CHAPITRE VIL

Digression sur la manière d'exprimer les fonctions arbitraires par des séries de quantités périodiques.

(92). D'après la forme d'une fonction donnée X, si l'on voit qu'elle peut se développer en une série de sinus des multiples de la variable X, on fera

X = A, sinx+AjSinajc-f-Assia 5x-\- . . . + A„ sin nx-i-etc; (t)

A,, A,, A3, etc., étant des coefficiens indépendans de x. En différentiant cette équation par rapporta x, une ou plusieurs fois, et combinant entre elles les équations qui en résulteront , on parviendra quelquefois à éliminer la fonction X ; on obtiendra de cette manière une équation dont les deux membres seront ordonnés suivant les sinus ou les cosinus des multiples de .r ; et en égalant de part et d'autre les coefficiens des termes semblables, on formera une série d'équations qui serviront à déterminer successivement tous les coefficiens A,, A^, A3, etc., à l'exception de la première ou de plusieurs des premières de ces inconnues qui resteront indéterminées, et dont il faudra trouver les valeurs par le développement direct de X. Mais on pourra aussi exprimer immédiatement le coefficient général A„ en fonction de l'indice n et au moyen d'une intégrale définie. Pour cela, j'observe que l'on a

/ sin nx sin n'x dx = o ,

tant que les nombres entiers n et n' sont inégaux, et

/ sin* nx dx=~7r

dans le cas de 71' = ji. C'est, en effet, ce qu'il est facile de vérifier. Cela étant, je multiplie les deux membres de l'équation ( i ) par sinîixdx, puis je les intégre depuis jc z=o jusqu'à jc = 7r; tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui qui répond au coefficient A„; et l'on en conclut

A„ = - / IL s'in nxdx.

De même, si l'on sait, d'après la forme de cette fonction donnée X, qu'elle est développable en une série de cosinus des multiples de x, on fera

X = Ba + B, cos X -\-B^ cos a-x- + . . .+B„ cos iix + etc. ; (2)

B„, B,, Bs, etc., étant des coefficiens indépendans de x, que l'on pourra quelquefois détei'miner par l'élimination de la fonction X, ainsi qu'il a été dit plus haut. Mais 71 et «' étant des nombres entiers différens, on a aussi

/ cos Tix cos 7i'x dx = o ;

dans le cas de n' = /i, on a

/ cos* 7ix dx =■ { TT,

excepté si 71=0, auquel cas la valeur de cette dernière intégrale est double et égale h tt; de là on conclut

B„ = - / X cos Tixdx , Bo = f ^dx.

En employant x' et X' au lieu de jf et X, dans les valeurs de A„, B„, Bo, les séries (r) et (2) pourront s'écrire sous cette forme

X = - 2 ( / X' sin 7ix'dx' jsifi nx > I

H = - I X'dx' ■+- -^( f ^' cos 7ix'dx'\co?, nx; \

les sommes 2, sëteadant à toutes les valeurs du nombre n, depuis n= I jusqu'à «=00.

Ces séries (i) et (2) ont l'avantage d'être toujours convergentes. En effet, en intégrant deux fois de suite par partie, on a

J A. sin nxdx = X cos nx -\ 3— sm nx r / -r— sin nxdx ;

■' n n dx n^ J dx" '

/ Xcos nxdx = - X sm nx A — --r- cos nx / -;— r cos nxdx.

■' n * re dx n' J dx"

Or, l'équation (i) suppose que X est zéro aux deux limites a: = o et x = 7r; en différentiant l'équation (2), on voit qu'elle suppose que

— s'évanouit pour ces mêmes valeurs de O"; à ces deux limites les

termes compris hors du signe / seront donc nuls , et l'on aura simplement

/ \s'\nnxdx= — \ f " -r^ sm Tixdx

J o n J o dx"

I Xcos nxdx =■ — \ I -J— cos nxdx.

