Fresnel suppose que l est connu sur la surface. S par
PRrNCIPE DE HUYGHENS
exemple, sous la forme :
yPl'pt .
Ii4. U.
il considère ensuite les points de S comme des centres d'ébranlement et se propose de calculer quel sera Tébranlement en un point P (a?, y, z) extérieur (fig, 14).
A cet effet, il admet que Tébranlement provenant de Téléînent M, de coordonnées {a?',^ ,z'), situé sur S est représenté au point P par:
,i.',y;.')/-<-^^,.-rM,
il suppose ainsi que Tamplilude de IVbranlement varie comme rinverse de la distance r du point P au point M {œ\ y*,^'), et de plus varie avec la direction MF suivant une certaine fonction f (^) de Tangle 4* qu® fait la normale à cUù' avec MP. Fresnel ne fait d'ailleurs aucune hypothèse sur la forme de cette fonction /*; il suppose seulement qu'elle passe par un
pour <]/ = o, à cause de la petitesse de ^ = a ; le
maximum
résultat sera d'ailleurs indépendant de la forme de f.
Enfin pour avoir Tébranlement total, Fresnel fail ensuite la somme desébranlemenls partiels; cette somme peut s'écrire:
En effet :
Pour identifier cette expression de Ç avec celle que nous avons trouvée, il suffit d'y faire :
Seulement il faut bien remarquer que cette formule n'est valable que pour un point extérieur à la surface, c'est-à-dire faisant partie du volume T considéré ; en un point qui ne ferait pas partie de ce volume l'intégrale serait nulle.
Reste maintenant à calculer cette intégrale, ce qui exige la connaissance de Ç'.
Fresnel suppose que l' est nul sur l'écran et a même valeur aux autres points que si l'écran n'existait pas; qu'à l'intérieur de S l'intensité a aussi même valeur qu'en l'absence de l'écran, enfin que les conditions à remplir ne dépendent pas de la nature de ce dernier.
Posons pour abréger :
11 faut calculer :
diû''
Du point P comme centre décrivons une sphère de rayon r qui coupe la surface S suivant une certaine courbe MN, puis une autre de rayon r -\- dr qui coupera S suivant une courbe M'N' infiniment peu différente de MN ; entre ces deux courbes
150 PRINCIPE DE HUTGHENS
se trouve une bande infiniment mince. Considérons Tintégrale :
étendue à tous les éléments de celte bande ; cette intégrale sera infiniment petite, soit rcdr; r peut être considéré comme une constante pour tous les éléments de cette bande. Il viendra alors :
XWo)' —^ = / vfidr —^ =Ja'e>'-**'dr.
102. Dans ce qui suivra nous prendrons en général comme surface limite S une surface de Tonde, et la plupart du temps
nous supposerons cette onde sphérique.
Soit donc le centre de cette onde {fig, 15), P le point considéré (ir,y,z) ses coordonnées, M le l'ièi- lo. centre de gravité de dtû\
(œ\ y\ z') ses coordonnées ; r sera la distance MP et ^ Tangle que fait la normale OM à la sphère avec MP.
Joignons PO, cette droite rencontre la sphère aux points Q et Q'. Si nous décrivons du point P comme centre, comme tout à Theure, deux sphères de rayon r et r -|- di\ les deux courbes MN, M'N' se réduiront à deux petits cercles de la sphère S, ayant pour pôle Q, et que nous appellerons pour abréger cercles r et r -j- dr. Ces deux petits cercles limiteront
une bande infiniment mince el nous aurons
• (srdr
= I X'dfo)',
rinlégrale étant étendue à tous les éléments de la bande.
Faisons un changement de coordonnées et prenons pour déterminer la position d'un point de la sphère S sa distance r au point P, et Tangle cp que fait le plan MOP avec un plan fixe passant aussi par OP.
Menons par OP deux plans infiniment voisins cp et îp + ^?» ces deux plans coupant la sphère suivant deux méridiens passant par Q et Q'. Ces deux méridiens et les deux parallèles r eir -\- dr découpent sur la sphère un petit quadrilatère abcd qui sera l'élément rfo)'. Un calcul très simple montre que
R étant le rayon de la sphère et a la distance OP. Par conséquent
Il faut maintenant fixer les limites de cette intégrale.
Si la sphère est entièrement éclairée, il faut intégrer entre © = et îp = 2?:.
S'il y a un écran, deux cas peuvent se présenter : ou bien le cercle r est entièrement éclairé, et alors il faut intégrer encore entre et 27c ; ou bien le cercle r est en partie sur l'écran et il faut intégrer entre les valeurs de cp, cp^ et cpj qui correspondent aux bords de l'écran.
Supposons que nous ayons calculé d : nous avons
^ = >L^J',e-^''rdr.
Intégrons par parties en remarquant que
e-)r^*oLr dr =::.•• d
g-^-iOLr
ou
dfs
Pour calculer la valeur du terme intégré, il faut savoir quelle est la plus petite valeur que puisse prendre r. Deux cas peuvent se présenter :
1° Le point Q est sur la partie éclairée de la sphère : la limite inférieure de r est alors PQ.
D'autre part, dans l'expression
= âf^^^^
on peut regarder X comme une constante sur le cercler, et il vient :
a = - X / rf<n r= Stt a J fi ^ a
= 2x ? 5i (1 + cos +).
Or au point 0, t); = o et cos 4* = ^> ce qui donne en déûnitive
A la limite inférieure, le terme tout connu se réduit donc à :
— -Si e-^^^^'o.
2® Le point Q est sur l'écran, r^ est la plus courte distance de P au bord de l'écran ; pour r = r^ — e, le cercle r^ — t est tout entier sur l'écran et <r = o ; pour r := rQ-\- t, il y a au contraire un arc infiniment petit du cercle sur la portion éclairée ; a est infiniment petit et tend vers en même temps que e ; le terme tout connu est donc nul à la limite inférieure.
Il faut faire la même discussion pour la limite supérieure r|.
En effet, si la sphère est entièrement éclairée ou ad moins si le pomt Q' est sur la partie éclairée, r^ =z PQ' et
<r = Stt - X rrz 2:r- Si (1 + cos ^) ;
seulement au point op' on a
J/ = Tt cos 4' ^= — ^>
et par suite d est nul.
Si Q est sur l'écran, r^ est la plus grande distance de P au bord de l'écran ; pour r = r^ — e, il y a sur la partie éclairée un arc infiniment petit du cercle r^ — 4; cet arc tend vers o en même temps que e. Donc à la limite supérieure «est encore nul. — Ces résultats s'étendent aux cas où la surface limite n'est pas une sphère; quand le point n'est pas sorrécran, on trouve en appelant C^ et C^ les centres de coarbnre principaux situés sur la normale PQ
Ic4 PRINCIPE DE HUYGHENS
103. Revenons au cas de la sphère. — Il résulte de ce qui précède que le Wme tout connu est nul à la limite supérieure, qu*à la limite inférieure il est nul si le point Q est sur l'écran, et si le point n'est pas sur Técran, il est égal à
En général l'intégrale du deuxième membre est négligeable, et on a simplement
Dans ces conditions, \ a donc la même valeur au point P
qu'au point Q au facteur près — e' v^-^^^'-qui exprime la variation de Tamplitude avec la distance ( -) et la différence de
phase [e- v^~ <«''.) ; on trouve par conséquent la même valeur de \ que dans la théorie géométrique des ombres.
— Si le point P est à Tintérieur de la sphère, X est nul au point 0' et au point Q, car en chacun de ces points vj; =: ir et cos ij; = — i, donc ff = o et Ç = o.
