J2 THÉORIE MATHÉMATIQUE

ture, pourvu que sou état solide, liquide ou gazeux n'ait pas changé.

L'hypothèse du n° i, suivant laquelle la quantité inconnue de cha-

lelir renfermée dans un corps est inépuisable^ exige que la quantité ^

décroisse avec la température, du moins quand u a de très grandes

valeurs négatives,, et que ce décroissement soit tel que/ ydu ait une

valeur finie à la-limite ^ = — x> , de telle sorte que le produit de cette intégrale et de P soit moindre, abstraction faite du signe, que la quantité de chaleur qui fait partie de A, quand n= a.

(6). Une obsei'vation que l'on a souvent l'occasion de répéter, fait voir que les corps incandescens, et mênïc ceux dont la température ë&t très élevée , sans qu'ils soient cependant devenus lumineux, émettent continuellement de la chaleur qui se propage en ligne droite dans l'air environnant. On s'est aussi assuré que quand cette chaleur émise par un corps vient tomber sur un autre, elle est en partie absorbée par celui-ci, et en partie réfléchie à sa surface sous un angle égal à celui de l'incidence, comme dans la réflexion de la lumière.

Cette chaleur en mouvement est proprement ce qu'on appelle la chdlètir rajonnante. La vitesse de sa propagation nous est inconnue; nous savons 'Seulement qu'elle est' extrêmement grande, et peut être comparée à celle des j'ajons lumineux. Dans le vide, son intensité varierait, comme celle de toutes les émanations, en raison inverse du carré de la distance au point de départ; dans l'air et dans les gaz, elle décroît un peu plus rapidement, à , cause de la petite absorption qu'elle éprouve, et qui est d'autant plus faible, pour un, même fluide, qu'il a été plus raréfié. f i .

.^ Lp çoips qui absorbe la chaleur rayonnante s'échauffe de plus en plus; celui qui l'émet se refroidit graduellement; et ces effets subsistent jusqu'à ce que les températures de ces deux corps • soient devenues égales. Mais l'émission de la chaleur par un coips ne peut être attribuée qu'à un mode quelconque d'action de ce corps sur lui-même, et nullement à l'action d'un autre corps éloigné, sur lequel cette chaleur peut ensuite aller tomber. Pour un même corps, fct pour un même état de sa surface, la production de la chaleur rayonnante ne doit donc dépendre que de sa propre tempéj-ature. Ainsi, \\ y a lieu de croire que le rayonnement de la chaleur existe, avec une

intensité plus ou moins grande , à toutes les températures ; qu'il est réciproque entre les cliiTéreiis corps; et qu'il subsiste encore lorsque les températures sout égales, quoiqu'il n'y ait alors ni échauffement, ni refroidissement.

Si l'on considère, en outre, que les plus petits corps émettent et absorbent de la clialeur rayonnante, on sera conduit à penser que cette double faculté appartient à leurs molécules mêmes, et que le rayonnement a lieu dans l'intérieur des solides et des liquides, où il ne diffère de celui que l'on observe à travers l'air et les gaz, qu'à raison d'une absorption beaucoup plus rapide.

De plus , l'air et les gaz absorbant la chaleur rayonnante, à la vérité en très petite proportion , soit à cause de leur nature, soit à raison de leur petite densité, l'analogie porte à supposer que leurs molécules émettent la chaleur rayonnante, aussi bien que celles des corps solides et des liquides.

C'est ainsi que l'on a été conduit à considérer les molécules de tous les corps comme des foyers de chaleur rayonnante. Cette chaleur émise en tous sens par chaque molécule, se propage à travers les pores ou espaces vides de matière pondérable , jusqu'à ce qu'elle ait été absorbée en entier par d'autres molécules qu'elle vient à rencontrer ; ce qui a lieu .1 des distances généralement très petites dans les corps solides et dans les liquides, et, au contraire, à de très grandes distances dans les différens gaz.

(7). La théorie mathématique de la chaleur est fondée sur cette hypothèse générale d'un rajonnement moléculaire , considéré, qu'elle qu'en soit la cause , conmie une déduction de l'expérience et de l'analogie.

Nous admettrons donc, dans la suite de cet ouvrage, que toutes les parties matérielles des corps, aussi petites que l'on voudra, émettent et absorbent continuellement de la chaleur. Nous supposerons aussi que l'émission a lieu également et sans interruption, dans tous les sens autour de chaque partie prise dans l'intérieur d'un corps, ou située à sa surface. Il en résultera des échanges continuels de chaleur entre les parties très voisines d'un même corps solide ou liquide ou bien entre les parties de deux coi-ps différens, très rapprochées de leurs surfaces. Le problème consistera à déterminer les variations de

température produites par ces échanges, et à en conclure les lois de la communication de la chaleur, à distance entre des corps différens, et de proche en proche dans l'intérieur d'un même corps.

