I + 2^ COS — 7- + Ç
équation qui coïncide avec la pre'cédente, quand q diffère infiniment peu de l'unité, et que l'on n'a pas j: = ±Z, puisque alors on peut regarder son second membre comme égal à j. Si l'on a .r = d= /,
ce second membre devient , quelle que soit la quantité q , et ,
conséquemment, infini lorsque q = j , Pour ces valeurs extrêmes de jc et à cette limite, la somme 2 est donc aussi infinie; ce qui est évident.
En multipliant cette somme par dx, puis intégrant, et prenant l'intégrale de manière qu'elle soit zéro quand x = o, il vient
— 2 ^- — ^-^~ sin — J- = X,
à la limite où q diffère infiniment peu de l'unité et quand la variable x est comprise entre d= /. Mais à cette limite et pour les valeurs extrêmes de x, la différentielle que Ton a intégrée n'étant point égale à — k^x, et le coefficient de dx étant au contraire égal à l'infini, on ne peut pas comprendre dans l'intégrale les élémens qui répondent à jc = ± /; et c'est pour cela que cette dernière équation n'a pas lieu pour ces valeurs particulières de la variable. En remplaçant q par Tunité, on aura ces deux équations
r H 2 sm -y- = o,
l — .r 2 , I . mrx
— ; 2 - sm —f- = O ,
dont la seconde se déduit de la première par le changement de x en l — X, et qui sont celles que nous venons de supposer dans le numéro précédent.
(loi). La formule (lo) est celle que l'on doit à Lagrange, et de laquelle on peut facilement déduire toutes les autres, de même que nous les avons toutes déduites de la formule (5). On pourrait aussi
appliquer directement la démonstration de Lagrange à toutes les formules précédentes. Voici cette démonstration, à peu près telle que l'auteur l'a donnée (*).
Soit m un nombre entier et positif, et désignons par / cette fonction périodique
j = Y. sin ttj: + Y, sin 27Tx + Y3 sin S'^tjc + . . . + Y, sin vriTrx , ( 1 5)
dans laquelle Y,, Y,, Y3,... Y„, sont des coefficiens indépendans de la variable ce. Soit Jx une autre fonction donnée arbitrairement, continue ou discontinue, assujettie à la seule condition de devenir nulle, comme la précédente, pour jc = o et pour x=i. On propose d'abord de déterminer les m coelliciens Y,, Y,, Y3, . . . Y, de telle sorte que l'on a.i[.jz=:fx pour ces m valeurs particulières de la variable
outre les valeurs extrêmes x = o e\. x = i.
Pour cela, représentons par j^, J\, J3,. • ■ Ja> 'es m valeurs correspondantes dejx; nous aurons, pour déterminer les coefficiens inconnus, ces m équations :
, sm — ; \- Y, sm — ; \- I3 sm — ;— + Y, sm — -r— ,
, sm \- I, sin —i \- I3 sin 4- i„ sin — |— ,
■yj . 3x yj . Q^ , \T ■ <*»■ IV- 3m7r
r3=i,sin — ; hijSm --l-ijsin— 2 — -^i„sin — --,
iSin — ; \- Y, Sin — ; ^ Y3 sin — — + X„sm — — -.
Or , si l'on ea veut déduire l'expression d'un coefficient quelconque Y„, il faudra en prendre la somme, après les avoir multipliées respec-
(*) Tome III des anciens Mémoires de Turin, page 261.
