Puisqu'en négligeant Tintégrale
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nous retrouvons les propriétés géométriques des ombres, c'est cette intégrale qui doit représenter Tinfluence des phénomènes de diffraction.
L'intégration doit être effectuée entre les limites r^ etr^.
PRINCrPE DE HUYGHENS 155
Nous parlagerons cet intervalle en intervalle? partiels : dans les uns, d' restera fini ; dans les autres c' deviendra très grand de Tordre de a. Nous pourrons négliger les intervalles où ff reste fini, comme nous allons le montrer.
Soit en effet r^ — r^ un de ces intervalles, nous pouvons toujours admettre que a varie constamment dans le m^me sens, c'est-à-dire que <t" conserve toujours le m(?me signe, sans quoi nous n'aurions qu'à subdiviser l'intervalle r^ — ^'3 on intervalles partiels où ce signe ne changerait pas.
Intégrons par parties :
J v/^^cc ^ si- laj
Le terme intégré est négligeable en ciïet e ^-**''est < 1 ; a' est fini ; le rapport — est négligeable, puisque a est très grand ; d'autre part puisque <t" a toujours le mr^me signe :
ou
cette quantité est finie, son quotient par a est donc négligeable. Il nous suffira par conséquent de teoir compte des intervalles où fs' devient très grand, du môme ordre de grandeur que a.
Représentons le bord de l'écran : soient M|, Mg les points où le cercler rencontre ce bord {fig, 16).
Xp :pi les valeurs de X et de (p on Mp X2, «pa ces valeurs en Mj.
Nous aurons :
Donnons à r un accroissement t/r, nous obtenons le cercle r -j- dr, qui rencontre le bord de Técran en M( et Mj, la valeur de cp en M 4 sera cp^ -|- ^?<? ^* ^" ^i^
Appliquons la règle des variations sous le signe /
Nous ne savons pas comment varie X, mais nous admettrons que X varie très lentement le long de la surface, puisque
Fig. 16.
la phase doit rester la même ; -r- sera fini et aussi i —cfcp,
ce
terme sera négligeable, puisque nous ne considérons que les intervalles où <t' est très grand et que nous pouvons par conséquent négliger dans l'expression de a' les termes qui sont seulement de grandeur finie.
Supposons qu'on parcoure le bord de l'écran dans le sens indiqué par la flèche ; soit s l'arc décrit dans ce sens :
M,M{ = ds^
Quand on marche dans le sens de la flèche, (p^ diminue derfcp^, <Pi augmente de d(f^ .
Posons
* fn' —'h
et soient <pj et 9^ les valeurs de (p' respectivement aux points
m; et m,
et en substituant il viendra :
et en multipliant par e-V-<«'* et intégrant :
I Jff'e- v^^»»- dr = rX(p'e -v^^«'- ds =J\e'^~^^' rf^p,
cetle intégrale étant comptée le long du bord de Técran et seulement dans les intervalles où a' est du même ordre de grandeur que a.
Supposons donc que M^M^ soit un arc tel que a' et par con-
séquent -^1 soit de Tordre de a : il faut voir si l'intégrale
sera Gnie ou non.
Admettons que :p varie toujours dans le môme sens, de çp, à (p2» et aille par exemple en croissant : rfqp sera > o. X reste
inférieur à une certaine quantité finie L. e-v'-^*'' est <1. Donc
r' X^v^^«'- d'^ < r' Ld^ = L (9., — ?<)'
Par conséquent, deux conditions sont nécessaires pour que rintégrale soit finie :
PRINCIPE DE HUYGHKNS
Fig. 17.
1° -^ doit eire de Tordre de a: -7- de l'ordre de - ou de la
longueur d'onde X ;
2° ;p2 — (p^, c'est-à-dire Tangle sous lequel Tare }A^JA^ est vu de Q doit être fini.
Deux cas peuvent se présenter :
1** L*arc M^Mj est fini : comme r doit être sensiblement constant, il faut que M^Mj difl*ère peu d'un arc de cercle ;
2*» L'arc M^Mj est infiniment petit; pour qu'il soit vu de Q sous un angle fini {fig. 47), il est nécessaire alors que cet arc passe très près du point Q, et par suite que la droite OP passe très près du bord de l'écran.