J o « J o dx"

Mais si l'on appelle H la plus grande valeur de -7-7 depuis ar=o jusqu'à x = 7r, y compris ces limites, on aura évidemment

-j-^ sin nxdx •< ttH,

o dx-' ^

/ -j—^ cos nxdx •< ttH ,

abstraction faite du signe. D'après les expressions de A, et B,, on aura donc aussi, en grandeur absolue,

en sorte que les coefficiens des termes successifs des séries (i)et(2) décroîtront plus rapidement que — ; ce qui suffit pour que ces séries soient convergentes; car on sait que la série

i86 THÉORIE MATHÉMATIQUE

converge contiauellemeut vers une valeur finie et égale a ^ tt^ ; donc

toute se'rie dont les termes décroissent plus rapidement que suivant Xsl raj^pn inverse dej carrés des nombres naturels, converge aussi, à plus forte raison, vers une valeur finie. Par le procédé de l'intégration par partie, on peut aussi montrer que la première équation (5) résulte de la seconde; en différentiant celle-ci par rapport à X, on a d'abord

dx

— — 2 ( j \' cos nx'dx'j sin nx; en intégrant par partie, on a aussi

n f" X' cos nx'dx' = — f 'd^' siQ«=5j'flfj?';

au moyen de quoi, fit en mettant X et X' au lieu de -;^ et -^,, l'équation précédente se change dans la première équation (5).

Maintenant, si fx est une fonction arbitraire, elle pourra encore être exprimée, comme ou le verra tou,t à l'heure, par les formules (3) dans lesquelles on mettra /r' au lieu deX', et par beaucoup d'autres formules de la même nature, mais seulement dans une étendue limitée des valeurs de x; tandis que les équations (5) ont lieu pour toutes les valeurs de x , relativement à certaines fonctions X. De plus, il est important d'observer que ces divei-ses expressions de Jx dépendent d'une analyse différente de celle qui nous a conduits aux équations (3); car la détermination des coefficiens des séries (i) et (2) indépendamment les uns des autres, suppose essentiellement que l'on sache, d'après la forr\ie de§ fonctions X, qu'elles sont développables suivant les sinus ou les cosinus des multiples de x; en sorte que le procédé de l'intégration ne soit plus qu'un moyen abrégé pour trouver directement un coefficient quelconque. D'Alembert a employé le premier ce procédé pour déterminer les coefTiciens du développement d'une fonction dopnée ; et c'est Lagraiige qui a donné le

DE LA CHALEUR. ^Sf

premier une formule propre à exprimer, dans une étendue limitée, une fonction arbitraire par une série de quantités périodiques; deux choses distinctes l'une de l'autre, comme nous venons de le dire, et dont la seconde va nous occuper exclusivement.

(g5). En désignant par e la base des logarithmes népériens, par a, et p un angle et une quantité quelconques , on a

I I 2(1 — p cos a)

I — ■pe'^^ ' I — />e "^ ' I — zjïcosa -f'/''

comme on le voit en réduisant au même dénominateur, et ayant égard à l'expression de cos a en exponentielles imaginaires. Si p est moindre que l'unité, abstraction faite du signe, ou a aussi, en série convergente,

— 1- = I + ^ + /,• + ^3 | etc.

En mettant successivement pe ~' et pe~'' à la place de p, et

faisant la somme des résultats, on aura donc, d'après l'équation précédente,

— — j — - = i -4- p cos a + p* cos 2a H- p' cos 3a + etc.,

I 2.p cos ti + p ' ' '

et, par conséquent.

1 — np cos «-)-/>

= I -{- ap cos a + 2/>* cos 2a + 2/)' cos 3a -f- etc.

L'angle a étant réel, il sera nécessaire et il suflira pour que cette série soit convergente, et que l'on puisse en faire usage, que l'on ait p <^ 1 , abstraction faite du signe, ainsi qu'on l'a supposé.

