SP J A
On suppose, à la page 16 du mémoire, la Terre parvenue actuellement à cet état qui précède son refroidissement total, et qui répond à un temps t pour lequel a\/i est devenu un multiple de/, tel que l*on puisse négliger la somme de tous les termes de u, moins le premier, par rapport à ce premier terme. Mais il faut observer qu’à raison de la grandeur de / cela ne peut avoir lieu qu’autant qu’il sc serait écoulé , depuis l’état initial
du globe, un nombre immense de siècles; en sorte que pour un temps t beaucoup moindre, mais encore extrêmement long, on doit employer la somme de tous les termes de u, au calcul de ses valeurs numériques; ce qui changera entièrement les lois de leurs variations.
Pour simplifier la question , je supposerai qu’à l'origine, ou quand t était zéro, tous les points du globe situés à égale distance du centre, étaient également échauffés; il en sera de même à toute autre époque; et l’expression de u se réduira à la première ligne horizontale, c’est-à-dire à sa partie indépendante des deux angles qui déterminent la direction du rayon vecteur r de M. D'ailleurs , pour n = o , on a , , sin a,
{bl — i) — (- coi *( = 0,
pour l’équation L = o, dont X, A,, A„ etc., sont toutes les racines positives ; et parce que bl est un très grand nombre , on en déduit
en négligeant les termes qui ont pour diviseur une puissance de bl supérieure à la première, et faisant, pour abréger.
de sorte que * soit une fraction très peu différente de l’unité. ,Au même degré d’appoximation , la valeur correspondante de R, sera
* . „ « . ifr*r , . ht mr' . > - , •
= -j- tin -j— J rFrsin— -j — dr .
Par conséquent , nous aurons .
u = ~ I (cos ii — cos (/) df /dr 1
en faisant aussi , pour abréger,
et la somme 2 s’étendant à tous les nombres entiers t , depuis isi jusqu’à i = ao , ou , si l’on veut, depuis i = o jusqu’à i = oo , parce que le terme relatif à i = o est zéro. Or, d’après une formule connue , on a
roc - -, »
e~ i l , 'c=— I <r-*’co§ aitidt-,
par conséquent , l'expression de u pourra se changer en celle-ci :
u = — ~—=f f" [ Ic rf eos*(f + al*) 4- £e —< 'cos«(» — •xlrV irj o J — oo
atz)
— Ze i/ cosi(f'+ lit) — Zc ‘'cos» (f— aS*)]r ~‘'r‘fr'd/di,
où l’on représente par <f une quantité positive, que l’on fera nulle ou infiniment petite, après avoir effectué les sommations indiquées par 2, et qui est introduite ici afin qu’on puisse, au moyen de l'exponentielle e~ considérer les séries périodiques de cosinus , comme les limites d’autres séries convergentes. •
Cela posé , tu étant une quantité réelle et indépendante de », on a
aZe *cos»o = i -f- -
Si donc on fait , par exemple, il en résultera
i — ae 'cos
dé.
a»*-ff=«, dt = — ,
fZo C^- / co* l (r+
dm
cotu+e—"
Or, le numérateur du coefficient de dm sous le signe /, s'évanouit quand cf est infiniment petit; ce coefficient s’évanouit donc également, excepté pour les valeurs de m, qui font aussi évanouir le dénominateur, et qui sont les valeurs de cette variable, infiniment peu différentes de zéro ou d’un multiple de a 7T\ par conséquent, si l’on désigne par n un nombre entier, positif, négatif ou zéro, et si l’on fait
, . = imt + y,
on pourra traiter la variable y comme un infiniment petit , positif ou négatif, et décomposer l’intégrale relative km en une somme étendue depuis n= — oo jusqu’à n — oo , d’intégrales relatives à y. En considérant ainsi eT et y comme des infiniment petits, nous aurons