Les parties des corps dont il s'agit dans cet énoncé sont des portions de matière , telles que la partie m du corps A , dont toutes les dimensions sont insensibles, et qui contiennent néanmoins des nombres immenses de molécules. C'est toujours là ce que nous entendrons dorénavant par des parties matérielles de grandeur insensible. L'échange de chaleur entre m et une autre partie semblable m', résultei'a de l'émission et de l'absorption par toutes leurs molécules. Mais si l'on considérait isolément une molécule de m et une molécule de m', cet échange ne présenterait rien de régulier que l'on pût soumettre au calcul : à certains intervalles de temps, la molécule de m pourrait ne pas émettre de chaleur vers la molécule de m', ou celleci ne rien envoyer à la première ; le contraire aurait lieu à d'autres époques. A un même instant, les échanges de chaleur pourraient être très diflérens entre la molécule qui répond au point M et les molécules situées, dans diverses directions, à égales distances du point M; et enfin ces échanges varieraient aussi sans aucune régularité, en passant de ce point M à un autre point situé à une distance insensible de M. Les nombres extrêmement grands de molécules dont sont composées les parties matérielles , telles que tn et m', produisent, sous tous ces rapports, la régularité indispensable dans les échanges de chaleur, pour que l'on puisse calculer les variations de températui-e qui en résultent, et exprimer la température correspondante à un point quelconque M , en fonction de ses trois coordonnées et du temps t ; ce qui est l'objet général du problème que nous aurons à résoudre.

(8). D'après cette considération , la nature de m et sa température étant données, nous pounons regarder la quantité totale de chaleur émise en tous sens par cette partie matérielle, dans un temps aussi donné , comme proportionnelle à sa masse m et à ce temps. En désignant donc par FI la quantité de chaleur qui serait émise , pendant l'unité de temps, par une masse prise pour unité, de la même matièi-e que m, et ayant une température constante, égale à la température M de m au bout du temps t , nous pourrons représenter par

lÏTndt , la quantité de chaleur émise par m pendant l'instant dt. La quantité II dépendra de ii et de la matière de m; elle décroîtra avec la température; et quoique nous ayons supposé inépuisable la chaleur contenue dans chaque partie matérielle, il ne s'ensuit pas que la faculté d'émettre la chaleur sott indéfinie, et qu'il n'y ait point une valeur négative de ii assez grande pour rendre la quantité 0 nulle ou tout-à-fait insensible. A celte température, si elle existe, la chaleur qui restera encore dans l'intérieur d'un corps ne sera plus employée, comme la chaleur latente, qu'à balancer l'attraction mutuelle de ses molécules, et à les maintenir aux distances où elles seront alors les unes des autres. Une compression suffisante , exercée à la surface , pourra encore faire sortir une partie de cette chaleur sous forme rayonnante.

La chaleur émise par m pendant un temps r quelconque, aura pour expression ml Yldt ; mais cette quantité absolue de chaleur restera

toujours inconnue; aucun phénomène ne pourrait la faire connaître, soit pour une partie ;w de A , soit pour ce corps entier : l'expérience et le calcul ne déterminent jamais que des différences entre les quantités de chaleur émises et absorbées par un corps pendant un même temps. Ainsi, lorsque toute la chaleur émise par A, pendant un certain temps, tombe sur une masse de glace, et est employée à en fondre une partie , la quantité de glace fondue est seulement la mesure de l'excès de la chaleur émanée de A sur celle qui est absorbée par ce corps pendant le même temps, et qui lui est envoyée par la glace fondante.

(g). C'est encore à raison du nombre extrêmement grand de molécules dont la partie m est formée, que nous pourrons supposer, comme nous l'avons dit plus haut, l'émission égale en tous sens autour de M, et la même que si cette partie m était isolée. Cela étant si nous décrivons du point M comme centre et d'uti rayon quelconque r, une surface sphérique, et si nous n'avons point égard à l'absoi-ption qui aura lieu autour de M, cette surface recevra en entier la chaleur Umdt émise par m, qui se partagera entie ses parties, proportionnellement à leur étendue. Dans cet ouvrage, le rapport de la circonférence au diamètre sera toujours représenté par

i6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

la lettre •tt ; la surface sphérique entière sera doue e'gale à Içrr^,

et la portion de Wmdt qui atteindra et traversera une partie s de

. . sUmdl

cette surlace , aura pour expression —-. — — .

