TT

P/ e«r es » » de plus, on pourra prendre d'abord cette intégrale des=s o jusqu'à j" a 00 , puis en retrancher la même iiiti&<r»ii> »^--

puis/sso jusqua j'aaoo, puis en retrancher la même intégrale prise depuis jr =s o jusqu'à jr sa x,\ par conséquent, il en résultera

En observant qu*on a

différentiant l'équation précédente une première et une seconde fois nar rapport à jc, et réduisant, on aura

zdZ'SS:

^oo^-l--— ;^(.+i/^

-s('-5i)0-»^-)Gv^--/;'e-4r)e-^'''.

Faisons encore

:r^*jr,, 4r^x/r

les Umites relatives y„ qui répondent à j.«o et r«x,, seront r s= ct^,s=ii et d après ce que x^i^présente, nous airons

Cela étant, si l'on prend successivement v/ZT? avec le signe H- et avec le signe-, dan. les deux dernières intégrales relatives à .et<bn, llrsvaC et SI 1 on fait disparaître les exponentielles imaginaires, au moyen de 1^1 expressions en smus et cosinus d'arcs réels, on en déduira

+i^(-^)Cvi/.''*'"'*--^=>''^-

o \ Q]/tJ »6 a\/t

deux dernières formules renferment encore l'intégrale relative à f, que l'on ne peut pas obtenir sous forme finie; mais elle disparait dans leur différence; et en retranchant Tune de l'autre, il vient

/.T-K-^r^VK*^ Jî)] • "'''•^=¥ (' -^)

ce qui, joint à la première des trois équations précédentes, fait connaître

les valeurs des intégrales contenues dans l'expression de v et qu'il s'agissait

de déterminer.

De cette manière , nous aurons

Près de la surface ^ et tant que la prpfondeur x sera très petite par rapport à a v/F, il en résultera

comme à la page .16 du mémoire. Les quantités / et g ont alors pour valeurs

elles satisfont à l'équation /=== gb, citée à la même page; ce qui peut servir de vérification à nos calculs. Elles varient, comme on voit, en raison inverse de la puissance | du temps; la première est l'excès delà teihpérature du globe & sa surface même , sur la température de l'espace au lieu qu'il occupe; la seconde est l'accroissement de température de sa iiouche extérieure, correspondant à chaque niètre d'augmentation dans la

profondeur. Si nous supposons, par exemple,

a = 5y' - = 40, A = 4^00^, I à looooa/

nous aurons

g ss 0*^,0357;

ce qui différerait très peu de l'accroissement que l'on observe à Paris; et si la constante 6 est à peu près Tunité^ la yaleur de /serait aussi très peu différente de celle qui à lieu dans cette localité.

Mais l!accroissement de v cessera d'être sensiblement proportionnel à la

profondeur, lorsque le rapport —j: ne sera plus une très petite fraction.

En conservant les données précédentes v si L'on fieiii x ssz 1000?, et qu'on suppose bsa I , on aura f^ s=: 33% au lieu de i^.=.36% qui aurait lieu^si Vw^^

croissement de température était uniforme. L'équation ^r = o, qui déter*

mine le maximum de i^, se réduira

et si i.n'est pas une très petite. fraction » on en déduit

I y ire

pour la profondeur à laquelle il a lieu , et pour la grandeur de ce maximum. £n employant toujours les données précédentes^ces quantités seraient Q

Ainsi, il résulte de ces calculs que si la Terre a traversé,il y a cent milleans, une zone de l'espace dont la température excédait de 4000* celle qui existe actuellement , et si cet excès , au lieu que la Terre a occupé successivement avant et après l'époque du maximum ^ diminuait suivant une progression

géométrique, dont le rapport est la fraction -* pour chaque intervalle de

temps égal au 40* de mille siècles, ou à a 5oo ans, ce qui réduisait ce même excès à, près de un degré ,, quand la Terre s'était éloignée pendant vingt mille ans du lieu de ce maximum; il en résulte, disons-nous, que la couche extérieure du globe aiu*a prisa cette époque, éloignée de mille siècles de la nôtre, une température peu différente de celle de Tenace, qui aura pu suffire à la

(*) f^V'^ plw* l®*"* l'addition à cette note.

ftiftion de loutea le& matières Voisines de sa superficie; que cette •chaleur, «a décreissaut coutinuelleineiit à partir de Ja surface » n'aura pénétré que jusqu'à une profondeur peu oonfidérable, eu égard au rayon de la Terre; et que depuis Tépoque dont il s'agit , elle se sera*dissipée au dehors en presque totalité, mais en diminuant beaucoup moins rapidement que la température de Tespace, de telle sorte que celle-ci soit depuis long-temps stationnaire , tandis que la couche extérieure du globe conserverait encore^ aujourd'hui une température variable , très faible à la -surface et croissante jusqu'à une certaine limite dans le sens de la profondeur. Il faudrait qu'il s'écoulât encore looooo ans, ou que le temps t qui entre dans les valeurs de / et g fut devenu double, pour que ces quantités fussent réduitesà peu près au tiers de ce qu'elles sont maintenant; et ce ne serait que dans des millions d'années qu'il ne resterait plus aucune trace, dans la couche extérieure du globe , de la chaleur excessive qu'elle aurait éprouvée autrefois.

Dans l'exemple que nous venons de considérer, il est évident que la température de cette couche extérieure n'a dû varier, d'une manière sensible, à raison de la température extérieure Ç, que quand la Terre a eu atteint la zone de Tespace où l'expression de Ç commençait à surpasser sensiblement sa partie constante fi. Il s'ensuit donc que si l'on donne à t^ dans l'expression de Uj une valeur négative et qui soit un très grand multiple de a, cette température u devra être sensiblement constante; etc'eÂt, en effet, ce que nous pouvons vérifier.

Pour cela, soit tf un temps positif et très grand multiple de a, et supposons qu'on ait / 3= •» ^. Si nous faisons

les limites relatives à la nouvelle variable z seront z=ro et 2 = oo • et si nous développons suivant les puissances descendantes de ^, les coefficients du sinus, du cosinus et de l'exponentielle, l'expression de u deviendra

» V o \ .a\/iJ

SaX

en négligeant les termes qui auraient pour diviseur le carré ou une puis sance supérieure de ï. Or, nous allons faire voir que cette formule se ré-

-*'*^i w i^;^»r^^"ww^,n^»f«'k^,-*

duit à sa partie constante /i; en sorte qu'au degré ^^approximation où nous nous arrêtons, la partie variable qui subsisterait dans Texpression de la température relative à une très grande valeur positive du temps, dispa* rait dans celle qui répond à une très grande valeur négative^ En effet, soit

a\/ir

on ti'ouvera d'abord, par un calcul semblable à celui qu'on a développé plus haut,

d'où l'on déduira ensuite

-■<.^rï;(.+^).'=7;.-<r,

Xg

I COl{^*+ ^^

xs aV

VT

xs

/ sin(22'+ — 7= le ^ »^dz=z ^^

et d'après ces valeurs, celle de u se réduit kuz^/i^ comme on se proposait de le prouver.

