c dr

- (2nl aiy (2nl — a/)*

y— ü L ay 'xt

(2nl ■+■ ar')‘

C' e dr\

La différence i — (t étant une très petite fraction, je mets dans cette formule, pour la simplifier, l’unité au lieu de a; je fais, en outre,

l ' ’ / dr

"ia\/ 1

— dz\

et à cause de

on en déduit

I /— /'oo

e ^ dz — - Y^ 7T — f e ^ dz, 0 2 J m

A — C r°° e dz q- ^ 2e -'"’C"*" “ f”' +

la première, comme la seconde somme 2, s’étendant toujours depuis

72 Z= 1 jusqu’à 72 = CO .

On a évidemment

par conséquent, la valeur de A — C est une quantité positive ou zéro; de sorte que la température centrale ne peut jamais excéder la température initiale A, commune à tous les points du globe. Elle lui est égale, comme cela doit être , quand i = o ; car alors on a /t2 = 00 ; ce qui rend nulles sé-

parement les trois parties de l’expression de A — C. Pour t = co , elle se réduit à zéro , c’est-à-dire qu’elle devient égale à la température extérieure • car on a alors m = u; ce qui fait évanouir les deux dernières parties

de A — C, et rend la première égale à A , à cause de la valeur - \ Ç de

e dz. Pour toute autre valeur de on a

A-C< ^ e-"’ dz + )V

ou si l’on veut

y ■prJ m

ou observant qu’on a évidemment

et que le rapport de e“ à i — est la valeur de cet I e dernière som me 2 . Or, cette limite de A — C montre que ce n’est qu’au bout d’un temps excessivement long que C peut commencer à différer sensiblement de A • pour que A — C soit une très petite fraction de A, il n’est pas nécessaiie que a\/t soit encore une petite partie de /, ou que m soit un grand nombre; il suffit, par exemple, que m soit égal à quatre ou cinq, pour que la limite précédente de A — C soit inférieure à un millionième de A - et si l’on observe que le rayon l est de plus de six millions de mètres, et que l’on prenne a = 5, il faudra que t surpasse mille millions de siècles pour qu’on ait m = 5. Ainsi, après un aussi long intervalle de temps écoulé depuis l’état initial du globe, son centre n’aurait pas encore perdu' un millionième de sa chaleur d’origine.

Considérons actuellement la température d’un point M assez éloi«>nédu centre, ou tel qu’en désignant par x sa distance à la surface, l— ^ ne soit pas une petite partie du rayon L Supposons toujours la terapéra'ture initiale du globe , la même en tous ses points, et égale à A. En faisant

Fr = A, r = l — X, r = I — x' , dr' = dx‘ , et d’après les valeurs de 6, f , f', celle de u deviendra

2 (/ — x,a\/ 7tI

JX

^ (Z — x)dx'

2 (/ — x) a \/ -TT t

P 1 1— (ml + ax — tfx')’ (2nl+ml — ax — ax')^~~l

J oLe -e~ J (Z - x')dx'

(2nl — ax + ax')* 4a*«’t

(q/iZ — 2ai+ax+ax' ~|

J(Z-x')^Zx'.

Tant que la distance l — x du point M au centre de la Terre, sera un certain multiple, comme cinq ou six, par exemple, àeiasjt, on pourra négliger, dans cette formule , les exponentielles dont l’exposant est au-

dessus de > pour toutes les valeurs de x'. Cela étant, il suffira de

conserver la première exponentielle, et la dernière dans le cas seulement

1 11 -t- bux 4- bax'y ,

de U = I , pour lequel son exposant est ~^b^J'a‘t ’ ^ cause de

a = I — ; nous aurons donc simplement

JX

(2-t- aJx + a.hx')‘

2 (Z x)a^ TT t

ou, ce qui est la même chose.