ao2 THÉORIE MATHÉMATIQUE
tiyement par
WîT
•xnTr . ZriTT . miiTT
2 sm — : — . 2 sin — : — , 2 sin — ; — , 2 sin
I' OT + i m-f-1 m+1
il arrivera que tous les autres coefficiens disparaîtront de cette somme, qui ne contiendra que le coefficient Y„ qu'on se propose de déterminer. En effet, «' étant un. indice différent de 72, -le coefficient Y„, se trouvera multiplié par la somme
2 sin — -- sm h 2 sin sin — ; \- 2 sin — — - sin
ni-\-\ m-f-i m -\-\ Tn-\-\ m-\-\ m-)-i
+ mn7i . mnw
2 sm — ;— sin — — ; m-\-i m-\-i
laquelle est l'a différence de ces deux autres sommes:
+ (n' — n)n , lin' — wV , 3(«' — n)ir , m (n — n)7r COS ^^ —^ \- COS -^^ 7-^- + COS -^^ r—^ . . . + COS — ^^- , m + A ' m-f- 1 m-\- 1 m-{-i
(n'4-n)7F , 2(«'4-'0'!' ■ 3(n'+n)?r , m(n' + n)Ti- I + COS --^ \- COS -^^ — - + COS -!^ ~- . . . + COS — '^ ; — , ■
dont les valeurs sont faciles à déterminer, comme on le verra tout-àl'heure. Tant qu'on n'a pas nz=n, la valeur de la première somme est •j — ^cos(?2' — ii)'7r; celle de la seconde est toujours \ — \ cos(7i'+^/)7r ; en l'etranchant l'une de l'autre, et obsei'vant que n et «' sont des nombres entiers, on a zéro pour la différence; par conséquent, le coefficient quelconque Y„„ différent de Y^, n'entrera pas dans la somme des équations qu'on aura faite. Mais si l'on a n'=zn, la première des deux sommes précédentes sei-a évidemment égale ain-^\; la seconde aura pour valeur \ — ^- cos 2/i:T ou zéro ; le coefficient Y„ aura donc m + i pour facteur dans cette somme d'équations; et en la divisant par m-\-\ , il en résultera
riTT , . iutc , . ZnTt
Y; = —7— ( r, sm -^— \- r^ sm — ■ \- y^ sin ; \-.
• -{-J.m Sin — — ).
r.)iii30.> . q/.^
Les coefficiens Y, , Yj, , Y,,,.. Y„, étant ainsi déterminés, la formule (i3) coïncider?, avec la fonction foc, pour toutes les valeurs
DE LA CHALEUR. 2o3
de jc contenues depuis x = o jusqu'à a:= i , et qui sont des multiples exacts de la fraction -\- ; et pour les autres valeurs de x
comprises dans le même intervalle, on devra la regarder comme une formule d'interpolation d'une espèce particulière, qui pourra servir à calculer les valeurs approchées dejx, quand la forme de celte fonction ne sera pas donnée. Si l'on construit deux courbes qui aient x et j pour leurs coordonnées courantes, dont l'une ait y=fx pour équation, et l'autre l'équation (i3), ces deux courbes couperont l'axe des abscisses x aux points correspondans a x=o et x= I , et dans l'intervalle compris entre ces deux points, elles auront un nombre m de points communs, dont les projections sur l'axe des x seront équidistantes. Ce résultat subsistera , quelque grand qu'on suppose le nombre m; à mesure que ce nombre augmentera, les points communs aux deux courbes se rapprocheront; et à la limite //i = oo , ces deux courbes coïncideront parfaitement dans toute la portion comprise depuis x=o jusqu'à x:^i. Or, à cette limite , la somme qui exprime la valeur de Y„ se changera en une intégrale définie ; et n étant un nombre entier et positif quelconque, si l'on fait
: dx' ,
il en résultera
j„, = fx' , Y, = 2 / sin JiTTx' .jx'dx ;
en même temps la série (i3) se prolongei'a depuis n=i jusqu'à rt = 00 ; et en remettant ^i" à la place de j", on aura
fx = 2^( j sin nTTx .fx'dx'\ sin rvnx ;
résultat qui coïncide avec la formule (lo), en prenant, dans celle-ci, / pour unité.
Les valeurs des deux sommes que nous avons supposées connues s'obtiennent, en effet, sans difficulté. Je désigne par / un nombre entier moindre que 2 (to -|- i) , pour lequel on pourra prendre succes-
2o4 THÉORIE MATHÉMATIQUE
sivement «' — n et n' -{-n, et qui ne sera pas zéro. Soit alors
ces h ces — — + cos — ; h • • • + cos = s.
En multipliant par 2 cos — ^jr" > ^^ aura
2J COS r- =2(1+ COS ; f- COS ; 1- COS — + COS — 1
, /sr miTT I + COS 1^ COS ; h COS ITT ;
et, à cause de
COS — ;— = COS m cos — 7— , on en conclut
2(1 — cos — ^T—)s = ( I — cos — r-~ ) ( I — cos /':t).
