dx . J
pendant tout le temps que la distance du point M à la surface est au moins quatre ou cinq fois plus grande' que a a \/t.
Afin de simplifier encore cette expression de u, je fais, dans la première intégrale ,
x' — x ^ dx‘ ^ x ^
u)/ / ’ Mj/l ’ xa{/t
et, dans la seconde,
a 4- *bx 4- mbx’ dx' ^ 1 mbx ^
a <tba\/ 1 ’ 2 aÿ l ’ a aba^t
les limites relatives à^ et à z seront yz=z — A et jr = *> , 2 = A et ~ = ce ; et comme on a
il en résultera
VCL< e -*' e -*')
kJjj+abx) • b(t—x )
Lorsque t est infiniment petit, on a A = » et k == ao ; ce qui réduit cette valeur de « à « = A , comme cela doit être. Mais à l’époque actuelle , ces quantités A et A: sont de très petites fractions près de la surface du globe , et ne peuvent cesser de l’être qu’à de très grandes profondeurs.
Je suppose d'abord que x soit une petite partie du rayon; ce qui comprend toutes les profondeurs accessibles et au-delà. En négligeant les puissances de A et A supérieures au carré, on aura
f-*’— e-*‘ = A’-*’ , p e-*'dj = h, p e~ *’<fe =t It ;
et si l’on remet pour h, k, a, leurs valeurs, et que l’on néglige ensuite les termes qui ont /“-pour diviseur,’ on trouve
A ( i 4- bx) A ( i 4- bx) aA ( i 4- bx 4 - b'x')
ba wt bl h' l a ÿ
quantité de même signe que A, dans l’hypothèse que l’on a faite, de l cinq à six fois aussi grand que 2 a\/t, et, conséquemment, plus grand que a \/i ;
qui se réduirait à son premier terme, si le rayon l était infini ; et qui coin • ciderait, à cette limite, avec la valeur de u que j’ai trouvée d’une tput autre manière, à la page 3i7 de mon ouvrage. On vérifie aussi que les valeurs de u
et ^ qui répondent à x—o, satisfont à la condition ^ = bu, qui doit toujours avoir lieu à la surface.
Si l’on prend a = 5 et b — t , et si l’on suppose , qu’à l’origine , la température de la masse entière du globe s’élevait à 3ooo degrés, il faudra qu’il se soit écoulé, à très peu près un million de siècles depuis l'époque de cet état initial, pour que la température de la surface provenant de la chaleur d’origine, soit réduite actuellement à un 3o* de degré, et qu’elle s’accroisse d’un 3o' de degré par chaque mètre d’augmentation de distance à la superficie. Il faudrait également qu’il s’écoulât encore trois millions de siècles, pour que ces petites fractions de degré* se réduisissent à moitié, et ce nesera que quand a \/t sera devenu un multiple de l, qu’elles pourront s’évanouir entièrement.
L’uniformité d'accroissement de chaleur dans le sens de la profondeur, aura lieu à toutes les distances accessibles : à la profondeur de i5oo mètres, par exemple, cet accroissement, pour chaque mètre,- ne serait pas augmenté d’un millième de sa valeur à la surface; mais à de plus grandes distances, la température deviendrait sensiblement constante, et égale, comme au centre même, à ta température initiale A.
En effet, lorsque x est une partie considérable du rayon l, les quantités A et A sont sensiblement égales, et l’on a, à très peu près,
qA/ r h
(f—x)VZJ „
~ r 'dy -
Kx
or, il suffit que h soit , par exemple , égal à trois ou quatre , pour que cette intégrale diffère très peu de sa valeur j \/», relative à A= oo , et, en conséquence, pour que « diffère aussi très peu de A. En supposant t égal à un million de siècles, et x égal au ao* du rayon /; et faisant toujours a= 5, on aurait à très peu près A = 3, et la valeur de u différerait à peine de celle de A, d’un millionième de celle-ci; de sorte qu*on aurait à très peu près A — u = o*,oo3, si A avait été de 3ooo degrés. Si l’on prend les memes valeurs de a et de t, et qu’on fasse l = 63645oo", et x = tsî /, on aura
h =0,6364, ~ F J r df = l — o,63ig,
et, par conséquent,
en supposant toujours la température A égale à 3ooo degrés : pour ces données, l’accroissement de température près de la surface étant d’un 3o' de degré par mètre; s’il était uniforme jusqu’à la profondeur de 63645 mètres, la valeur de userait deaiaf,5, c’est-à-dire plus grande de i36*,8, que celle que nous trouvons.