A cause de l'exponentielle contenue sous le signe/ dans ces deux dernières intégrales, elles doivent être nulles pour xssco . Leurs expressions satisfont, en effet, à cette condition; car , d'après une série connue, on a

y'oo ^. , / I , 1.3 1.3.5 , ^ Nc"^'

et d'après ce que a/ représente, si l'on substitue cette valeur dans les formules précédentes, elles se changent en des séries. qui ne contien-

nent que des puissances négatives de x, et qui s'évanouissent, en conséquence, quand on y fait x = oo.

l)ans l'expression de (^ relative à une très grande valeur de t^ positive ou' négative, nous avons réduit sous le signe f, les diviseurs

*•+ - v/a6 H — ; et I H- 4**fi'> à A* et à Tunité, après y avoir mis à la

place de 8 une autre variable divisée par dzL Mais, na étant aussi un grand nombre , on pourrait craindre que la réduction de i «f- 4^*9* à l'unité ne changeât notablement la valeur de l'intégrale. Or, on peut facilement s'assurer que, par-là, cette intégrale est à peine diminuée d'un centième de sa valeur, quand ou prend, comme précédemment,

un vingtième pour la fraction — .

En éftet, en réduisant seulement le premier diviseur à b% et ap<« pelant T l'intégrale relative à 0, son expression sera de la forme

où l'on désigne par P et Q des fonctions de qui ne contiennent pas le temps t. Cela étant, faisons

T sa r** (PcosiS + Q sia tè)dd ;

en différentiant :k7i fois de suite, par rapport à ^, il vient

^~ = ("*')■/ (P C08 19 + Q fin i0)fl«-c/9 ;

donc, à cause de

35 1— aVj«+ 24ii4fl4— aV«é«+«tc.,

il en résultera

D'ailleurs, si l'on représente par R une quantité indépendante de ^; on a

rasRt *,

pour la valeur approchée de T, à laquelle on s'est arrêté; au moyen de quoi la valeur précédente de T devient

T = r(i+ 1.3.5. ^+ 1.3.5.7.9. y +«tc.);

et quand on fait -- = j- , la quantité comprise entre les parenthèses est

une série très convergente dans ses premiers termes, dont la valeur numérique excède l'unité d'à peu près un centième.

Soit u la température d'un. point quelconque M de la Terre, provenant de sa chaleur d'origine, au bout d*un temps t écoulé depuis l'époque de son état initial. Supposons constante, la température extérieure; prenons^ la pour le zéro de l'échelle thermométrique ; et considérons la Terre comme une sphère homogène, dont la surface a .partout le même pouvoir rayon-*nant. La valeur deu, en fonction de t fX des trois coordonnées de N , aur^ pour expression cette série à double entrée :

Il = Re " + R,*"" '• + R.e ""^^ + etc.

a»X^*< a»X^»i< g'X^^tf

+ R'e ^^ +R>^ '• +R',e " + etc.

+ R^ " + RV " +R%c " + cti:.

+ ClC.

Le rayon du globe est représenté .par /; les constantes a et 6 étant les mêmes que dans le mémoire, a v/^est une ligne, et bl un nombre abstrait qu'on désignera par f; les quantités A» A,, etc; A', A., etc.; etc., sont aussi des nombres abstraits dont les valeurs sont toutes réelles. Dans la Ti**"' ligne horizontale , les quantités A^*^, A^r\ A^?, etc. , sont les racines positives d'une équation transcendante L = o', qui contient C et l'indice n\ le coefficient R^'^ esjt une fonction de f, de la racine Aj"), des deux indices n

et c, et des trois coordonnées polaires du point My savoir, de sa distance r au centre de la Terre , et des deux angles qui déterminent la direction de ce rayon vecteur. L'expression de Ri*\ se conclut de Fétat initial du globe , c'est-à-dire de la valeur de u en fonction de ces trois coordonnées , qui répond .^ ^ =s o.

£n particulier, les coefiScients E9 Ri % R» 1 etc. , de la première ligne sont indépendants des angles relatifs à la direction de r, et leurs expressions sont les mêmes que si la chaleur initiale de chacune des couches sphériques du globe, concentriques et d'une épaisseur infiniment petite, avait

été distribuée uniforinéfMot dans cette couche. On démontre aussi que la plus petite des quantités A r Kr ^s» ^tc, relatives à cette roémaUgne^ est la plus petite de toutes les racines de Téquation L s= o. En supposant que A soit cette racine mmima^ il s'ensuit que le premier terme de l'expression de n sera.celni qui décroUni le moins rapidement^ de telle, sorte qu'avant que tous les termiçs se soient évanouis par Taccroissement du temps t^ et que la Tc^rè ait pris ^ dans toute sa masse y la température ex* térieure séro* H y aura une époque k laquelle la valeur de i^ se réduira sensiblement à

£n même temps « on a, aussi à très peu près,

|.(,iay ^cos^ f^ye/d/;

Fr^ représentant la température moyenne initiale de la couche dont le rayon est r'.

A partir de cette époque, la température u décroîtra en progression géométrique , pour des accroissements égaux du temps t. Dans l'hypothèse que l'on a £iite de Thomogénéité , c'est-à-dire abstraction faite de la dif« férence des valeurs de a et de 6 en différents lieux ; cette température sera la même pour tons les points éjgalement éloignés du centre. Sa valeur au centre même , ou relative à r ss o , sera à sa valeur à la suriàce, ou relative à r= /, comme ^ est à l'unité. Enfin, à une distance x de la surfisice, très petite par rapport à / , on aura , à très peu près,

i<ssB(i +bx)e

en remettant pour 6 sa valeur bl^ et en faisant, pour abréger ,

bpjo '

Fi^'^d^^B.

On suppose, k la page i6 du mémoire, la Terre parvenue actuellement à cet état qui précède son refroidiaseipent total, et qui répond à un temps t pour lequel a\/J est devenu un multiple de /, tel que Ton puisse négliger la somme de tous les termes de Uy moins le premier , par rapport à ce premier terme. Mais il £aut observer qu'à raison de la grandeur de / cela ne peut avoir lieu qu'autant qu'il se serait écoulé , depuis l'état initial

du globe, un nombre immense de siècles; en sorte que pour un temps t beaucoup moindre , mais encore extrémenient long, on doit employer la somme de tous les termes de u, au calcul de ses valeurs numériques; ce qui changera entièrement les lois de leurs .variations.

Pour simplifier la question , je supposerai qu'à l'origine, ou quand t était zéro, tous les points du globe situés à égale distance du centre, étaient également échauffés; il en sera de même à toute autre époque; et l'expression de u se réduira à la première ligne horizontale, c'est-à-dire à sa partie indépendante des deux angles qui déterminent la direction du rayon vecteur r de M. D'ailleurs , pour n = o , on a

(W — I) — - -f. C08 Ai = o,

pour l'équation L==o, dont X, A., X», etc., .son^t toutes les racines positives ; et parce que bl est un très grand nombre , on en déduit

en négligeant les termes qui ont pour diviseur une puissance de bl supérieure à la première, et faisant, pour abréger,

de sorte que a soit une fraction très peu différente de l'unité. Au mém^e degré d'appoximation , la valeur correspondante de R, sera

Rj = -7-8in-=— I rFrsin— 7— ar.