^ (Z — x')dx\

(I — x)> x’ (2 + aéx)* (2 4- ai/ 4- aJx)« *1

•xkay l 1 4a=« 4a’ < , 4a’6’a*r

ia \/ 7tI

dx'-

+ aZ> (Z 4- x) I

ab (Z — x) X °

^ (“i-l- abx + abx'y

Ux'‘b^a'*t , e ^ dx

On pourra encore négliger la première et la dernière exponentielle en dehors des signes f ; celles qui sont renfermées sous les signes f , ayant aussi des valeurs négligeables, par hypothèse, à la limite x' — l ^ et pour x' > /, il sera permis, en outre, d'étendre ces deux intégrales jusqu’à x' = CO ; et de cette manière, on aura

2ka{/ 1 (Z — x)y/ ■!r

I/tt/ «y O

(2 4- cthxy

tb (Z — 2T)

00 (2 fitix')*

pendant tout le temps que la distance du point M à la surface est au moins quatre ou cinq fois plus grande que

Afin de simplifier encore cette expression de m, je fais, dans la première intégrale ,

X — X dx' J ^ i

Tav^t~ '

et, dans la seconde,

2 “f* -f- •‘■bx' dx' ^ 2 -|“ “è j: ^

2ctba\/ 1 * 2a \/ 1 * 2o.ba\/ 1

les limites relatives à et à z seront / — /{ et = oo , z = A- et z == cc ;

et comme on a

/’oo 1 /'h /*oo I /'A

il en résultera

2ka\/ 1 ( A(i+«èx)

^ <cb(i-x)

Lorsque ^ est infiniment petit, on a Æ = co et A' = oo ; ce qui réduit cette valeur u ku = comme cela doit être. Mais à l’époque actuelle , ces quantités h et k sont de très petites fractions près de la surface du globe, et ne peuvent cesser de l’être qu’à de très grandes profondeurs.

Je suppose d’abord que x soit une petite partie du rayon; ce qui comprend toutes les profondeurs accessibles et au-delà. En négligeant les puissances de h et k supérieures au carré, on aura

et si l’on remet pour h, k, a, leurs valeurs, et que l’on néglige ensuite les termes qui ont /* pour diviseur, on trouve

A ( I b.t) A ( I -P bx) 2A ( I -f- èx 4* è“x®)

ba y/ Trt b'‘la \/ vrt

quantité de même signe que A, dans l’hypothèse que l’on a faite, de l cinq à six fois aussi grand que 2a\/t, et, conséquemment, plus grand que a \^t ;

qui se réduirait à son |3remier terme, si le rayon l était infini ; et qui coin • ciderait, à celte limite, avec la valeur de u que j’ai trouvée d’une tout autre manière, à la page 827 de mon ouvrage. On vérifie aussi que les valeurs de u

di l’o'pondent a r=o, satisfont à la condition ^ qui doit tou-

jours avoir lieu à la surface.

Si l’on prend a = 5 et ^ = i , et si l’on suppose, qu’à l’origine, la température de la masse entière du globe s’élevait à 3ooo degrés, il faudra qu’il se soit écoulé, à très peu près un million de siècles depuis l’époque de cet état initial, pour que la température de la surfàce provenant de la chaleur d’origine, soit réduite actuellement à un 3o* de degré, et qu’elle s’accroisse d un 3o de degré par chaque mètre d’augmentation de distance à la superficie. 1! faudrait également qu’il s’écoulât encore trois millions de siècles, pour que ces petites fractions de degré se réduisissent à moitié, et ce

ne sera que quand sera devenu un multiple de Z, qu’elles pourront s’évanouir entièrement.

L’uniformité d’accroissement de chaleur dans le sens de la profondeur, aura lieu à toutes les distances accessibles : à la profondeur de i5oo mètres, par exemple, cet accroissement, pour chaque mètre, ne serait pas aug<raentéd’un millième de sa valeur à lasurfacej mais à de plus grandes distances, la température deviendrait sensiblement constante, et égale, comme au centre même, à la température initiale A.

