PAR M. POISSON

Lu à l'Académie des Sciences , le 3o janyier 1837.

Je me propose de dooDer, dans ce mémoire, un résumé des principaux résultats qui se trouvent dans mon ouvrage intitulé : Théorie mathématique de la Chaleur, cPy ajouter quelques nouvelles remarques , et de rappeler les principes sur lesquels ces résultats sont fondés.

Près de la surfisice du globe , la température en chacun de ses points varie aux différentes heures du jour et aux différents jours de l'année. En considérant ces variations, Fourier a supposé donnée la température de la surface même, et s'est borné à en déduire la température à une profondeur aussi donnée ; ce qui laissait inconnus les rapports qui doivent exister entre les températures extérieure et intérieure. Pour déterminer ces rapports, Laplace a pris pour la température extérieure ^ celle que marque un thermomètre exposé à l'air libre et à l'ombre , et qui dépend , d'une manière inconnue, de la chaleur de l'air en contact avec l'instniment, de la chaleur rayonnante du sol, de celle de l'atmosphère, et même de celle des

étoiles. J'ai envisagé le problème sous un autre point de vue, plus conforme à la question physique; et je me suis proposé de déterminer la température 4e la Terre ; à une profondeur et sur une verticale données , d'après la quantité de chaleur solaire qui traverse la jsurface à chaque instant. En un lieu donné sur celte surface ^ cette quantité de chaleur varie pendant le jour et Tannée , avec l'élévation du Soleil sur l'horizon et avec la déclinaison ; je l'ai considérée comme une fonction discontinue du temps , nulle pour tous les instants où le Soleil est sous l'horizon , et exprimée, à toutes les autres époques, au moyen de l'angle horaire et de la longitude du Soleil ; par les formules connues , j'ai transformé cette fonction dî&coDtinue en yne série cle sinus et de cosinus des multiples de ces deui^ aQg}e&; et au moyen des formules de mes précédents mémoires , j'ai ensuite déterminé, pour chaque terme de celte série, la température à une profondeur quelconque; ce qui est la solution complète du problème. Il en résulte , pour cette température , des séries d'inégalités diurnes dont les périodes sont d'un jour entier ou d'un sous-multiple du jour, et d'inégalités annuelles dont les temps périodiques comprennent une année ou un sous-multiple de Tannée. Sur chaque verticale, le maximum de chacune de ces inégalités se propage uniformément dans le sens de la profondeur, avec une vitesse qui ne dépend que de la nature du terrain ; de sorte que l'intervalle compris entre les époques de ce maximum^ pour deux points séparés par une distance donnée, est le même et proportionnel à cette distance, en tous les lieux du globe où le terrain est de la même mture. A la &ur£ace , l'intervalle qui sépare le maximum de l'une da c^ inégalités, de celui de l'inégalité correspondante de la chaleur solaire, ne varia pM non plus avec les positions géographiques; mais il dépend à la fois de la nature du terrain et de l'état de la superficie« Il en est de même à l'égard du rapport entre ces deux maxima^ dont le premier e3t toujours moindre que le second ; mais le long de chaque verticale, le maximum de chaque inégalité de température décroît en progression géométrique, quand les profondeurs croissent par des différences égales , et le rapport de cette progression ne dépend que de la nature du terrain* Si Ton considère, sur une même verticale, des inégalités de température dont les périodes sont différentes , leurs expres- «iopfi montrent que pelles qui ont les plus courtes périodes se propagent avec le plus de rapidité, et décroissent aussi le plus rapidement. En général, les inégalités diurnes ^ont insensibles à un mètre de profondeur; les inégalités annuelles disparaissent à la distance d'une vingtaine de mètres

de la sar£Bioe ; et Ter» le tiers de cette distance > celles-ci se réduisent à l'inégaKté dont la période comprend l'année entière. A une profondeur de six ou huit mètres, la température n'ofire donc, pendant l'année , qu'un seul maximum et un sea\mimmumy qui arrivent à six mois l'un de l'autre et après les époques de la plus grande et de la moindre chaleur solaire ( i ). Au-delà d^une profondeur d'environ ao mètres, la température ne varie plus avec le temps, ou du moins elle ne peut plus éprouver que des variations séculaires qui n'ont pas encore été observées.