Quoique je croie avoir démontré, dans le mémoire, que la chaleur développée par la solidification de la Terre a dû se dissiper pendant la durée du phénomène, et que, depuis long-temps, il n’en subsiste plus aucune trace; il était bon, néanmoins, de déterminer, d’une manière complète, lesîois du refroidissement qui auraient eu lieu, si le globe, devenu solide, avait eu dans toute sa masse une température très élevée. Ces lois sont, comme on voit, très différentes, selon que l’on suppose le produit a l’époque actuelle, notablement plus petit, ou notablement plus grand que le rayon Z; elles n’avaient pas encore été déterminées dans la première hypothèse , et c’est à la seconde que se rapportent toutes les citations du mémoire.
Au commencement de cette note, j’ai supposé que la température intérieure ne variait, ni avec le temps/, ni d’un point à tin autre de la surface du globe. Si elle est seulement indépendante de f, mais qu’elle soit différente pour les différents points de cette surface , et donnée en • fonction de leurs coordonnées, il faudra ajouter à la température u d’un point quelconque M de la masse, une partie u', aussi indépendante de t et fonction des trois coordonnées de M. A la surface, u ' coïncidera avec la température extérieure, correspondante à ce point; à une profondeur x, très petite par rapport au rayon Z, la valeur de u! différera aussi très peu de celle qui aura lieu à l’extrémité du rayon passant par le point M ; et sur un même rayon du globe , u ne commencera à varier, d’une manière sensible, que quand la distance r du point M au centre différera sensiblement de Z. Au centre même, ou pour r = o, j’ai démontré, à la page 388 de mon ouvrage, que la température u' est la moyenne de ses valeurs relatives à tous les points de la superficie. Ce théorème est indépendant de la grandeur du rayon Z; il a également fieu pour la Terre et pour une sphère d’un rayon quelconque : il n’y aura de différence qne dans le temps, plus ou moins long, qui devra ' s’écouler pour que la température centrale parvienne à une grandeur
permanente; lequel temps comprendra , dans le cas de la Terre, un nombre de siècles excessivement grand, et sera très court , au contraire, dans le cas d'une spbère ^'un fort petit rayon , comme la boule d'un thermomètre, par exemple. La règle qui a été suivie, à la page a 3 du mémoire, pour déterminer une limite inférieure à la température de l’espace au lieu où la Terre se trouve actuellement, est fondée sur ce théorème, ainsi que je vais l'expliquer.
Soit ds l’élément différentiel de la surface du globe, correspondante à un point quelconque P. Par ce point, menons un plan tangent à cette surface et indéfiniment prolongé; appelons Ç la température qu’il faudrait supposer à tous les points de i’enceiute stellaire, pour que 'la partie située au-dessus de ce plan , envoyât à chaque instant, à l’élément ds, la quantité de chaleur rayonnante qu’il en reçoit Effectivement : si l’on suppose nulle l’absorption de cette chaleur dans l’atmosphère, et abstraction faite de la chaleur solaire qui parvient à l’élément ds, ainsi que de l’échange de chaleur rayonnante quu a lieu, à travers ds, entre la Terre et l’atmosphère; exprimera la température extérieure relative au point P. Je désigne par y 1a moyenne des valeurs de cette quantité , qui correspondent à tous les points de la surface du globe ; d’où il résultera - ...
en étendant l'intégrale à cette surface entière.