En effet, lorsque oc est une partie considérable du rayon l, les quantités h et k sont sensiblement égales, et l’on a, à très peu près.

aAZ r'^ .

djr

or, il suffit que ^ soit , par exemple, égal à trois ou quatre, pour que cette intégrale diffère très peu de sa valeur relative à A=oo

et, en conséquence, pour que u diffère aussi très peu de A. En supposant t égal à un million de siècles, et Jc égal au ao' du rayon /; et faisant toujours a= 5, on aurait à très peu près k = 3, et la valeur de u différerait à peine de celle de A, d’un millionième de celle-ci - de sorte qu’on aurait à très peu près A — w=o“,oo3, si A avait été de 3ooo degrés.. Si l’on prend les mêmes valeurs de a et de t, et qu’on fasse I = 63645oo™, et X = on aura

et, par conséquent ,

en supposant toujours 'la température A égale à 3ooo degrés : pour ces données, l’accroissernent de température près de la surface étant d’un 3o' de degré par mètre; s’il était uniforme jusqu’à la profondeur de 63645 mètres, la valeur de «serait de2i2i%5, c’est-à-dire plus grande de i36*,8,que celle que nous trouvons.

Quoique je croie avoir démontré, dans le mémoire, que la chaleur développée par la solidification de la Terre a dû se dissiper pendant la durée du phénomène, et que, depuis long-temps, il n’en subsiste plus aucune trace; il était bon, néanmoins, de déterminer, d’une manière complète, les lois du refroidissement qui auraient eu lieu, si le globe, devenu solide, avait eu dans toute sa masse une température très élevée. Ces lois sont, comme on voit, très différentes, selon que l’on suppose le produit l’époque actuelle, notablement plus petit, ou nota-

blement plus grand que le rayon /; elles n’avaient pas encore été déterminées dans la première hypothèse, et c’est à la seconde que se rapportent toutes les citations du mémoire.

Au commencement de cette note, j’ai supposé que la température intérieure ne variait, ni avec le temps/, ni d’un point à un autre de la surface du globe. Si elle est seulement indépendante de/, mais qu’elle soit différente pour les différents points de cette surface , et donnée en fonction de leurs coordonnées, il faudra ajouter à la température u d’un point quelconque M de la masse, une partie u\ aussi indépendante de / et fonction des trois coordonnées de M. A la surface, u! coïncidera avec la température extérieure, correspondante à ce point; à une profondeur X, très petite par rapport au rayon /, la valeur de u' différera aussi très peu de celle qui aura lieu à l’extrémité du rayon passant par le point M; et sur un même rayon du globe, «' ne commencera à varier, d’une manière sensible, que quand la distance r du point M au centre différera sensiblement de 1. Au centre même, ou pour r=o j’ai démontré, à la page 383 de mon ouvrage, que la température u' est la moyenne de ses valeurs relatives à tous les points de la superficie. Ce théorème est indépendant de la grandeur du rayon /; il a également lieu pour la Terre et pour une sphère d’un rayon quelconque : il n’y aura de différence qne dans le temps, plus ou moins long, qui devra s’écouler pour que la température centrale parvienne à une grandeur

permanente; lequel temps comprendra, dans le cas de la Terre, un nombre de siècles excessivement grand, et sera très court, au contraire, dans le cas d’une sphère d’un fort petit rayon , comme la boule d’un thermomètre, par exemple. La règle qui a été suivie, à la page a3 du mémoire, pour déterminer une limite inférieure à la température de l’espace au lieu où la Terre se trouve actuellement, est fondée sur ce théorème, ainsi que je vais l’expliquer.