Ir l J o i •

Par conséquent , nous aurons

en faisant aussi , pour abréger,

et la somme 2 s'étendant à tous les nombres entiers f , depuis î =s i jus;qu'à I = oo , ou , si l'on veut, depuis < = o jusqu'à i =s oo , parce que Iç l^rme relatif à 1 = o est zéro. Or, d'après une formule connue, on a

( 49 ) par conséquent , FexpressioD de u pourra se cbauger en celle-ci :

où Von représente par <f une quantité positive, que Ton fera nulle ou infiniment petite, après avoir effectué les sommations indiquées par 2, et qui est introduite ici afin qu'on puisse, au moyen de Texponentielle e—"^, considérer les séries périodiques de cosinus , comme les limites d'autres séries convergentes.

Cela posé, œ étant une quantité réelle et indépendante de i, on a

I — ae ^os «>-J*c"~^'^

Si donc on fait , par exemple.

dm

il en résultera

-ferf):

Or , le numérateur du coefficient de dœ sous le signe /, s^évanouit quand cT est infiniment petit; ce coefficient s'évanouit donc également, excepté pour les valeurs de a>, qui font aussi évanouir le dénominateur, et qui sont les valeurs de cette variable, infiniment peu différentes de zéro ou d'un multiple de a9r; par conséquent , si Ton désigne par n un nombre entier, positif, négatif ou zéro, et si l'on fait

m =» anw + J^>

on pourra traiter la variable/ comme un infiniment petit, positif ou négatif, et décomposer l'intégrale relative kcù en une somme étendue depuis nssz — 00 jusqu'à n s= 00 , d'intégrales relatives kjr. En considérant ainsi cT et ^ comme des infiniment petits , nous aurons

Tintégralç relative à m deviendra

Jf+r

de plus celle qui se rapporte kjr s^évanouissant avec ^» dès que^ a une valeur finie, positive ou négative, on pourra maintenant l'étendre depuis ^ = — 00 jusqu'à^ B 00 ; on aura alors

et Ton en conclura

y- {inw — f)*

On obtiendra de même les intégrales relatives à z des trois autres sommes 2 que contient l'expression deu; laquelle deviendra, en conséquence,

OU bien , en séparant de la somme 2 , le terme qui répond à n ^ o , et réunissant deux à deux les termes relatifs à des nombres n égaux et de signes contraires, on aura finalement

/F/rf/

les sommes 2 s'étendant seulement aux nombres entiers et positifs n , depuis n = I jusqu'à n = oo .

Tant que a \/t sera très petit par rapport à /, ce qui rendra fi une très petite fraction , les sommes 2, et par suite cette expression de Uy seront des séries extrêmement convergentes; tandis que l'expression de u dont nous sommes partis était , au contraire , une série très convergente pour

les valeurs die a \/t très grandes par rapport à /.

On peut facilement vérifier que cette dernière équation se réduit à u:=zFr quand / = o. En effet, si l'on suppose t infiniment petit, le sera aussi; ce qui fera d'abord disparaître tous les termes des deux sommes 2. De plus , dans la première partie de a, le coefficient de dH sous le signe /l s'é*

nouit également I excepté pour les valeurs de i*^ infiniment peu diffé- Qtes de r; en faisant donc

par conséquent

n pourra considérer z comme une variable infiniment petite , à laquelle m donnera des valeurs positives et des valeurs négatives , si r et 2 — ront les grandeurs finies, ce que nous supposerons d'abord. Dans ce cas, l'exponentielle qui contient p' s'évanouira ^ussi, et l'on aura simplement

mais sans altérer la valeur de cette dernière intégrale^ on pourra actuellement l'étendre depuis z = — qo jusqu'à z = oo , puisque le coefficient de dz sous le signe /, s'évanouit pour toutes les valeurs finies dez; elle

aura alors — j= pour valeur, et il en résultera u = Fr.

Lorsque r est infiniment petit ou nul, tous les termes de l'expression de u se présentent sous la forme | ; en déterminant leurs valeurs par la règle ordinaire, désignant par C la température centrale, et ayant égard à ce que p , f% 6, représentent, il vient

C = '—=:f'e ^-'r'^Fr'dr

^ î— = %C e *•""*'' (an/ + ^r') rTr'dr'

L—^zr'c *••'"' (2/1/ -- -O r'FrVr'.

Quand t est infiniment petit, tous les termes de cette formule s'évanouissent, excepté le preipier; et l'on trouve, par un raisonnement semblable au précédent, que ce premier terme est égal à la valeur de Fr^, qui répond

La forme de C en fonction de t dépendra de celle de Fr', ou.de l'hypo* thèse que Ton fera sur la distribution primitive de la chaleur. Le cas le plus simple est celui où Ton sqppose que la température initiale du globe

■bMfiHBtt

ait été.pm-tDUt la même; de sorte que Ff' soit ime quantité indépendante de r'. En la désignant par A, la valeur de C pourra s'écrire ainsi

C=— ^ r'e ^^'r'^df'

ou bien, en intégrant par partie,

(ani + <0"

La différence i — a étant une très petite fraction, je mets dans cette formole, pour la simplifier, l'unité au lieu de «e; je fiais, en outre,

/ F^ dr' ^

- = »I , ■ = Z , rrz r= OS ;

aaV^f 2â^f 20^1

et à cause de

on en déduit

la première, comme la seconde somme Z, s'étendant toujours depuis 71 = 1 jusqu'à 71 = 00 .

On a évidemment

par conséquent, la valeur de A — - C est une quantité positive ou zéro; de sorte que la température centrale ne peut jamais excéder la température initiale A, commune à tous les points du globe. Elle kri est égale, comme cela doit être , quand 1^ =s o ; car alors on a m = 00 ; ce qui rend nulles se*

parement les trois parties de l'expression de A — C. Pour ^ = oo , elle se réduit à zéro , t'est-à-dire qu'elle devient égale k la température extérieure; car on a alors m = u; ce qui fait évanouir les deux dernières parties

de A — *C, et rend la première égale à A , à cause de la valeur - \/vr de

c""'* A. Pour toute autre valeur de ^, on a

VtrJ m \/^

OU si Fôtt veut

ou obsorant qu'on a évidemment

et que le rapport de e"" "** à i— e""^* est la valeur de celle dernière somme 2. Or, cette limite de A — C montre que ce n'est qu'au bout d'un temps excessivement long que G peut commencer à différer sensiblement de A : pour que A-— C soit une très petite fraction de A, il n'est pas nécessaire que a \/t soit encore une petite partie de /, ou que m soit un grand nombre; il suffit, par exemple, que m soit égal à quatre où cinq, pour que la limite précédente de A -^ C soit inféiûeure à un millionième de A ; et si l'on observe que le rayon / est de plus de six millions de mètres, et que Ton prenne a s= 5, il faudra que t surpasse mille millions de siècles pour qu'on ait ni = 5. Ainsi ^ après un aussi long intervalle de temps, écoulé depuis l'état initial du globe, son centre n'aurait pas encore perdu un millionième de sa cbaleur d'origine.