Maintenant, imaginons que la matière dn globe, aussi bien que l’atmospbère, soit rendue complètement perméable à la chaleur rayonnante; plaçons un thermomètre à son centre; et concevons un cône infiniment aigu, qui ait son sommet en ce point, et soit circonscrit à l’élément ds. Soit ds' l'élément qui sera intercepté par ce cône, sur ta surface du thermomètre, sphérique et concentrique^ à celle du globe; de sorte que l' étant le demi-diamètre de la boule du thermomètre, on ait
et que les deux éléments ds et ds' se trouvent situés du même côté par rapport au centre commun des deux surfaces. Désignons encore par £' la température provenant de la chaleur stellaire , incidente à chaque instant sur ds', ou , autrement dit,. soit £', à l’égard de cet élément, ce que £ représente relativement à ds. Si nous appelons, enfin, y' la moyenne de*
valeurs de Ç' qui répondent à tous les éléments eh', et que nous étendions l’intégrale fÇ'eh' à la surface entière du thermomètre , nous aurons aussi ’ •* ' '•* *■
Cela posé, en vertu du théorème qu’on vient de rappeler, y et >' sont les températures finales que prendront le centre de la Terre et celui de l’instrumgnt; celui-ci après un petit intervalle de temps, et l’autre après un temps excessivement long, et en supposant que la Terre ne se déplace pas dans l’espace , ou, ce qui revient air même, en supposant que la chaleur de l’espace ne varie pas sur sa route. Il résulte, d’ailleurs, de la définition même de la chaleur de l’espace en un point donné , produite par le rayonnement stellaire, que cette température, au point que le centre delà Terre occupe actuellement, n’est autre chose que y'; c’est donc la valeur de cette quantité y 1 qu’il s’agit de déterminer, ou plutôt, une limite à laquelle elle soit supérieure. Or, il est aisé de voir que l’on a , sans erreur sensible, £'=£; car ces deux quantités Ç et Ç' ne peuvent différer l’une de l’autre , qu’à raison de la chaleur rayonnante, émanée de la zone stellaire qui se trouve comprise entre les plans tangents à ds et ds‘ ; et ces deux plans étant parallèles , on peift évidemment négliger cette zone, par rapport à toute la partie de l’enceinte stellaire, située d’un même côté de l’un ou l’autre de ces plans, et de laquelle résulte la température Ç on En ayant égard, en outre, à la valeur de rfa', on aura donc
Toutefois, cela suppose que la chaleur stellaire n’éprouve aucune diminution en traversant l’atmosphère; ce qui rend la quantité Ç comprise dans cette intégrale , moindre que celle qu’il y faudrait employer. De plus, cette même quantité £ est aussi plus petite, comme on l’a expliqué dans le mémoire, que celle qui a été désignée par p à la page 17, et qu’on peut déterminer par des observations faites à la surface du globe. Par cette double raison, si l’on appelle f la température de l’espace au lien où la Terre se trouve actuellement, de sorte que c =>', on aura
‘ > 4^ ffd ’ ;
ce qu’il s'agissait de démontrer. •
Note D.
Afin de montrer, avec plus de précision, comment l’atmosphère se termine par la perte totale de son ressort, due au degré de froid de sa couche supérieure, je vais développer, dans cette uote, le calcul de la densité et de la température des couches atmosphériques , tel qu’il a été indiqué à la page 18 du Mémoire, c’est-à-dire, en ne tenant pas compte de l'absorption que la chaleur rayonnante peut éprouver en traversant le fluide, non plus que du rayonnement de ses molécules, et supposant que la chaleur s’y propage de proche en proche , par la communication directe.
Considérons une colonne d’air en repos, verticale et cylindrique, qui s’appuie à la surface de la Terre, et se termine à la limite supérieure de l’atmosphère. Partageons ce fluide en tranches horizontales d’une épaisseur insensible, mais plus grande, néanmoins, que le rayon d'activité des forces moléculaires. Appelons Z la tranche dont la base supérieure se trouve à une distance quelconque z de la surface du globe. Soit a l'épaisseur de cette tranche, de sorte que sa base inférieure réponde à la distancé ; — *. Désignons par f la densité du fluide dont elle se compose, et par p sa pesanteur; en prenant pour unité de surface, l'aire d’une section horizontale de la colonne d’air, *p sera la masse de Z, et zf$ son poids. Soit aussi p la pression qui s’exerce, dans le sens de la pesanteur, sur sa base supérieure, et qui provient du poids des tranches situées au-dessus de Z. Cette inconnue p sera une fonction de z, décroissante quand z augmentera, ou,
autrement dit, — sera une quantité négative. I^a pression qui aura lieu
sur la base supérieure de la tranche située immédiatement au-dessous de Z, se déduira de p, en y mettant z — z au lieu de z; en négligeant le carré
de z, elle aura donc p — ^ z pour valeur : elle réagira en sens contraire sur la tranche Z, qui se trouvera ainsi poussée de bas en haut par l’excès de p — ^ z sur p. Pour que Z demeure en repos , il faudra donc que cet
excès de pression ^ z, soit égal au poids z fP\ d’où l’on conclut
pour l’équation d'équilibre de l’atmosphère. A sa limite supérieure, la pression p n’existe pas; si donc on appelle l la longueur de la colonne d’air, on aura, en même temps,
A la limite inférieure, la pression p sera le poids total de la colonne •fluide; en le désignant par <sr, sa valeur sera
et l'on aura,- à la fois,
On pourra aussi exprimer *■ au moyen de la hauteur du baromètre, observée à la surface de la Terre. En la représentant par h, par g la pesanteur à cette surface, par m la densité du mercure, et observant que ce poids doit faire équilibre à celui de la colonne barométrique, on aura
tsr=mgh.