Cela posé, soit yir la fonction arbitraire que l'on veut exprimer par une série de quantités périodiques, dans l'étendue des valeurs de JC, comprises depuis x = — / jusqu'à o" = /, en désignant par l

une quantité positive et donnée. Je mets '^ — j à la place de a

dans l'équation précédente; je multiplie ses deux membres par

—j-fx', et j'intègre depuis x' = — / jusqu'à x' = Z; il en résulte

i88 THÉORIE MATHÉMATIQUE

2/ I 2/» COS -. ^ p'

ti étant un nombre entier et positif, et la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de 7i, depuis n = i jusqu'à n=^co . Or, si l'on désigne par g une quantité positive et infiniment petite, on pourra prendre p= I — g; et alorsyic sera la valeur de l'intégrale indiquée dans le premier membre, comme on va le prouver tout à l'heure. De plus, pour toutes les valeurs finies de n, on aura

pour des valeurs infinies de l'exposant n, la quantité/?" pourra différer de l'unité; mais en intégrant par partie, comme dans le n° précédent, on verra que l'intégrale qui multiplie p" sous le signe 2, s'évanouit quand « = oo j en sorte que Ion pourra remplacer p" par l'unité, dans tous les termes de cette somme 2. Par conséquent, nous aurons

A = ,-/ fl,f^'^^' + 7 2 Ul, cos"-^^^V^'^^'], (5)

pour l'expression demandée de Jhc.

Pour faire voir que dans le cas de/? = i — g, l'intégrale qui forme le premier membre de l'équation (4) est égale a Jhc , tant que la quantité X est comprise entre — / et +/, j'observe que le coefficient àe doc' sous le signe / deviendra infiniment petit en même temps que g, excepté pour les valeurs de x' qui rendent son dénominateur infiniment petit, c'est-à-dire pour: les valeurs de x' qui rendent cos '^ ■ infiniment peu différent de l'unité; mais la variable

x' étant comprise aussi bien que :r entre — l et -f-Z, ces valeurs de or' se réduisent à celles qui difi'èrent infinimentpeudex, en plus ou en moins; si donc on fait x'=x-\-z, il faudra considérer cette nouvelle variable z comme infiniment petite, ainsi que la constante g; ce qui réduira le dé-

nomioateur du coefficient de dx' à g°+-Tr ; et l'intégrale en ques-

DE LA CHALEUR. ,8g

tioQ à

gldz

fa: f Stdz

Or, cette intégrale relative à z efaut infiniment petite à cause de g, pour toute valeur de z qui ne l'est pas, il s'ensuit qu'on peut, sans crainte d'erreur, l'ëlendre maintenant depuis z ^ — co jusqu'à r= oo • ce qui donnera l'unité pour sa valeur, et fjc pour la valeur qu'il s'agissait d'obtenir.

(94). D'après cette démonstration de l'équation (5), elle subsistera pour toutes les valeurs de j: > — / et «</; mais elle n'aura lieu pour les valeurs extrêmes jc=dzl, que quand on aui'ay( — l)=Jl-

et, en général , son second membre sera égal à - \fl-\~f{ — 0] quand

on y fera x = z^l.

En effet, si nous faisons x = l dans le premier membre de l'é-

quatiou (4), la quantité cos sera infiniment peu différente

de l'unité, pour x'=l — z et pour x' z=. — Z + z; la variable z étant infiniment petite et positive, afin que x' ne sorte pas des limites ri= Z de l'intégration j d'où l'on conclut que dans le cas de p = i — g^j ce premier membre se composera de deux parties qui répondront à ces valeurs de x', et dont la somme sera

On pourra étendre cette intégrale depuis z = o jusqu'à s = 00 ; elle

sera alors égale à - ; et comme on serait pai-venu au même résultat,

si l'on eût fait x = — l, au lieu de x= l, il s'ensuit qu'à la limite p= i, et pour les valeurs particulières x^zizl, l'équation (4) deviendra

en observant qu'ona cos 7i7r = ( — i)" et sin zztT :=: o. Donc, en comparant l'équation (5) à cette dernière, on voit que l'équation (5)

igo THÉORIE MATHÉMATIQUE

n'aura pas lieu pour ces valeurs extrêmes de x , à moins que l'on

n'ait // = /(-/). ;