Considérons actuellement la température d'un point M assez éloigné du

centre, ou tel qu'en désignant par x sa distance à la surface, / jc ne

soit pas une petite partie du rayon /. Supposons toujours la température initiale du globe , la même en tous ses points, et égale à A. En faisant

F/ = A, r = / — X, r = / — x', di^ z:z — dx ,

et d'après les valeurs de 6, p , f', celle de u deviendra

mÊmÊÊÊÊÊSaimasm

„Le <•*•*' -e - *•"" J(/-:.<)d«'

Tant que la distance l — a: du point M au centre de la Terre, sera un certain multiple , comme cinq ou six, par exemple, de aa V^, on pourra négliger, dans cette formule , les exponentielles dont Texposant est au-*

dessus de ^ 7", » pour toutes les valeurs de x'. Cela étant, il suffira de

conserver la première exponentielle, et la dernière diins le cas. seulement

de n =: I , pour lequel son exposant est /! , , , à cause de

a = I — - . , ; nous aurons donc simplement

a (/ — x)a^in

ou , ce qui est la même chose ,

/- r — (Lzifd! — fL (a -h •hx Y (arf»ft/4-*ft j)«'n

u — — ;= Le — e -h« — « J

(/— x)V/îr

On pourra encore négliger la première et la dernière exponentielle en dehors des signes / ; celles qui sont renfermées sous les signes f^ ayant aussi des valeurs négligeables, par hypothèse, à la limite x'z=:l^ et pour X* ^ /, il sera permis, en outre, d'étendre ces deux intégrale; jusqu'à jtr' = 00 ; et de cette manière , on aura

/- [ (a -h *,hx Y X* "1

nay/wi

pendant tout le temps que la distance du point M à la surface est au

moins quatre ou cinq fois plus grande que 2a ^i.

Afin de simplifier encore cette expression de u, je fais, dans la première intégrale ,

X — ■ X dx » ^ »

et, dans la seconde,

2 + «^^+«^-3?' dx' - 1 Ar mbx .

= =:z, -^=:tfs, — ' — 1=*;

n^bay t %ay t ikûhay t

les limites relalires à^ et à z seront/ss — Aet^^oo, zs=A:etz=oc>; et comme on a

ilen résultera

Lorsque ^ est infiniment petit , on a A = ce et ^ = qo ; ce qui réduit cette valeur de i^ à x^ s= A, comme cela doit être. Mais à Fépoque actuelle, ces quantités h et A: sont de très petites fractions près de la surface du globe, et ne peuvent cesser de l'être qu'à de très grandes profondeurs.

Je suppose d'abord que x soit une petite partie du rayon; ce qui comprend toutes les profondeurs accessibles et au«*delà. En négligeant les puissances de A et A: supérieures au carré , on aura

et si l'on remet pour A, kj a, leurs valeurs, et que l'on néglige ensuite les termes qui ont Z* pour diviseur, on trouve

A(i + bx ) A[i+bx) lïA (i + bx -h à^x*) ""^ ba)/7t^ àl bHaV^i '

quantité de même signe que A, dans Tbypothèse que l'on a faite , de / cinq à six fois aussi grand que 2a V^, et, conséquemment, plus grand que a ^i ;

qui se réduirait à son premier terme, si le rayon / était infini ; et qui coïnciderait, à cette limite, avec la valeur de u que j'ai trouvée d'une tout autre manière, à la page 3^7 de mon ouvrage. On vérifie aussi que les vale,urs de u

et ^ qui répondent à a:=o, satisfont à la condition -j-^izbuy qui doit toujours avoir lieu à la surface.

. Si Ton prend a = 5 et ^ = i , et si Ton suppose, qu'à l'origine , la température de la masse entière du globe s'élevait à 3oo<> degrés, il faudra qu'il se soit écoulé, à très peu près un million de sièclea depuis l'époque de cet état initial, pour que la température de la surface provenant de la chaleur d'origine, soit réduite actuellement à un 3o* de degré, et qu'elle s*ac-> croisse d'un 3o* de degré par chaque mètre d'augmentation de distance à la superficie. Il faudrait également qu'il s'écoulât encore trois millions de siècles, pour que ces petites fractions de degré se réduisissent à moitié^ et ce ne sera que quand a V^ sera devenu un multiple de /, qu'elles pourront s'évanouir entièrement.

L'uniformité d'accroissement de chaleur dans le sens de la profondeur, aura lieu à toutes les distances accessibles : à la profondeur de i5oo métrés, par exemple, cet accroissement, pour chaque mètre, ne serait pas augmenté d'un millième de sa valeur à la suriace; mais à de plus grandes distances la température deviendrait sensiblement constante, et égale, comme au centre même, à la tempéi'ature initiale À.

£n effet, lorsque x est une partie considérable du rayon /, les quan* tités h et k sont sensiblement égales, et l'on a, à très peu près,

aA/ W* -.y. . Aj

or, il suffit que A soit , par exemple, égal à trois ou quatre, pour que cette intégrale diffère très peu de sa valeur \ \/vr , relative à A= oo , et, en conséquence, pour que u diffère aussi très peu de A. En supposant t égal à un million de siècles, elx égal au ao* du rayon Z; et faisant toujours as= 5, on aurait k très peu près A =3 3, et la valeur de u différerait à peine de celle de A, d'un miliiomèœe de celle-ci; die sorte quon aurait à très peu près 4 — w=o%oo3, si A avait été de 3ooo degrés. Si l'on prend les mêmes valeurs de a et de t, et qu'on fasse / = 6364500°*, et or = t^ /, on aura

h =0,6364, 77= je dj^ sa I — o,63i9;

et, par conséquent ,

en supposant toujours la tempén^ure A égale à 3ooo degrés : pour ces données, raccroissement de température près de la sur&ce étant d'un 3o* de degré par mètre; s'il était uniforme jusqu'à la profondeur de 63645 mètres, la valeur de userait de aiai%5, c'est-à*dîre plus grande de 1 36*,8 , que celle que nous trouvons.

Quoique je croie avoir démontré, dans le mémoire, que la chaleur développée par la solidification de la Terre a dû se dissiper pendant la durée du phénomène, et que, depuis long-temps, il n'en subsiste plus aucune trace; il était bon, néanmoins, de déterminer, d'une manière complète , les lois du refroidissement qui auraient eu lieu , si le globe , devenu solide , avait eu dans toute sa masse une température très élevée. Ces lois sont, comme on voit, très différentes, selon que Ton suppose

le produit a \/t^ à l'époque actuelle , notablement plus petit y ou notablement plus grand que le rayon Z; elles n'avaient pas encore été déterminées dans la première hypothèse , et c'est à la seconde que se rapportent toutes les citations du mémoire.