Soit f\a force élastique du fluide de Z. Pour la déduire , s’il est possible, des forces moléculaires qui la produisent , je partage la base supérieure de Zen éléments dont les dimensions soient insensibles, eu égard même au rayon d’activité de ces forces. Sur chacun de ces éléments, j’élève un cylindre vertical, compris dans le fluide supérieur à Z. Soient C l’un de ces cylindres et a> l’élément qui en est la base. Je décompose le vol urne de C en tranches horizontales, dont l’épaisseur soit aussi insensible par rapport au rayon d’activité moléculaire. Je décompose également le volume de Z, en éléments du même ordre de petitesse que ceux de C. Appelonsuet edeux éléments quelconques ; le premier de C , et le second de Z. Les fluides contenus dans u et v exerceront l’un sur l’autre, des répulsions et des attractions provenant de leur calorique et de leur matière pondérable, et dirigées suivant une droite menée de l’un de ces éléments à l’autre. J’appelle Hue l’excès de la répulsion du fluide de v sur celui de «; en sorte que R soit une force rapportée aux unités de volume pour les deux fluides , et qui aura une valeur positive ou négative, selon. que la répulsion sera pins grande ou plus petite que l’attraction. En désignant par 4- l’angle que fait la verticale passant par u et dirigée dans le sens de la pesanteur, avec la droite menée de « à v, ta composante de R uv, verticale et dirigée de bas en haut, sera égale à Ruecos^. Or, si l’on exclut le cas où C est situé à
une distance insensible des parois latérales de la colonne d'air, l'action totale du fluide de Z sur celui de C, se réduira à une force verticale; car il est évident que tout sera symétrique autour de C, et que toutes les forces horizontales se détruiront deux à deux. Cette force verticale sera la . somme des valeurs de Ruccos 4/, étendue à tous les éléments u et v de C et de Z; elle aura la même valeur pour chacun des cylindres C dont la distance aux parois de la colonne d'air surpasse le rayon des forces molécu- • laires; en multipliant cette valeur par le nombre total de ces cylindres, et ^négligeant les autres dont le volume total est insensible, on aura donc la ™ répulsion du fluide de Z, sur tout le fluide de la colonne d’air, supérieur à cette tranche. Ce sera l’expression de la force élastique f à la distance z de la surface du globe. L’aire delà base de Z ayant été prise pour unité.
- sera le nombre de cylindres par lequel il faudra multiplier Rue cos
pour obtenir cette valeur de /; si donc on désigne par t l’épaisseur de la tranche u de C, de sorte qu’on ait « = il en résultera
/=2Rvicos4; . ,
Z indiquant une somme qui devra s’étendre à tous les éléments de la longueur de C, et é tous ceux du volume de Z.
Four que le fluide de Z ne se condense ni ne se dilate , il faudra que cette force f soit égale et contraire à la pression p : si y* était moindre que p, le fluide se condenserait ; il se dilaterait dans le cas contraire; et 1 a pression p n’existant pas à la limite supérieure de l’atmosphère, la force élastique doit aussi y être nulle; ce qui ne peut avoir lieu que par un abaissement convenable de la température de l’air à cette limite, ainsi qu’on l’a expliqué dans le Mémoire.