On reconnaîtra imme'diatement la nécessité de cette restriction que l'on doit apporter à l'équation (5), en prenant pour exemple fx-=x"^^, et supposant que i soit un nombre entier et positif : tous les termes du second membre de l'équation (5) seront nuls pour x = ri:/, tandis que son premier membre sera égal à (rt: Z)'*"*"' , ce qui mettra cette équation en défaut; mais au contraire, l'équation (6) se vérifiera d'elle-même, puisque son premier membre /•'-+■' -j-( — Z)"'^' sera zéro comme le second.

Si l'on donnait à Jc, dans l'équation (4), une valeur qui tombât en dehors des limites zfc /, son premier membre serait zéro dans le cas de p = I — g ; d'où il résulterait , à la limite p== ï , une formule distincte des équations (5) et (6) , et qui sera comprise parmi celles que nous allons écrire. Obsei'vons aussi que l'angle a devant être réel pour que la série dont nous sommes partis soit convergente et qu'on

en puisse faire usage, et cet angle ayant été remplacé par - " ^ ,

on ne devra donner que des valeurs réelles à x, dans l'équation (5) et dans celles que nous allons en déduire.

ig5). La fonction Jx est entièrement ai'bitraire; elle n'est point assujettie a la loi de continuité, et l'on pourra toujours calculer par les quadratures les intégrales indiquées dans les termes successifs des séries (5) et (6); ces séries seront toujours convergentes, comme on l'a vu plus haut, et comme on peut aussi s'en assurer en considérant les aires des courbes dont le^ ordonnées correspondantes à une abscisse quelconque x' , sont sin nx^jc' ou cos nx'fx'.

On pourra, par exemple, supposer que fx ait des valeurs quelconques dans une portion de l'étendue comprise depuis x = — l jusqu'à x=l, et que cette fonction soit nulle dans le reste de cet intervalle. Ainsi A' étant > A, et ces deux quantités étant << /, abstraction faite du signe, cette fonction aura, si l'on veut, des valeurs données arbitrairement depuis a:=:X jusqu'à j:= A', et sera nulle, soit depuis x = — /jusqu'à j? = A , soit depuis x = A' jusqu'à x=L Alors, il suffira de prendre les intégrales relatives à x' , depuis x'=A jusqu'à x'=à'; la formule (5) reproduira, dans cet inter-

valle, les vaIeursquelconquc'.sdey2r; et on la trouvera égale à zéro pour les valeurs de r comprises, soit entre A' et /, soit entre — /et A. Mais il est important d'observer que pour les valeurs mêmes a: = À et j:' = A', cette formule ne donnera que la moitié des valeurs correspondantes de fx.

En eflet, lorsque dans la démonstration du n" ç)5, on {&\\x'=:x-\-z, et que l'on considère :; comme une variable infiniment petite, positive ou négative, si l'on donne à j: la valeur particulière x-=.X, la fonction yx' sera nulle pour les valeurs négatives de z, et de même si l'on fait x = A', cette fonction sera égale à zéro pour les valeurs positives de z; dans l'un et l'autre cas, la valeur de l'intégrale relative à z sera donc réduite à moitié; par conséquent, le second membre de

l'équation (5) sera égal à - f?^ pour jr = A , et à - fX pour x=?\' ■

ce qu'il s'agissait de prouver.

En partant de ce principe, la formule (5) va nous en fournir plusieurs autres de la même nature, et qu'on pourrait aussi obtenir directement par l'analyse qui nous a conduits à cette équation (5).

