CHAPITRE XII. Mouvement de la chaleur dans l'intérieur et à la surface

de la terre ^08

NOTE P^ Relative à l'équation du mouvement de la chaleur dans l'intérieur des corps 525

NOTE n. Sur le rayonnement moléculaire 52Q

NOTE m. Relative au n° i52 533

Errata.

Paac -io, ligne lo eu remontant, au lieu de pa-Tlmdt, lisez ffTlntdt , e( an Iteu de q'p'n, lisez q'p'p^

^5 tn, au lieu de normale , lisez concave

8j ir», au lieu de x , lisez Xi

Sqetgi, lignes 7 et 6 en remontant, au lieu de Riu' — u) , lisez fR(u' — u]dt

,35 3, au lieu de série (i) , lisez sc'rie (2)

i^^, 3 en remontant, au lieu de a, S, y, etc., des quantités constantes, lisez des

quantités constantes a, f , ^, etc.

-j*53 17 en remontant, au lieu de (Gg. i3}, lisez {ù^. i3 èii)

,. , f/U , rfU ,. ^ ,. , du, ,. du, ,.

3^8 4> a" ''^" "^ ~ï~> '"ez — ; — i ligne o, a« /leu de -7-, /liez -r— , an lieu

•"°' ^ dt rfx " dt dx

de —7', lisez -~ ; ligne ifi, multipliée l'inlegrale double par —

S77, 3 en remontant, au lieu de f'r,' , lisez j,'',

401, i3 et 14 , au lieu de f'r, lisez f/-'

407, i4i au lieu de , lisez —

4^2, 8 en remontant, au lieu de intérieure, lisez extérieure

4aj), lignes 19 et ao, au lieu de trente, lisez trois

456, i5en remontant, et page 467, lignes 3etio,aii /ieii rfe Farenheit , /('ses Fahrenheit

471» 7 en remontant, au lien de 7, lisez 7—

487» i"^^» û" /leu t/e pemi ère espèce , lisez première et seconde espèce

5o2, 5, au lieu de ô, , lisez 6'

- o 1- , Csiuif ,, Csin J

0'v3, 19, rt« lieu de , lisez

5i3, 4 en remontant, a>< lieu de u, lisez u'.

THÉORIE

La Pjrométrie de Lambert confient les premières applications que l'on a faites du calcul à la théorie de la chaleur; elles ont pour objet la distribution Je la chaleur dans une barre, et la comparaison des quantités de chaleur rayonnante que le so«jil envoie à la terre et aux planètes pendant leurs révolutions entières ou des parties de chaque révolution. L'auteur fait voir que ces quantités sont liées à la première loi de Kepler, suivant laquelle les aires décrites autour du soleil, par le rayon vecteur de chaque planète, sont proportionnelles au temps employé à les décrire. Relativement aux températures des points d'une barre soumise à des sources constantes de chaleur, il montre comment elles peuvent être exprimées par des formules qui satisfont aux expériences. Mais Lambert n'a pas cherché à déduire ces formules de l'équation différentielle d'où dépend la température d'un point quelconque, quand la barre est parvenue à un état permanent. La forme de cette équation, et celle de l'équation aux différences partielles qui a lieu pendant que la barre s'échauffe ou se refroidit, ont été indiquées par M. Biot , en 1804 , dans l'extrait d'un mémoire sur la propagation de la chaleur (^*). M. Biot les a déduites du principe de Newton, sur la communication de la chaleur entre des corps juxtaposés, qu'il a étendu aux tranches contigucs et infiniment minces de la barre. Il intègre l'équation relative à l'élat permanent, puis il véri-

(*) Bibliothèque britannique , tome XXVII.

fie, sur ses propres expériences et sur celles de Uumford, la loi des

températures qui résulte de cette intégrale.

Ces premiers essais, et l'ingénieuse théorie des échanges de chaleur rayonnante qu'on doit à M. Pierre Prévost, de Genève, constituaient toute la théorie mathématique de la chaleur, lorsque Fourier s'en est occupé dans un mémoire envoyé à l'Institut en 1807, et, ensuite, dans la pièce coui'onnée par ce corps savant au commencement de 1S12 C*^). Par le nombre et la variété des questions que l'auteur a considérées, cette théorie est devenue alors une branche nouvelle de la Physique mathématique. Fourier a traité de nouveau une partie de ces questions dans sa Théorie analytique de la Chaleur. Les volumes de l'Académie des Sciences et ceux des Annales de Physique et de Chimie, qui ont paru depuis cet ouvrage, contiennent aussi d'autres recherches de l'auteur sur le même sujet, relatives principalement à la chaleur rayonnante et à la chaleur de la terre.