Nous ignorons suivant quelle loi ta force R varie avec la distance de u à v; nous savons seulement que cette force décroît très rapidement, et qu’elle s’évanouit dès qu'on donne à cette distance une grandeur sensible. Dans l’étendue de sa sphère d’activité , cette force peut passer du positif au négatif, pourvu que la somme Z, comprisé dans la valeur de J, soit toujours une quantité positive, afin que la force f s’exerce de bas en haut, et puisse faire équilibre à la pression p. Nous ne savons pas non plus comment la valeur de la somme Z varie avec la densité et la température du fluide (*); et la valeur de y ne pouvant donc pas être calculée à
(*) Voyer «or ce point le n° 3g de mon Mémoire sur Us équations générales de Vi-
priori, pour l'égaler ensuite à la pression p, c’est à l’expérience que nous sommes obligés de recourir pour obtenir l’expression de p en fonction de la température de l'air et de sa densité, à la Itauteur z au-dessus de la surface du globe, qu’il faudra substituer dans l’équation (i).
Or, la densité ayant été désignée par p, soit aussi Ç la température ; d’après les lois de Mariotte et de la dilatation des gaz par la chaleur, nous aurons, comme on sait,
a étant le rapport de la pression à la densité, quand la température est zéro, qui dépend de la nature du fluide et de la proportion de vapeur d’eau qui s’y trouve; et a désignant le coefficient de la dilatation , dont la valeur est .
pour tous les gaz, et quel que soit leur degré d’humidité. A la vérité, cette expression de p, donnée par l’expérience, n’a pas été vérifiée pour le cas d’une très faible densité et d’une très basse température ;'il est possible qu’alors la pression cesse d’étre proportionnelle à la densité, et que la dilatation par la chaleur ne soit plus ni uniforme, ni indépendante de la nature du fluide : les lois de Sa variation nous étant inconnues dans ce cas extrême, nous supposerons , pour l’exemple qui nous occupe, que la formule (a) subsiste dans toute la hauteur de l’atmosphère.
Pour déterminer les trois inconnues p , p, Ç, en fonctions de z, il faudra joindre aux équations (1) et ^a), une troisième équation qui sera celle de la propagation delà chaleur dans la colonne d’air, par voie de communication immédiate. On trouve dans mon premier Mémoire sur la Distribution de la Chaleur dans les corps (*) , l’équation aux différences partielles, d’où dépend la température à chaque instant, et en un point quelconque d’uti corps hétérogène , c’est-à-dire dans un corps dont la densité ou la nature varie par degrés insensibles, dans toute son étendue. Cette équation convient également aux corps solides et aux fluides, et même .aux fluides en mouvement; car elle est fondée sur l’échange continuel de chaleur entre les molécules des corps , séparées par de très petites distances , et ne dépend, on conséquence, que de la différence de leurs températures, telle qu’elle
quilihn et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides , insère dans le xx* cahier du Journal de l’École Po Ijrtechsùque.
;*) Ibidem, xvui cahier. ...
a lieu à l’instant même que l’un considère. Pour le cas d'un corps homogène, elle coïncide avec celle qui avait été donnée auparavant, mais seulement, lorsqu’on suppose la conductibilité calorifique de la matière de ce corps, indépendante de sa température. Appliquée à la colonne d'air que nous considérons , et dont nous supposerons que chaque tranche horizontale soit parvenue à un état invariable de chaleur, cette équation se réduit à
a.kf
dz
k étant la mesure de la conductibilité calorifique, qui répond à la hauteur z. La quantité k peut dépendre de la densité et de la température correspondantes du fluide; son expression en fonction de p et de Ç ne nous est pas connue; mais, pour ne pas trop compliquer le calcul, je la regarderai comme indépendante de Ç; et, d'un autre côté, parce que cette conductibilité provient d’un échange de chaleur entre les molécules de Z et celles des tranches adjacentes de la colonne d’air, je supposerai sa mesure k proportionnelle au carré de la densité f. De cette manière, on aura, en intégrant,
dl
c désignant la constante arbitraire , qui devra être une quantité positive , puisque £ diminue quand z augmente. On n’oubliera pas que, dans cette équation. Ç est h» température propre du fluide de Z, distincte de celle que marquerait, à la hauteur z, un thermomètre exposé à la chaleur rayonnante et en contact avec ce fluide. D’après l’équation (a), et la condition p=o qui a lieu à la limite supérieure de l’atmosphère, on aura , à la fois ,
il moins d’ui> centième de degré. A la surface du globe , f coïncidera avec la température de 'cette surface, que je désignerai par 0; on aura donc aussi , en même temps ,
Maintenant, il s’agit d’éliminer entre les trois équations ( 1 ), (a), (3), "
deux des inconnues p, £,p, les deux premières, par exemple, et d’intégrçr l’équation qui en résultera. Afin de simplifier ces calculs, je re-
marquerai que près de la surface de la Terre , la densité de la vapeur d’eau contenue dans l’air, lors même qu’elle atteint son maximum , n’est qu’une petite partie du mélange , et que la proportion de cette vapeur devient encore moindre h mesure que l’on s’élève dans l’atmosphère; l'influence de l’humidité sur la valeur de la quantité a, est donc peu considérable; et nous pourrons regarder a comme une constante, dans toute la hauteur de la colonne d’air. Nous considérerons aussi la pesanteur i p comme indépendante de z et égale k g ; car dans toute cette hauteur, <p ne varie pas d’un centième de sa valeur relative à 2 = o.
