

J o (i — sin.*y »inV) V co»> — sin‘y sinVV’

■.’ni. — .. v. > 1 , J ’* — * , • - t-

ce qui montre que Q dépendra d’une fonction elliptique complète, de chacune des trois espèces, ayant un mène module ; quantité moindre qûe Vunïté par hypothèsé. Eh faisant

î> ."- il.' non a i i c -u* 8in**ess »> ’ti ,v

. '■ ■ »•<•*. ’i l'irii o •; i

et employant les notations de Legendre , on aura

Q = *E*(e)-cos/a. — rT(e, n) cos* >]sifc ptang^t.

Mais do «ht qne les fonctions complètes de troisième espèce -s’expriment au moyen de fonctions complètes et incomplètes de pre-

mière espèce et de même module; eu faisant . 1

n = — (* sin* p ,

d’où l’on tire __ . ; ; ■

l’angle <p sera l’amplitude des fonctions incomplètes , et l’on aura (*) n-(c, n)= F» (c) + U°8/. , \?‘(c)E(c, y)-E«(c)g(c, »)] ; (,7)

par conséquent, la valeur de Q deviendra finalement ' Q afc î {E'(c)cosp-f- F*(c)sin*j/ sin/x tangju.

— [F‘(f)E(Pi $).“ E‘(c)F(e , <J>)]cf)sysin/*}.

Si l’on fait i = 1 dans la valeur de Q, , il vient . r

Q, = - / a Y cos* f* — -sin* y sin* v cos iv'dv'

WJ O

lîiuVHVv yr(t

En intégrant par partie, on •

/*’ \/coe*>i — sin'ysin* ^eo*a^d»/as Z*1 -3' - .Xiffiiffi..

*’ 0 J 0 y cm’ ft — sw’ysin*!''

■ ; C ” as? — f * \Zcos‘fj. — 'sm* y sin*i>’ cos' ddv

! . .iut li min

1,1 •' iin r - 1 j r~ 1

, (sin* y — cos* J») cos*/, /* J"

siu'y

Ÿ cos’u — lin’ysinV

■+■ * Vcos'p — sin* *k sin* ddv1 ;

et h cause de cas* v' =s i cws/ -f- j , «n ea conclut

P' N/^ô^^iÿ’coego^

Jo r T~TVir 5 aa'y y/* Jco^ — si

(*) Traité ’l/es Font nom eUiptiquet, taillé I, page i4< -

D'ailleurs on a identiquement , d'après ce que A représente ,

(i -+- 1 sin’ v') cos*i'' A

(a -f~ y) cos’ y a^/co»’^» — suj’y6in’/ A sip.4 y - ■ - ain4 y

i + cos’ y + acos ’/«

oî n * it

ain4yV^cos> — sin*y sin’ v

M ' la. 7

Cela étant, on aura ,

O 3= - — ^ T ( a+sin'yJcos'Asin V ( 1 JL, . —

^ Sw-sm'yL , J» (r— sip’y»in*> ) V/cos’«— sin’ysinV

-f- (a — sin ty)f* * \/ cos*/x— — si sinV dsf

t: * . .O t i. ii. i * !* , i

(l -i-COS*> — Sin*>COS*It)/ » , ::: h

# V ° V COS> — sin’y ainV

ou , ce qui la même chose , • ^ . ’• .

Q, = 3^4^- [ja -f- sin» cos*> sinwtang»l‘ (c»

-4- (a — sin» cos/*E‘ (c) — (i -f- cos*> — sin*} cos» — , ’

et en éliminant FI* (c,n) au moyen de l'équation (17), il en résulte