Donc, en supprimant le facteur commun 1 — cos — ^ , qui n'est pas nul, par hypothèse, on aura
s ■=. \ — \ cos vrr ;
ce qu'il s'agissait de trouver.
Au reste, la formule précédente et toutes celles que nous avons trouvées dans ce chapitre, sont comprises dans l'équation (22) du n° 86 ; mais cette équation comprend un grand nombre d'autres foritnules de la même nature, que l'on doit admettre comme la conséquence certaine de la solution générale de chaque problème, et qu'il serait à désirer que l'on parvînt à démontre)" d'une manière plus directe. Malheureusement le mode de démonstration de Lagrange et celui du n° g5 ne paraissent pas pouvoir s'appliquer à ces autres formules , dans lesquelles la fonction arbitraire n'es! point exprimée en série de sinus ou de cosinus des multiples I, 2, 3, 4> etc., ou I, 5, 5, 7, etc., de la variable, comme dans toutes les formules précédentes.
(102). Dans ces différentes formules, on peut supposer la quan-
DE LA CHALEUR. 2o5
tité l aussi grande que l'oQ veut, et même infinie. Dans le cas de / = oo , la formule (5) représentera la fonction J'x pour toutes les valeurs réelles de x, depuis a: = — «o jusqu'à x=co; son premier terme s'évanouira ; el si l'on fait
nx
la somme 2 qu'elle i-enferme se changera en une intégrale relative a. Il en résultera cette autre formule
jx = - / / cosa(x — x')Jx'da.dx', (\A)
dont Fourier a enrichi l'Analyse, ou, du moins, qu'il a donnée le premier pour les cas où l'on a Jx =J( — x) ou Jx = — JÇ — x) , et dont il était aisé de déduire la formule générale.
Tout ce que l'on a dit relativement à la formule (5) convieudr^a également à celle-ci. Ainsi, on pourra la différentier par rapport à x, ou l'intégrer après Tavoir multipliée par dx : on y pourra prendre pouryj: une fonction discontinue, qui ait des valeurs quelconques depuis x=K jusqu'à x = A', et qui soit nulle pour toutes les valeurs de X non comprises entre ces limites. Dans ce cas , il suffira d'intégrer par rapport à x' , depuis o"' = A jusqu'à jr'r=:A'; mais il ne faudra pas oublier que cette formule ( i ( ) ne donnera que la moitié des valeurs de Jx , correspondantes à x= X et a; = A', et que sa diflérentielle relative à a: et divisée par dx , deviendra infinie pour ces mêmes valeurs de la variable , à moins que l'on n'ait /A = o et /a' = o.
Pour appliquer cette formule à une fonction donnée Jx qui croît indéfiniment avec la variable, on changera Jx en une fonction discontinue qui soit nulle en-deçà et au-delà de limites arbitraires , pourvu qu'elles comprennent les valeurs de x pour lesquelles on voudra représenter celles de Jx. Si l'on a, par exemple, Jx=.x, on ne pourra pas intégrer depuis x' =^ — co jusqu'à .r' = ce , puisque ces limites rendraient l'intégrale indéterminée. On supposera donc que la fonction Jx' soit nulle pour x' <^ h. et pour o" >• A'; et Ion aura d'abord
2o6 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Y ^'cos a,{x — x') dx' = — - sinct (x — A') -]- - sia a,{x — A)
H- -. [cos a (^ X') — i] — - [cos a(a: — A) — i]. Or, d'après une formule coanue , on a
selon que la constante h est positive, négative ou zéro; en multipliant par dh, intégrant ensuite et prenant l'intégrale de manière qu'elle s'évanouisse avec h, on en conclut
fcosha. — i) — = — ^Tth, =-{-^h, =o.