Laplace s'est occupé de la théorie de la chaleur peu de temps après Fourier. Dans une note imprimée en i8io(*'*"}, il considère la propagation de la chaleur dans l'intérieur des corps comme le résultat d'un rayonnement moléculaire qui s'étend au-delà des molécules les plus voisines, h des distances finies, mais insensibles; et il montre comment celle manière nouvelle d'envisager la question peut conduire à l'équation aux difierences partielles d'où dépend la loi des températures dans l'intérieur des corps. Il indique aussi, mais fort incomplétcnient , un moyen de former le'quation générale relative à leur surface, que Fourier avait précédemment donnée sans démonstration. Dans la Connaissaiice des Tems de iSaB, et ensuite dans le livre XI de la Mécanique céleste , Laplace s'est occupé de la résolution de ces deux équations, appliquées au cas d'une sphère homogène et dont la superficie est partout la même , qui a été primitivement échauffée d'une manière quelconque. La solution générale qu'il a donnée de ce problème comprend celle de Fourier, qui se rapporte au cas particulier oîi la température des points de la

(*) Mémoires de l'Académie des Sciences, tomes IV et V.

(**) Mémoires de la première classe de l'Instilul , anne'e i8of) , page 332.

spbère ne dépend que de leur distance à son centre; elle est fondée sur l'analyse que l'auteur avait employée autrefois dans la question du flux et du reflux de la mer, et présente une nouvelle application de cette analyse, dont le caractère spécial est d'exprimer la valeur générale de l'inconnue de chaque problème, parla somme d'un nombre indéfini de valeurs particulières. Je suis parvenu au même résultat , dans mon second mémoire sur la Distribution de la Chaleur dans les corps solides (*) , par une analyse différente et moins simple , mais qui avait cependant quelque avantage, et que Laplace a regardée comme une confirmation de la sienne. En appliquant celte solution générale au globe terrestre, il a été conduit à partager l'opiniou de Fourier, qui attribue à la chaleur primitive de la terre l'accroissement de température que l'on observe à partir de sa superficie, et dont la grandeur n'est pas la même dans toutes les localités. Celle hypolbèse d'une température provenant de la chaleur d'origine et qui devrait s'élever à des millions de degrés dans les couches centrales du globe, a été généralement adoptée; mais les difficultés qu'elle présente m'ont paru la rendre invraisemblable; et j'ai proposé une autre manière d'expliquer la température croissante que l'on a reconnue, depuis long-temps, à toutes les profondeurs cii l'on a pu atteindre.

Dans cette nouvelle explication , le phénomène dépend de l'inégalité de température des régions de l'espace que la terre traverse successivement par suite du mouvement de translation commun au soleil et à toutes les planètes. Il serait, eneflét, hors de toute vraisemblance que la température de l'espace fût partout la même; les variations qu'elle éprouve, d'un point à un autre, séparés par de très grandes distances, peuvent être fort considérables; et elles doiy&ai produire des variations correspondantes dans la température de la terre, qui s'étendent jusqu'à des profondeurs dépendantes de leurs durées et de leurs amplitudes. Si l'on suppose, par exemple, qu'un bloc de pierre soit transporté de l'équateur à notre latitude, son refroidissement aura commencé à la surface, et se sera propagé dans son intérieur; et s'il ne s'est pas étendu à la masse entière, parce que le

(*) Journal de l'École P olj technique , 19' cahier.

temps du transport aura été trop court, ce corps, parvenu dans nos climats, présentera le phénomène d'une température croissante à partir de sa superficie. La terre est dans le cas de ce bloc de pierre ; c'est un corps qui vient d'une région dont la température était plus élevée que celle du lieu où il se trouve actuellement; ou, si l'on veut, c'est un thermomètre mobile dans l'espace, qui n'a pas le temps, à cause de ses grandes dimensions et d'après son degré de conductibilité, de prendre, dans toute sa masse, les températures des diverses régions qu'il traverse. Aujourd'hui la température du globe est croissante audessous de sa superficie; le contraire a eu et aura lieu dans d'autres temps; en outre, à des époques séparées par de longues suites de siècles, cette température a dû être, et sera par la suite, beaucoup plus haute ou beaucoup plus basse qu'elle ne l'est maintenant; ce qui empêche que la terre soit toujours habitable par l'espèce humaine , et a peut-être contribué aux révolutions successives dont sa couche extérieure conserve les traces. Il faut remarquer que ces alternatives de la température del'espace, sont des causes cei'taines, qui influent sans cesse sur la chaleur du globe, du moins près de sa surface; tandis que la chaleur d'origine de la terre, quelque lente qu'elle soit à se dissiper, n'est cependant qu'une circonstance transitoire dont on ne pourrait démontrer l'existence à l'époque actuelle, et à laquelle on ne serait forcé de recourir, comme une hypothèse, que si les causes permanentes et nécessaires ne suffisaient pas à l'explication des phénomènes.