Soit ds l’élément différentiel de la surface du globe, correspondante à un point quelconque P. Par ce point, menons un plan tangent à cette surface et indéfiniment prolongé ; appelons ^ la température qu’il faudrait supposer à tous les points de l’enceinte stellaire, pour que la partie située au-dessus de ce plan , envoyât à chaque instant , à l’élément ds^ la quantité de chaleur rayonnante qu’il en reçoit effectivement : si l’on suppose nulle l’absorption de cette chaleur dans l’atmosphère, et abstraction faite de la chaleur solaire qui parvient à l’élément ds, ainsi que de l’échange de chaleur rayonnante qui a lieu, à] travers ds, entre la Terre et l’atmosphère; Ç exprimera la température extérieure relative au point P. Je désigne par y la moyenne des valeurs de cette quantité , qui correspondent à tous les points de la surface du globe; d’où il résultera

en étendant l’intégrale à cette surface entière.

Maintenant, imaginons que la matière du globe, aussi bien que l’atmosphère, soit rendue complètement perméable à la chaleur rayonnante; plaçons un thermomètre à son centre; et concevons un cône infiniment aigu, qui ait son sommet en ce point, et soit circonscrit à l’élément ds. Soit ds' l’élément qui sera intercepté par ce cône , sur la surface du thermomètre, sphérique et concentrique à celle du globe; de sorte que /' étant le demi-diamètre de la boule du thermomètre, on ait

et que les deux éléments ds et ds' se trouvent situés du même côté par rapport au centre commun des deux surfaces. Désignons encore par la température provenant de la chaleur stellaire, incidente à chaque instant sur ds' , ou, autrement dit, soit Ç', à l’égard de cet élément, ce que ( représente relativement à ds. Si nous appelons, enfin, y' la moyenne des

T ds', e, q..e„o„s étendions

Cela posé, en vertu du théorème qu’on vient de rappeler v et >’ sont

’ln,:Z :r^T fa%er;e"e: celu- d:

. trument; celm-ci apres un petit intervalle de temps , et l’autre après un

S '=• «îépiace pas

l’esuac! „ ’ ““ '■*"“* supposant que la chaleur de

deîa chai ""T r «‘■ai'leui’s, -le la définition même

tellaire P“‘"‘ par le rayonnement

ste a re, que cette température, au point que le centre de la Terre occupe

actuellement, n est autre chose que/; c’est donc la valeur de cette quantité > qu d s agit de déterminer, ou plutôt, une limite à laquelle elle soit supérieure. r, I aat aisé de voir que l’on a, sans erreur sensible, car

ces deux quantités f et f' ne peuvent différer l’une de l’autre, qu’é raison delà chaleur rayonnante, émanée de la zone stellaire qui se trouve comprise entre les plans tangents à ds et et ces deux plans étant parallèles on peu. évidemment négliger cette zone, par rapport à toute la^artie clé I enceinte stellaire, située d’un même côté de l’un ou l’autre de ces plans

Toutefois, cela suppose que la chaleur stellaire n’éprouve aucune diminution en traversant l’atmosphère; ce qui rend la quantité f comprise dans cette integrale, moindre que celle qu’il y faudrait employer De P us, cette meme quantité f est aussi plus petite , comme on l’a expliqué HaHs le mémoire, que celle qui a été désignée par p à la page qu on peut déterminer par des observations faites à la surface du globe.

ar cette double raison, si l’on appelle 6 la température de l’espace au lieu ou la Terre se trouve actuellement, de sorte que € = /, on aura

ce qu il s agissait de démontrer.

Note D.

Afin de montrer, avec plus de précision , comment l’atmosphère se termine par la perte totale de son ressort, due au degré de froid de sa couche supérieure, je vais développer, dans cette note, le calcul de la densité et de la température des couches atmosphériques, tel qu’il a été indiqué à la page i8 du Mémoire, c’est-à-dire, en ne tenant pas compte de l’absorption que la chaleur rayonnante peut éprouver en traversant le fluide, non plus que du rayonnement de ses molécules, et supposant que la chaleur s’y propage de proche en proche , par la communication directe.