Cela posé , en différentiant l’équation (a) , on aura
dx ’
en substituant pour d £ et leurs valeurs données par les équations ( 1 ) et (3) , il vient
et si l’on fait on en déduit
, di amc
Je différeutie de nouveau , en prenant x pour la variable indépendante , et considérant z comme une fonction de * ; on aura alors
dÇ d{ dx c dx
dx dx dx x dx'
et il en résultera
d’x aêx — c dz
dx' a(cx — bx') dx "
En intégrant une première fois, on aura
dx ÿb'x' — bcx ’
c' étant la constante arbitraire. Je considérerai le radical comme une quantité positive ; et x devant décroître quand » augmente, la constante c" sera aussi positive. En vertu de la valeur précédente de £ , on aura
a M b ( bx — c) > c 1 V/ b‘x * — 4cx
Par une seconde intégration, et en désignant par c" la constante arbitraire, nous aurons ' *■ .
= log .
ou, ce qui est la même chose, >
bx — - ^ e — \/ i’ar' — bcx as e'e^ 1 ;
e étant , à l’ordinaire , la base des logarithmes népériens. De cette équation, on déduit
bx — i e 4- Ÿ b-x* — bcx — -£-7 c~ C '‘ ;
et, en faisant c" = ^ cc,, ces deux dernières équations donnent
*bx-c = c - Q*-'‘+ c,/'),
\Zb'x* — bcx » e - Q c, /*);
d’où l’on tire encore
“ c = 4 Wï' ~ * e ‘ e )
bxa \ ( vt; ' +' /c > e * )
Au moyen de ces diverses valeurs, des équations (3) et (4) , et de x = f‘ r nous aurons
' = ïVl(^r c ‘ * +' /c ' el )’ * l + * =
«WJcf i T' t/ - â*‘s
-ïp-i-ÿT/
ce qui fera connaître les valeurs de f , Ç, p, qu’il s’agissait d’obtenir, après , toutefois , qu’on aura déterminé les trois constantes arbitraires c,c',c r En vertu de l'équation (3), et en faisant ^ = — -A, on aura aussi
/ — - e ’* ïc'«\” a
pour la vitesse X à la hauteur z, du décroissement de la température, à mesure que l’on s’élève dans l’atmosphère. Comme on doit avoir p= o, à sa limite, on aura de plus
Cf « =
pour déterminer la longueur l de. la colonne d’air que nous considérons. Enfin , si l’on appelle S ' la densité de l’air correspondante à zsst l, on aura,' d'après la première équation (5) ,
>=Vi-
"Pour obtenir les valeurs de c, c 1 , c n je fais dans les deux dernières équations (5),
z " o , Çs=6, i -f- «6 = 7 , p — gmh — ambmh ;
9 et h étant, comme on l’a dit plus haut, la température et la hauteur barométrique, qui ont lieu à la surface de la Terre, et qu’on suppose don-
nées. Il vient
en prenant la densité m du mercure pour unité. Je suppose aussi donnée la valeur de A qui répond à z =s o; en la désignant par /u, et faisant
dans l’équation (6), on a
* = O, A = fi,
De ces expressions de y, h, p, on déduit sans difficulté,
pour les valeurs demandées de c, c\ c,. Ces quantités constantes par rapport à z, varieront, comme on voit, avec les données n , y, h , qui ont lieu à la surface de la Terre, et qui serviront à les calculer.