Si donc on prend successivement x — A' et x — A pour la constante h, et que i'pn suppose ;ç > A et < A', il en résultera
l rV^r' x'coscL{x — x')dx''^da = \x' + \K -\- i{x — X')
+ {{cc-~X) = x;
ce qui vérifie la formule ( i4)> appliquée , de la manière que l'on a dite, à l'exemple donné. Dans le cas de j: < A et ■< A', on aura de même
irVr^x'cosa.{x — x')dx'~\dcL^ lA' — |A + i(a:— A')
— |-(a: — X) = o; et dans le cas de a? = X et < A', on aura aussi
On trouvera pareillement que la formule (i4) se réduit à zéi'o dans le cas de ^ > A et > A', et à ^ A' dans le cas de j: > A et = A'. On sera de même obligé de changer les limites rt oo en d'autres limites A et A' de grandeur finie , lorsque la fonction donnée Jx' sera une quantité périodique; et, généralement, on ne pourra employer les limites rfc: oo dans l'intégration relative à x' , que quand cette fonction s'évanouira pour ces deux valeurs extrêmes de la variable. Quoique l'équation (i4) ait lieu pour toutes les valeurs réelles de
la variable, depuis x= — x jusqu'à x =. co , elle n'est cepeudaut pas identique, et ne subsiste pas, en général, pour des valeurs imaginaires de X. La série dont nous sommes partis dans le n° g3 , n'était convergente et ne pouvait être cmplov ée que pour des valeurs réelles de l'angle a ; il s'ensuit que les formules qui en ont été déduites, et, conséquemment , la formule (i4)> "c sont aussi démontrées que pour des valeurs réelles de oc ; mais le cas des valeurs imaginaires ne devant pas se présenter dans la théorie de la chaleur, je renverrai sur ce point, relatif au degré de généralité et à la nature de la formule (i4)> ^ l'examen que j'en ai fait dans un mémoire déjà cité (*).
(io5). Lorsque la fonction yic' sera donnée, et que l'intégrale relative à x' pourra s'obtenir sous forme finie, la formule (14) se trouvera réduite à une intégrale simple, relative à a et dont yi sera la valeur; mais ce moyen ne fait connaître la valeur d'aucune intégrale qui n'ait pas déjà été déterminée par d'autres procédés. Si, au contraire, la fonction Jx est arbitraire, et qu'on veuille vérifier l'équation (14) dans toute sa généralité, il faudra d'abord effectuer l'intégration relative a ce., ce qui exige une attention particulière, attendu que les limites zéro et l'infini ne peuvent pas être changées comme celles de l'intégration par rapport à x'.
L'intégrale d'une quantité périodique qui s'étend à l'infini, doit toujours être considérée comme la limite d'une autre intégrale dont les élémens décroissent à mesure que la A^ariable augmente , et sont mils quand la variable est infinie: observation semblable à celle que nous avons déjà faite relativement aux séries infinies de quantités
périodiques. Cela étant , on pourra considérer / cos a(x — x') do.
comme la limite de / e cos a (a: — x')da, c'est-à-dire , comme
la valeur de cette dernière intégrale qui a lieu quand on y suppose la constante g infiniment petite et positive, et dans laquelle intégrale e représente la base des logarithmes népériens. On parviendra, de cette manière,, à une démonstration de la formule {i^), iowX-k-iaXi pareille à celle de la formule (5) qui a été donnée dans le n° g5.
>''f"^''yoiMdl de i' École Pblytéckntqxiè , 19*' cahier, page 456.
2o8 THÉORIE MATHÉMATIQUE
Nous pouvons aussi prendre pour / ces a.(x — x') dx' , la valeur de
I e coset(x — a'')r/a correspondante a la constante g infiniment
petite et toujours positive ; car d'après une formule connue , et qui se déduit de celle que l'on a déjà employée dans le n° 74, nous avons
/ e cosa(jc — x')da= -y-e
quelle que soit la constante positive g; eu appelant P le second membre de l'équation (i4)j nous aurons donc
à la limite où la constante g est infiniment petite; et il s'agira de faire voir qu'à cette limite on a P=yx. Or, la quantité comprise sous le signe y s'évanouit avec g pour toutes les valeurs de x' , excepté celles qui diffèrent infiniment peu de x. Si donc 011 fait x'-=. x-\- z, on pourra regarder z comme une variable infiniment petite , positive ou négative ; par conséquent , on aura
P = -^ Çe'Ts
f.o dz
mais, à cause que la quantité soumise à l'intégration s'évanouit avec g pour toute valeur finie de z, il sera permis d'étendre maintenant cette intégrale depuis z = — 00 jusqu'à z ^ 00 ; et comme on
il en résultera effectivement Yznjx.