(96). Supposons que la ioncûonfx soit nulle pour les valeurs négatives de X, y compris x = — l; et réduisons, en conséquence, à zéro et -f- Z les limites des intégrales relatives k x' ; l'équation (5) deviendra

De plus, si nous mettons dans cette équation {'j), — x à la place de X, et que nous regardions ensuite x comme une quantité positive, son second membre aura zéro pour valeur; en sorte que l'on aura aussi

o = à/.'/^W + 1 2 [//ces 'ilifjt'J A«x']. (8)

Ces deux équations auront lieu seulement pour les valeurs de x positives et moindres que /; pour x=:.o, leurs seconds membres seront égaux, l'un et l'autre, à la moitié de la valeur correspondante de/r; pour x = l, ils coïncideront également, et leur valeur corn-

iga THÉORIE MATHÉMATIQUE

mune sera ~ fl; car pour j: = ± Z, le second membre de l'équa-

lioa (5) était égal à - [y/ + f ( — /)]; quantité qui se réduit à

- //, puisqu'on a f ( — Z) = o par hypothèse. L'inspection seule

des formules (7) et (8) suffît pour montrer qu'elles doivent coïncider, soit quand x = o, soit quand a: = l; mais leurs valeurs communes et relatives à ces deux limites ne peuvent se déduire que des considérations qui précèdent.

Si l'on ajoute ces deux équations (-7) et (8), on aura

fx = Y I fx'dx' -H 7 2 f / cos '^^ fx'dx' cos —^ ; (9)

et cette nouvelle équation subsistera depuis x=o jusqu'à x = l, y compris les valeurs extrêmes zéro et l, puisque pour chacune de ces valeurs les deux formules que l'on a ajoutées étaient, l'une et l'autre, égales à la moitié de la valeur correspondante de Jx. Par la même raison , si l'on retranche l'équation (8) de l'équation (7) , on aui'a une équation qui subsistera depuis j:'=o jusqu'à x=l,ïnais dont le second membre sera nul à ces deux limites; cette équation sera

yx = y 2 / sin —j— fx'dx' sin -^. (10)

En prenant l=7r, ces deux dernières formules coïncident, comme on voit, avec les équations (3); et elles auront lieu, comme ces équations, pour toutes les valeurs de x, lorsque la fonction yic sera périodique, c'est-à-dire, lorsqu'elle reprendra la même valeur toutes les fois que la variable augmentera ou diminuera d'une quantité égale à 27r.

On peut encore varier ces formules de beaucoup d'autres manières. Par exemple, dans celles qui n'ont lieu que pour des valeurs positives de X , on peut transporter l'origine des x au milieu de l'intervalle pour lequel ces équations subsistent, et il en naîtra d'autres qui s'étendront également dans les deux sens des x positifs ou négatifs. Ainsi, mettons dans l'équation (7), 2/, x-^-l, x' -\-l, à la place de

DE LA CHALEUR. igS

/, X, x' , et conservons jx Qtjx' au lieu def{x +^) ei f(x' + /); nous aurons

formule qui subsistera, comme l'équation (5), depuis x = — / jusqu'à x=-{- l, mais qui en différera en ce qu'elle aura pour valeur

■^f{ =fc: /) pour x = ±l, taudis que pour ces valeurs extrêmes de x

la formule (5) est égale à ^ [// + /(— /)].

Si l'on divise la somme 2 contenue dans cette formule (n), en deux parties, l'une relative aux nombres n pairs, et l'autre relative aux nombres n impairs, cette équation prendra la forme

fie = f,/^/xWx'+ i 2 [/^^co."-l<ip^AWx']

les sommes 2 s'étendant toujours à toutes les valeurs paires ou impaires de II, depuis ?i= i jusqu'à n = x . Je multiplie cette dernière équation par 2, puis j'en retranche l'équation (5); il vient

/x = 1 2 [/;^ cos ^^J^^ZJl^^l^^Jx'dx'-] ; (, .)