Celte partie s pourra être aussi petite que l'on voudra; mais si elle est de grandeur insensible, il faudra toujours que ses dimensions répondent, comme celles de m, à des nombres extrêmement grands de molécules. Pour abréger, nous appellerons alors s ou généralement une semblable partie insensible d'une surface quelconque, un élémenl de cette surface. Si s et un élément w d'une autre surface ont un point commun 0 (fig. i"), que la normale ON à cette seconde surface et le rayon OM de la surface sphérique fassent un angle aigu 6, et que ces deux élémens s ei a soient compris dans un même cône ayant son sommet ùu point M, on aura sensiblement

&) cos

comme si ces élémens étaient infiniment petits, pourvu toutefois que les rayons de courbure des deux surfaces au point 0 ne soient pas de grandeur insensible, comme les dimensions de a) et de s. De plus, ce sera la même portion de chaleur émanée de m, qui traversera les deux élémens; par conséquent, la quantité de chaleur émise par m pendant l'instant dt, et qui atteindra, à la distance r, l'élément o) d'une surface quelconque, abstraction faite de l'absorption intermédiaire, s'exprimera généralement par

« cos 9

4'îT'

Umdt.

Ayant décrit deux surfaces sphériques et concentriques, qui ont pour rayons r et l'unité , si l'on représente par s et /^Tra les portions de ces surfaces, interceptées par un même cône qui a son sommet à leur centre commun , on aura

Ce rapport est une fonction indépendante de l'unité linéaire que l'on appellera Youverture du cône. S'il s'agit du cône extrêmement aigu, pirconscrit à l'élément oo, et qui a son sommet au point M, la fraction

«r aura une grandeur finie, mais insensible. On aura alors

a cos 6

et la quantité de chaleur précédente pourra s'exprimer par aUnuit, dans toute la longueur du cùne.

(10) Maintenant, si nous avons égard à l'absorption de la chaleur dans l'intérieur du corps A , celte portion de chaleur ^Uindt émanée de m pendant liustant dt , suivant une direction donnce, sera réduite, à la distance r de m, dans un rapport de p à l'unité, et deviendra pjUindt; le coclTicient p étant une fonction de /■ qu'il s'agira de déterminer et qui sera égale à l'unité pour rz= o.

Pour cela, du point M de ce corps, je décris deux surfaces sphériquesdont les rayons seront r et /■+ n. Soient^ et s' les élémens de ces surfaces, interceptés par le cône extrêmement aigu qui a son sommet au point M et a- pour ouverture ; nous aurons

Supposons que p devienne y?' quand ou y met r -}- « à la place de r; la fraction de la quantité de chaleur aUmdt qui tombe sur l'élément s étant pyUmdt, celle qui atteindra l'élément s' sera de même p'ijnindt , et conséquemment la chaleur absorbée en allant de j à / aura pour valeur (p —p') aUindt. Or, si nous supposons que » soit d'une grandeur insensible , mais qui réponde néanmoins, comme chacune des dimensions de i', à un nombre extrêmement grand de molécules , nous pourrons admettre que cette chaleur absorbée est proportionnelle à la chaleur incidente p7U.mdt sur l'élément s, à l'épaisseur n de la matière absorbante, et à sa densité, que nous représenterons par p'. Dans ces hypothèses, les plus simples et les plus naturelles que l'on puisse faire sur l'absorption de la chaleur, la portion de chaleur absorbée en allant de J à s', aura donc aussi pour expression le produit q' p'ripjUmdt , dans lequel a' est un coefficient qui pourra varier avec la matière absorbante et avec la température. En égalant cette seconde valeur à la première, et supprimant le facteur commun aUmdt , il en résultera

i8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

mais on a, par le théorème de Tayloi',

et quoique les coefficiens de cette série soient très divergens, puisque p est une fonction qui varie très rapidement avec r, on peut cependant prendre l'accroissement vi de r assez petit pour que la série soit toujours très convergente, et qu'il suffise de conserver son premier terme; ce qui changera l'équation précédente en celle-ci :

t=-,yp- (.)

Ce sera cette équation différentielle qu'il faudra intégrer pour obtenir la valeur demandée de p ; ou déterminera la constante arbitraire qui sera contenue dans l'intégrale, de manière qu'on ait/j = i quand i== o.