Considérons une colonne d’air en repos, verticale et cylindrique, qui s’appuie à la surface de la Terre, et se termine à la limite supérieure de l’atmosphère. Partageons ce fluide en tranches horizontales d’une épaisseur insensible, mais plus grande, néanmoins, que le rayon d’activité des forces moléculaires. Appelons Z la tranche dont la base supérieure se trouve à une distance quelconque z de la surface du globe. Soit » l’épaisseur de cette tranche, de sorte que sa base inférieure réponde à la distance z — /. Désignons par p la densité du fluide dont elle se compose, et par sa pesanteur; en prenant pour unité de surface, l’aire d’une section horizontale de la colonne d’air, tup sera la masse de Z, et n f>(p son poids. Soit aussi p la pression qui s’exerce, dans le sens de la pesanteur, sur sa base supérieure, et qui provient du poids des tranches situées au-dessus de Z. Cette inconnue P sera une fonction de z, décroissante quand z augmentera, ou,

autrement dit, ^ sera une quantité négative. La pression qui aura lieu

sur la base supérieure de la tranche située immédiatement au-dessous de Z, se déduira de /?, en y mettant z — n au lieu de z; en négligeant le carré

de y}, elle aura donc p — ^ pour valeur : elle réagira en sens contraire

sur la tranche Z, qui se trouvera ainsi poussée de bas en haut par l’excès

de p — ^ n sur p. Pour que Z demeure en repos, il faudra donc que cet

excès de pression ^ >», soit égal au poids Hf(p; d’où l’on conclut

pour l’équation d’équilibre de l’atmosphère. A sa limite supérieure, la pression P n’existe pas; si donc on appelle l la longueur de la colonne d’air, on aura, en même temps,

A la limite inférieure , la pression p sera le poids total de la colonne fluide; en le désignant par <sr, sa valeur sera

et l’on aura , à la fois ,

Z = O, p — fsr.

On pourra aussi exprimer <3r au moyen de la hauteur du baromètre, observée à la surface de la Terre. En la représentant par h, par g la pesanteur à cette surface, par m la densité du mercure, et observant que ce poids doit faire équilibre à celui de la colonne barométrique, on aura

(Zir = mgh.

Soit f\a force élastique du fluide de Z. Pour la déduire, s’il est possible, des forces moléculaires qui la produisent, je partage la base supérieure de Z en éléments dont les dimensions soient insensibles, eu égard même au rayon d’activité de ces forces. Sur chacun de ces éléments, j’élève un cylindre vertical, compris dans le fluide supérieur à Z. Soient G l’un de ces cylindres et co l’élément qui en est la base. Je décompose le volume de G en tranches horizontales, dont l’épaisseur soit aussi insensible par rapport au rayon d’activité moléculaire. Je décompose également le volume de Z, en éléments du même ordre de petitesse que ceux de G. Appelons Met pdeux éléments quelconques ; le premier de C , et le second de Z. Les fluides contenus dans M et exerceront l’un sur l’autre, des répulsions et des attractions provenant de leur calorique et de leur matière pondérable, et dirigées suivant une droite menée de l’un de ces éléments à l’autre. J’appelle Rwe l’excès de la répulsion du fluide de v sur celui de u; en sorte que R soit une force rapportée aux unités de volume pour les deux fluides , et qui aura une valeur positive ou négative, selon que la répulsion sera plus grande ou plus petite que l’attraction. En désignant par 4/ l’angle que fait la verticale passant par u et dirigée dans le sens de la pesanteur, avec la droite menée de « à la composante de Rmp, verticale et dirigée de bas en haut, sera égale à Rwecos-vj/. Or, si l’on exclut le cas où G est situé à