Sur chaque verticale, les inégalités de température, diurnes et annuelles, sont accompagnées d'un flux de chaleur ascendant ou descendant, dont la grandeur et le sens varient avec le temps et la profondeur. Les amplitudes de ces inégalités el ce flux de chaleur ne sont pas les mêmes à toutes les latitudes ; à Téquateur , par exemple, la partie principale des inégalités annuelles disparaît; et, conséquemment, la température y doit être à peu près constante , à une profondeur beaucoup moindre qu'en tout antre lieu. Dans la couche extérieure du globe , le flux de chaleur est nul ou insensible parallèlement a la surface^

J'ai désigné , dans les formules de mon ouvrage , par a et b les deux quantités qui doivent être déduites de l'observatioai, pour chaque lieu de la Terre en particulier, et d'où dépendent les époques des maxima de toutes les inégalités de température à diverses profondeurs , ainsi que les rapports entre ces maxima. En désignant aussi par c la chaleur spécifique de la matière du terrain , rapportée à l'unité de volume , par k la mesure de la conductibilité calorifique de la même oiatière , par f une quantité relative à l'état de la surface et croissante avec son pouvoir rayonnant, on a

D'après des expériences faites dans le jardin de robserratoîre de Paris, et dont les résultats m'ont été conmiuniqués par M. Arago, }'ai trouvé

a z=z 5,ii655, b = 1,05719;

nombres qui supposent que l'on prenne le mètre pour unité de longueur et l'année pour unité de temps. La quantité b ne serait plus la même k une autre époque, si L'état de la superficie venait à changer par une cause quelconque, et que la surlace devint plus 00 moins rayonnante. Si Tune

(i) Note Â, à la fin du mémoire.

des trois quantités £?, A:, /?, était connue, ces valeurs de a et 6 détermineraient les deux autres; mais aucune observation relative à la loi des t^oQpératures au-dessous de la surface du globe, ne peut faire connaître à la fois ces trois éléments c, A:, p. En partant des suppositions les plus vraisemblables sur la composition du sol à l'Observatoire , M. Élie de Beaumont pense que la cbaleur spécifique du terrain, rapportée au volume, et celle de Teau étant prise pour unité , a pour valeur

c'est-à-dire que la quantité de chaleur nécessaire pour élever d'un degré la température d'un mètre cube de ce terrain, élèverait d'à peu près ^ de degré, celle d'un pareil volume d'eau, et fondrait, par conséquent, j^^ d'un mètre cube , ou environ 7 kilogrammes et demi , de glace à zéro.

Quand les valeurs de a et 6, selatives à un lieu déterminé, ont été déduites de l'observation^ et que la chaleur spécifique c est aussi connue, la quantité de chaleur solaire, qui parvient en ce lieu à travers l'atmosphère, et qui pénètre dans l'intérieur de la terre , peut se conclure de la manière suivante , de la variation totale de température pendant l'année , c'est-àdire de l'excès du maximum annuel sur le minimum , à une profondeur où les inégalités diurnes ont disparu» Soit h une certaine température exprimée par une formule de la page 497 ^^ mon ouvrage, qui contient diverses quantités données, et particulièrement cet excès de température observé à une profondeur connue. Désignons par 6 l'angle compris entre, la droite qui va du Soleil au lieu de l'observation, et la verticale en ce point de la Terre. En un temps ^, assez court pour que 8 ne varie pas sensiblement , soit y la quantité de chaleur solaire, qui tombe en ce même point sur l'unité de surface, égale au mètre carré. Soit aussi vy la portion de cette quantité de chaleur qui n'est pas réfléchie , et pénètre dans l'intérieur de la Terre , de sorte que la fraction 6 représente le pouvoir absorbant de la surface, relatif à la chaleur solaire. La quantité p étant la même que plus haut, on aura

ly = ^pht . cosfl,

en vertu d'une formule de la page 480, dans laquelle h représente le produit de la quantité désignée par la même lettre à la page 497 9 ^^ ^u rapport ir de la circonférence au diamètre. A cause de

p =s a^hcy

■V -■"■'-ïll

(5) il en résultera donc

ey ss aca^hcht . cos 6,

pour la quantilé de chiQeur demandée.

