tf

La différence i — a. étant une très petite fraction , je mets dans cette formule, pour la simplifier, l'unité au lieu de a; je fais, en outre,

dr

- — dt.

et à cause de

aay'î ’ m/F aat/î

on en déduit

A-C= a 4= f “ « * + ^4 Xe —•(«->)• îL z f m e -(a~.+,) v \/ T J m y'T. ÿw J -m

la première, comme la seconde somme 2, s’étendant toujours depuis nsi jusqu’à n = oo .

On a évidemment

par conséquent, la valeur de A — C est une quantité positive ou zéro; de sorte que la température centrale ne peut jamais excéder la température initiale A, commune à tous les points du globe. Elle lui est égale, comme cela doit être , quand t = o ; car alors on a m = ce ; ce qui rend nulles sé-

parement les trois parties de l’expression de A — C. Pour t s= » , elle se réduit à zéro , c’est-à-dire qu’elle devient égale à la température extérieure; car on a alors m = o; ce qui fait évanouir les deux dernières parties

de A — C, et rend la première égale à A , à cause de la valeur \/îr de

f*e ** dz. Pour toute autre valeur de t, on a

A— C< ~ f* e~ , 'di+ ^—txe -»’(«-.)•

ou si l'on veut *

C<îi r a-«’A+ ; 4w A e

/nJm T (,*-*»■) y w '

ou observant qu’on a évidemment

je- "• (»-»)*< je —*■(*» — 0,

et que le rapport de e~ m 'ki — e — M ’^t h valeur de cette dernière somme S.

Or, cette limite de A — C montre que ce n’est qu’au bout d’un temps excessivement long que C peut commencera différer sensiblement de A : pour que A — C soit une très petite fraction de A, il n’est pas nécessaire que a Vit soit encore une petite partie de l, ou que m soit un grand nombre; il suffit, par exemple, que m soit égal à quatre ou cinq, pour que la limite précédente de A — C soit inférieure à un millionième de A ; et si l’on observe que le rayon l est de plus de six millions de mètres, et que l’on prenne a — 5, il faudra que t surpasse mille millions de siècles pour qu’on ait m — 5. Ainsi, après un aussi long intervalle de temps, écoulé depuis l’état iuitial du globe, son centre n’aurait pas encore perdu un millionième de sa chaleur d’origine.

Considérons actuellement la température d’un point M assez éloigné du centre, ou tel qu’en désignant par x sa distance à la surface, l — x ne soit pas une petite partie du rayon l. Supposons toujours la température initiale du globe , la même en tous ses points, et égale à A. En faisant

Fr' = A, r = / — x, r’ = / — dr' = — dr ' ,

et d’après les valeurs de fl, f , f‘, celle de u deviendra

JX,

a (/— x ;aÿ wt

(•awi 4» mx — . atrQ» ( aw^mi —

- ïJoL «

D (/ — x')dx'

(awf — «x 4- *-r')«

(ini — W4-**4~*x — 1

J(Z — ar')<tr'.

a (/ — x)aÿ*t

Tant que la distance l — x du point M an centre de la Terre, sera un certain multiple, comme cinq ou six, par exemple, de ia \/t, on pourra négliger, dans cette formule , les exponentielles dont l’exposant est au-

dessus de > pour toutes les valeurs de x'. Cela étant, il suffira de

conserver la première exponentielle, et la dernière dans le cas seulement

j ii ^ (a -4- bux 4- bax*Y , i

de n = i , pour lequel son exposant est 4 9 a cause “ e

• a = 1 — ^ ; nous aurons donc simplement

C fr — V)* ^ (a-f- *bx 4-

. Lr -e J(/

3 (/ — x)a\/ TTl ou, ce qui est la même chose.

x')dx,

(I — *}• x» (a-fr mbl 4- <ttx)« J

U3a aAa K ll 4— e ~ W‘ ■ e ~ e

f" Z - ** (x— g*)* /'** (»+«fct -4- «4*0* ~1

On pourra encore négliger la première et la dernière exponentielle en dehors des signes /; celles qui sont renfermées sous les signes f, ayant aussi des valeurs négligeables, par hypothèse, à la limite x' = / , et pour x? > /, il sera permis, en outre, d'étendre ces deux intégrales jusqu’à x' = oo ; et de cette manière , on aura

jj aAa v * I e 4«***»*< ÇPT

{ 1 -xWw A

aa t/ ri I.

/ ■* oc (a