Au commencement de cette note, j'ai supposé que la température intérieure ne variait, ni avec le temps ^, ni d'un point à un autre de la sur&ce du globe. Si elle est seulement indépendante de t , mais qu'elle soit diflérente pour les différents points de cette surfiaice , et donnée en fonction de leurs coordonnées, il fiiudra ajouter à la température u d'un point quelconque M de la masse , une partie u\ aussi indépendante de t et fonction des trois coordonnées de M. A la surface, u' coïncidera avec la température extérieure, correspondante à ce point; à une profondeur a:, très petite par rapport au rayon /, la valeur de 2/ différera aussi très peu de celle qui aura lieu à l'extrémité du rayon passant par le point . M ; et sur un même rayon du globe , u' ne commencera à varier, d'une manière sensible, que quand la distance r du point M au centre différera sensiblement de /• Au centre même, ou pour r = o j'ai démontré, à la page 38d de mon ouvrage, que la température u* est la moyenne de ses valeurs relatives à tous les points de la superficie. Ce théorème est indépendant de la grandeur du rayon /; il a également lieu pour la Terre et pour une sphère d'un rayon quelconque : il n'y aura.de différence que dans le temps, plus ou moins long, qui devra s'écoulçr pour que la température centrale parvienne à une grandeur

permanente; lequel temps comprendra , dans le cas de la Terre, un nombre de siècles excessivement grande et sera très court, au contraire, dans le cas d'une sphère d'un fort petit, rayon y comme la boule d'un thermomètre, par exemple* La règle qui a été suivie, à la page a 3 du mémoire, pour déterminer une limite inférieure à la température de l'esfMioe ao lieu où la Terre se trouve actueUement , est fondée sur ce théorème, ainsi <{ue je vais l'expliquer. ^

Soit ds l'élément différentiel de la sur&oe du globe, correspondante à un point quelconque P. Par ce point, menons un plan tangent à cette surface et indéûniment prolongé ; appelons ^ la température qu'il faudrait supposer à tous les points de l'enceiute stellaire^ pour que la parlie située au-dessus de ce fdan , envoyât à chaque instant, à l'élément ds^ la quantité de chaleur rayonnante qu'il en reçoit effectivement : si Ton suppose nulle l'absorption de cette chaleur dans ^atmosphère , et abstraction £iite de la chaleur solaire qui parvient à l'élément ds^ ainsi que de l'échange de chaleur rayonnante qui a lieu, k travers ds^ entre la Terre et l'atmosphère; Z exprimera la température extérieure relative au point P. Je désigne par y la moyenne des valeurs de cette quantité , qui correspondent à tous les points de la surface du globe ; d'où il résultera

en étendant l'intégrale à cette surface entière.

Maintenant, imaginons que la matière du globe, aussi bien que l'atmosphère, soit rendue complètement perméable à la chaleur rayonnante; plaçons un thermomètre à son centre; et concevons un cône infiniment aigu , qui ait son sommet en ce point , et soit circonscrit à l'é* lément ds. Soit ds' l'élément qui sera intercepté par ce c6ne, sur la surface du thermomètre, sphérique et concentrique à celle du gtobe; de sorte que /' étant le demi-diamètre de la boule du thermomètre, on ait

et que les deux éléments ds et ds' se trouvent situés du même côte par rapport au centre commun des deux surfaces* Désignons encore par (' la température provenant de ta chaleur stellaire , incidente ji chaque instant sur ds', ou, autrement dit, soit ^'^ à l'égard de cet élément, ce que C représente relativement à cis. Si nous appelons, enfin , y la moyenne de»

ce qu'il s'agissait de démontrer.

tmt^^mmÊ^mmf^m

valeurs de Ç qui répondent à tous les éléments ds\ et que nous étendions

rintégrale ft^ds' à la surface entière du thermomètre , nous aurons I

SlIÏAAt 1

Gela posé, en vertu du théorème qu'on vient de rappeler, y et y sont las températures finales que prendront le centre de la Terre et celui de

Tinstrument; celni'^oi après un petit intervalle de temps , et Tautre après un \

temps excessivement long , et en supposant que la Terre ne se déplace pas dam l'espace , cra^ ce qui revient au même , en supposant que la chaleur de l'espace ne varie pas sur sa route. Il résulte , d^ailleurs, de la définition même de la chaleur de l'espace en un point donné , produite par le rayonnement stellaire, que cette température, au point que le centre de la Terre occupe actuellement, n'est autre chose que y; c'est donc la valeur de cette quantité y qu'il s'agit de déterminer, ou plutôt, une limite à laquelle elle soit su* périeure. Or, il est aisé de voir que l'on a , sans erreur sensible , ^^£=2^ ; car ces deux quantités Ç* et Ç' ne peuvent différer l'une de l'autre , qu*à raison de la efaaleur rayonnante, émanée de la zone stellaire qui se trouve com- \

prise entre les plans tangents kdsel ds'; et ces deux plans étant parallèles , on peut évidemment négliger cette zone, par rapport à toute la partie de l'enceinte stellaire, située d'un même côté de l'un ou l'autre de ces plans, et de laquelle résulte la température Ç ou Ç'. En ayant égard, en outre, à la valeur de ds^j on aura donc

Toutefois, cela suppose que la chaheur stellaire n'éprouve aucune diminution en traversant l'atmosphère; ce qui rend la quantité Ç comprise dans cette intégrale, moindre que celle qu'il y &udrait employer. De plus, cette même quantité Ç eat aussi plus petite, comme on l'a expliqué dans le mémoire , que celle qui a été désignée par p à la page 1 7 , et qu'on peut déterminer par des observations faites à la surface du globe. Par cette double raison , si l'on appelle s la température de Feapace au lieu où la Terre se trouve actuellement, de sorte que i:;^y\aR aura

Note D,

Afin de montrer, avec plus de précision , comment l'atmosphère se termine par la perte totale de son ressort, due au degré de froid de sa couche supérieure , je vais développer, dans cette note j le calcul de la densité et de la température des couches atinosphériques , tel quUl a été indiqué à la page i8 du Mémoire, c'est-à-dire, en ne tenant pas compte de Tabsorption que la chaleur rayonnante peut éprouver en traversant le fluide, non plus que du rayonnement de ses inolécules, et supposant que la chaleur s'y propage de proche en proche , par la communication directe.

Considérons une colonne d'air en repos, verticale et cylindrique, qui s'appuie à la surface dé la Terre, et se termine à la limite supérieure- de l'atmosphère. Partageons ce fluide en tranches horizontales d'une épaisseur insensible, mais plus grande, néanmoins, que le rayon d'activité des forces moléculaires. Appelons Z la tranche dont la base supérieure se trouve à une distance quelconque z de la surface du globe. Soit )f l'épaisseur de cette tranche, de sorte que sa base inférieure réponde à la distance z — yt. Désignons par f la densité du fluide dont elle se compose, et par (f sa pesanteur; en prenant pour unité de surface. Taire d'une section horizontale de la colonne d'air, »^ sera la masse de Z, et >if ^ son poids. Soit aussi /? la pression qui s'exerce , dans le sens de la pesanteur, sur sa base supérieure , et qui provient du poids des tranches situées au-dessus de Z. Cette inconnue /i sera une fonction de z, décroissante quand z augmentera, ou,

autrement dit, ^ sera une quantité négative. Ija pression qui aura lieu

sur la base supérieure de la tranche située immédiatement au-dessous de Z, se déduira de/7, en y mettant 2— » au lieu de z; en négligeant le carré

de >ï, elle aura donc p — ^ >i pour valeur : elle réagira en sens contraire

sur la tranche Z , qui se trouvera ainsi poussée de bas en haut par l'excès

de />— -H^ n sur p. Pour que Z demeure en repos, il faudra donc que cet

excès de pression ^ x, soit égal au poids xf^; d'où l'on conclut

fp

(6, ) pour l'équation d'équilibre de Tatmlisphère. A sa limite supérieure, la pression p n'existe pas; si donc on appelle / ta longueur de la cc^onne d'air, on aura, en même temps,

A la limite inférieure , la pression p sera le poids total de la colonne fluide; en le désignant par «-, sa valeur sera

et l'on aura , à la fois ,

z =E= o , pss'ir.