Si Ton désigne par t» un élément infiniment petit de la surface de la Terre 9 le produit ^a» exprimera la quantité de chaleur solaire , qui tombe sur cù pendant le temps t. Elle sera^ proportionnelle à la projection tvcosfi de cet élément y sur un plan perpendiculaire à la droite menée de ce point du globe au Soleil ; par conséquent , si l'on reçoit la chaleur du Soleil sur divers plans inclinés, les quantités de chaleur incidente seront entre elles comme les projections de ces surfaces planes, sur le plan perpendiculaire à la direction des rayons solaires ; donc aussi la chaleur incidente pendant le temps t, sur une sphère, comme la boule d'un thermomètre, entièrement plongée dans ces rayons , se déduira de la valeur de 70^ , en y remplaçant la projection a>cosO d'un élément quelconque, par celle de la sur&ce entière d'un hémisphère , ou par la surface d'un grand cercle. En représentant cette suriace par s , et par I la quantité de chaleur incidente , nous aurons donc

I = - a^bchts.

L'usage de cette formule exigera que Ton connaisse la valeur de € , relative au même lieu pour lequel les autres quantités a, i, c, A, auront été déterminées; mais si la surface de la sphère a le même pouvoir absorbant que celle de la terre , on connaîtra la quantité l€ de la chaleur absorbée indépendamment de cette valeur de <•

L'intensité moyenne de la chaleur solaire, en un lieu déterminé et pendant l'année. entière, a pour mesure cette valeur de I, rapportée aux unités de temps et de surfieice. Cette intensité relative à chaque instant , variera avec l'état et l'épaisseur de la couche atmosphérique que les rayons du Soleil devront traverser pour arriver au lieu de l'observation : elle sera plus élevée, quand l'air se trouvera moins chargé de vapeur, et aux époques du jour et de l'année où la couche atmosphérique aura moins d'épaisseur; elle ne sera pas non plus la même en deux lieux différents, soit à cause de l'inégalité de cette épaisseur, soit à raison de la sérénité plus ou moins parfaite de l'air; et comme c'est à la quantité variable de la dbaleur incidente, qu'est due la différence entre les températures marquées par deux thermomètres exposés aux rayons du Soleil, en même temps et dans le même lieu, dont l'un absorbe toute la

chaleur solaire, etTaiilre la réfléchit en entier, il s'ensuit que cette différence ne sera pas égale dans toutes les parties du globe, et qu'elle deyra être plus grande dans les régions et aux instants où le ciel est le plus pur, et où la couche atmosphérique est traversée le moins obliquement

par les rayons solaires.

£n emplo]rant les moyennes des expériences faitea à l'observatoire,

pendant quatre années consécutives et à des profondeurs différentes ,

on trouve

quantité qui se rapporte , f^r conséquent, à l'état iiK>jen de ^atmosphère pendant ces quatre années, et qu'on peut regarder comme la valeur de h relative au dimat de Paris* En faisant usage , en outre ^ des valeurs précédentes de a, 6, c, il vient

pour la mesure de la chaleur incidente, pendant un temps f , et sur une surface s perpendiculaire à la direction des rayons solaires, c'est-à-dire, pour le nombre de degrés dont cette chaleur pourrait élever la température d'un mètre cube d'eau. En la divisant par 76, et la multipliant par 1000000, on aura, exprimé en grammes, le poids de la quantité de glace à zéro , que cette chaleur pourrait fondre. L'année étant ici l'unité de temps, si l'on prend pour t une minute, il faudra faire

et si l'on prend pour s l'unité de surface, on en conclut

pour la quantité de glace que pourrait fondre la chaleur solaire qui tombe perpendiculairement sur un mètre carré, pendant une minute. Quant à la fraction é que cette quantité renferme, elle se rapporte à l'état de la surface dans le jardin de l'observatoire, et nous serait difficile à évaluer. Si l'on suppose, par exemple, qu'elle soit peu différente de l'unité, la quantité de glace dont il s'agit, sera d'environ une cinquantaine de grammes. Dans les circonstances atmosphériques les plus favorables , à midi et au solstice d'été, M. Pouillet a trouvé, par des expériences directes, 68* au lieu du nombre 44'î453 divisé par €, que nous obtenons, et qui est plus petit , comme cela doit être, puisqu'il répond à Tétat moyen