Si l’on prend pour le rapport - , égal à bot, la fcaoyenne de ses valeurs
relatives à l'extrême sécheresse et à l’extrême humidité de l’air (*), et si l’on prend aussi le mètre pour unité de longueur, on aura
mb =~zr —
Dans l’expérieuce aérostatique de M. Gay-Lussac, la température à la surface de la terre et à la hauteur dç 369t",3a , ont été simultanément 27*, -j 5 et 8 ~, 5 o; on peut prendre pour la valeur de p, l'excès de la première température , sur la seconde, divisé par ce tiombre de mètres; ce qui donne
On avait , en même temps,
En substituant ces valeurs numériques dans les formules précédentes , on trouve pour c une très petite fraction , et ensuite
c = o,oooio 5 , e t = 0,04218-
La valeur de l qui se déduit de celles-ci serait
/ = 3 oa 6 i ;
l’atmosphère se terminerait donc à une hauteur d’environ 3 oooo mètres ; et sans doute, elle s’étend beaucoup plus loin. Mais on ne doit pas perdre de vue qu’il ne s’agit, dans cette note, que d’un simple exemple de calcul, et que, vraisemblablement, les hypothèses que nous avons faites pour le faciliter, ne sont pas conformes à la nature.
D’après la valeur générale de c , celle de cf devient
j.- •Vi J >
(1) Traité de Mécanique , tome II, page 628.
et au moyen des données précédentes, on trouve
en sorte que, dans ces hypothèses.,* la densité de l'air à la limite de l’atmosphère où ce fluide est liquéfié par le froid, surpasserait encore le tiers d’un dix-millième de la densité du mercure, ou le tiers de la densité de l’air à la surface de la terre; ce qui suffirait pour ne pas les admettre. Elles consistent à supposer nuis le rayonnement et le pouvoir absorbant des molécules d’air; à regarder la conductibilité calorifique de ce fluide, comme indépendante de la température et proportionnelle au carré de la densité; et à étendre la formule (3), donnée par l’expérience, à toutes les densités et aux plus basses températures. En partant d’autres suppositions, on parviendrait, mais par un calcul plus compliqué, à des expressions dep, Ç, p, différentes des formules (5); et l’on eu pourrait déduire des valeurs de S et/, plus vraisemblables que celles que nous avons obtenues , c’està-dire une valeur plus petite pour J' et plus grande pour /.
M. Gay-Lussaca remarqué que la température décroît moins rapidement à mesure que l'on s’élève dans l’atmosphère; résultat qui s'accorderait avec la formule (6), dont la différentielle est négative, à cause de c, < i, depuis 2 =o jusqu’à la limite z = /,-où l’on a ^ = o.
• — "Vint»-» - i ' ~ t • ‘i -,
Addition à la note B.
M. Élie de Beaumont, qui m’avait indiqué la température de trois ou quatre mille degrés, comme ayant dù avoir lieu à une époque très ancienne, d’après les doctrines géologiques qu'il professe, a ensuite ajouté qu’il fallait que la température du globe à une grande profondeur, fut aussi très élevée à l’époque actuelle. Or, au moyen des variations de la chaleur de l’espace sur la route de notre système planétaire, on pourra aisément satisfaire à cette nouvelle condition , d’une infinité de manières différentes, et, par exemple, en prenant pour/ts, dans l’expression de la température extérieure £ que nous avons considérée à la page 33 de la note B , une quantité périodique qui variera avec une extrême lenteur.
Faisons, en effet, , , .’