équation qui subsistera toujours depuis x= — l jusqu'à x=-{-l, mais dont le second membre sera égal, d'après les formules dont il résulte,

à llf^—A—O] pour ^ = i> et à ^ [/(—/)—//] pour x= — /; en sorte que cette équation (i 2) n'aura lieu pour ces valeurs extrêmes de X , que quand on aura f{ — 1) = — fl-

Nous n'indiquerons pas ici d'autres combinaisons des formules précédentes, dont chacune, comme on l'a déjà dit, pourrait être démontrée directement par un moyen semblable à celui du n° g3.

(97). Quoique ces diverses équations ne soient pas identiques relativement à X , on pourra néanmoins les différentier par rapport à cette variable. Si X = o est une de ces équations, il est évident que l'équa-

tion -^ = o devra subsister dans toute l'étendue des valeurs de x

ax pour lesquelles X = o avait lieu. Mais lors même que cette équation

X = o avait lieu aux limites de cet intervalle, l'équation -3- :^ o

n'aura aussi lieu à ces mêmes limites, qu'autant que de nouvelles conditions sei'ont remplies; et dans le cas où X = o ne s'appliquera

pas aux valeurs extrêmes de x, la valeur de -^ que l'on déduira

de T— ^= o sera toujours infinie pour ces valeurs particulières de la variable. C'est ce que l'on vérifiera de la manière suivante. En différentiant l'équation (5) et faisant -^ ^=.f'x , on a

/'x = - i 2 [/;^ ^ sin^-^l^-H^V^'^--']' et si l'on intègre par partie sous le signe 2, cette formule devient

/'x= - \ [fl -fi- l)-\ 2 (- 0" cos ^

-f- \ 2 [/^^ cos '^^fœ'doc'~].

Pour toutes les valeurs de x > — Z et •< /, on a, comme on sait^

2(— i)"cos-^ = — -;

pour ces mêmes valeurs, on aura donc

fa: = 1 [// -/(- /)] + } 2 [ f'^ cos 11^'lf:,'da:''] ;

ce qui est effectivement vrai, puisque celte formule coïncide avec l'équation (5) quand on met dans celle-ci f'x au lieu àefx. Pour que l'équation (5) ait lieu aux limites x = zk:l, il est nécessaire que l'on ait/'( — /) =fl; mais en supposant cette condition remplie, et comparant toujours cette dernière formule à l'équation (5) , on voit qu'il faudra qu'on ait, en outre, /' ( — /) =-f'l pour que cette formule convienne aux valeurs extrêmes x=±/. De plus, si la condi-

DE LA CHALEUR. igS

tion y( — l)=fl n'est pas satisfaite, 1 équation (5) n'aura pas lieu pour jc=zhl; et comme pour ces valeurs particulières de x , ou a évidemment

n^rx

2 ( — i)" cos -j- = 00 ,

il s'ensuit que les valeurs correspondantes de fx, c'est-à-dire les valeurs de y (d= /)', de'duites de la formule (5) par la différentiation , seront infinies, ainsi qu'on l'a dit plus haut.

Si l'on différentie de même l'équation (g), qui subsiste sans condition, depuis x=o jusqu'à x=l inclusivement, on aura

,,, Q. ^ r ri riTT tlirx' /• 1 , ,n • nirx

j'x ■=■ — ^2 / —r COS —j-- jx dx sm —r- ,

quelles que soient les valeurs extrêmes fl ci f{ — • /); on a aussi, en intégrant par partie,

-j cos —j- Jx dx = — / sin —J- f xdx ;

nous aurons donc

f'x ^ J 2, \ I sin —j-J'xdx sm -j- ;

résultat exact en vertu de l'équation (lo), dont il se déduit par la substitution de fx à la place dejx, mais qui n'aura lieu pour x = o et x = l, qu'autant que^^'x s'évanouit à ces limites.

Toutes les autres formules du numéro précédent donneraient lieu à de semblables observations, que je crois superflu de développer davantage.