(il). Afin de rapporter toutes les quantités au point M du corps A que l'on considère, je désignerai par f et q ce que deviennent p' et q' en ce point , ou quand /■ = o. La quantité q sera alors la mesure du pouvoir absorbant de la matière de ni, à la température n; la quantité n est déjà la mesure de son poiu'oir émissif a. là même température, rapportée aussi à l'unité de masse. La densité de A qui répond au point M sera la quantité f> , c'est-à-dire que f exprimera , quelle que soit la distribution régulière ou irrégulière des molécules dont m se compose , la somme de ces molécules, ou la niasse m, divisée par le volume de cette même partie matérielle (*). Pour l'homogénéité des quantités, il faut observer que si l'on fait

s sera une ligne; ce qui résulte de ce qu'à la distance /• de )n, le produit de q'fi' et de la ligne >i devait être un nombre abstrait.

Si A est un corps homogène, de nature quelconque, solide, li-

(*) Traité de Mécanique , tome 1", page 176.

DE LA LHALEUR. 19

quide, aërifortue, et que sa température soit partout la rnûme , les quantile's q et p' seront constantes et égales à 9 et p ; ou aura

q^' = -, et l'on tirera de l'équation (i),

e étant la base des logarithmes népériens.

La portion de chaleur émanée de m, qui atteindra à chaque instant l'élément s perpendiculaire au rayon r, sera alors

sWmdl 7

Si donc la grandeur de cet élément est constante , il recevra la même quantité de chaleur à distance éi^ale de M , dans toutes les directions autour de ce point j et à distances inégales, cette quantité variei-a en raison inverse du carré de ;• et en raison directe de

l'exponentielle e ' . Le produit — ^e ' exprimera donc le décroisse-

ment d'intensité de la chaleur rayonnante, autour de chaque point M de A. Cette loi comprend le cas du vide , en supposant nulle la densité p, et faisant ê = oo ; ce qui donne, à cette limite, uiiC variation d'intensité en raison inverse du carré de la distance au point d'où la chaleur est partie. Dans l'air ou dans un gaz quelconque , le produit qt sera très petit , et la ligne s très grande , soit à raison de la densité p , soit à raison du pouvoir absorbant , ou de la quantité q , dont la valeur devrait être déterminée par l'expérience pour chaque gaz en particulier et pour chaque degré de température. Le décroissement d'intensité qui en résultera sera un peu plus rapide que dans le vide. L'observation a fait voir que la chaleur solaire traverse l'air avec plus de facilité que celle qui émane d'un corps non lumineux; par conséquent, toutes choses d'ailleurs égales, c'està-dire, pour la même densité et la même température de l'air, la valeur de € sera différente dans le cas de la chaleur solaire et dans celui de la chaleur obscure, et plus grande dans le premier cas que dans le second.

20 THÉORIE iMATHÉMATlQUE

Pour que le décroissement d'intensile, ou seulement l'absorption de la chaleur, soit très rapide dans les solides et dans les liquides, il faudra que ? y soit une ligne très petite; ce qui rendra aussi très petite la distance à laquelle le rayonnement intérieur sera sensible autour de chaque point. Mais il ne faut pas confondre cette distance avec le rayon d'activité des forces moléculaires, répulsives et attractives, provenant du calorique propre à chaque molécule et de sa matière pondérable; les fonctions inconnues qui expriment les lois de leuj's intensités à difle'rentes dislances, décroissent sans doute plus rapidement qu'une exponentielle : on suppose leur rayon d'activité tout-à-fait insensible, tandis que l'étendue du rayonnement intérieur est seulement très petite, et a quelquefois une influence sur les phénomènes, qui la rend sensible et mesurable, ainsi qu'on le verra par la suite.

(12). Lorsque la température variera d'un point à un autre de A, et sa matière, si ce corps est hétérogène, le produit q'p' sera ime fonction de /■ qui ne nous est pas donnée, de sorte que l'on ne pourra plus tirer de léquation (i) la valeur de p ; mais on pourra toujours vérifier que la quantité do chaleur aUmdt, émanée de m, et qui se propage, suivant chaque direction, dans un cône dont o" est l'ouverture, sera entièrement absorbée à la distance de m où s'étend le rayonnement intérieur. En effet, la portion de cette chaleur absorbée par la tranche normale et extrêmement mince du cône, située à la distance r de m, et qui a n pour épaisseur, est q'ç,'Yp7Ï\indt; la totalité de la chaleur absorbée dans une longueur quelconque /de ce cône, sera donc égale au produit de pjYlindt et de la somme des valeurs de q'ç^'v] relatives à toutes les tranches de cette partie du cône ; laquelle somme

pourra être remplacée par l'intégrale j q'p'pdr, si la longueur l est

comptée à partir du sommet. Or, en vertu de l'équation (i), et en observant que l'on a p = \ quand /■ = o , cette intégrale a pour valeur i — A , en désignant par A la valeur de p qui répond à r = l. Si donc / est l'étendue sensible du rayonnement intérieur, et que l'on ait, en conséquence, A = o, la chaleur absorbée dans cette longueur totale / sera égale à toute la chaleur émise ffïlmdt ; ce qu'il s'agissait de vérifier.

