I 4" “Ç = T. TT
c' y — bcx
Par une seconde intégration , et en désignant par c” la constante arbitraire, nous aurons
cz = \o§ 2 r
ou, ce qui est la même chose,
bx — - c — \/ b'^x* — bcx m ce ‘ •
e étant, à l’ordinaire, la base des logarithmes népériens. De cette équation, on déduit
bx — - c -f- ]/ b‘x* — bcx = 7^ e ; 2 4^
et, en faisant é' = - ces deux dernières équations donnent
ibx '
— ica: = ^ e — > c, ^'^0'
d'où l’on tire encore
bx — c
bx
Au moyen de ces diverses valeurs, des équations (3) et (4), et de x nous aurons
a*y'bc/ I “â*’''' /-
ce qui fera connaître les valeurs de /, p, qu’il s’agissait d’obtenir, après , toutefois , qu’on aura déterminé les trois constantes arbi-
jy
traires c, c\ Cj. En vertu de l’équation (3), et en faisant ^ aura aussi
pour la vitesse A à la hauteur z, du décroissement de la température, à mesure que l’on s’élève dans l’atmosphère. Comme on doit avoir /? = o, à sa limite, on aura de plus
pour déterminer la longueur l de la colonne d’air que nous considérons. Enfin , si l’on appelle ^ la densité de l’air correspondante à z = Z, on aura, d’après la première équation (5),
Pour obtenir les valeurs de c , c\ je fais dans les deux dernières équations (5J,
y, P ~ gmh = ûttbmh ;
ô et A étant, comme on l’a dit plus haut, la température et la hauteur barométrique, qui ont lieu à la surface de la Terre, et qu’on suppose données. Il vient
en prenant la densité m du mercure pour unité. Je suppose aussi donnée la valeur de A qui répond à z = o; en la désignant par et faisant
Z = O, X z= fc,
dans l’équation (6), on a
De ces expressions de 7^, A, fe, on déduit sans difficulté.
yb-^ \/b — ft
pour les valeurs demandées de c, c\ c^. Ces quantités constantes par rapport à Z, varieront, comme on voit, avec les données y, h, qui ont lieu à la surface de la Terre , et qui serviront à les calculer.
Si l’on prend pour le rapport^, égal à èa, la moyenne de ses valeurs
relatives à l’extrême sécheresse et à l’extrême humidité de l’air (*), et si l’on prend aussi le mètre pour unité de longueur, on aura
Dans l’expérience aérostatique de M. Gay-Lussac, la température à la surface de la terre et à la hauteur de , ont été simultanément
et 8“,5o; on peut prendre pour la valeur de p., l’excès de la première température, sur la seconde, divisé par ce nombre de mètres; ce qui donne
On avait, en même temps.
En substituant ces valeurs numériques dans les formules précédentes, on trouve pour c une très petite fraction , et ensuite
c'= o,oooio5, = 0,04228.
La valeur de l qui se déduit de celles-ci serait
l’atmosphère se terminerait donc h une hauteur d’environ 3oooo mètres; et sans doute, elle s’étend beaucoup plus loin. Mais on ne doit pas perdre de vue qu’il ne s’agit, dans cette note, que d’un simple exemple de calcul, et que, vraisemblablement, les hypothèses que nous avons faites pour le faciliter, ne sont pas conformes à la nature.
D’après la valeur générale de c , ‘celle de «T devient
(i) Traité de Mécanique, tome II, page 628.
et au moyen des données précédentes, on trouve
en sorte que, dans ces hypothèses, la densite.de Tair à la limite de l’atmosphère où ce fluide est liquéfié par le froid. surf)asserait encore le tiers d’un dix-millième de la densité du mercure, ou le tiers dt la densité de l’air à la surface de la terre; ce qui suffirait pour ne pas les' admettre. Elles consistent à supposer nuis le rayonnement et le pouvoir absorbant des molécules d’air; à regarder la conductibilité calorifique de ce fluide, comme indépendante de la température et proportionnelle au carré de la densité; et à étendre la formule (3), donnée par l’expérience , à toutes les densités et aux plus basses températures. En partant d’autres suppositions, on parviendrait, mais par un calcul plus compliqué, à des expressions dep, différentes des formules (5J; et l’on en pourrait déduire des valeurs de cT et Z, plus vraisemblables que celles que nous avons obtenues , c’està-dire une valeur plus petite pour cT et plus grande pour Z.
M. Gay-Lussaca remarqué que la température décroît moins rapidement à mesure que l’on s’élève dans l’atmosphère; résultat qui s’accorderait avec la formule (6), dont la différentielle est négative, à cause de < i, depuis Z = O jusqu’à la limite z = Z, où l’on a ^ = o.
Addition à la note B.
M. Élie de Beaumont, qui m’avait indiqué la température de trois ou quatre mille degrés, comme ayant dû avoir lieu à une époque très ancienne, d’après les doctrines géologiques qu’il professe, a ensuite ajouté qu’il fallait que la température du globe à une grande profondeur, fût aussi très élevée à l’époque actuelle. Or, au moyen des variations de la chaleur de l’espace sur la route de notre système planétaire, on pourra aisément satisfaire à cette nouvelle condition , d’iine infinité de manières différentes, et, par exemple, en prenant pourytt, dans l’expression de la température extérieure ^ que nous avons considérée à la page 33 de la note B,. une quantité périodique qui variera avec une extrême lenteur.