On pourra aussi exprimer is- au moyen de la hauteur du baromètre, çA>' servée à la surface de la Terre. En la représentant par h , par g la pesanteur à cette surface , par m ta densité du mercure , et observant que ce poids doil &ire équilibre à celui de la colonne barométrique, on aura

Soityia force élastique du fluide de Z. Pour la déduire , s'il est possible, des forces moléculaires qui la produisent , je partage la base supérieure de Z en éléments dont les dimensions soient insensibles , eu égard même au rayon d'activité de ces forces. Sur chacun de ces éléments, j'élève un cylindre vertical, compris dans le fluide supérieur à Z. Soient C l'un de ces cylindres et a Télément qui en est la base. Je décompose le volume de C en tranches horizontales, dont l'épaisseur soit aussi insensible par rapportau rayon d'activité moléculaire. Je décompose également le volume de Z, en éléments du même ordre de petitesse que ceuzdeC. Appelonsuet cdeux éléments quelconques ; le premier de C , et te second de Z. Les fluides contenus dans u et c exerceront l'un sur l'autre, des répulsions et des attractions provenant de leur calorique et de leur matière pondérable, et dirigées suivant une droite menée de l'nn de ces éléments à Tautre. J'appelle Rue l'excès de la répulsion du fluide de v sur celui de u; en sorte que R soit une force rapportée aux unités de volume pour les deux fluides , et qui aura une valeur positive ou négative , selon que la répulsion sera plus grande ou plus petite que l'attraction. En désignant par -^ l'angle que fait la verticale passant par u et dirigée dans le sens de la pesanteur, avec la droite menée de u à f , la composante de Bu^, verticale et dirigée de bas en haut, sera égale à RuccoS'^. Or, si l'on exclut le cas où C est situé à

' •Jtssa»?*.';

une di$taqce jo^^nsibl^ des parqis latéml^3 de U oolonne d'air, Taction tot$ile du fliiJ4e de % ^vir celui de C« se réduira ^ une force verticale; car il est évident que tout sera symétrique autour de G» et que toutes les forces horizontales se détruiront deux à deux. Cette force verticale sera la somme des valeurs de Rii(^.cos ^y étendue à tous les éléments li et t; de G et de Z; elle aura la (uémç valeur |^ur cbaçiw des cyUudres G dont la dis^ tance aux parois de la colonnQ d'air surpasse le rayon 4ea iorces molécu* laires; en multipliant cette valeur par le nombre total de ces cylindres , et négligeant les autres dont le volutoe total est insensible, on aura donc la répulsion du fluide de Z , sur tout le fluide de ia colonne d'air, supérieur à cette tranche. Ce sera l'expression delà force élastique y à la distance z de la surface du globe. L'aire delà base' de Z ayant été prise pour unité,

- sera le nombre de cylindres par lequel il faudra multiplier Rui^ cos-^

pour obtenir cette valeur de^; si donc on désigne par £ l'épaisseur de la tranche u de G , de sorte qu'on ait ussscoè^ il en résultera

/==ISRi^£Cos4î

2 indiquant une somme qui devra s'étepdre à tous les élémient3 de la longueur de G , et à tous ceux du volume de Z-

Pour que le fluide de Z ne se condense ni ne se dilate , il faudra que cette force/ soit égale et contraire à la pression p: si /* était moindre que/}, le fluide se condenserait; il se dilaterait dans h cas contraire; et la pression p n'existant pas à la limite supérieure de l'atmosphère, la force élastique doit au$$i y être nulle; ce qui ne peut avoir lieu que par un abaissement coqveuable d^ La tem|iérature de l'air à cette limite, aibsi qu'on l'a ej^pliqué dans le Mémoire.

Nous ignorons suivant quelle loi la force R varie avec la distance de u à i^; nous savons seulement que cette force décroît très rapidement, et qu'elle s'évanouit dès qu'on dpnne à cette dis^noe une grandeur sensible. Dans l'étendue de sa sphère d'activité » cette force peut passer du positif au négatif, pourvu que la somme 2, comprise dans la valeur de/, soit toujours une quantité positive^ afin que la force /s'exerce de bas en haut , et puisse £Bûre équilibre à la pressioa p. Nous ne savons pas non plus comment la valeur de la son^ne Z varie avec la densité et la température du fluide (*); et la valeur de/ ne pouvant donc pas être calculée à

C) Voyes fur ce point le n^ 3g de mon Mémoire zva ks éfuatiom générales de Vé^

(63) priori, pour l'égaler eosaite k la preanoo p, c'est  l'expérience que nous soaiaifis obligés de recourir pour obtenir l'expressM») de p en fonction de la température de l'air et de sa deiuîté, à la hauteur s ui^essiu de la surface du globe, qu'il faudra sdaatituer dans l'équation (i).

Or, la densité ayant été désignée par f, soit aussi Ç la température ; d'après les lois de Mariotte et de la dilaUitiou des gaz par la chaleur^ nous aurons, comme on sait,

p—af[i +«Ç)i (a)

a étant le rapport de la pression à la densité, quand la température est zéro, qui dépend de la natnre du fluide et de la proportion de vapeur d'eau qui s'y trouve; et a. désignant le coefficient de la dilatation , dont la valeur est

pour tous les gaz, et quel que soit leur d^ré d'hamidité. A la vérité, cette expression de p, donnée par l'expérience, n'a pas été vérifiée pour le cas d'une très bible densité et d'une très basse température ; il est possible qu'alors la pression cesse d'être proportionnelle à la denâté, et que la dilatation par la chaleur ne soit plus ni uniforme, ni indépendante de la nature du fluide : les lois de sa variation nous étant inconnues dans ce cas extrême, nous supposerons, pour l'exemple qui nous occupe, que la formule (s) subsiste dans toute la hauteur de l'abDosphére.