On peut aussi démontrer que la clialeur absorbée par toutes les tranches d'une partie quelconque du cône que nous considérons , est indépendante de Tordre dans lequel elles se succèdent; l'absorption étant toujours supposée, pour chaque tranche, proportionnelle à la quantité de chaleur incidente. En effet, soit n le nombre de ces tranches normales; appelons <zïr la quantité de chaleur émanée de m, en un temps domié, qui tombe sur la tranche la plus voisine de cette partie de A , et désignons par (srA, la portion de ^ur qui sera absorbée par cette première tranche : la chaleur incidente sur la seconde sera réduite à 'Ztr(i — A,). En désignant par k^ ce que ^, devient relativement à celle-ci, la chaleur qu'elle absorbe, et par suite la chaleur incidente sur la troisième tranche, auront pour valeurs '2sr(i — A',) Xa et 'Zîr(i — A,)(i — AJ. En continuant ainsi, et désignant par A3, A4,... A„, ce que devient A, relativement à la troisième, à la quatrième,... à la n""" tranche, la quantité de chaleur qui sortira de cette dernière aura pour expression

^(i — A,) (■ — AO (1 - A3) (i — K);

en sorte que la chaleur sera diminuée par l'absorption à travers ces n tranches successives , dans le rapport du produit des n facteurs

I — A,, I — A„, 1 — A3, I — A„, à l'unité. Or, dans l'hypothèse que

l'on vient de rappeler, chacune des fractions A,, A,,, A3,.... A,, est indépendante de toutes les autres , aussi bien que de la quantité fur : la diminution totale de chaleur sera donc aussi indépendante de l'ordre des n tranches, dont le changement ne ferait qu'intervertir l'ordre des facteurs précèdent, sans en changer les valeurs.

Ct5). 11 suit de là que dans l'échange de chaleur entre deux parties m et m' de A, si la chaleur envoyée par m à ?«' est diminuée par l'absorption intermédiaire, dans le rapport de p à l'unité, la chaleur envoyée par vi' à m sera aussi diminuée dans le même rapport.

Dans le .cône dont le sommet est M et l'ouverture c, je prends pour la partie m' la tranche normale et extrêmement mince , située à la distance r de ce sommet , et qui a » pour épaisseur. La

section du cône étant s à cette distance, le volume de cette tranche sera à très peu près ht; et si l'on représente toujours par f sa densité, on aura /«' = f'rs. La quantité de chaleur émanée de m pendant l'instant dt , et absorbée par cette même tranche iiï , qui a

pour expression ^J ^ \ Umdt , d'après ce qui précède , deviendra donc

pq mm

Udt.

Réciproquement, la quantité de chaleur émanée de m', et absorbée par m , sera

pqm i

Wdt,

en désignant par Yl'ni'dt la quantité de chaleur émise en tous sens par ??i' pendant l'instant dt, et q étant, comme plus haut, la mesure du pouvoir absoi'bant de m. Par conséquent, si l'on représente par (^ la diminution de chaleur de m provenant de l'échange entre m et m' , on aura , en retranchant la dernière quantité de la précédente ,

Quelles que soient les matières des parties m et m' , de grandeur insensible, si leurs températures sont égales, il faudra que J soit zéro, afin que cette égalité ne soit point troublée, de même qu'elle ne l'est pas entre des corps de grandeur quelconque (n" 6). Il faudra donc qu'on ait, dans ce cas,

q'U = ryn',

c'est-à-dire qu'à égalité de température les quantités de chaleur II et n', qui mesurent les pouvoirs émissifs de m et m', rapportées à l'unité de masse, doivent être entre elles comme les quantités q et q' , qui mesurent leurs pouvoirs absorbans. II en résulte aussi que, pour chaque partie matéritUe, le rapport de l'une de ces mesvn-es à l'autre est indépendant de la matière et de la densité ; en

sorte que pour la partie m on aura

Vu étant une fonction de la température ii , qui sera toujours la même , quel que soit le corps A , solide , liquide ou gazeux , au quel m appartient. Nous donnerons dans le chapitre suivant la forme de cette fonction, déduite de l'observation.

24 THÉORIE MATilÉMAÏlQUE