une distance insensible des parois latérales de la colonne d’air, l’action totale du fluide de Z sur celui de G, se réduira à une force verticale; car il est évident que tout sera symétrique autour de G, et que toutes les forces horizontales se détruiront deux à deux. Gette force verticale sera la somme des valeurs de Rwpcos étendue à tous les éléments m et p de G et de Z; elle aura la même valeur pour chacun des cylindres G dont la distance aux parois delà colonne d’air surpasse le rayon des forces moléculaires; en multipliant cette valeur par le nombre total de ces cylindres, et négligeant les autres dont le volume total est insensible, on aura donc la répulsion du fluide de Z, sur tout le fluide de la colonne d’air, supérieur à cette tranche. Ge sera l’expression de la force élastique à la distance z de la surface du globe. L’aire delà base de Z ayant été prise pour unité,

^ sera le nombre de cylindres par lequel il faudra multiplier Rmpcos-^P

pour obtenir cette valeur de f ; si donc on désigne par g l’épaisseur de la tranche m de G , de sorte qu’on ait u = coi , il en résultera

2R(^é cos 4;

2 indiquant une somme qui devra s’étendre à tous les éléments de la longueur de G , et à tous ceux du volume de Z.

Pour que le fluide de Z ne se condense ni ne se dilate, il faudra que cette force f soit égale et contraire à la pression p : si f était moindre que p, le fluide se condenserait; il se dilaterait dans le cas contraire; et la pression p n’existant pas à la limite supérieure de l’atmosphère, la force élastique doit aussi y être nulle; ce qui ne peut avoir lieu que par un abaissement convenable de la température de l’air à cette limite, ainsi qu’on l’a expliqué dans le Mémoire.

Nous ignorons suivant quelle loi la force R varie avec la distance de u à nous savons seulement que cette force décroît très rapidement, et qu’elle s’évanouit dès qu on donne à cette distance une grandeur sensible. Dans l’étendue de sa sphère d’activité, cette force peut passer du positif au négatif, pourvu que la somme 2, comprise dans la valeur dey, soit toujours une quantité positive, afin que la force y s’exerce de bas en haut, et puisse faire équilibre à la pression p. Nous ne savons pas non plus comment la valeur de la somme 2 varie avec la densité et la température du fluide (’^); et la valeur de f ne pouvant donc pas être calculée à (*)

(*) Voyez sur ce point le n° 3g de mon Mémoire sur les équations 'générales de Vé-

priori^ pour l’égaler ensuite à la pression c’est à l'expérience que nous sommes obligés de recourir pour obtenir l’expression de'p en fonction de la température de l’air et de sa densité, à la hauteur z au-dessus de la surface du globe, qu’il faudra substituer dans l’équation (i).

Or, la densité ayant été désignée par f, soit aussi Ç la température ; d’après les lois de Mariotte et de la dilatation des gaz par la chaleur, nous aurons, comme on sait,

p — af (i q- O; (3)

«étant le rapport de la pression à la densité, quand la température est zéro, qui dépend de la nature du fluide et de la proportion de vapeur d’eau qui s’y trouve; et a désignant le coefficient de la dilatation, dont la valeur est

a = o,oo3y5 ,

pour tous les gaz, et quel que soit leur degré d’humidité. A la vérité, cette expression de p, donnée par l’expérience, n’a pas été vérifiée pour le cas d’une très faible densité et d’une très basse température ; il est possible qu’alors la pression cesse d’être proportionnelle à la densité, et que la dilatation par la chaleur ne soit plus ni uniforme, ni indépendante de la nature du fluide : les lois de sa variation nous étant inconnues dans ce cas extrême, nous supposerons, pour l’exemple qui nous occupe, que la formule (2) subsiste dans toute la hauteur de l’atmosphère.

