Considérons maintenant la première équation du
//Y rf
syslème(l);K ^T^t -y^ sont des quantités finies; il ne pourrait y avoir doute que pour -r^' Mais d'après Téquation ellem me, -^ doit être nécessairement fini, puisqu'il est égal à
dy dt
Par conséquent p est continu dans la couche de passage.
La deuxième équation nous montre que a est aussi continu et enfin l'équation (1) que y est continu. Nous démontrons ainsi que les trois composantes de la force magnétique sont continues.
La première des équations (II) montre que — est fini et par
CrZ.
suite que Y est continu, la seconde que — est fini et X continu, donc les composantes tangentielles de la force électrique sont continues.
Mais nous ne pouvons en dire autant de la composante normale Z. Car L'équation (2), dans laquelle les deux termes du premier membre sont fînis nous apprend seulement que
— ^- — est fini, soit que KZ est continu. Mais puisque K est
discontinu, Z Test aussi.
55. Réflexion d'une onde plane. — Ces préliminaires posés, considérons une onde plane qui se réfléchisse et se réfracte sur le plan des xy, et supposons que le plan d'incidence soit celui des yz. Deux cas peuvent se présenter :
i° La force électrique est perpendiculaire au plan cl'incidence ;
2° La force magnétique est perpendiculaire au plan d'incidence, la force électrique étant parallèle à ce plan.
56. Premier cas. — La force électrique est parallèle à OX, donc :
X = partie réelle de AeV^^^^y + ^*+'">
pour le rayon incident.
Le plan de Tonde réfléchie est aussi perpendiculaire au plan d'incidence et doit faire le même angle avec la normale, mais du côté opposé. On aura pour le rayon réfléchi
X = partie réelle de he^=^^^y-''-^P^^
èy — cz = est le plan de Tonde réfléchie.
Enfin pour le rayon réfracté :
X = partie réelle de Ce^^-M^'y+^'s+p').
Nous avons vu que X devait être continu ; d'ailleurs
RÉFLEXION d'une ONDE PLANE 69
Y =1: Z = o, par conséquent -^ se réduit à — qui doit être
continu. De même -7* se réduit à v" <4uî doit ôlre aussi continu.
dt dy ^
Enfin -^ = o.
dt
Désignons par X^ la valeur de X dans le premier milieu, prise sur la surface de séparation, par X^ cette valeur dans le second milieu.
Puisque X est continu, X^ = X.^ tout le long de la surface de séparation. On peut donc différencier par rapport à 07 et à y et écrire
dx dx dy dy
et puisque -r- doit être continu.
<fX. cTX»
dz dz
Egalons les valeurs de X pour z = o de chaque côté du plan de séparation, il vient :
soit pour sr = 0, en supprimant le facteur commun eV^'^'.
(A + B) eV^^y = CeV^-"^^'^
Comme celte relation doit avoir lieu identiquement, quel que Ss^it y, il faut que :
De même en e'galant les valeurs de — pour ^ =r o, et supprimant le facteur exponentiel, commun aux deux membres, il vient:
(A — B) c =: Ce'.
Introduisons Tangle d'incidence ou Tangle que fait le plan de Tonde incidente avec le plan des œy (la surface de séparation).
Le plan de Tonde incidente a pour équation :
hy •\- cz '.=.
Les cosinus directeurs de la normale sont :
" ' sJb^J^c^'
\lb* + c«
Par conséquent :
\lh^ + C«
Pour l'onde réfractée, il suffit de changer c en c' et en désignant par r Tangle de réfraction que fait le plan de Tonde incidente avec le plan de Tonde réfractée.
cos r = = sm r r=
D'où
)Jb^ + c'3 )Jb^ +./?'»
^, __ tangj tan g r
B __ c — c' __ cotg i — cotg r A c -{- c cotgj* -j- cotg r
tang r — tang i sin (r — t)
t^ng r -f- tang i sin (r -}- i)
RÉFLEXION d'une ONDE PLANE 71
57. 2*^ Suppo5ionR maintenant que la force magnétique soit perpendiculaire au plan d'incidence, et la force électrique située dans ce plan.
Dans ces conditions on a :
P = Y = o Pour l'onde incidente :
a = partie réelle de Ae^*^ Pour l'onde réfléchie :
a = partie réelle de Be^*'*»
Et pour Tonde réfractée :
a = partie réelle de Ce^^
en posant :
F = by -\- cz -{- pt P^ =z by — cz -\- pt P' z=z by -{- c'z -f pr
Par conséquent, dans le premier milieu :
et dans le second :
a doit être continu ; de même Y.
Donc pour deux points inûniment voisins l'un de l'autre, mais situés de part et d'autre de la surface de séparation, Y
doit avoir même, valeur, et il en est de même de -tt* Comme
' dt
dt ~~ dz dx
et qu'ici :
il faut que
y=:o di dz
Kdz
soit continu.
Soit R le pouvoir inducteur spécifique du premier milieu, K' celui du second ; on sait que :
K sin «t = K' sin ^r
Dans le premier milieu :
Kdz"" K K
Dans le second :
i doL Cv/-ic ^p.
Kdz~' K'
Sur la surface de séparation z = oet P=P| =P'=:ôy-f P^- En écrivant que a a la même valeur dans les deux milieux
pour z = o et supprimant Texponentielle qui est facteur
commun, nous obtenons la condition
En écrivant de même que — -r- est continu, il vient :
^ Kaz
De ces deux relations, nous déduirons :
B __ K K' sin 2t — sin 2?'
A ^ i ^ sin 2i -f- sin 2r
tang (i — r)
~" tang (t + r)
En effet : des deux égalités
c' tanjç t
K' sin H
c tang r
K sinV
il résulte :
sin *i
sin V
Lorsque i -j- r = - tang (t -|- r) devient inûni et -r devient nul.
Le rayon réfracté est alors perpendiculaire au rayon réfléchi ; la valeur correspondante de Tangle d'incidence s'appelle angle de polarisation complète ou angle de Brewster.
58. Réflexion totale. — Si le deuxième milieu est plus réfringent ou bien s'il est moins réfringent que le premier, mais que Tangle de réflexion totale ne soit pas atteint, c' est
réel; j est aussi réel, et la différence de phase entre la vibration incidente et la vibration réfléchie est égale à o ou à ??.
74 THÉORrE DR LA RÉFLEXION
Si l'angle limite est dépassé, c' deviont une imaginaire pure ; c — c' et c + c' sont imaginaires conjugués, leur rap-
port T a un module égal à Tunité.
La lumière réfléchie a même intensité que la lumière incidente ; seulement, comme le rapport - é?t imaginaire, il y a
une différence de phase entre les deux vibrations.
Cette différence n*a pas la même valeur suivant que la force électrique est perpendiculaire ou parallèle au plan d*incidence. Aussi, quand le plan de polarisation n'est pas perpendiculaire au plan d'incidence, le rayon réfléchi est polarisé elliptiquement.
L'onde réfractée devient imaginaire. En posant
on a :
F = ôy - y/^^c, + pt,
et pour cette onde réfractée
X = partie réelle, de CeV^~*y-^r + v/^''^ soit, en supposant C réel,
X rrz Ce-*^!» C08 [hy '\-pi).
Comme C| est en général très grand, le facteur e-^\- devient très petits dès qu'on s'écarte un peu de la surface ; aussi n'observe-t-on pas de lumière réfractée dans ces conditions.
59. Vérifications expérimentales. — Nous sommes arrivés à cette conclusion que :