cos a.{x — x') da, une autre intégrale
dont la première soit la limite , on peut encore intégrer d'abord depuis a=:o jusqu'à une valeur indéterminée de a, qu'on traitera
comme infinie dans l'intégration relative à x' . De cette manière , on aura
/cosa(x — x)rfa= — ^-37^^ — * le second membre P de l'ëquation (i4) sera donc
et si l'on y fait il deviendra
.X A — , dx' = — ,
Or, la constante a. étant infinie, la fonction f \x + -\ se réduit à
foc, excepté pour les valeurs de z qui sont elles-mêmes infinies, et auxquelles on peut ne pas avoir égard , paice que le facteur
rend aussi infiniment petite la partie de l'intégrale qui leur
— - dz est ,
comme on sait, égale à tt , on aura P =fx; ce qui fournit encore une vérification de la formule (i4)- C'est ainsi qu'elle a été démontrée par Deflers , élève de l'École normale, mort il y a quelques années.
(io4)- Cette formule (14) s'étendra, sans aucune dilHculté, aux fonctions de deux ou de plusieurs variables. Pour exprimer , de cette manière, la fonction f\x, y) pour toutes les valeurs réelles de X Gi J , on la mettra d'abord dans l'équation (14) à la place àefx; d'où il résultera
/ICO p<Xt
f{x, j) = - j I cos, a{x — x')f{x', y)dx'da..
D'après la même équation , on aura également
fi^'> J) = i/l/r cos e(j,-y)/(x', f)dj'dQ;
21 o THÉORIE MATHÉMATIQUE
et, de ces deux formules, on conclut
f{x,j)=l-f^ f^ f f cosct{x—3:')cosS{j—y)f{x',y)dx'dydudS. 71 J — xj — -kJ o J o
Une fonction de trois variables s'exprimera de même pour une intégrale sextuple ; et ainsi de suite.
La même chose aura lieu à legard des fonctions de plusieurs variables que l'on voudra seulement représenter dans une étendue limitée des valeurs de ces variables. D'après la formule (9), par exemple, nous aurons
rfirx
COS —-r- ,
J\X. J) = \f^^ f(x', J)dx' + ^^^^ f^ COS ^'/(x', j)dx' ]
d'où l'on conclura
f{x, J) = ^.f'^fl f(^', y)dx'df
II' J o J o
^ ïï'' ^lJoJo "^^^ '^f^'^'' y'> (i^'^fj COS ^
- ^ 2S [^ / y ^ COS -^cos -p^ /(x', yyx' jy J ces -^ atités l et r sont des constantes données: n et n
Les quantités l et l' sont des constantes données; n et n' sont des nombres entiers et positifs , auxquels se rapportent les sommes 2 qui s'étendent depuis l'unité jusqu'à l'infini. L'équation a lieu pour toutes les valeurs de a? et ^ depuis 07 = 0 et j'^o jusqu'à x = l etj=sl', en y comprenant les valeurs extrêmes. Si l'on fût parti d'une équation qui n'ait pas lieu, comme l'équation (9), pour les valeurs extrêmes, il faudrait ajouter à la formule définitive une partie complémentaire, facile à déterminer d'après ce qu'on a vu dans le n° 99. On pourrait aussi obtenir des formules qui exprimeraient une fonction /(x,r) entre des limites relatives à l'une des variables, données en fonctions de l'autre variable, et entre des valeurs de cette seconde variable qui seraient des constantes
DE LA CHALEUR, :.ii
aussi données; en sorte que f{x, f) étant l'ordonnée d'une surface dont X et y sont les deux autres coordonnées courantes, celte fonction f{x, J') se trouverait représentée pour tous les points d'une portion de la surface dont la projection sur le plan des x et j serait terminée par une courbe donnée. Mais quand il s'agit de représenter par une série de quantités périodiques une fonction arbitraire de deux variables, dans une étendue limitée des valeurs de ces variables , il vaut mieux exprimer celte fonction par une série de certaines fonctions de deux angles , qui est plus appropriée aux questions où l'on en fait usage , et qui nous reste actuellemeat à considérer.
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