(g8). On peutaussi intégrer par rapport à x ces différentes formules, et repiésenter, de cette manière, les valeurs deffxdx, dans l'étendue des valeurs de x pour lesquelles chacune de ces équations subsiste. En général , si la formule d'où l'on part a lieu seulement depuis x=.X jusqu'à x = A', mais qu'elle ne subsiste pas pour les limites même A et a', on pourra néanmoins comprendre ces valeurs extrêmes de X dans l'intégrale /y x^, pourvu seulement que les vraies valeurs de /A et fX' , non plus que les valeurs fautives qui résulteraient de

igS THÉORIE MATHÉMATIQUE

la formule donuëe. ne soient point infinies; car alors on peut, sans aucune erreur, faire abstraction ou tenir compte, à volonté, desélémens de cette intégrale qui répondent à cT = A et a: = A'. C'est aussi pour cette raison que les valeurs àej'x, relatives à ces limites, deviennent toujours infinies, quand elles sont déduites d'une formule qui n'a pas lieu pour x==\ et x = X'; car si les valeurs de f'X et J'A' que l'on en déduit par la différentiation étaient des quantités finies, les valeurs de /A et fX' seraient comprises dans la formule, contre la supposition.

Vérifions, sur des exemples, ce qui est relatif à l'intégration des formules précédentes, et dans ce qui va suivre, désignons par y^O' Vintégraïe Jfxdjc prise de manière qu'elle s'évanouisse quand a'=o.

D'après l'équation (lo), nous aurons

/^ = - f 2 [/j 1 sin ^/xWx'] ( cos '^ - i); et comme on a, en intégrant par partie,

il en résultera ,

f^x = p 2 1 y /cos ^^/xWx' j cos ^ — T ^ f ^^^ ~T" fi^'^'' Or, en mettant y^ar à la place de fx dans l'équation (g), on a J,x = jf„ /^'^^' + J^[/l cos^/xWj:Qcos ^,

depuis j: = o jusqu'à x = l inclusivement; en faisant .r::=o et observant qu'on a alors f^x = o , on aura donc

et si l'on retranche cette équation de la précédente, on obtiendra l'expression de f^x qu'il s'agissait de vérifier. Cette expression devra convenir, comme l'équation (9), aux limites même x=o etx=l.

quoique l'ëquation (ro) d'où l'on est parti, n'y soit pas toujours applicable. Pour ar=o, cela est évident. Pour x=Z, il en résultera, comme il est aisé de le voir,

// = f 2 [/; COS (£2^1^ /X'^.'] ;

la somme S s'étendant toujours à tous les nombres n depuis «= i jusqu'à n= <x> . Si donc on fait

/ = 2I, x' = x^ -\- l^, f,{x, + Z) = Fx,, et que l'on mette, en conséquence, F/^ au lieu àefi(^2l) ou f^l, on

aura

F/, = l 2 [/;; cos ^-"-^j/^---VxA.],-

mais on a aussi F ( — /J =0, en observant que F ( — /J est la valeur àe fiX qui répond à :r = o, et qui est nulle par hypothèse; on aura donc enfin

im - F (- i,)l= 1 2 [£; cos (^n^uMLzi^ FxAj .

comme il résulle, en effet, de l'équation (12), en y mettant x^,l^, F, au lieu de x' , l,J, et y faisant xz=l^.

L'équation (9) donne, par l'intégration,

f.^ = V^ + f 2 [ y^' L cos '^foc'dx'~\ sin '-^^ ; en intégrant par partie, on a

— cos —Y-fxdx = J/-r / sm —y-/x'dx:

à cause de cos rm = ( — i )° , on aura donc

f,x =:|-^ + -2-^sm— J//

+ j 2 r / sin ^^ J]x'dx'j sin ^.

igS THÉORIE MATHÉMATIQUE

Cette e'quation est identique, soit pour jc = o, soit pour œ = l. Elle est e'galement vraie quand on suppose jc- >• o et ■< Z; car, d'après une formule connue, on a alors

j -h - X — -— sm -y- = o;

ce qui fait coïncider celte équation avec la formule (lo), dans laquelle on mettra y^a? au lieu ilefx.