Dans cette indication succincte des principales recherches des géomètres sur la théorie de la chaleur, je ne dois pas oublier de faire mention d'un mémoire présenté récemment à l'Institut par M. Lamé, professeur de physique à l'École Polytechnique. L'auteur a déterminé, dans ce mémoire (*) , la loi des températures de tous les points d'un ellipsoïde homogène parvenu à un état permanent; et il a trouvé que l'expression de cette loi dépend des fonctions elliptiques; ce qui ne s'était présenté jusque là dans aucun problème relatif à la distribution de la chaleur dans un corps de forme donnée.

Je me boi'nerai, dans ce préambule, à ces citations; elles suffiront

(*) Tome V des Mémoires présentés à l' Académie des Sciences.

pour qu'on puisse connaître la première origine de la partie de la science que je vais traiter, lextension et l'importance qu'elle a acquises dans ces derniers temps, et son état actuel. Je laisserai au lecteur à comparer les principes d'oîi l'on était parti jusqu'à présent et les résultats qu'on avait obtenus, aux principes et aux l'ésultats qui seront exposés dans cet ouvrage. En lui donnant le titre de Théorie mathématique de la chaleur , j'ai voulu indiquer qu'il s'agira de déduire, par un calcul rigoureux, toutes les conséquences d'une hypothèse générale sur la communication de la chaleur, fondée sur l'expérience et l'analogie. Ces conséquences seront alors une transformation de l'hypothèse même, à laquelle le calcul n'ôle et n'ajoute rien; et leur parfaite conformité avec les phénomènes observés ne pourra laisser aucun doute sur la vérité de la théorie. Toutefois, pour que celte théorie fût complète, il faudrait qu'elle comprît la détermination des mouvemens produits par la chaleur dans les fluides aériformes, dans les liquides, et même dans les corps solides; mais les géomètres n'ont point encore abordé cet ordre de questions, d'une grande difficulté, auquel se rattachent le phénomène des vents alises, celui de certains courans qu'on observe dans la mer, et les variations diurnes du baromètre. Dans l'état actuel de la science , la théorie mathématique de la chaleur a seulement pour objet la commiinication de la chaleur, de proche en proche dans l'intérieur des corps solides et des liquides , et h. distance entre des corps différens : sous ce double rapport, je n'ai rien négligé pour que cet ouvrage fût aussi complet qu'on pourra le désirer.

Les données nécessaires pour réduire, dans chaque cas, les formules en nombre, sont la chaleur spécifique, la mesure de la conductibilité dans l'intérieur des corps, et celle du pouvoir rajonnajit .i leur surface. La chaleur spécifique a été déterminée pour un grand nombre de corps solides, liquides on gazeux, par diflërens procédés qui sont exposés dans les traités de Physique ; les notions qu'on a jusqu'à présent sur la conductibilité et sur le pouvoir rayonnant sont beaucoup moins précises. Indépendamment de ces données physiques, relatives à chaque corps en particulier, la théorie emprunte encore à l'expérience la loi de l'émission de la chaleur à travers les surfaces des

corps. Sur ce point, j'ai adopté la loi générale en fonction des températures, que MM. Dulong et Petit ont donnée dans le mémoire qui a remporté le prix de l'Académie des Sciences en 1818 {*); ouvrage que l'on regarde, à juste titre, comme un des plus remarquables de la Physique expérimentale, soit h raison de l'importance et de Tensemble des résultats, soit à cause de la précision des observations et des difïicultés que les auteurs ont surmontées. En vertu de cette loi , la communication de la chaleur entre deux corps ne dépend pas simplement de leur température relative, comme on l'avait admis pendant long-temps, d'après le principe de Newton, suffisamment exact dans le cas des températures ordinaires, mais qui s'écarte de plus en plus de l'observation à mesure que les températures sont plus élevées. L'analogie porte à croire, et j'ai supposé, en effet, qu'il en est de même dans l'intérieur des corps; et quoique la communication de la chaleur n'ait lieu qu'entre des molécules très voisines, dont les températui-es sont très peu différentes, la considération des carrés de leurs différences donne naissance, néanmoins, à des termes que j'ai déterminés, et dont l'omission rendait incomplète l'équation des températures in térieui'es , telle qu'on lavait donnée jusqu'ici pour les corps homogènes.

Cette Théorie mathématique de la Chaleur formera la seconde partie d'un Traite' de Phjsique mathématique , où je me propose de considérer successivement, sans m'aslreindre à aucun ordre arrêté d'avance, les diverses questions de la Phjsique auxquelles je pourrai appliquer l'analjse. I^a première partie de ce Traité est la Noui>elle théorie de l'y^lction capillaire , publiée en i83i.

(♦) Journal de l'École Polytechnique , 18' cahier.

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