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i — é~ a '=a/, i— ie~ * coj» -4-e~ 1 ' 4. y*, e l’intégrale relative à m deviendra

a rjÉÏ—ïe

de plus celle qui se rapporte à y s'évanouissant avec 3 , dès que^ a une valeur finie, positive ou négative, on pourra maintenant l’étendre depuis y — — ao jusqu’à = os ; on aura alors

/ » Idj

-cc^+r ~ x; -

et l’on en conclura

[»“"«>»«(,+ -J: 4. !L le <•* ,

On obtiendra de même les intégrales relatives à z d? s- trois autres sommes 2 que contient l’expression de a; laquelle deviendra, en conséquence,

(inw — f ) » (Wf -H!» (twy — /)• __ (a*T «f» /?)•

4,1 +e 4 *’ -e 4 ®‘ — e 4 *' J r'F/dr ;

ou bien, en séparant de la somme 2, le ternie qui répond à n = o, et réunissant deux à deux les termes relatifs à des nombres n égaux et de signes contraires, on aura finalement

les sommes 2 s’étendant seulement aux nombres entiers et positifs n , depuis n =1 1 jusqu’à n= 00 . .

Tant que a \/t sera très petit par rapport à l, ce qui rendra 0 une très petite fraction , les sommes 2, et par suite cette expression de u, seront des séries extrêmement convergentes; tandis que l’expression de u dont nous sommes partis était, au contraire, une série très convergente pour les valeurs de n \Jt très grandes par rapport kl. •

On peut facilement vérifier que cette dernière équation se réduit à «=Fr quand f = 0. En effet, si l'on suppose t infiniment petit, 0 le sera aussi; ce qui fera d’abord disparaître tous les termes des deux sommes 2. Oc plus, dans la première partie de u, le coefficient de dr 1 sous le signe f, s’é-

vanouit également, excepté pour les valeurs de d infiniment peu différentes de r; en faisant donc

i / =r+«, dr = di t

et par conséquent

«vi , «»(ir 4. i)

on pourra considérer z comme une variable infiniment petite, à laquelle on donnera des valeurs positives et des valeurs négatives , si r et f — r ont des grandeurs finies, ce que nous supposerons d’abord. Dans ce cas, l’exponentielle qui contient p 1 s’évanouira aussi, et l’on aura simplement

tl/w ,

HT l r ft

*•*>1 ' Tl*»-

dz.

mais sans altérer la valeur de cette dernière intégrale, on pourra actuellement l’étendre depuis z = — qo. jusqu’à 3 = co , puisque le coefficient de dz sous le signe f, s’évanouit pour toutes les valeurs finies de z; elle

aura alors -2^=. pour valeur, et il en résultera u = Fr.

Lorsque r est infiniment petit ou nul, tous les termes de l’expression de u se présentent sous lu forme | ; en déterminant leurs valeurs par la règle ordinaire, désignant par G la température centrale, et ayant égard à ce que p, f', 8, représentent, il vient

e r'Tr’dr

aa 'tÿ ut J o

(an/ + «r*}»

f e 4* “ ' r'Fr'rfr'

2 mort y wt J

(oui — *r / )*

f e 4» *** n i . r / Fr / dr / .

aaa’t y wt J

Quand t est infiniment petit, tous les termes de cette formule s’évanouissent, excepté le premier; et l’on trouve, par un raisonnement semblable au précédent, que ce premier terme est égal à la valeur de Fr', qui répond à r = o.

La forme de C en fonction de t dépendra de celle de Fr', ou de l'hypothèse que l’on fera sur la distribution primitive de la chaleur. Le cas le plus simple est celui où l’on suppose que la température initiale du globe ’ 7 -

ait été partout la même; de sorte que Fr' soit une quantité indépendante de r 1 . En la désignant par A , la valeur de C pourra s’écrire ainsi

A f 1 r'-dr 1

a'tÿ Tl J o

2 a’iyV/.

+ X /** . + m>) t'df' ;

îta'ty Tl J — f

ou bien , en intégrant par partie,

r A/ --çr,

a y ri a y Tl

C (ani -4» «/)« (a*l —

ay wt