(99). Nous ne pousserons pas plus loin ces vérifications j mais nous ferons remarquer comment, dans ce dernier cas, la valeur extrême et tout-à-fait arbiti'aire J]l, s'est trouvée comprise dans l'expression générale àe j^x à l'aide d'un terme complémentaire, égal à cette valeur fj pour x^=.l, et nul pour toutes les valeurs de x comprises entre zéro et l. Il en sera de même dans tous les cas; et généralement , si l'on veut représenter une fonction quelconque fx depuis x = Â jusqu'à x = X' , y compris les limites A et à', par une formule qui ne convienne pas d'abord à ces valeurs extrêmes, on y parviendra toujours en ajoutant à celte formule certains termes qui ont des valeurs convenables pour x=K et pour x = A' , et qui sont nuls pour toutes les valeurs intermédiaires de la variable. Il est important, dans les usages qu'on fait des séries de cette nature, d'avoir égard à ces termes complémentaires, auxquels on peut d'ailleurs donner une infinité de formes différentes.

Relativement à la formule (5), par exemple, on pourra prendre

pour cette partie complémentaire; et en l'ajoutant au second membre de l'équation (5), qui se réduit à f [fl + /( — l)] pour .r =: ± Z, cette équation ainsi modifiée conviendra à ces valeurs extrêmes de o?, aussi bien qu'aux valeui's intermédiaires.

Quelles que soient les valeurs de Jx qui répondent à x = 0 et x = l, l'équation (10) conviendra pareillement à ces valeurs extrêmes de X et aux valeurs intermédiaires, en ajoutant à son second membre la quantité

El — X 2^1. n7rX—\ ,■ rx 1 { — l)' . ,,j-~l ri

2 , I . mix~~\ ,■ , r"r , 2 . ( — i)"

dont les deux parties sont nulles poui' >r > o et <1 /, mais dont la première s'évanouit seulement à la limite x-=l, et est égale à Jo pour xz=o, tandis que la seconde s'évanouit quand ar = o , et est égale à y/ lorsque xz=zl.

(loo). Si la fonctionner est telle, que les intégrales contenues sous les signes 2 dans les formules précédentes puissent s'obtenir sous forme finie, il en résultera des séries dont la valeur exacte sera exprimée, dans chaque cas, par cette fonction. Cela aura lieu toutes les fois que l'on prendra pour^jr une exponentielle, un sinus, un cosinus, une puissance entière et positive; mais quoique ce moyen paraisse devoir être très fécond, il ne fait connaître cependant que des sommes de séries déjà déterminées, soit par Euler, soit par D. Bernouilli, en suivant d'autres méthodes, et que j'ai réunies et considérées sous différens points de vue dans mes mémoires sur le calcul intégral (*). Ces mêmes formules peuvent aussi servir à la transformation des séries, ainsi qu'on peut le voir dans ces mémoires.

Quant à la série 2 ( — i)° cos -y- que nous avonssupposéeplushaut

égale à • , elle est de l'espèce des séries périodiques qui ne sont ni

convergentes ni divergentes, mais qu'on peut néanmoins employer en les considérant comme les limites de séries convergentes , c'est-àdire en multipliant leurs ternies par les puissances ascendantes d'une quantité infiniment peu différente de l'unité. Cette supposition revient donc à dire qu'à la limite où q dift'èi-e infiniment peu de l'unité, on a

2 (— i)-5»cos — =— -,

tant que x diffère de±Z. Cela résulte, en efl'et, de l'équation dont nous sommes partis, dans le n°g5, en y faisant p = — ^etc<,=:-T- ;

(*) Journal dt l'École Polytechnique , 1 8' et 19' cahiers.

ce qui donne

I — q cos Y + î cos —, q^ cos —j- -j- etc. =

- 1 + y cos -y