Faisons , en effet,
u= n cos b n sm — ;
n et n' désignant des températures constantes et très élevées; «un nombre impair; y un intervalle de temps extrêmement long, qui comprendra, s’il est nécessaire , des millions d’années; et le temps L étant compté à partir d’une époque, telle que Tondait aujourd’hui tz=.y^ ce qui rendra nulle la température jtc à l’époque actuelle. D’après la formule (4) de la page 43 1 de mon ouvrage, la température u de la Terre à la profondeur et relative aussi 2l tz=zy^ aura 'pour expression
Si l’on prend n' = —
et que l’on néglige les termes qui ont y pour y i
diviseur, on aura u — o
et
du <11
^ = O , pour JC = o; en sorte que près de la
surface, l’accroissement de température dans le sens de la profondeur, sera zéro; et celui que l’on observe devra être attribué à une inégalité de la chaleur de l’espace, différente de /z, et, si l’on veut, à celle que nous avons considérée dans la note B. Mais il n’en sera plus de même , dès que
la fraction = ne sera plus très petite : la température u croîtra jusqu’à
aVv
une certaine limite; si l’on suppose que i soit un nombre considérable, la première partie de la formule précédente, sera la partie principale de u] en appelant h la profondeur à laquelle cette partie atteint son maximum, et supposant que b ne soit pas une très petite fraction, de manière qu’on
puisse négliger ^ par rapport à on aura
hW ic I
sin -==cos
lay y lay y y 7.
d’où l’on tire
^ — - a 'ïïy,
et si l’on représente par H la valeur correspondante de m , et que 1 on prenne, pour fixer les idées, i= a5, il en résultera, à très peu près.
Cela posé, le mètre et l’année étant les unités de longueur et de temps.
si nous prenons
nous aurons
de sorte qu’en prenant aussi n = 6000®, la température de la Terre s élèverait à environ 1900 degrés, à la profondeur d’à peu près 44^00 mètres.^ Aune profondeur décuple de celle-là , ou à peu près égale au i5* du rayon
de la Terre, la valeur de u se réduirait à environ 2“. Pour =p, ou à peu près 1000 mètres, on aurait
ir 5T
• -la^ y
ce qui donne
Par conséquent, l’accroissement de température relatif à cette valeur dex, que' l’on trouve, dans la note B, égal à 32», devrait être augmenté de 7% et deviendrait à peu près le même que si l accroissement uniforme de o ,0877 par mètre, que l’on observe à de moindres distances de la surface, subsistait jusqu’à cette profondeur de looo mètres.
Il est sans doute inutile de répéter que cet exemple, aussi bien que celui de la note B, ont été choisis pour la commodité du calcul, et qu’on ne suppose aucunement que les lois de variation de la température de l’espace, auxquelles ils répondent, aient réellement lieu dans la nature. En général, en choisissant ces lois arbitrairement, c’est un problème indéterminé de satisfaire à des conditions données, telles qu’une température très élevée de la couche extérieure du globe , à une époque très ancienne ;
une température de l’espace, au lieu où la Terre se trouve actuellement, a peu près égale à zéro ; un accroissement très lent et donné de la température de la Terre près de sa surface; enfin, à une profondeur considérable, une température fort élevée, mais qui diminue ensuite pour devenir constante et d’une grandeur ordinaire, à une distance de la surface moindre, par exemple, que le ïo' du rayon.
Remarques sur la température désignée par h à la page 4 du mémoire.
A 1 équateur, la valeur de h se déduira difficilement, avec quelque précision, de 1 équation (a3) qui se trouve à la page'497 tnon ouvrage, parce qu’en ce lieu, le premier membre de cette équation et le coefficient de ù dans son second nombre, sont de .très petites fractions. Je ne vois guère que la quantité de chaleur solaire qui tombe annuellement sur chaque mètre carré, évaluée par des expériences directes, dont on puisse se servir pour déterminer la température /^, à l’équateur et à de petites latitudes. Cette quantité de chaleur étant plus grande sous l’équateur qu’à notre latitude, il en sera de même à l’égard de A, et, à plus forte raison, à l’égard du produit Qh qui exprime le nombre de degre's dont la chaleur solaire augmente la température moyenne du sol, en supposant, toutefois que la nature du sol et l’état de sa superficie , Vest-à-dire, les quantités ù, c, qui s’y rapportent, ne diffèrent pas dans les deux localités dont il s’agit.
L égalité des deux valeurs de A, calculées à la page 5o3 de mon ouvrage, était une conséquence de la manière dont j’ai déterminé la valeur de æ, et ne devait pas être remarquée, comme je l’ai fait par mégarde. C’est le peu de différence entre les valeurs de H, calculées à la page suivante, et les valeurs observées de cette dernière quantité, qui fournit une vérification des valeurs de ù, A, et particuliérement de celle de ù, sur laquelle il pouvait
rester quelque doute, à cause de l’incertitude dans les époques des maximaet minima de température, qu’on a employées pour la déterminer.