Pour déterminer les trois inconnues />, p,^, en fonctions de z , il fiaudra joindre aux équations (i) et ^^2), une troisième équation qui sera celle de la propagation de la chaleur dans la colonne d’air, par voie de communication immédiate. On trouve dans mon premier Mémoire sur la Distribution de la Chaleur dam les corps (*) , l’équation aux différences partielles, d’où dépend la température à chaque instant, et en un point quelconque d’un corps hétérogène , c’est-à-dire dans un corps dont la densité ou la nature varie par degrés insensibles, dans toute son étendue. Cette équation convient également aux corps solides et aux fluides, et même aux fluides en mouvement; car elle est fondée sur l’échange continuel de chaleur entre les molécules des corps , séparées par de très petites distances, et ne dépend, en conséquence, que de la différence de leurs températures, telle qu’elle

quilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides , inséré dans le xx' cahier du Journal de V École Polytechnique.

{*) Ibidem, xvin cahier.

a lieu à l’instant même que l’on considère. Pour le cas d’un corps boraogène, elle coïncide avec celle qui avait été donnée auparavant, mais seulement, lorsqu’on suppose la conductibilité calorifique de la matière de ce corps, indépendante de sa température. Appliquée à la colonne d’air que nous considérons , et dont nous supposerons que chaque tranche horizontale soit parvenue à un état invariable de chaleur, cette équation se réduit à

k étant la mesure de la conductibilité calorifique, qui répond à la hauteur Z. I..a quantité k peut dépendre de la densité et de la température correspondantes du fluide; son expression en fonction de p et de ^ ne nous est pas connue; mais, pour ne pas trop compliquer le calcul, je la regarderai comme indépendante de et, d’un autre côté, parce que cette conductibilité provient d’un échange de chaleur entre les molécules de Z et celles des tranches adjacentes de la colonne d’air, je supposerai sa mesure k proportionnelle au carré de la densité f. De cette manière, on aura, en intégrant,

c désignant la constante arbitraire, qui devra être une quantité positive , puisque diminue quand z augmente. On n’oubliera pas que , dans cette équation, est la température propre du fluide de Z, distincte de celle que marquerait, à la hauteur z, un thermomètre exposé à la chaleur rayonnante et en contact avec ce fluide. D’après l’équation (2) , et la condition p~o qui a lieu à la limite supérieure de l’atmosphère, on aura , à la fois ,

à moins d’un centième de degré. A la surface du globe, ^ coïncidera avec la température de cette surface, que je désignerai par 6 ; on aura donc aussi, en même temps ,

Maintenant, il s’agit d’éliminer entre les trois équations (0» (2)5 (6), deux des inconnues p,Ç,p, les deux premières, par exemple, et d’intégrer l’équation qui en résultera. Afin de simplifier ces calculs, je re-

marquerai que près de la surface de la Terre , la densité de la vapeur d’eau contenue dans l’air, lors même qu’elle atteint son maximum ^ n’est qu’une petite partie du mélange , et que la proportion de celte vapeur devient encore moindre à mesure que l’on s’élève dans l’atmosphère; l’influence de l’humidité sur la valeur de la quantité est donc peu considérable; et nous pourrons regarder a comme une constante, dans toute la hauteur de la colonne d’air. Nous considérerons aussi la pesanteur <p comme indépendante de z et égale à g ; car dans toute cette hauteur, <p ne varie pas d’un centième de sa valeur relative à z = o.

Cela posé , en différentiant l’équation (a) , on aura

en substituant pour

^ et leurs valeurs données par les équations (i)

et (3) , il vient

dp aac

-gp = a(i ^

et si l’on fait

on en.<Séduit

Je différentie de nouveau, en prenant x pour la variable indépendante, et considérant z comme une fonction àe x\ on aura alors

dll dl^ dz c dz

dx dz dx X dx '

et il en résultera

d^z 7.bx — c dz

dx^ 7.{cx — bx^) dx'

En intégrant une première fois, on aura

, dz b

dx V~b '‘X' — bcx ’

c' étant la constante arbitraire. Je considérerai le radical comme une quantité positive ; et x devant décroître quand z augmente, la constante d sera aussi positive. En vertu de la valeur précédente de ^ , on aura

, J, (bx — c)