.< * . ért
« = n cos — 4-.n siu — ; »
. ay ay ■ ï 1.1 .t, •
n et n' désignant des températures constantes et très élevées; i un nombre impair; y un intervalle de temps extrêmement long, qui comprendra, s'il est nécessaire, des millions d’années; et le temps l étant compté à partir d’une époque, telle que l’on ait aujouikl’hui <a=y, ce qui rendra nulle la température fi à l’époque actuelle. D’après la formule (4) de la page 43 1 de mon ouvrage, la température u de la Terre à la profondeur u, et relative aussi i /=y, aura 'pour expression
bn r r b+ ± , in ±Ÿl+ l J \ COf
L\ ' y / afl > y la l/y J ja V )
(*+ J v/") co.^1
LV 10 ' y y 2fl^/y 2<2Vy 2 fll/^ J îaV y
Si l’on prend n' =a — — ,et c l ue l’ on n ^'S e * es terme * qui ont y pour
diviseur, on aura u = o et ^ = o , pour x — o; en sorte que prés de la
surface, l’accroissement de température dans le sens de la profondeur, sera zéro; et celui que l'on observe devra être attribué à »n« inégalité de la chaleur de l’espace, différente de /x, et, si l’on veut, à celle que nous avons considérée dans la note B. Mais il n’en sera plus de même , dès que
la fraction —y=. ne sera plus très petite : la température u croîtra jusqu’à aVv
une certaine limite; si l’on suppose que i soit un nombre considérable, la première partie de la formule précédente, sera la partie principale de u; en appelant h la profondeur à laquelle cette partie atteint son maximum, et supposant que b ne soit pas une très petite fraction, de manière qu’on
puisse négliger ^ y/l par rapport à b , on aura
Ai/** y»
un — — cos — — = 14 y y • nay y
*d’où l’on tire
et si l’on représente par n la valeur correspondante de n, et que l’on prenne, pour fixer les idées, i= a 5 , il en résultera, à très peu près,
Cela posé, le mètre et l’année étant les unités de longueur et de temps; si nous prenons
a = 5, y = loo.ioooooo,
nous aurons
de sorte qu’en prenant aussi n =60 oo*, la température de la Terre s’élèverait à environ 1900 degrés, à la profondeur d’à peu près {.jooo mètres. A une profondeur décuple de celle-là , ou à peu près égale au i 5 * du rayon
de la Terre, la valeur de u se réduirait à environ a*. Pour x = , ou à
peu près 1000 mètres, on aurait
jy/<r ir
• a oy'y 180'
ce qui donne
Par conséquent , l’accroissement de température relatif à cette valeur de x, que l’on trouve, dans la note B, égal à 3 » # , devrait être augmenté de 7*, et deviendrait à peu près le même que si l’accroissement uniforme de o*,o377 par mètre, que l’on observe à de moindres distances de la surface, subsistait jusqu’à cette profondeur de tooo mètres.
Il est sans doute inutile de répéter que cet exemple, aussi bieu que celui de la note B, ont été choisis pour la commodité du calcul, et qu’on ne suppose aucunement que les lois de variation de la température de l’espace, auxquelles ils répondent, aient réellement lieu dans la nature. En général, en choisissant ces lois arbitrairement, c’est un problème indéterminé de satisfaire à des conditions données, telles qu’une température très élevée de la couche extérieure du globe , à une époque très ancienne ;
une température de l’espace, au lieu où la Terre se trouve actuellement, à peu près égale à zéro ; un accroissement très lent et donné delà température de la Terre près de sa surface; enfin, à une profondeur considérable, une température fort élevée, mais qui diminue ensuite pour devenir constante et d’une grandeur ordinaire, à uue distance de la surface moindre, par exemple, que le io* du rayon.
Remarques sur la température désignée par h à la page 4 du mémoire.
A l’équateur, la valeur de h se déduira difficilement, avec quelque précision, de l’équation (a3) qui se trouve à la page 497 de mon ouvrage, parce qu’en ce lieu, le premier membre de cette équation et le coefficient de h dans son second nombre, sont de très petites fractions. Je ne vois guère que la quantité de chaleur solaire qui tombe annuellement sur chaque mètre carré, évaluée par. des expériences directes, dont on puisse se servir pour déterminer la température h , à l’équateur et à de petites latitudes. Cette quantité de chaleur étant plus grande sous l’équateur qu’à notre latitude, il en sera de même à l’égard de h, et, à plus forte raison, à l'égard du produit Qh qui exprime le nombre de degrés dont la chaleur solaire augmente la température moyenne du sol, en supposant, toutefois, que la nature du sol et l’état de sa superficie , c’est-à-dire, les quantités a, b , c, qui s’y rapportent, ne diffèrent- pus dans les deux localités dont il s’agit.
L’égalité des deux valeurs de h, calculées à la page 5o3 de mon ouvrage, était une conséquence de la manière dont j’ai déterminé la valeur de a, et ne devait pas être remarquée, comme je l’ai fait par mégarde. C’est le peu de différence entre les valeurs de H, calculées à la page suivante, et les valeurs observées de cette dernière quantité, qui fournit une vérification des valeurs de a, b, h, et particuliérement de celle de A, sur laquelle il pouvait rester quelque doute, à cause de l’incertitude dans les époques des maxima et minima de température , qu’on a employées pour la déterminer.
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