Pour détertDiner les trois inconnues f, p,Ç, en fonctioiM de 2 , il faudra joindre aux équations (i) et (a), une troisième équation qui sera celle de la propagation de la chaleur dans la colonne d'air, par voie de oommunitstion immédiate. On trouve dans mon premier Mémoire sur la DtstribiUioa de la Chaleur dans les corps {*) , l'équation aux difïérences partielles, 4'où dépend la température à chaque instant, et en un point quelconque d'un corps hétérogène, c'est-à-dire dans un corps dont la densité ou la nature varie par degrés insensibles, dans toute son étendue. Cette équation convient également aux corps solides et aux fluides, etméme aux fluides en mouvement; car elle est fondée sur l'écbange ooatitiuel de chaleur entre les molécules des corps , séparées par de très petUes distances , et ne dépend , i.'n conséquence, que de la différence de leurs températures, telle qu'elle

quUibn et du mouvement des corps solides élastiques et det fluides, ingéré dam le •a* cahier d« Jourrud de ^Écote Polytechnique. (*) Il/idem, xrin cahier.

a lieu à l'instant même que Ton considère. Pour le cas d'un corps homo-gène, elle coïncide avec celle qui avait été donnée auparavant, mais seulement, lorsqu'on suppose la conductibilité calorifique de la matière de ce corps, indépendante de sa température. Appliquée à la colonne d'air que nous considérons, et dont nous supposerons que chaque tranche horizontale soit parvenue à un état invariable de chaleur, cette équation se réduit à

dz

k étant la mesure de la conductibilité calorifique , qui répond à la hauteur z. I^a quantité k peut dépendre de la densité et de la température correspondantes du fluide ; son expression en fonction de p et de ^ ne nous est pas connue ; mais , pour ne pas trop compliquer le calcul , je la regarderai comme indépendante de Ç; el, d'un autre côté, parce que cette conductibilité provient d'un échange de chaleur entre les molécules de Z et celles des tranches adjacentes de la colonne d'jiir, je supposerai sa mesure k proportionnelle au carré de la densité f. De cette manière, on aura, en intégrant,

c désignant la constante arbitraire , qui devra être une quantité positive , puisque ^ diminue quand z augmente. On n'oubliera pas que , dans cette équation , Ç est la température propre du fluide de Z , distincte de celle que marquerait, à la hauteur z, un thermomètre exposé à la chaleur rayonnante et en contact avec ce fluide. D'après l'équation (2), et la condition p=o qui a lieu à la limite supérieure de l'atmosphère, on aura , à la fois ,

z=si, Ç = — -= — 266*,67 ,

à moins d'un centième de degré. A la surface du globe, ^ coïncidera avec la température de cette sur&ce, que je désignerai par 6; on aura donc aussi , en même temps ,

Maintenant, il s'agit d'éliminer entre les trois équations (i),' (a), (3), deux des inconnues p^Z^p, les deux premières, par exemple, et d'intégrer Téquation qui en résultera. Afin de simplifier ces calculs, je re-

marquerai que près de la surface de la Terre , la densité de la vapeur d'eau contenue dans l'air, lors même qu'elle atteint son maximum, n'est qu'une petite partie du mélange , et que la proportion de cette vapeur devient encore moindre à mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère; Tinflaence de l'humidité sur là valeur de la quantité a, est donc peu considérable ; et nous pourrons regarder a comme une constante , dans toute la hauteur de la colonne d'air. Nous considérerons aussi la pesan-> teur ^ comme indépendante de z et égale à g ; car dans toute cette hauteur, ^ ne varie pas d'un centième de sa valeur relative à z=: o. Gela posé , en différentiant l'équation (a) , on aura

en substituant pour ^ ^^ ^ » leurs valeurs données par les équations (i) et (3) , il vient

df amc

et si l'on fait

on en déduit

Je différentie de nouveau , en prenant a: pour la variable indépendante , et considérant z comme une fonction de ^ ; on aura alors

dl^ àl^dz ^^ c dz ^

dx"^ dz dx X dx*

et il en résultera

d^z abx — c dz dos* "^ 2{c± — bx*) dx

Eh intégrant une première fois, on aura

dx ^b^x* — bcx '

c' étant la constante arbitraire. Je considérerai le radical comme une quantité positive ; et x devant décroître quand s augmente, la constante & sera aussi positive. En vertu de la valeur précédente de Ç , on aura

Par une seconde intégration, et en désignant par d' la constante arbitraire , nous aurons

ou, ce qui est la même chose,

e étant , à l'ordinaire , la base des logaritbnaes népériens. De cette équa^ tion, on déduit

et, en faisant c'' = - ce;, ces deux dernières équations donnent d*où Ton tire encore

*'-" = i('Pr' * -»^'^' X'

Au moyen de ces diverses valeurs ^ des équations (3) et (4) , et de jr = f % nous aurons

ce qui fera connaître les valeurs de f ,'?, p, qu*il s'agtssmt d'obtenir^ après y toutefois , qu'on aura déterminé les trois constantes arbi**

traires c, c', c^. En vertu de l'équation (3) , et en faisant ^ = — X , on aura aussi

pour la vitesse A à la hauteur z^ du décroissement delà température , à mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère. Comme on doit avoir j9 == o , à sa limite, on aura de plus

pour déterminer la longueur / de la colonne d'air que nous considérons. Enfin j si l'on appelle S" la densité de l'air correspondante à z = /, on aura , d'après la première équation (5)»

Pour obtenir les valeurs de c , c\ c^? je fais dans les deux dernières équations (5),

et A étant, comme on l'a dit plus haut, la température et la hauteur barométrique, qui ont lieu à la surface de la Terre, et qu'on suppose données. Il vient ' }

en prenant la densité m du mercure pour unité. Je suppose aussi donnée la valeur de A qui répond à z = o; en la désignant par ^, et faisant

dans l'équation (6), on a

4fe.

De ces expressions de 7, A, f<, on déduit sans difficulté,

cwomM

pour les valeurs demandées de c , c^ c^. Ces quantités constantes par rap-* port à z, varieront y comme on voit, avec les données fjLy y^ h^ qui ont lieu à la surface de la Terre , et qui serviront à les calculer.

Si Ton prend pour le rapport -, égal à 6a, la moyenne de ses valeurs

relatives à l'extrême sécheresse et à l'extrême humidité de l'air (^)^ et si Ton prend aussi le mètre pour unité de longueur , on aura

Dans l'expérience aérostatique de M. Gay-Lussac, la température à la surface de la terre et à la hauteur de Sôgi^fd^ , ont été simultanément a7%75 et 8'',5o; on peut prendre pour la valeur de |u, l'excès de la première température, sur la seconde, divisé par ce nombre de mètres; ce qui donne

On avait, en même temps.

En substituant ces valeurs numériques dans les formules précédentes , on trouve pour c une très petite fraction , et ensuite

c' ss, o^oooio5t ^^ss 0,04228.

lia valeur de / qui se déduit de celles-ci serait

Fatmosphère se terminerait donc à une hauteur d'environ Soooo mètres ; et sans doute, elle s'étend beaucoup plus loin. Mais on ne doit pas perdre de vue qu'il ne s'agit, dans cette note, que d%in siipple exemple de calcul, et' que, vraisemblablement, les hypothèses^ que nous avons faites pour lé faciliter, ne sont pas conformes à la nature.

D'après la valeur générale de c , celle de S" devient

(1) TVmté de Mécanique, tome II, page 628.

(69) ' «t au/noyen des données précédentes , on trouve

/ ss o I 0000344^ ; en sorte que, dans ces hypothèses , la densité de Tair à la limite de l'atmosphère où ce fluide est liquéfié par le froid, surpasserait encore le tiers tl'un dix-millième de la densité du mercure, ou le tiers de la densité de l'air à la surface de la terre; ce qui suffirait pour ne pas les admettre. Elles cotisistenl à supposer nuls le rayonnement et le pouvoir absorbant des molécules d'air; à regarder la conductibilité calorifique de ce fluide, comme indépendante de la température et proportionnelle au carré de la densité; et à étendre la formule (3), donnée par l'expérience , à toutes les densités et aux plus basses températures. En partant d'autres suppositions, on parviendrait, mais par un calcul plus compliqué, à des expressions dep, ^ , p , différentes des formules (5j ; et l'on en pourrait déduire des valeurs de S" et 2, plus vraisemblables que celles que nous avons obtenues , c'està-dire une valeur plus petite pour. J^ et plus grande pour /.

M. Gay-Lussaca remarqué que la température décroit moins rapidement à mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère; résultat qui s'accorderait avec la formule (6), dont la différentielle est négative, à cause de c^ < i, depuis zsszo jusqu'à la limita z = / , où l'on a ^ ses o.

Addition à la note B.

M. Élie de Beaumont, qui m'avait indiqué la température de trois ou quatre mille degrés, comme ayant dû avoir lieu à une époque très ancienne, d'après les doctrines géologiques qu'il professe, a ensuite ajouté qu'il fallait que la température du globe à une grande profondeur, fut aussi très élevée à l'époque actuelle. Or, au moyen des variations de la, chaleur de l'espace sur la route de notre système planétaire, on pourra aisément satisfaire à cette nouvelle condition , d'une infinité de manières différentes, et, par exemple, en prenant pour/i, dans l'expression de la température extérieure J^ que nous avons considérée à la page 33 de la note B , une quantité périodique qui variera avec une extrême lenteur.

Faisons , en effet ,

sr< , , . iwi MZ=:n €08 — -4- 71 tiu — ;

t£ïïSSSSKVgS^^f9i

( 70 ) n et n' désignant des températures constantes et très élevées; iun nombre impair; y un intervalle de temps extrêmement long, qui comprendra, s'il est nécessaire, des millions d'années; et le temps / étant compté à partir d'une époque, telle que Ton ait aujourd'hui t^szy^ ce qui rendra nulle la température f« à l'époque actuelle. D'après la formule (4) de la page 4^1 de mon ouvrage, la température u de la Terre à la profondeur Uy et re* lative aussi k tzny^ aura 'pour expression

L\ 'la y y/ aal/^ aa V y aal/yJ a« V y

•VWoW"VP<^

y 2tf'y

y aa*^

Si l'on prend n' =» — -t^, et que l'on néglige les termes qui ont y pour

diviseur, on aura m == o et ^ =s o , pour a: == o; en sorte que près de la

surface, l'accroissement de température dans le sens de la profondeur, sera zéro; et celui que l'on observe devra être attribué à une inégalité de la chaleur de l'espace, différente de ^t, et, si l'on veut, à celle que nous avoBS considérée dans la note B. Mais il n'en aéra plus de même , dèa que

la fraction —^ ne sera plus très petite : la température u croîtra jusqu'à

une certaine limita) si l'on suppose que i soit un nombre considérable, la nrémière partie de la formule précédente, sera la partie principale de 24; en appelajQit h la profondeur à laquelle cette partie attcîint son maximum, et supposant que b ne soit pas une très petite fraction » de manière qu'on

puisse négliger — 1/- par rapport à 6, on aura

sm ^= = CO8 =: = -

%ayy la^y Y%

d'où l'on tire

-îT, h—-^a\/9ry;

et sî Ton représente par H la valeur correspondante de w, et que Ton prenne, pour fixer les idées, is= a5, il en résultera, à très peu près,

Cela posé, le mètre et Tannée étant les unités de longueur et de temps; si nous prenons

tf=£5, y as lOO.ioooooo»

nous aurons

A=443ii, H = n(o,3ig6)i

de sorte qu'en prenant aussi n := 6ooo% la température de la Terre s'élèverait à environ igoo degrés, à la profondeur d'à peu près 44<^oo ™^^^^* A une profondeur décuple de celle-là , ourh peu près égale au i5* du rayon

de la Terre, la valeur de u se réduirait à environ a^ Pour ^ ^=Tgy ou à peu près looo mètres, on aurait

ÎT

ce qui donne

If = 7**,o8.

Par conséquent, raccroissement de température relatif à cette valeur de or, que l'on trouve, dans la note B, égal à 3^*, devrait être augmenté de 7*, et deviendrait à peu près le même que si l'accroissement uniforme de 0^,0377 par mètre, que Ton observe à de moindres distances de la surface, subsis* tait jusqu'à cette profondeur de 1000 mètres.

Il est sans doute inutile de répéter que cet exemple, aussi bien que celui de la note B, ont été choisis pour la commodité du calcul, et qu'on ne suppose aucunement que les lois de variation de la température de l'espace, auxquelles ils répondent, aient réellement lieu dans la nature. En général, en choisissant ces lois arbitrairement, c'est un problème indéterminé de satisfaire à des conditions données, telles qu'une température très élevée de la couche extérieure du globe, à une époque très ancienne;

( 7» ) e de l'espace, au lieu où la Terre se trouve actuellement, I à zéro ; un accroissement très lent et donné delà tempée près de sa surface; enfin, k une profondeur considérable, : fort élevée, mais qui diminue ensuite pour devenir cons- -andeur ordinaire, à une distance de la surfece moindre, lete lo'du rayon.

' la température désignée par \\à la page 4 au mémoire.

la valeur de h se déduira difficilement, avec quelque préation (aS) qui se trouve à la page 497 de mon ouvrage , ieu, le premier membre à» celte équatioa et le coefficient lecond nombre, sont de très petites fractions. le ne vois lantité de chaleur solaire qui tombe annuellement sur cbai , évaluée par des expériences directes, dont on puisse se îrminer la température k, k l'équateur et à de petites latilantité de chaleur étant plus grande sous l'équateur qu'à il en sera de même à l'égard de A, et, à plus forte raison ^ )duit Qh qui exprime le nombre de degrés dont la chaleur te la température moyenne du sol, en supposant, toutefois, du sol et l'état de sa superHcie, cesl-à-dire, lès quantii s'y rapportent, ne diffèrent pas dans les deux localités

deux valeurs de h , calculées à la page 5o3 de mon ouvrage , :}uence de la manière dont j'ai déterminé la valeur de d, et ne remarquée, comme je l'ai fait par mégarde. C'est le peu de s les valeurs de H, calculées à la page suivante , et les valeurs ette dernière quantité, qui fournit une vérification des vak , et particulièrement de celle de b , sur laquelle il pouvait e doute, à cause de l'incertitude dans les époques des lima de température , qu'on a employées pour la déterminer.